B- Zekat Verilecek Hayvanın Yaşı
I- Temyiz Yaşı
Nesta seção, é mostrado como as i-métricas geram uma topologia partindo-se do con- ceito de bolas abertas de maneira semelhante ao caso das métricas usuais.
Definição 4.8. Seja (M,d,hA,≤,R,⊥i) um espaço i-métrico. Dados a ∈ M e ε ∈ A com ⊥Rε, a bola aberta de centro a e raio ε é o conjunto B(a, ε) = {b ∈ M; d(a, b)Rε}. Um conjunto X ⊆ M é dito ser aberto, se para cada a ∈ X existe uma bola aberta B(a,ε), tal que B(a,ε) ⊆ X.
Teorema 4.2 (Topologia). Seja (M,d,hA,≤,R,⊥i) um espaço i-métrico. A classe ℑ(M) dos conjuntos abertos de M é uma topologia em M.
Demonstração. Basta provar que: /0,A ∈ ℑ(M), se {Aλ}λ∈L ⊆ ℑ(M), então
[
λ∈L
Aλ ∈
ℑ(M) e se A, B ∈ ℑ(M), então A ∩ B ∈ ℑ(M). As duas primeiras condições são imediatas. Sejam A,B ∈ ℑ(M). Tome a ∈ A ∩ B. Desde que A e B são abertos, existem bolas abertas B(a,ε1) e B(a, ε2) tais que B(a, ε1) ⊆ A e B(a, ε2) ⊆ B. Por definição, ⊥Rε1e ⊥Rε2, então,
como A é um conjunto d-dirigido com menor elemento separável, existe uma cota inferior δ ∈ A para {ε1, ε2} com ⊥Rδ. Assim, considere a bola aberta B(a, δ). Tome b ∈ B(a, δ),
ou seja, d(a,b)Rδ. Como δ ∈ L{ε1,ε2}, então δ ≤ ε1, logo d(a,b)Rε1 ⇒ b ∈ B(a, ε1) o
que implica em B(a,δ) ⊆ B(a,ε1). Similarmente prova-se que B(a, δ) ⊆ B(a, ε2). Assim,
B(a,δ) ⊆ A ∩ B, logo A ∩ B ∈ ℑ(M).
Na demonstração de que a interseção de dois abertos é um aberto, ficou evidente a ne- cessidade de que o espaço de valoração seja um conjunto d-dirigido com menor elemento separável e que a relação R seja uma relação semi-auxiliar.
Capítulo 4. i-Distâncias
Teorema 4.3. Seja (M,d,hA,≤,R,⊥i) um espaço i-métrico. Toda bola aberta neste es- paço é um conjunto aberto.
Demonstração. Tome ε ∈ A, com ⊥Rε, a ∈ M e b ∈ B(a,ε). Assim, d(a,b)Rε. Pela terceira condição de i-métrica, existe δ ∈ A, com ⊥Rδ, tal que d(b,c)Rδ implica em d(a,c)Rε. Considere a bola aberta B(b,δ). Se c ∈ B(b,δ), então d(b,c)Rδ ⇒ d(a,c)Rε ⇔ c ∈ B(a,ε) ⇒ B(b,δ) ⊆ B(a,ε), o que significa que B(a,ε) é um conjunto aberto.
Este teorema justifica a desigualdade triangular das i-métricas. Lembramos que no caso de métricas usuais a desigualdade triangular também é usada para provar que as bolas abertas são conjuntos abertos. Segue diretamente deste último teorema que a classe das bolas abertas é uma base para a topologia ℑ(M).
Definição 4.9. Sejam (M,dA, hA, ≤A, RA, ⊥Ai) e (N, dB, hB, ≤B, RB, ⊥Bi) dois espaços i-
métricos. Uma função f : M −→ N é dita ser i-contínua em a ∈ M, se para todo ε ∈ B, com ⊥BRε, existe δ ∈ A, com ⊥BRδ tal que dA(a, b)Rδ ⇒ dB( f (a), f (b))Rε, ou equiva-
lentemente, se b ∈ B(a,δ), então f (b) ∈ B( f (a),ε). Quando f for i-contínua em cada a ∈ M diremos simplesmente que f é i-contínua.
Teorema 4.4. Sejam (M,dA, hA, ≤A, RA, ⊥Ai) e (N, dB, hB, ≤B, RB, ⊥Bi) dois espaços i-
métricos. Uma função f : M −→ N é contínua com respeito as topologias ℑ(M) e ℑ(N) se, e somente se, f é i-contínua.
Demonstração. Suponha que f é contínua em relação às topologias e considere a ∈ M qualquer. Pelo que já foi visto, para todo ε ∈ B, com ⊥BRBε, a bola aberta B( f (a), ε) é
um conjunto aberto de N, logo, pela definição topológica de continuidade, f−1(B( f (a), ε)
é um conjunto aberto em M. Como a ∈ f−1(B( f (a), ε)), então existe δ ∈ A, com ⊥ ARAδ
tal que B(a,δ) ⊆ f−1(B( f (a), ε)), logo f (B(a, δ)) ⊂ B( f (a), ε), ou seja, se b ∈ B(a, δ),
então f (b) ∈ B( f (a),ε) o que significa que f é i-contínua em a.
Agora, suponha que f é i-contínua em todo a ∈ M. Seja O ⊂ N um conjunto aberto. Se f−1(O) = /0, então f−1(O) é aberto em A. Considere o caso em que f−1(O) 6= /0. Tome
a ∈ f−1(O), ou seja, a ∈ M e f (a) ∈ O. Como O é um conjunto aberto, existe ε ∈ B, com
⊥BRBε, tal que B( f (a), ε) ⊆ O. Como f é i-contínua em a, existe δ ∈ A com ⊥ARAδ,
tal que se b ∈ B(a,δ), então f (b) ∈ B( f (a),ε), ou seja, B(a,δ) ⊆ f−1(B( f (a), ε)) ⇒
B(a,δ) ⊆ f−1(O) e, portanto, f−1(O) é um conjunto aberto. Com isso, concluí-se que f
é topologicamente contínua.
Observação 4.4. Considere o espaço i-métrico (M,d,hA,≤,≺,⊥i). É possível que a relação semi-auxiliar ≺ seja tal que ⊥ ≺ ⊥. É o que ocorre, por exemplo, com a relação
Capítulo 4. i-Distâncias
essencialmente abaixo. Neste caso, dado a ∈ M, ⊥ pode ser usado como raio de uma bola aberta de centro a. Com isso, segue que B(a,⊥) = {a}. De fato, se b ∈ M − {a}, então d(a,b) 6= ⊥, logo b /∈ B(a, ⊥). Dessa forma, todo subconjunto unitário será um aberto da topologia gerada por d, o que implica no fato desta topologia ser a topologia discreta, ou seja, ℑ(M) é o conjunto das partes de M. Devido a isso, é importante considerar relações semi-auxiliares ≺ tais que ⊥ 6≺ ⊥. É o caso, por exemplo, da relação essencialmente abaixo estrita definida na observação 4.1.
Observação 4.5. A construção da topologia descrita nesta seção pode ser feita nos casos em que d é uma outra i-distância. Uma topologia gerada por uma i-métrica (ou i-quasi- métrica, ou i-pseudo-métrica, ou i-quasi-pseudométrica) é chamada i-metrizável (ou i- quasi-metrizável, ou i-pseudometrizável, ou i-quasi-pseudo-metrizável). No caso de uma topologia i-quasi-metrizável gerada por d, tem-se a noção de topologia conjugada, a qual é a topologia i-quasi-metrizável gerada por d.
4.3.1 Pré-ordem
As VID’s são estruturas formadas por um conjunto e uma relação de ordem neste con- junto (além de outros componentes). Todas as construções feitas até aqui neste capítulo foram feitas baseando-se nisso. Um fato que deve ser observado é o seguinte: toda essa construção pode ser feita de maneira similar se considerarmos uma VID na qual é exigido apenas uma pré-ordem no conjunto. De fato, a anti-simetria (única proriedade que difere as ordens das pré-ordens) não foi usada em momento algum. Porém, algumas adaptações são necessárias. Por exemplo, a ausência da anti-simetria faz com que alguns elemen- tos destacados em relação a conjuntos não sejam mais únicos. É o caso do supremo e do ínfimo de um conjunto que são substituídos pelos conjuntos dos supremóides e dos infimóides (seção 2.1). O menor elemento de um conjunto pré-ordenado também pode não ser único. Por exemplo, considere a pré-ordem ≤f em [0,+∞) × [0,+∞) definida
por (a,b) ≤F (c, d) ⇔ a ≤ c. Qualquer par do tipo (e, 0) é um menor elemento para este
conjunto pré-ordenado.
A definição de relação semi-auxiliar para pré-ordens é idêntica àquela para ordens, porém, diferente do que ocorre com ordens, se ≤ não é uma ordem (mas apenas uma pré-ordem), a relação menor estrito pode não ser uma relação semi-auxiliar para ≤, como mostra o exemplo a seguir.
Exemplo 4.4. Considere o conjunto R2com a pré-ordem (a,b) ≤
F (c, d) ⇔ b ≤ d (aqui,
≤ é a ordem usual de R). Note que (0, 2) ≤F (1, 2), (1, 2) <F (0, 2) e (0, 2) ≤F (0, 2),
Capítulo 4. i-Distâncias
Observação 4.6. Se hA,≤,⊥Ai é um conjunto pré-ordenado com menores elementos e ≪
é a relação essencialmente abaixo, então a relação essencialmente abaixo estrita, ≪∗, é
definida por a ≪∗b se, e somente se, a ≪ b e b /∈ ⊥ A.
A relação essencialmente abaixo estrita definida a partir de uma pré-ordem também é uma relação semi-auxiliar para esta pré-ordem. Além disso, toda relação semi-auxiliar para pré-ordens é transitiva.
Como o menor elemento de um conjunto pré-ordenado pode não ser único, a definição abaixo se faz necessária.
Definição 4.10. Seja hA,≤i um conjunto pré-ordenado. Se este conjunto possui menor elemento (podendo ser mais de um), então será denotado por ⊥Ao conjunto dos menores
elementos de A. Seja hA,≤,R,⊥Ai um conjunto pré-ordenado com menor elemento e R
uma relação semi-auxiliar para ≤. Esta estrutura é chamada conjunto pré-ordenado com menores elementos separáveis, quando A é d-dirigido e dados a, b tais que ⊥Ra e ⊥Rb, para algum ⊥ ∈ ⊥A, então existe c ∈ L{a,b}tal que ⊥Rc.
Definição 4.11 (Valoração de i-Distâncias (para pré-ordens)). Uma Valoração de i-Distâncias (VID) é uma estrutura hA,≤,R,⊥Ai, tal que R é uma relação semi-auxiliar para ≤ e
hA, ≤, ⊥Ai é um conjunto pré-ordenado d-dirigido com menores elementos separáveis.
As definições de i-distâncias considerando VID’s com pré-ordens no lugar de ordens podem ser feitas com pequenas modificações nas primeiras condições. Tais modificações são exibidas abaixo:
1. d(a,b) ∈ ⊥A se, e somente se, a = b;
2. d(a,b) ≤ d(b,a) e d(b,a) ≤ d(a,b), para quaisquer a,b ∈ M;
A desigualdade triangular continua a mesma. A construção de uma topologia a partir de uma i-distância com VID baseada em pré-ordem é idêntica ao caso de ordens. Exem- plos de i-distâncias com VID baseada em pré-ordem serão apresentados nas seções 4.5.1 e 5.1.