Mefkudun Ölümüne Hükmetme Yaşı

Nesta seção serão definidas as i-distâncias. Em geral, dado um conjunto não-vazio M e uma VID

V

_{= hA, ≤, R, ⊥i, uma i-distância}

V

_{-valorada (ou em relação à VID}

V

_{) em M}

é uma função d : M × M −→ A que satisfaz algumas condições semelhantes as condições de distâncias usuais. A seguir, é dada a definição de i-métrica que é o tipo mais natural de i-distância, assim como métrica é o tipo mais natural de distância.

Definição 4.4. [i-Métrica] Seja M um conjunto não-vazio e

V

_{= hA, ≤, R, ⊥i uma VID.}

Uma função d: M × M −→ A é chamada i-métrica

V

_{-valorada (ou em relação à VID}

V

₎

quando satisfaz:

1. d(a,b) = ⊥ se, e somente se, a = b;

2. d(a,b) = d(b,a), para quaisquer a,b ∈ M;

3. Se d(a,b)Rε, para algum ε ∈ A com ⊥Rε, então existe δ ∈ A, com ⊥Rδ, tal que d(b,c)Rδ ⇒ d(a,c)Rε.

Capítulo 4. i-Distâncias

Neste caso, a tripla (M,d,

V

_{) é chamada espaço i-métrico.}

As duas primeiras condições são facilmente reconhecíveis como generalizações das condições de métrica. A terceira, que é a “desigualdade triangular", parece não ser muito natural, mas no decorrer desta seção e da próxima (quando serão vistas as ligações com topologia) esta condição será justificada.

Um ponto importante a ser observado sobre a definição do espaço de valoração das i-métricas é que este espaço não exige uma operação de adição. Em [Heitzig 2003], onde também são apresentadas noções generalizadas de métrica (muito semelhantes aos es- paços de continuidade), o autor foi taxativo ao afirmar que para uma estrutura servir de valoração para uma métrica generalizada, a mesma deve comportar a desigualdade tri- angular d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z), ou seja, é necessária a existência de uma operação de adição. As razões para a desigualdade triangular de i-distância não depender de uma ope- ração de soma são duas. A primeira pode ser explicada agora. Um determinado conjunto que pode ser interessante para valorar distância pode não ter uma operação de adição adequada. Por exemplo, em um conjunto de cadeias de caracteres a operação que mais se aproxima de adição é a chamada operação de concatenação (∗), que consiste em jun- tar duas cadeias formando uma terceira cadeia, por exemplo, abcde ∗ f ghi = abcde f ghi. Em todas as generalizações de distância vistas aqui (exceto aquela proposta em [Heitzig 2003]) a operação de adição deve ser comutativa, o que não é o caso para ∗. A segunda fi- cará clara no capítulo sobre distância intervalar, mas resumindo, pode-se ter uma adição e uma ordem bastante naturais e compatíveis em um conjunto mas uma função que dá uma noção perfeita de distância valorada neste conjunto pode não satisfazer a desigualdade triangular usual e satisfazer a de i-métrica (é exatamente este o caso da métrica intervalar a ser definida no capítulo 5). Além disso, toda a construção de uma topologia a partir de uma i-métrica pode ser feita sem a necessidade de uma operação de adição no espaço de valoração.

Exemplo 4.3. Seja hA,≤,⊥i um reticulado com menor elemento, tal que

V

_{= hA, ≤, ≪}∗

, ⊥i é uma VID. Defina a função ds: A × A −→ A por

ds(a, b) =

(

a ∨ b , se a 6= b ⊥ , se a = b . Esta função é uma i-métrica

V

_-valorada.

De fato, é imediato ver que ds satisfaz as condições 1. e 2. da definição 4.4. Suponha

Capítulo 4. i-Distâncias

então a ∨ b ≪ ε. Tome δ = ε e suponha ds(b, c) ≪ δ = ε. Se b = c, o resultado segue

imediatamente. Se b 6= c, então b ∨ c ≪ ε. Assim, a ≪ ε, b ≪ ε e c ≪ ε, o que implica em a ∨ c ≪ ε.

O próximo teorema mostra que a classe das i-métricas engloba a classe das métricas usuais.

Teorema 4.1. Seja d uma métrica (usual) em M. A função d_i : M × M −→ [0,+∞), definida por di(a, b) = d(a, b), é uma i-métrica

V

-valorada, onde

V

= h[0, +∞), ≤, <, 0i.

Demonstração. Seja hM,di um espaço métrico no sentido usual. Como já foi visto, a estrutura

V

_{= hR}+_{, ≤, <, 0i é uma VID. É imediato que a função d}

isatisfaz as condições

1. e 2. de i-métricas. Para a condição 3., suponha di(a, b) < ε, com ε > 0. Tome δ =

ε−d(a, b) > 0, então di(b, c) < δ ⇒ d(b, c) < ε−d(a, b) ⇒ d(a, b)+d(b, c) < ε, portanto,

segue da desigualdade triangular usual de d que d(a,c) < ε, ou seja, di(a, c) < ε.

Uma generalização de métrica muito parecida com a feita neste trabalho foi a de mé- trica generalizada, mencionada na seção 3.3. Existe métrica generalizada que é i-métrica, mas nem toda métrica generalizada é uma i-métrica e existe i-métrica que não é genera- lizada (a metrica KM que será definida no capítulo 5 é um exemplo). No restante desta seção serão verificadas as ligações entre estas duas generalizações de distância.

Na próxima proposição, são apresentadas condições suficientes para que uma métrica generalizada seja uma i-métrica com respeto a uma VID bastante natural.

Proposição 4.5. Seja V um monoide abeliano ordenado que satisfaz as seguintes condi- ções

i) se x < y, então existe e 6= 0 tal que x + e ≤ y; ii) se x < y, então x + a < y + a para todo a ∈ V ;

iii) hV,≤,0i é d-dirigido e hV,≤,<,0i tem menor elemento separável.

Sendo assim, se d : M × M −→ V é uma métrica generalizada em M, então d é uma i-métrica

V

-valorada em M, onde

V

_{= hV, ≤, <, 0i.}

Demonstração. As duas primeiras condições são iguais as de métricas generalizadas. Su- ponha d(a,b) < ε, com ε 6= 0. Assim, existe δ 6= 0 tal que d(a,b) + δ ≤ ε. Suponha d(b,c) < δ, então:

d(a,b) + d(b,c) < d(a,b) + δ ≤ ε ⇒ d(a, b) + d(b, c) < ε ⇒ d(a, b) < ε.

Capítulo 4. i-Distâncias

Observação 4.2. As condições i) e ii) da proposição acima podem ser trocadas pela seguinte: se x < y, então existe e 6= 0 tal que x + e < y. A verificação, neste caso, é análoga à anterior.

Agora, será construida uma métrica generalizada que não é uma i-métrica

V

_-valorada

para

V

_{= hV, ≤, <, 0i.}

Considere o conjunto V = [0,1] ∪ {2} com a ordem usual da reta ≤ e a operação binária ⊕ definida por:

x ⊕ y = (

x + y , se 0 ≤ x + y ≤ 1 2 , caso contrário

Proposição 4.6. O conjunto V acima munido da ordem ≤ e da operação ⊕ é um monoide abeliano e ordenado.

Demonstração. A comutatividade da operação ⊕ segue imediatamente da comutatividade da adição usual em R. Para verificar que ⊕ é associativa, basta notar que:

(x ⊕ y) ⊕ z = ( x + y + z , se 0 ≤ x + y + z ≤ 1 2 , caso contrário e x ⊕ (y ⊕ z) = ( x + y + z , se 0 ≤ x + y + z ≤ 1 2 , caso contrário .

O 0 é o elemento neutro da operação ⊕. Para verificar isso, basta notar que se 0 ≤ x ≤ 1, então x ⊕ 0 = x + 0 = x e se x /∈ [0, 1], então por definição x ⊕ 0 = 2, mas neste caso, x = 2.

É imediato que 0 ≤ x, para todo x ∈ V . Agora, suponha x1≤ y1e x2≤ y2. Se x1+ y1∈

[0, 1], então x1⊕ y1 = x1+ y1 e assim, x1⊕ y1 ≤ x2⊕ y2, sendo x2⊕ y2 = x2+ y2 ou

x2⊕ y2= 2. Se x1+ y1∈ [0, 1], então x/ 2+ y2∈ [0, 1], logo x/ 1⊕ y1= 2 e x2⊕ y2= 2. Isso

conclui a demonstração.

Defina a seguinte função d : R × R −→ V por: d(x,y) =

(

|x − y| , se |x − y| ≤ 1 2 , caso contrário

Capítulo 4. i-Distâncias

Demonstração. As duas primeiras condições são imediatas. Para a desigualdade triangu- lar, note que se |x − y| ≤ 1, então d(x,y) = |x − y|. Como |x − y| ≤ |x − z| + |z − y|, temos d(x,y) ≤ d(x,z) ⊕ d(z,y), sendo d(x,z) ⊕ d(z,y) = |x − z| + |z − y| ou d(x,z) ⊕ d(z,y) = 2. Agora, suponha |x − y| /∈ [0, 1], o que implica em d(x, y) = 2. Neste caso, temos que |x − z| + |z − y| /∈ [0, 1], logo d(x, z) ⊕ d(z, y) = 2, sejam quais forem os valores de d(x, z) e d(z,y). Assim, concluimos que d(x,y) ≤ d(x,z) ⊕ d(z,y).

Esta função d não é uma i-métrica

V

_{-valorada. De fato, note que d(1,0) = |1 − 0| =}

1 < 2. Dado δ > 0, com δ ∈ V , tome δ′_{≤ min{δ, 1}. Seja x = 1 +}δ′

2, assim |x − 1| =δ

′

2 <

δ′≤ δ e |x − 1| ≤ 1, logo d(x, 1) = δ₂′ < δ. Porém, |x − 0| = 1 +δ₂′ > 1, logo d(x, 0) = 2, ou seja, não temos d(x,0) < 2, o que conclui a verificação de que d não é uma i-métrica

V

-valorada.

4.2.1 Outras i-Distâncias

Abaixo, são apresentadas as definições de i-quasi-métricas, i-pseudométricas e de i- quasi-pseudométricas, as quais são formuladas a partir do conceito de i-métrica, como ocorre no caso usual, através de alterações nas condições sobre a função.

Definição 4.5 (i-Quasi-métrica). Seja M um conjunto não-vazio e hA,≤,R,⊥i uma VID. Uma função d: M × M −→ A é chamada i-quasi-métrica

V

_{-valorada quando satisfaz:}

1. d(a,b) = ⊥ e d(b,a) = ⊥ se, e somente se, a = b;

2. Se d(a,b)Rε, para algum ε ∈ A com ⊥Rε, então existe δ ∈ A com ⊥Rδ tal que d(b,c)Rδ ⇒ d(a,c)Rε.

Neste caso, a tripla (M,d,

V

_{) é chamada espaço i-quasi-métrico.}

Observação 4.3. Se d : M × M −→ A é uma i-quasi-métrica

V

_{-valorada, onde}

V

₌

hA, ≤, R, ⊥i, então a função d : M × M −→ A definida por d(a, b) = d(b, a) também é um i-quasi-métrica, a qual é chamada de i-quasi-métrica conjugada de d.

Definição 4.6 (i-Pseudométrica). Seja M um conjunto não-vazio e hA,≤,R,⊥i uma VID. Uma função d: M × M −→ A é chamada i-pseudométrica

V

_{-valorada quando satisfaz:}

1. d(a,b) = ⊥ se, e somente se, a = b;

2. d(a,b) ≤ d(b,a) e d(b,a) ≤ d(a,b), para quaisquer a,b ∈ M;

3. Se d(a,b)Rε, para algum ε ∈ A com ⊥Rε, então existe δ ∈ A com ⊥Rδ tal que d(b,c)Rδ ⇒ d(a,c)Rε.

Capítulo 4. i-Distâncias

Neste caso, a tripla (M,d,

V

_{) é chamada espaço i-pseudométrico.}

Definição 4.7 (i-Quasi-pseudométrica). Seja M um conjunto não-vazio e hA,≤,R,⊥i uma VID. Uma função d : M × M −→ A é chamada i-quasi-pseudométrica

V

_-valorada

quando satisfaz:

1. d(a,a) = ⊥ para todo a ∈ M;

2. Se d(a,b)Rε, para algum ε ∈ A com ⊥Rε, então existe δ ∈ A com ⊥Rδ tal que d(b,c)Rδ ⇒ d(a,c)Rε.

Neste caso, a tripla (M,d,

V

_{) é chamada espaço i-quasi-pseudométrico.}

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