B- Zekat Verilecek Hayvanın Yaşı
III- Sefihe Malı Teslim Yaşı
Aqui, será mostrado que os espaços métricos difusos no sentido de [Kaleva e Seik- kala 1984], no caso em que as funções L e R são respectivamente min e max (L(x,y) =
Capítulo 4. i-Distâncias
min{x,y} e R(x,y) = max{x,y}), são espaços i-métricos. Nesta seção, serão usados os conceitos e notações vistos na seção 3.2.
Definição 4.13. Sejam A,B ∈ G. A relação ≺≺ é definida por: A ≺≺ B se, e somente se, existem r1, r2> 0 tais que bα− aα> r1e bα− aα > r2, para todo α ∈ (0,1].
Exemplo 4.5. Se a,b ∈ R+, com a < b, então ˜a ≺≺ ˜b.
Exemplo 4.6. Um número triangular difuso é um número difuso com uma “forma de triângulo". Sua função de pertinência A é definida por: A(x) = 0, se x ≤ a1, A(x) = l(x),
se a1≤ x ≤ a2, onde l é função cujo gráfico é o segmento de reta conectando os pontos
(a1, 0) e (a2, 1), A(x) = r(x), se a2≤ x ≤ a3, onde r é função cujo gráfico é o segmento
de reta conectando os pontos (a2, 1) e (a3, 0) e A(x) = 0, se x ≥ a3. Os números a1, a2
e a3 determinam completamente A, por isso a notação A = (a1, a2, a3) é usada. Se A =
(a1, a2, a3) e B = (b1, b2, b3) são dois números triangulares difusos, então A ≺≺ B se, e
somente se, a1< b1, a2< b2e a3< b3.
Teorema 4.6. Para quaisquer A,B,C,D ∈ G, tem-se: 1. Se A ≺≺ B, então A B;
2. Se A B ≺≺ C D, então A ≺≺ D;
3. Se A C e B ≺≺ D, então A ⊕ B ≺≺ C ⊕ D. Demonstração. 1. É imediata.
2. Existem r1, r2> 0, tais que cα− bα> r1e cα− bα> r2, para todo α ∈ (0,1]. Como
bα≥ aα, bα ≥ aα, dα≥ cα e dα≥ cα, para todo α ∈ (0,1], segue que dα− aα> r1
e dα− aα> r2, para todo α ∈ (0,1], ou seja, A ⊕ B ≺≺ C ⊕ D
3. Existem r1, r2 > 0 tais que dα− bα > r1 e dα− bα > r2. Como cα− aα ≥ 0 e
cα− aα ≥ 0, então dα− bα+ cα− aα > r1 e dα− bα+ cα− aα> r2⇒ A ⊕ B ≺≺
C ⊕ D.
Corolário 4.1. Considere A,B,C ∈ G. 1. Se A B ≺≺ C, então A ≺≺ C; 2. Se A ≺≺ B C, então A ≺≺ C. Demonstração. É imediata.
Segue dos últimos resultados que a relação ≺≺ é uma relação semi-auxiliar para . Os resultados a seguir são muito importantes para a construção da VID e também vão assegurar que a classe dos conjuntos abertos é uma topologia de Hausdorff.
Capítulo 4. i-Distâncias
Teorema 4.7. Se A,B ∈ G, com ˜0 ≺≺ A e ˜0 ≺≺ B então existe C ∈ G, com ˜0 ≺≺ C, tal que C A e C B.
Demonstração. Como ˜0 ≺≺ A e ˜0 ≺≺ B, então existe r1, r2> 0 tal que aα ≥ aα > r1 e
bα≥ bα> r2. Assim, tome C ∈ G definido por C = ˜r, onde r = min{r1, r2} > 0. Dessa
forma, ˜0 ≺≺ C, C A e C B.
Teorema 4.8. Se A,B ∈ G com A ≺≺ B, então existe C ∈ G, com ˜0 ≺≺ C tal que A⊕C ≺≺ B.
Demonstração. Existem r1, r2 > 0 tais que bα− aα > r1 e bα− aα > r2. É suficiente
tomar C ∈ G definido por C(t) = (
1, se t = r/2
0, se t 6= r/2 , onde r = min{r1, r2}.
Teorema 4.9. Se A ∈ G, com ˜0 ≺≺ A, então existem B,C ∈ G, com ˜0 ≺≺ B e ˜0 ≺≺ C tais que B ⊕C ≺≺ A.
Demonstração. Como ˜0 ≺≺ A, existe r > 0 tal que aα ≥ aα > r. Basta tomar B,C ∈ G
definido por B(t) = C(t) = (
1, se t ∈ [r/8,r/4] 0, se t /∈ [r/8, r/4] .
Exemplo 4.7 (Kaleva e Seikkala 1984). Seja E o conjunto de todos os números difusos. A função d: E × E −→ G definida por:
d(x,y) = (
|x − y| , se x 6= y
˜0 , se x = y (4.1) é uma métrica difusa no sentido da definição 3.5 usando-se as aplicações L ≡ 0 e R = max Existem várias aplicações L e R satisfazendo as condições da definição 3.5 como, por exemplo, as funções L = min e R = max. Para estas funções L e R vale o seguinte: Teorema 4.10. Em um espaço métrico difuso (X,d,min,max), a condição iii) da defini- ção 3.5 é equivalente a:
d(x,z) d(x,y) ⊕ d(y,z). Demonstração. Veja [kaleva e Seikkala 1984] .
Neste caso, uma função d : M × M −→ G é uma métrica difusa se, e somente se, satisfaz:
Capítulo 4. i-Distâncias
ii) d(x,y) = d(y,x), para todo x,y ∈ M; iii’) d(x,z) d(x,y) ⊕ d(y,z).
Ou seja, neste caso, uma métrica difusa é uma métrica generalizada. A condição iii’) é uma forma muito mais natural de desigualdade triangular do que a condição iii) da definição 3.5. A partir daqui, serão considerados apenas espaços métricos difusos nos quais L = min e R = max. Tais métricas serão chamadas de gf-métricas e os espaços de espaços gf-métricos.
Exemplo 4.8. Se d : M × M −→ R é um espaço métrico usual, então df : M × M −→ G
dada por df(x, y) =d(x,y) é uma gf-métrica.˜
Exemplo 4.9. Sejam d1, d2, d3, d4: M × M −→ R métricas no sentido usual tais que d1≤
d2≤ d3≤ d4. A função df : M × M −→ G definida por:
df(x, y)(t) = 1/2, se d1(x, y) ≤ t < d2(x, y) 1, se d2(x, y) ≤ t ≤ d3(x, y) 1/2, se d3(x, y) < t ≤ d4(x, y)
0, nos outro casos é uma gf-métrica.
Teorema 4.11. Seja d : M × M −→ G uma gf-métrica. Se d(a,b) ≺≺ R, onde ˜0 ≺≺ R, então existe ˜0 ≺≺ D tal que d(b,c) ≺≺ D ⇒ d(a,c) ≺≺ R.
Demonstração. Como d(a,b) ≺≺ R, segue do teorema 4.8 que esxiste ˜0 ≺≺ D tal que d(a,b) ⊕ D ≺≺ R. Suponha que d(b,c) ≺≺ D. Assim, segue da proposição 4.6 que d(a,b) ⊕ d(b,c) ≺≺ d(a,b) ⊕ D ≺≺ R ⇒ d(a,b) ⊕ d(b,c) ≺≺ R. Da desigualdade trian- gular, segue d(a,c) d(a,b) ⊕ d(b,c) ≺≺ R ⇒ d(a,c) ≺≺ R.
Este teorema garante que toda gf-métrica é uma i-métrica relativa à VID hG,,≺≺ , ˜0i.
Em [kaleva e Seikkala 1984], os autores propuseram uma topologia a partir de um espaço métrico difuso (M,d,L,R), baseada na seguinte definição de bolas abertas:
B(a,ε,α) = {y ∈ M;ρα(a, y) < ε}, (4.2)
onde ρα é o extremo superior do α-corte de d(a,x).
Note que esta definição de bola aberta depende apenas do extremo superior dos α- cortes de d(x,y). Dessa forma, essa topologia não incorpora toda a idéia de vaguidade
Capítulo 4. i-Distâncias
pretendida pela noção de número difuso. Como as gf-métricas são i-métricas, elas geram uma topologia baseada na definição de bolas abertas usando i-métricas, devido ao uso da ordem , levam em consideração os dois extremos dos α-cortes de d(x,y).
A seguir, a teoria topológica associada desenvolvida a partir das i-métricas será usada para demonstrar um teorema de ponto fixo em espaços métricos difusos muito semelhante ao teorema clássico de Banach (veja [Lima 1977]).
Em espaços métricos usuais, a relação menor estrito < é usada para definir bolas abertas. Estes espaços possuem a seguinte característica:“0 < d(x,y), se x 6= y”. Este fato (junto com a desigualdade triangular e as especificidades dos números reais) garante que as topologias geradas por métricas usuais são de Hausdorff. Isso motiva a seguinte definição:
Definição 4.14 (Espaço gf-métrico de Hausdorff). Um espaço gf-métrico no qual ˜0 ≺≺ d(x,y), se x 6= y é chamado espaço gf-métrico de Hausdorff.
Teorema 4.12. Seja (M,d) um espaço gf-métrico. A topologia ℑ(M) gerada por d, en- quanto i-métrica, em M é de Hausdorff.
Demonstração. Tome a,b ∈ M, com a 6= b. Assim, tem-se ˜0 ≺≺ d(a,b). Do teorema 4.9 segue que existem B,C ∈ G, com ˜0 ≺≺ B e ˜0 ≺≺ C tais que B ⊕C ≺≺ d(a,b). Defina as bolas abertas B(a,B) e B(b,C). Suponha que existe c ∈ B(a,B) ∩ B(b,C), o que implica em d(a,c) ≺≺ B e d(c,b) ≺≺ C, então d(a,b) d(a,c)⊕d(b,c) ≺≺ B⊕C ≺≺ d(a,b) ⇒ d(a,b) ≺≺ d(a,b), logo d(a,b) ≺ d(a,b), o que é uma contradição.
Daqui por diante, serão considerados apenas espaços gf-métricos de Hausdorff. Definição 4.15. Seja xn uma sequência em um espaço gf-métrico de Hausdorff (M,d).
Diz-se que xn gf-converge para L ∈ M se para todo ˜0 ≺≺ R, existe n0 ∈ N, tal que se
n ≥ n0, então d(xn, L) ≺≺ R. Neste caso, xn é dita sergf-convergente e L é o gf-limite
de xne a notação xn−→ L é usada. Uma sequência xné dita sergf-Cauchy, se para todo
˜0 ≺≺ R, existe n0∈ N, tal que se m, n ≥ n0, então d(xm, xn) ≺≺ R.
Observação 4.8. O teorema 4.12 garante a unicidade do limite de uma sequência con- vergente.
Definição 4.16. Um espaço gf-métrico de Hausdorff é dito ser completo quando toda sequência gf-Cauchy é convergente.
Exemplo 4.10. Em um espaço gf-métrico de Hausdorff, toda sequência convergente é gf-Cauchy.
Capítulo 4. i-Distâncias
De fato, se xn −→ L, então para todo ˜0 ≺≺ R, existe n1 ∈ N tal que n > n1 ⇒
d(xn, L) ≺≺ R1, e existe n2 ∈ N, tal que m > n2 ⇒ d(xm, L) ≺≺ R2, onde ˜0 ≺≺ R1,
˜0 ≺≺ R2e R1⊕ R2≺≺ R. Defina n0= max{n1, n2}. Assim, se n > n0, então d(xn, xm)
d(xn, L) ⊕ d(L, xm) ≺≺ R1⊕ R2 R ⇒ d(xn, xm) ≺≺ R.
Uma função f : M −→ N entre dois espaços gf-métricos de Hausdorff (M,d1) e (N, d2)
será chamada gf-contínua em a ∈ M quando for contínua em a com respeito as topo- logias geradas por d1 e d2 enquanto i-métricas e será chamada gf-contínua quando for
gf-contínua em todo a ∈ M.
Teorema 4.13. Sejam (M,d1) e (N, d2) dois espaços gf-métricos de Hausdorff e f : M −→
N uma função. Se f é gf-contínua em a ∈ M e xné uma sequência em M tal que xn−→ a,
então f (xn) −→ f (a).
Demonstração. Dado ˜0 ≺≺ R, existe ˜0 ≺≺ D tal que d(a,x) ≺≺ D ⇒ d( f (a), f (x)) ≺≺ R. Como xn−→ a, existe n0∈ N tal que n > n0⇒ d(xn, a) ≺≺ D, logo d( f (xn), f (a)) ≺≺
R, ou seja, f (xn) −→ f (a).
Definição 4.17. Seja (M,d) um espaço gf-métrico de Hausdorff. Uma função T : M −→ M é dita ser umagf-contração se existir K ∈ G, com K ≺≺ ˜1, tal que d(T (x),T (y)) K ⊙ d(x,y).
Observação 4.9. Note que se K ≺≺ ˜1, então existe 0 < r < 1 tal que kα< r, para todo
α ∈ (0, 1].
Proposição 4.14. Seja (M,d) um espaço gf-métrico de Hausdorff e T : M −→ M uma função. Se T é uma gf-contração, então T é gf-contínua.
Demonstração. Seja a ∈ M. Como T é uma gf-contração, tem-se d(T (x),T (y)) d(x,y), para todo x,y ∈ M. Assim, dado ˜0 ≺≺ R, tome D = R e suponha que d(a,x) ≺≺ D = R. Assim, d(T (a),T (x)) d(a,x) ≺≺ D = R ⇒ d(T (a),T (x)) ≺≺ R, portanto, T é gf- contínua em qualquer a ∈ M e assim, T é gf-contínua.
Abaixo, um teorema de ponto fixo bastante similar ao teorema clássico de Banach é provado. A demonstração deste teorema segue passos muito similares a demonstração do teorema clássico, o que é possível graças a maneira como é obtida uma topologia partindo-se de uma gf-métrica abordada como uma i-métrica.
Teorema 4.14 (Teorema do Ponto Fixo). Seja (M,d) um espaço gf-métrico de Hausdorff completo e T : M −→ M uma gf-contração. Sendo assim, T tem um único ponto fixo.
Capítulo 4. i-Distâncias
Demonstração. Tome x0∈ M e defina xnpor x1= T (x0) e xn+1= T (xn). Assim, d(x2, x1) =
d(T (x1), T (x0)) K ⊙ d(x1, x0), d(x3, x2) = d(T (x2), T (x1)) K ⊙ d(x2, x1) K ⊙ (K ⊙
d(x1, x0)) = K2⊙ d(x1, x0), etc.. Em geral, tem-se
d(xn+1, xn) Kn⊙ d(x0, x1). (4.3)
Dados m,n ∈ N, com m > n, usando a desigualdade triangular e (4.3) obtem-se: d(xm, xn) d(xn, xn+1) ⊕ d(xn+1, xn+2) ⊕ . . . ⊕ d(xm−1, xm) (Kn⊙ d(x1, x0)) ⊕ (Kn+1⊙ d(x1, x0)) ⊕ . . . ⊕ (Km−1⊙ d(x1, x0)) = Kn⊕ . . . ⊕ Km−1⊙ d(x1, x0), então d(xm, xn) Kn⊕ . . . ⊕ Km−1⊙ d(x1, x0) (4.4)
Considere r > 0 como na observação 4.9.
Se Kα= [kα, kα], para todo α ∈ (0, 1], então Kαn= [kαn, kαn], logo:
Kn⊕ . . . ⊕ Km−1α = "m−1
∑
i=n kαi, m−1∑
i=n kαi # ≤km "m−1∑
i=n ri, m−1∑
n=1 ri # . (4.5)Desde que a série ∑rn é convergente (séries geométricas com razão menor que 1 são
convergentes), dado ε > 0, existe n0∈ N tal que m > n > n0⇒ ∑m−1i=n kαi≤ ∑m−1i=n kαi≤
∑m−1i=n ri< ε, para todo α ∈ (0, 1], logo "m−1
∑
i=n kαi, m−1∑
i=n kαi # ≤km[ε, ε], para todo α ∈ (0, 1]. (4.6)Como supp d(x1, x0) é limitado, existe l > 0 tal que 0 < λα(x1, x0) ≤ ρα(x1, x0) < l, para
todo α ∈ (0,1], onde (d(x1, x0))α= [λα(x1, x0), ρα(x1, x0)].
Capítulo 4. i-Distâncias
Assim, existe n0∈ N tal que:
m > n > n0 ⇒ Kn⊕ Kn+1⊕ . . . ⊕ Km−1α ≤km [ε, ε] ⇒ Kn⊕ Kn+1⊕ . . . ⊕ Km−1α · [λα(x1, x0), ρα(x1, x0)] ≤km [ε, ε] · [λα(x1, x0), ρα(x1, x0)] (4.7) Assim, tem-se Kn⊕ . . . ⊕ Km−1⊙ d(x 1, x0)α≤km[ελα(x1, x0), ερα(x1, x0)], para todo α ∈ (0, 1], ou seja, Kn⊕ . . . ⊕ Km−1⊙ d(x1, x0) [ε, ε] ⊙ d(x1, x0). (4.8)
Note que λα(x1, x0) < l ⇒ ελα(x1, x0) < εl <2ldl =d2, assim, de rα> d segue que rα−d2> d
2 ⇒ rα− ελα(x1, x0) > d2. Analogamente, mostra-se que rα− ερα(x1, x0) > d2. Assim,
pode-se concluir que [ελα(x1, x0), ερα(x1, x0)] ≺≺ R, logo, para todo m > n > n0, tem-se
d(xm, xn) Kn⊕ Kn+1⊕ . . . ⊕ Km−1⊙ d(x1, x0)
[ε, ε] ⊙ d(x1, x0)
≺≺ R.
Dessa forma, xn é uma sequência gf-Cauchy. Como o espaço gf-métrico de Hausdorff
(M, d) é completo, então xn é convergente. Seja a ∈ M tal que xn−→ a. Como T é gf-
contínua, segue que T (xn) −→ T (a), mas, T (xn) = xn+1, então T (xn) −→ a. Assim, como
o limite de xné único, tem-se T (a) = a, ou seja, a é um ponto fixo de T .
Agora, suponha que x,y ∈ M e T (x) = x, T (y) = y, com x 6= y. Segue que: d(x,y) = d(T (x),T (y)) K ⊙ d(x,y) ≺ d(x,y)
⇒ d(x, y) ≺ d(x, y), o que é uma contradição. Portanto, o ponto fixo deve ser único.
4.5.3 Espaços de Continuidade
Nesta seção será mostrado que as duas versões de espaços de continuidade são casos particulares de i-quasi-pseudométricas. Seja (X,d,V,P) um espaço de continuidade no
Capítulo 4. i-Distâncias
sentido de [Kopperman 1988] (ver seção 3.4). Da definição de semi-grupo de valoração, segue que hV,≤,0i é um semireticulado inferior. Defina a relação ≪ por a ≪ b ⇔ a+r ≤ bpara algum r ∈ P.
Lema 4.1. Se a ≤ b e c ≤ d, então a + b ≤ c + d.
Demonstração. Da definição da ordem ≤, segue que existem x,y ∈ V tais que a + x = b e c + y = d, logo (a + x) + (c + y) = b + d ⇒ (a + c) + (x + y) = b + d ⇒ a + c ≤ b + d. Proposição 4.15. ≪ é uma relação semi-auxiliar para ≤.
Demonstração. Suponha a ≪ b. Assim, existe r ∈ P tal que a + r ≤ b. Existe y ∈ V tal que (a + r) + y = b e pela associatividade de +, temos a + (y + r) = b ⇒ a ≤ b.
Agora, suponha a ≤ b ≪ c ≤ d. Existe r ∈ P tal que b + r ≤ c. Basta mostrar que a + r ≤ d. De fato, a ≤ b e r ≤ r, logo, do lema anterior, tem-se a + r ≤ b + r e, como b + r ≤ c e c ≤ d, segue que a + r ≤ d.
Pela definição de conjunto de positivos, tem-se que se a,b ∈ P, então a ∧ b ∈ P. Além disso, se r ∈ P e r ≤ s, então s ∈ P. Dessa forma, segue o seguinte resultado.
Proposição 4.16. Se a ≪ b, então b ∈ P.
Demonstração. Existe r ∈ P tal que a + r ≤ b, logo, existe x ∈ V tal que (a + r) + x = b ⇒ r + (a + x) = b ⇒ r ≤ b ⇒ b ∈ P.
Note que 0 ≪ r, para todo r ∈ P (de fato, 0 + r ≤ r). Desta proposição, segue que se a,b ∈ V são tais que 0 ≪ a e 0 ≪ b, então a,b ∈ P, logo a ∧ b ∈ P ⇒ 0 ≪ a ∧ b, o que significa que a estrutura hV,≤,≪,0i possui menor elemento separável. Portanto, esta estrutura é uma VID.
Teorema 4.15. Se (X,d,V,P) é um espaço de continuidade, então d : X × X −→ V é uma i-quasi-pseudométrica relativa à VID hV,≤,≪,0i.
Demonstração. A primeira condição é idêntica para i-quasi-pseudométricas e funções de continuidade. Para a segunda condição, suponha d(a,b) ≪ ε, para algum ε ∈ V tal que 0 ≪ ε. Dessa forma, existe r ∈ P tal que d(a,b) + r ≤ ε. Tome δ = r
2. Assim, δ ∈ P ⇒ 0 ≪ δ. Suponha d(b,c) ≪ δ = r 2⇒ d(b, c) ≤ r 2. Como d(a,b) + r 2+ r 2= d(a, b) + r ≤ ε, então d(a,b) +r 2≪ ε. Portanto: d(a,c) ≤ d(a,b) + d(b,c) ≤ d(a, b) +r 2 ≪ ε ⇒ d(b, c) ≪ ε.
Capítulo 4. i-Distâncias
Em [Kopperman 1988], o autor propôs uma topologia gerada a partir de um espaço de continuidade (X,d,V,P) baseada em bolas fechadas B(a,r) = {x ∈ X; d(a,x ≤ r}, com r ∈ P. A topologia gerada por d enquanto i-distância é baseada em bolas abertas do tipo B(a,r) = {x ∈ X; d(a,x) ≪ r}, onde 0 ≪ r (ou seja, r ∈ P). Sendo assim, para que a topologia proposta pelo autor gerada por d seja a mesma gerada por d enquanto i-distância, a relação semi-auxiliar deve ser tal que a ≪ b sempre que a ≤ b e b ∈ P, logo, se r ∈ P, tem-se r ≪ r. No exemplo abaixo, será mostrado que nessas condições uma função de continuidade d pode não ser uma i-quasi-pseudométrica.
Exemplo 4.11. Seja d : R × R −→ [0,+∞] a métrica euclidiana em R. A estrutura ([0, +∞], ≤, +, 0), onde ≤ e + são usuais, é um semigrupo de valoração e o conjunto P = (0,+∞] é um conjunto de positivos. Considere uma relação semi-auxiliar tal que se a ∈ P, então a ≪ a e 0 ≪ a, para todo a ∈ P. A estrutura (R,d,[0,+∞],(0,+∞]) é um espaço de continuidade, mas a função d não é uma i-quasi-pseudométrica. De fato, d(1,2) = 1 ≪ 1 e 0 ≪ 1. Dado δ tal que 0 ≪ δ, temos δ > 0. Assim, d(2,2+δ
2) = δ 2≪ δ, mas d(1,2 +δ 2) = 1 + δ
2 6≪ 1, logo, d não é uma i-quasi-pseudométrica relativa à VID h[0, +∞], ≤, ≪, 0i.
Para a segunda versão ([Flagg e Kopperman 1997]), considere o co-quantale de va- loração
V
= (V, ≤, +). No próprio artigo foi mostrado que a relação “bem acima"≪satisfaz:
i) a ≪ b ⇒ a ≤ b;
ii) Se a ≤ b ≪ c ≤ d, então a ≪ d.
Ou seja, ≪ é uma relação semi-auxiliar para ≤. A definição de reticulado distributivo de valoração assegura que se 0 ≪ a e 0 ≪ b, então 0 ≪ a ∧ b. Portanto, hV,≤,≪,0i é uma VID.
Teorema 4.16. Se d : X × X −→ V é uma
V
-função de continuidade, então d é umai-quasi-pseudométrica relativa à VID hV,≤,≪,0i.
Demonstração. A primeira condição é a mesma para os dois conceitos. Suponha d(a,b) ≪ ε para algum ε ∈ V com 0 ≪ ε. Pelo teorema 2.10 de [Flagg e Kopperman 1997], existe δ ∈ V com 0 ≪ δ tal que d(a, b) + δ ≪ ε. Suponha que d(b, c) ≪ δ ⇒ d(b, c) ≤ δ. Segue
Capítulo 4. i-Distâncias
que:
d(a,b) ≤ d(a,b) + d(b,c) ≤ d(a, b) + δ ≪ ε ⇒ d(a, c). ≪ ε
Os autores também propuseram uma topologia gerada por um
V
-espaço de continui-dade a qual é a mesma gerada por d enquanto i-quasi-pseudométrica. Com isso, tem-se que i-quasi-pseudométricas podem gerar as topologias de Scott e Lawson.