Emme Yaşı

Existem duas versões do conceito de espaços de continuidade. A primeira foi proposta em [Kopperman 1988] e a segunda em [Flagg e Kopperman 1997]. A primeira versão é apresentada nas definições abaixos:

Definição 3.9. Um monoide abeliano (V,+,0) que possui um elemento de absorção ∞ 6= 0 (x + ∞ = ∞) é chamado semigrupo de valoração quando satisfaz:

i) Se x + a = b e b + y = a, então a = b (com isso, define-se uma ordem parcial em V pondo a ≤ b se, e somente se, b = a + x, para algum x ∈ V );

ii) Para cada a, existe um único b (denotado por a/2) tal que b + b = a; iii) V é um semireticulado inferior quando considerada a ordem ≤; iv) (a ∧ b) + c = (a + c) ∧ (b + c).

Definição 3.10. Um subconjunto P de um semigrupo de valoração V é chamado conjunto de positivos quando satisfaz:

i) Se r,s ∈ P, então r ∧ s ∈ P; ii) Se r ∈ P e r ≤ a, então a ∈ P; iii) Se r ∈ P, então r/2 ∈ P;

iv) Se a ≤ b + r, para todo r ∈ P, então a ≤ b.

Um semigrupo de valoração generaliza o conjunto R dos números reais em vários aspectos relevantes do ponto de vista da teoria dos espaços métricos usuais. A partir destas duas definições, segue a definição dos espaços de continuidade.

Definição 3.11. Um espaço de continuidade é uma quádrupla (X,d,V,P), na qual X é um conjunto não-vazio, V é um semigrupo de valoração, P é um conjunto de positivos em V e d: X × X −→ V é uma função satisfazendo:

Capítulo 3. Estado da Arte

i) d(x,x) = 0;

ii) d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z).

Esta função d recebe o nome defunção de continuidade.

No artigo [Kopperman 1988] foi mostrado que dado um espaço de continuidade (X,d,V,P), pode-se obter uma topologia em X de modo semelhante a topologia gerada por uma mé- trica, com aúnica diferença sendo que, neste caso, são usadas bolas fechadas no lugar das bolas abertas. Neste mesmo artigo, foi mostrado que toda topologia é gerada por uma função de continuidade.

A segunda versão do conceito de espaço de continuidade se baseia nas seguintes defi- nições.

Definição 3.12. Um reticulado completo (V,≤) é dito ser completamente distributivo se para qualquer família {xi, j; i ∈ I, j ∈ Ji} de elementos de V satisfaz:

inf

i∈Isup_j∈Jixi, j= sup_{f ∈F}infi∈Ixi, f (i),

onde F é o conjunto das funções escolha que associam a cada índice i ∈ I um índice f (i) ∈ Ji.

Definição 3.13. Um reticulado completo (V,≤) no qual está definida uma operação bi- nária + que é comutativa e associativa é chamado co-Quantale quando satisfaz:

i) p + 0 = p, para todo p ∈ V ;

ii) Se {qi}i∈I é uma familía qualquer de elementos de V , então p + infi∈Iqi= infi∈I(p +

q), para todo p ∈ I.

Em [Flagg e Kopperman 1997] a estrutura definida acima recebeu o nome de quantale, e foi mencionado que esta denominação nao era padrão, pois na definição encontrada em [Abramsky e Vickers 1993] a distributividade de + era em relação ao sup e não ao inf. O termo co-quantale foi usado em [Heitzig 2003].

Em um reticulado completo (V,≤) é definida a relação “bem acima” dizendo que y está bem acima de x, o que é denotado por x ≪ y, quando em cada subconjunto A de V com inf A ≤ x, tem-se r ≤ y para algum r ∈ A.

Definição 3.14. Um reticulado distributivo de valoração é um reticulado completa- mente distributivo (V,≤) satisfazendo:

Capítulo 3. Estado da Arte

ii) Se0 ≪ p e 0 ≪ q, então 0 ≪ p ∧ q.

Definição 3.15. Um co-quantale de valoração é um co-quantale (V,≤,+) tal que (V,≤) é um reticulado distributivo de valoração.

Usando a notação

V

_{para um co-quantale de valoração (V,≤,+), a segunda versão de}

espaço de continuidade é apresentada abaixo:

Definição 3.16. Um

V

_{-espaço de continuidade é um par (X,d) onde X é um conjunto}

não-vazio e d: X × X −→ V é uma função satisfazendo: i) d(x,x) = 0

ii) d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z).

Com base em um

V

_{-espaço de continuidade (X,d) é possível obter uma topologia em}

X também de maneira muito similar ao que é feito no caso de espaços métricos, sendo que aqui as bolas abertas são definidas com base na relação ≪ da seguinte forma: se ε ∈ V é tal que 0 ≪ ε e x ∈ X, então a bola aberta de centro x e raio ε é o conjunto B(x,ε) = {y ∈ X; d(x,y) ≪ ε}.

Nas duas versões de espaços de continuidade as funções distância d poderiam ser chamadas de quasi-pseudométricas generalizadas devido às suas condições serem idên- ticas as condições de quasi-pseudométricas. Dessa forma, também tem-se a noção de

V

-espaço de continuidade conjugados (como no caso usual), bastando definir a função

dpor d(a,b) = d(b,a) e também a função q(a,b) = d(a,b) ∨ d(a,b) que seria algo como uma pseudo-métrica generalizada. Em [Flagg e Kopperman 1997], foi mostrado que em um caso particular de ⊑-espaço de continuidade (X,d), a topologia gerada pelo espaço conjugado (X,d) é a topologia de Scott e a topologia gerada por q é a de Lawson, as quais são topologias muito usadas pelos teóricos da computação (para maiores detalhes sobre topologia e computação, veja [Scott 1970] e [Gierz et al 2003]).

Capítulo 4

i-Distâncias

Neste capítulo será introduzida uma nova proposta de generalização do conceito de distância, a qual é feita com base em uma modificação do conjunto de valoração das fun- ções distÂncia. Tais generalizações serão chamadsa de i-distâncias (i-métrica, i-quasi- métrica, i-pseudo-métrica e i-quasi-pseudométrica) já que a motivação inicial para esta proposta vem da idéia de distância intervalar. Para formular esta noção, são necessários alguns novos conceitos em teoria da ordem, os quais serão introduzidos nesta tese, tais como relação semi-auxiliar, conjunto ordenado com menor elemento separável e Valora- ção de i-Distância (VID). Depois, será apresentada tal proposta com alguns exemplos e será mostrado como tal noção de distância gera uma topologia de maneira bastante natu- ral.

4.1 Valoração de i-Distâncias

Nesta seção será feita a construção do espaço que será usado como contra-domínio das funções distância propostas neste trabalho. Para isso, serão necessários alguns conceitos novos em teoria da ordem. O primeiro deles é apresentado abaixo.

Definição 4.1. Seja ≤ uma ordem em A. Uma relação binária R em A é uma relação semi-auxiliar para≤ quando:

1. Se aRb, então a ≤ b;

2. Se a ≤ b, bRc e c ≤ d, então aRd.

Esta definição é muito semelhante à definição de relação auxiliar (veja [Gierz et al 2003]), a qual requer adcionalmente que, no caso de conjuntos com menor elemento, se tenha ⊥R⊥. Os motivos para uma modificação tão sutíl (apenas uma das condições de relação auxiliar foi retirada) é o seguinte: a relação “menor estrito” não é uma relação

Capítulo 4. i-Distâncias

auxiliar quando o conjunto ordenado possui menor elemento, pois para isso deveríamos ter ⊥ < ⊥, o que não ocorre.

Proposição 4.1. Se ≤ é uma ordem parcial em A, então a relação menor estrito definida por a < b ⇔ (a ≤ b) ∧ (a 6= b) é uma relação semi-auxiliar para ≤.

Demonstração. A primeira condição segue diretamente da definição da relação menor estrito. Para provar a segunda, suponha a ≤ b, b < c e c ≤ d. Como b < c, então temos b ≤ c e pela transitividade de ≤, temos a ≤ d. Falta apenas verificar que a 6= d. Suponha a = d, assim segue da transitividade de ≤ que b = c o que contradiz a hipótese b < c. Logo, deve-se ter a 6= d e, portanto, a < d.

Proposição 4.2. Se hA,≤i é um conjunto ordenado, então a relação essencialmente abaixo ≪ é uma relação semi-auxiliar para ≤.

Demonstração. Segue diretamente do Teorema 2.1.

Observação 4.1. Se hA,≤,⊥i é um conjunto ordenado com menor elemento e ≪ é a rela- ção essencialmente abaixo, então ⊥ ≪ x, para todo x ∈ A (veja [Gierz et al 2003]). Dessa forma, tem-se ⊥ ≪ ⊥. Como ficará claro adiante, isto pode não ser muito interessante para a topologia gerada pela proposta de generalização de distância a ser intoduzida aqui. Assim, defina a relação essencialmente abaixo estrita ≪∗_{, pondo a ≪}∗_{b se, e so-}

mente se, a ≪ b e b /∈ ⊥A. Dessa forma, não pode ocorrer x ≪∗⊥, logo se ⊥ ≪∗x, então

x 6= ⊥.

Proposição 4.3. Se hA,≤i é um conjunto ordenado, então ≪∗ _{é uma relação semi-}

auxiliar para ≤.

Demonstração. Segue da definição que se a ≪∗_{b, então a ≤ b. Agora, suponha a ≤ b,}

b ≪∗ _{c e c ≤ d. Como b ≪}∗ _{c, então c 6= ⊥, logo d 6= ⊥. Como ≪ é uma relação}

semi-auxiliar, temos a ≪ d e como d /∈ ⊥A, então a ≪∗d.

Proposição 4.4. Se hA,≤i é um conjunto ordenado, então toda relação semi-auxiliar para ≤ é transitiva.

Demonstração. Seja R uma relação semi-auxiliar para ≤ e suponha aRb e bRc. Dessa forma, tem-se a ≤ b, bRc e c ≤ c, logo da segunda condição de relação semi-auxiliar segue que aRc.

Capítulo 4. i-Distâncias

Definição 4.2. Um conjunto ordenado com uma relação semi-auxiliar R, hA,≤,R,⊥i, é dito ter menor elemento separável, quando A é d-dirigido e para cada par de elementos a,b ∈ A, com ⊥Ra e ⊥Rb, existe c ∈ L{a,b}tal que ⊥Rc.

Exemplo 4.1. Nem todo conjunto ordenado com uma relação semi-auxiliar hA,≤,R,⊥i tem menor elemento separável. Por exemplo, considere em N∗_{= {1, 2, ...} a ordem par-}

cial a ≤db ⇔ a|b e sua relação <. O menor elemento de hN∗, ≤di é 1 e para a, b ∈ N∗, é

fácil ver que mdc(a,b) ∈ L{a,b}e s ≤ mdc(a,b), para todo s ∈ L{a,b}. Mas, mdc(2,3) = 1,

então a única cota inferior para {2,3} é 1.

Por outro lado, se hA,≤,<,⊥Ai é um conjunto ordenado com menor elemento tal que

≤ é uma ordem total, então esta estrutura possui menor elemento separável. Abaixo, é definida a estrutura que servirá de valoração para as i-distâncias.

Definição 4.3 (Valoração de i-Distâncias). Uma Valoração de i-Distâncias (VID) é uma estrutura hA,≤,R,⊥i, tal que R é uma relação semi-auxiliar para ≤ e hA,≤,R,⊥i é um conjunto ordenado d-dirigido com menor elemento separável.

Exemplo 4.2. Se hA,≤,⊥i é um conjunto totalmente ordenado, então a estrutura hA,≤ , <, ⊥i é uma VID, onde < é a relação de ordem estrita. uma VID bastante natural é h[0,+∞),≤,<,0i. Esta estrutura é usada para valorar as métricas usuais (falta aí apenas a operação de adição).

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