Sosyal Medya Reklamları Ve Fenomenler

Nesta subseção provaremos as relações existentes entre as novas condições de qualificação e a Pseudonormalidade e a Quasinormalidade.

O seguinte exemplo mostra que a Pseudonormalidade não implica a condição CAKKT regular nem a condição L-AGP regular.

Exemplo 3.3.3. (Pseudonormalidade não implica CAKKT regular nem L-AGP regular).

Em R2_{, considere x}∗ _{= (0, 0)}⊤ _{e as restrições de igualdade e desigualdades dada pelas funções}

h(x1, x2) = x2− x1;

g(x1, x2) = x1− x2exp x2.

O ponto x∗ _{= (0, 0) é viável e para ambas restrições de desigualdade são ativas em x}∗_{. Já os}

gradientes são:

∇h(x1, x2) = (−1, 1)⊤ e ∇g(x1, x2) = (1,− exp x2− x2exp x2)⊤ para x = (x1, x2)⊤∈ R2.

Assim, o cone K(x∗_{) ={λ(−1, 1)}⊤_{+ µ(1,−1)}⊤_{: λ∈ R, µ ∈ R} +} = R(−1, 1)⊤é o subespaço gerado pelo vetor (−1, 1). Pseudonormalidade vale em x∗ _{= (0, 0)}⊤_. Claramente, ∇g(x∗_{) = −∇h(x}∗_{) = (−1, 1)}⊤_{. Se µ∇g(x}∗_{) + λ∇h(x}∗_{) = (0, 0)}⊤ _{para µ ∈ R} + e

λ∈ R não nulos, devemos ter que µ = λ > 0. Suponha, por contradição, que existe uma sequência (xk

1, xk2) → (0, 0)⊤, tal que λh(xk1, xk2) + µg(xk1, xk2) > 0 para todo k ∈ N. Assim, λh(xk1, xk2) +

µg(xk

1, xk2) = µ(xk2− xk1+ xk1− xk2exp xk2) = µ(xk2− xk2exp xk2) > 0 implica que x2> x2exp x2 para

todo k ∈ N, mas isso é impossível, porque não existe x2 6= 0 tal que x2 > x2exp x2. Portanto,

Pseudonormalidade vale em x∗_.

A condição CAKKT regular não vale em x∗ _{= (0, 0)}⊤_.

Escolha xk

1 := 1/k, xk2 := xk1, µk:=−(1−exp xk2−xk2exp x2k)−1 e λk:= 2−µk(− exp xk2−xk2exp xk2).

Defina

ωk:= λk(_{−1, 1)}⊤+ µk(1,_{− exp x}k_{2− x}k₂exp xk₂)⊤. Provaremos que ωk_{→ (−3, 2)}⊤_{, r}k_:=|λk_h(xk

1, xk2)| + |µkg(xk1, x2k)| → 0 e ωk∈ KC(xk, rk)∀k ∈ N.

Das escolhas temos que µk _{≥ 0, ω}k

2 = λk+ µk(− exp xk2 − xk2exp xk2) = 2 e ω1k = −λk + µk =

−2 + µk_{(1− exp x}k

2 − xk2exp xk2) = −3. Assim, temos que limk→∞ωk → (−3, 2)⊤. Além disso, a

sequência rk _{converge para zero:}

rk=|λk_(xk 1− xk2)| + |µk(x1k− xk2exp xk2)| = |x k 2− xk2exp xk2| |1 − exp xk 2− xk2exp xk2| → 0. Dessa forma, ωk_{= (−3, 2)}⊤_{∈ K}

C(xk, rk)∀k ∈ N e portanto (−3, 2)⊤∈ lim sup(x,r)→(x∗_,0)K_C(x, r)

mas (−3, 2)⊤ _{não pertence a K(x}∗_{) = R(−1, 1)}⊤ _{e a condição CAKKT regular falha.}

A condição L-AGP não vale em x∗ _{= (0, 0).}

Calculemos o conjunto das restrições lineares. Uma vez que a única restrição linear é dada por h(x1, x2) = x2− x1 temos que ΩL={(x1, x2)⊤∈ R2 : x1= x2}.

Defina xk

1 := 1/k, xk2 := xk1, ε1k := −(xk2 − xk2exp x2k)(1− exp xk2 − xk2exp x2k)−1, εk2 := εk1 e os

multiplicadores µk_{:=−(1 − exp x}k

2− xk2exp xk2)−1 e λk:= 2− µk(− exp xk2− xk2exp xk2). Com essas

escolhas defina

ωk:= λk(−1, 1)⊤_{+ µ}k_{(1,− exp x}k

2− xk2exp xk2)⊤.

Mostraremos que ωk _{∈ N}

ΩN L(xk,∞)∩ΩL(x

k_+εk_{) para todo k∈ N. Claramente, x}k_{e x}k_+εk_pertencem

a ΩL, µk≥ 0, εk→ (0, 0)⊤e ωk= (−3, 2)⊤ ∀k ∈ N. Para provar que ωk∈ NΩN L(xk,∞)∩ΩL(x

k_{+ ε}k₎

só falta provar que a escolha do multiplicador µk _{é livre. Como x}k

1 − xk1exp xk1 < 0 para x1 6= 0,

temos que g(xk

g(x1, xk2) +h∇g(xk1, xk2), (ε1k, εk2)i = 0, mas pela escolha de εk = (εk1, εk2)⊤

g(x1, xk2) +h∇g(xk1, x2k), (εk1, εk2)⊤i = xk2 − xk2exp xk2+ εk1 + εk2(− exp xk2− xk2exp xk2)

= xk_{2 − x}k₂exp xk₂+ ε₁k(1_{− exp x}k_{2− x}k₂exp xk₂) = 0. Portanto podemos escolher µk _{=−(1 − exp x}k

2− xk2exp xk2)−1 como multiplicador de ∇g(xk1, xk2) e

como consequência ωk_{= (−3, 2)}⊤_{∈ N} ΩN L(xk,∞)∩ΩL(x k_{+ ε}k_{). Logo (−3, 2)}⊤_{= lim} k→∞ωk pertence a lim sup_(x,ε)→(x∗_,0),x∈Ω LNΩN L(x,∞)∩ΩL(x + ε) mas (−3, 2) ⊤ _{∈ K(x/} ∗_{) e consequentemente a condi-}

ção L-AGP regular falha.

Como Pseudonormalidade implica a Quasinormalidade, do exemplo anterior concluímos que a Quasinormalidade não pode implicar a condição CAKKT regular nem a condição L-AGP regular.

Seguindo a mesma argumentação, para provar que CAKKT regular e L-AGP regular são in- dependentes da Pseudonormalidade e da Quasinormalidade será suficiente provar que a condição CAKKT regular e a condição L-AGP regular não implicam a Quasinormalidade. O seguinte exemplo cumpre esse objetivo.

Exemplo 3.3.4. A condição CAKKT regular e L-AGP regular não implica a Quasinormalidade Considere x∗ _{= (0, 0)}⊤ _{e as restrições de igualdade e desigualdade definidas por}

h(x1, x2) = x1;

g1(x1, x2) = x31;

g2(x1, x2) = x1exp x2.

Claramente, x∗ _{é viável e ambas restrições são ativas em x}∗_{. Para todo x = (x}

1, x2) ∈ R2, os

gradientes são

∇h(x1, x2) = (1, 0)⊤ ∇g1(x1, x2) = (3x21, 0)⊤ e ∇g2(x1, x2) = (exp x2, x1exp x2)⊤.

Assim, o cone K(x∗_{) ={λ(1, 0)}⊤_{+ µ}

1(0, 0)⊤+ µ2(1, 0)⊤, λ∈ R, µ1 ≥ 0, µ2 ≥ 0} = R × {0}.

A condição CAKKT regular é satisfeita em x∗_.

Seja ω∗ _{∈ lim sup}

(x,r)→(x∗_,0)K_C(x, r). Da definição de limite exterior, existem sequências{xk}, {rk}

e {ωk_{} com x}k_{= (x}k

1, xk2)⊤→ x∗= (0, 0)⊤, ωk= (ω1k, ω2k)⊤→ ω∗ tais que

ωk = λk(1, 0)⊤+ µk₁(3(xk₁)2, 0)⊤+ µk₂(exp(xk₂), xk₁exp xk₂)⊤_{∈ K}C(xk, rk) (3.3.11)

e

|λkxk_{1| + |µ}k₁(xk₁)3_{| + |µ}k₂xk₁exp xk₂)_{| ≤ r}k_{→ 0,} (3.3.12) para certos escalares λk_{, µ}k

1 e µk2 com µk1 ≥ 0 e µk2 ≥ 0. Das expressões (3.3.11) e (3.3.12) temos

que |ωk

2 = µk2xk1exp xk2| ≤ rk. Assim ω2k → 0. Claramente, ωk1 = λk+ 3µk1(xk1)2 ∈ R, portanto

ω∗_{= lim}

k→∞ωk∈ R × {0} e a condição CAKKT vale em x∗.

A condição L-AGP regular vale em x∗_.

Calculemos ΩL. Como a única restrição linear é dada pela função h (restrição de igualdade) temos

que

ΩL={x = (x1, x2)⊤∈ R2: h(x) = 0} = {x = (x1, x2)∈ R2 : x1 = 0} = {0} × R.

Vamos provar que N_{ΩN L(x,−∞)∩ΩL}(x + ε) é semicontínua exteriormente em (x∗_{, 0) relativamente a}

ΩL× R2. Seja ω∗ = (ω1, ω2)⊤ ∈ lim sup NΩN L(x,−∞)∩ΩL(x + ε) relativamente a ΩL× R

2_{. Então, da}

definição de limite exterior, existem sequências {xk_{}, {ω}k_{} e {ε}k_{} em R}2 _{tais que x}k _{→ x}∗_{, ε}k _→

(0, 0), ωk → ω∗ _e

xk_{∈ Ω}L , xk+ εk∈ ΩN L(xk,−∞) ∩ ΩL , ωk∈ NΩN L(xk,−∞)∩ΩL(x

k_{+ ε}k_).

Para provar que ω∗ _{∈ N}

ΩN L(x∗,−∞)∩ΩL(x

3.3 RELAÇÕES COM AS CONDIÇÕES DE QUALIFICAÇÃO CONHECIDAS. 51 Como xk _{∈ Ω}

L e xk+ εk ∈ ΩL temos que xk1 = 0 e εk1 = 0 e como consequência g1(xk1, xk2) = 0 e

g2(xk1, xk2) = 0 para todo k∈ N. Percebamos que independentemente do valor de εk2 temos que

h∇g1(xk1, xk2), (εk1, εk2)⊤i = 0 e h∇g2(xk1, xk2), (εk1, εk2)⊤i = 0,

pois quando xk

1 = εk1 = 0 temos que

h∇g1(xk1, xk2), (εk1, εk2)⊤i = ε1k(3(xk1)2) + εk2(0) = 0.(3(xk1)2) + εk2.0 = 0

e

h∇g2(xk1, xk2), (εk1, εk2)⊤i = εk1(exp xk2) + εk2(xk1exp xk2) = 0. exp xk2+ εk2.0 = 0.

Assim, existem µk

1 ≥ 0, µk2 ≥ 0 (não necessariamente nulos) tais que

ωk= λk_∇h(xk₁, x₂k) + µk_1∇g1(xk1, x2k) + µk2∇g2(xk1, xk2)∈ NΩN L(xk,−∞)∩ΩL(x

k_{+ ε}k_).

Já que xk

1 = 0 temos que ∇h(x1, x2) = (1, 0)⊤, ∇g1(xk1, xk2) = (0, 0)⊤ e ∇g2(xk1, xk2) = (exp xk2, 0)⊤.

Assim, ωk

2 = 0 para todo k ∈ N. Como consequência ω∗ = limk→∞ωk ∈ R×{0} = K(x∗), provando

que a condição de qualificação L-AGP é satisfeita em x∗ _{= (0, 0)}⊤_.

A Quasinormalidade não vale em x∗_.

Para cada k ∈ N, defina xk

1 := 1/k, xk1 := xk2, λ := 0, µ1 := 1 e µ2 := 0. Com essas esco-

lhas temos que λ∇h(x∗_{) + µ}

1∇g1(x∗) + µ2∇g2(x∗) = 0.(1, 0)⊤+ 1.(0, 0)⊤+ 0.(1, 0)⊤ = (0, 0) e

µ1g1(xk1, x2k) = (xk1)3> 0 para todo k∈ N. Assim, a Quasinormalidade falha em x∗.

A Figura 3.7 mostra os resultados obtidos nessa seção. Oferecemos o panorama mais completo de condições de qualificação com claras implicações algorítmicas.

LICQ CRCQ MFCQ RCRCQ CLPD RCLPD Pseudonormalidade CRSC CPG Quasinormalidade Abadie Condição CCP AGP regular

SAKKT regular L-AGP regular CAKKT regular

Guignard

Figura 3.7: Relações das novas condições de qualficação (CCP, AGP regular, SAKKT regular, CAKKT regular e L-AGP regular) com as CQs conhecidas na literatura.

Capítulo 4

Condição Sequencial de Segunda Ordem

AKKT2 e condições de qualificação

As condições sequenciais de otimalidade têm demonstrado ser uma ferramenta útil no estudo de algoritmos práticos. Por exemplo, têm sido usadas na análise global de convergência de algoritmos, como os métodos de lagrangiano aumentado, os métodos de restauração inexata, e alguns métodos de programação quadrática sequencial sob condições de qualificação bem mais fracas que as usuais, como a condição CPLD ou a condição CPG (ver (AHSS12a, AHSS12b)). Além disso, elas fornecem um fundamento teórico dos diferentes critérios de parada associados a algoritmos práticos e têm servido como modelo no desenho de novos algoritmos práticos, (BHM14, BBM15).

Sob esse paradigma, gostaríamos de definir condições sequenciais de otimalidade apropriadas para o estudo de algoritmos com convergência a pontos estacionários de segunda ordem, que de- sempenhem o mesmo papel de unificação que desempenha AKKT, e outras condições sequenciais de primeira ordem, na análise de convergência de muitos algoritmos.

Muitos algoritmos com convergência a pontos estacionários de segunda ordem (i.e. pontos onde WSONC vale) têm sido propostos na literatura. Andreani, Birgin, Martinez e Schuverdt (ABMS10), ver também (AMS07), usaram um método de curvatura negativa de segunda ordem para minimi- zação em caixas aplicados a certa classe de funções que não possuem segundas derivadas contínuas. Byrd, Schnabel e Shultz (BSS87) propuseram um método de programação quadrática sequencial (SQP), no qual a convergência a pontos estacionários de segunda ordem é obtida usando correções de segunda ordem. Coleman, Liu e Yuan (CLY02) usaram também um método SQP com uma fun- ção de penalidade quadrática para minimização com restrições de igualdade. Conn, Gould, Orban e Toint (CGOT98) utilizaram um método de barreira logarítmica para problemas de minimização com desigualdades e com restrições de igualdades lineares. Di Pillo, Lucidi e Palagi (DLP05) defi- niram um algoritmo primal-dual para problemas de minimização com restrições de desigualdades e tomaram vantagem da equivalência entre o problema original com restrições e a minimização sem restrições de uma função lagrangiano aumentado. Eles usaram uma técnica de busca curvilinear usando a informação sobre a não convexidade dessa função de lagrangiano aumentado. Facchinei e Lucidi (FL98) usaram direções de curvatura negativa no contexto de minimização com restrições de desigualdades. Recentemente, Gill, Kungurtsev e Robinson em (GKR13) utilizaram uma variante do método SQP, o método SQP regularizado definido em (GR13). Esse método é baseado em uma busca linear flexível junto com uma direção definida através de uma solução de um subproblema de programação quadrática de uma função estritamente convexa e, quando existe, uma direção de curvatura negativa para certo lagrangiano aumentado primal-dual. Em (MP03), Morguerza e Prieto usaram um algoritmo de pontos interiores para problemas não convexos juntamente com direções de curvatura negativa. A convergência a pontos estacionários de segunda ordem para métodos de regiões de confiança com restrições convexas é estudada em detalhes por Conn, Gould e Toint em (CGT00).

Nossa contribuição neste capítulo é introduzir a primeira condição sequencial de otimalidade que tem em consideração não só a informação de primeira ordem mas também a informação de

segunda ordem, está condição é chamada de AKKT2 (second-order approximate KKT condition). Na seção 4.1, definiremos a condição AKKT2 e mostraremos que AKKT2 é uma genuína condição de otimalidade e que vários algoritmos com convergência a pontos estacionários de segunda ordem geram sequências cujo pontos limites cumprem esta condição. Está condição de otimalidade é forte, no sentido, que ela implica a proposição (2.0.14) para CQ mais fracas que a condição de qualificação LICQ. Na seção 4.2 definimos uma nova condição chamada CCP2, qual é a CQ mínima associada à AKKT2 e na seção 4.3 e mostramos as relações existentes entre CCP2 e outras CQs conhecida na literatura, como por exemplo MFCQ+WCR, RCRCQ e a condição de Baccari-Trad. Na última seção, seção 4.4, fornecemos outro motivo do porque WSONC é a condições de segunda ordem adequada quando analisamos o comportamento de algoritmos. Ver (AHRS15).

Para terminar, destacamos o seguinte lema de grande utilidade nas demonstrações deste capítulo. Lema 4.0.7. (Ber82) Sejam P _{∈ Sym(n) e vetores a}1, . . . , ar ∈ Rn. Defina o seguinte subespaço

C := {d ∈ Rn _{: ha}

j, di = 0 para todo j ∈ {1, . . . , r}}. Suponha que P (v, v) > 0 para todo v ∈ C.

Então, existem{cj ∈ R+, j∈ {1, . . . , r}} tais que P +Pj=1r cjajaTj ≻ 0.

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