Iniciamos com a constatação de que a última coluna do Quadro 2 não está preenchida, pois os autores da Coleção E (2002) afirmam que se deve introduzir função de maneira informal e dedicam três páginas ao assunto. Essa coleção não é um projeto completo; é apenas um esboço, uma vez que traz recomendações para que o professor o complete, utilizando qualquer outro material didático. Ela tem sido distribuída, pelo poder público, aos professores que têm sob sua responsabilidade as classes de alunos repetentes, as chamadas classes de Correção de Fluxo, da Rede Estadual de Ensino do Estado de São Paulo.
A primeira atividade relativa ao assunto, constante na Coleção E (2002, v.2, p.43), sob o título Tiras de expressão, parte de uma brincadeira, com apelo à oralidade do aluno e ao trabalho em duplas. No texto, o professor entrega secretamente a um dos alunos da dupla uma tira de papel, contendo uma das dez frases: indique o dobro do número; indique o sucessor do número; indique o quadrado do número menos um; indique o triplo do número mais um; indique o número mais cinco; indique o quadrado do número; indique o dobro do número menos um; indique quatro vezes o número menos um.
O aluno da dupla que ficou sem a tira propõe um número qualquer e o outro executa com esse número a operação indicada, dizendo apenas o resultado obtido. Isso deve ser repetido até que seja descoberta a instrução contida no papel. No passo seguinte, o aluno deve escrever a regra, utilizando símbolos. A seguir, a dupla começa a construir um gráfico, colocando, no eixo das abscissas, o número falado e, no eixo das ordenadas, o resultado. Trocam-se os papéis entre as duplas, até esgotar todas as possibilidades entre os alunos.
A segunda atividade correlata, inserida também na Coleção E (2002, v.2, ficha individual 4), sob o título Descubra a regra, apresenta as tarefas: descubra a regra para chegar ao número respondido, a partir de um determinado número dado; escreva uma frase e uma expressão que representa a regra. Seguem quatro situações; em cada uma, há uma seqüência de cinco números propostos e os correspondentes números respondidos.
Os autores desse material acreditam que a ação de adivinhar números possibilita uma primeira visão da perspectiva da álgebra como o estudo da relação entre duas grandezas, mas o material não trabalha com grandezas, não menciona as palavras função e variável. A dependência fica implícita na frase: “Cabe ao professor ampliar a percepção dos alunos, mostrando que a escolha dos números dados vai influenciar nos resultados das operações.” (2002, v.2, p.45).
Por outro lado, pede ao professor que introduza, caso as características da classe permitam, as noções de domínio e imagem que correspondem a números falados e aos respectivos resultados. Podemos nos perguntar qual a necessidade de introduzir essas noções, uma vez que nem a palavra função é mencionada.
A seguir, descrevemos as diferenças (ou similitudes) encontradas nos livros em relação à aderência aos critérios.
Critério1. Conceituar função em termos conjuntistas.
No livro da Coleção C (1998, p.112), sob o título “A função como relação entre dois conjuntos”, parte-se de uma situação de interdependência de duas grandezas para introduzir função como relação entre dois conjuntos, obedecendo a determinadas condições. Uma tabela com valores de medida de lado e respectivo perímetro foi formulada com base em seis desenhos de quadrados com diferentes medidas de lado. A seguir, encontra-se a afirmativa de que a tabela pode ser
representada na forma de um diagrama, utilizando dois conjuntos: A, o conjunto formado pela medida dos lados e B, o conjunto formado pelos perímetros. No diagrama, só há números e flechas ligam os elementos dos dois conjuntos, que parecem ter somente seis elementos cada um, pois são utilizados os mesmos números da tabela. Ao lado do diagrama de flechas, há um lembrete: as flechas indicam a relação e duas correspondências para lado e respectivo perímetro, com as unidades de medida (em cm). Aqui se percebe uma tentativa do autor de articular duas concepções, mas não encontramos, no Manual do Professor, uma discussão sobre isso.
Não há informação alguma sobre as limitações da representação por meio de diagramas de flechas para conjuntos infinitos nem sobre a ausência de unidades (cm) nessa representação. Os conceitos de grandeza, variação e dependência encontram-se um segundo plano e prioriza-se a correspondência:
Nessa relação, você pode notar que todos os elementos do conjunto A estão associados a um único valor do conjunto B; cada elemento do conjunto A está associado a um único valor do conjunto B. Nessas condições, dizemos que a relação entre os conjuntos A e B é uma função de A em B. Indicamos f:A→B (Livro da Coleção C, 1998, p.112)
Em seguida, é apresentada a fórmula matemática ou lei de formação da função x
4
y = . Em resumo, em uma única página, encontramos, nesta ordem, os ostensivos: desenhos de quadrados, uma tabela, o diagrama de flechas, textos e por último, a fórmula. Observamos que a notação de função f :A→B aparece somente em dois exemplos, da seguinte maneira:
1 x 2 y x y B A : f B A : f 2 = − = → →
Em primeiro lugar, notamos que a função instrumental do ostensivo f, isto é, sua capacidade de se integrar nas manipulações técnicas, tecnológicas e teóricas não está sendo utilizada. É o caso de utilizar f para calcular o valor da função em cada ponto do domínio. Em segundo lugar, a função semiótica do ostensivo f, isto é, sua capacidade de produzir um sentido, não está sendo empregada. Por exemplo, na expressão algébrica f(x)=x2, é necessário perceber que x é a variável
independente e que a cada valor de x se pode calcular o valor de f(x), que depende de x; em suma, é preciso perceber a funcionalidade.
A colocação de y debaixo de A e x debaixo de B pode causar confusão, uma vez que x é elemento do domínio A e y é elemento do contradomínio B. Além disso, o ostensivo f não aparece na definição de função, que é apresentada de maneira destacada: ”Sendo A e B dois conjuntos não-vazios, uma relação entre A e B é chamada função quando a cada elemento x do conjunto A está associado um único elemento y do conjunto B.” (LIVRO DA COLEÇÃO C, 1998, p.113)
Não é apresentada a necessidade de tarefas envolvendo diagramas de flechas ou o motivo para tal definição de função, uma vez que a noção de função já tinha sido introduzida com o estudo da interdependência de grandezas, na subseção precedente, do referido livro. O discurso para representar uma relação por meio de um diagrama de flechas, a partir de dois conjuntos numéricos A e B, discretos, e de uma lei que expressa uma relação entre A e B, é elaborado por meio de dois exemplos. Não há explicações do porquê de os conjuntos A e B terem tais elementos e não outros, ou do porquê de os conjuntos terem sido determinados arbitrariamente.
Acreditamos que a tarefa de identificar os diagramas que representam função a partir de correspondências arbitrárias não é simples. Em primeiro lugar, não há uma palavra de como surgiram tais correspondências arbitrárias, pois elas não aparecem no estudo das relações entre grandezas. Em segundo lugar, é preciso interpretar o texto da definição formal e, ao mesmo tempo, analisar o diagrama que pode apresentar uma diversidade de situações: todos os elementos de A estão ligados a algum elemento de B; há elemento de A que não está ligado a algum elemento de B; todo elemento de A está ligado a apenas um elemento de B e há elemento de A que está ligado a mais de um elemento de B.
As correspondências arbitrárias bem como os diagramas desaparecem. Retorna o conceito de variável; nesse momento, os autores enfatizam que se deve prestar atenção aos possíveis valores que as variáveis podem assumir na função. Surgem as definições de domínio e de conjunto imagem:
O conjunto de valores que a variável x pode assumir chama-se domínio da função. Vamos indicá-lo por D. O valor da variável y corresponde a um determinado valor de x chamado imagem do
número x pela função. O conjunto formado por todos os valores de y é chamado conjunto imagem da função. Vamos indicá-lo por Im. (LIVRO DA COLEÇÃO C, 1998, p.115)
Dentre as fórmulas apresentadas, algumas provêm de situações da geometria, tais como: y =3x (y indica a variável: perímetro de triângulo eqüilátero de lado de medida x), y=x2(y indica a variável: área de um quadrado de lado de medida x), ou da cinemática como a fórmula y=51x+17, em que y indica quilômetros rodados e x indica o tempo (em horas). Nesta última situação, não há indicação do significado dos números 51 (velocidade) e 17 (espaço inicial). Apesar de um discurso sobre variáveis, nos exercícios apresentados ao aluno, percebe-se o predomínio da correspondência em detrimento da variação.
Não há um só gráfico de função em toda a subseção do livro da Coleção C (1998) intitulada: A função como relação entre dois conjuntos, bem como na seguinte, denominada: Domínio e Imagem de uma função.
O livro da coleção A, de 1999, inicia o capítulo com a representação gráfica da relação entre dois conjuntos. Nesse livro, apesar da existência de informações sobre o estabelecimento de relações entre algumas ocorrências e de exemplos, como o fazer corresponder preço de uma corrida de táxi com a distância percorrida, não há uma ligação desse texto com a tarefa que segue: “Dados os conjuntos A e B e a lei de formação que descreve como um elemento x de A se relaciona com um elemento y de B, represente a relação, usando o diagrama de flechas” (LIVRO DA COLEÇÃO A, 1999, p.88). Além disso, não é explicitada uma técnica para a realização dessa tarefa.
Mais adiante, os autores apresentam, a definição de função, de domínio, de contradomínio e de conjunto imagem, nos seguintes termos:
Assim, dada uma relação de A em B, conjuntos não-vazios, diz-se que essa relação é uma função de A em B se, e somente se, cada elemento de A estiver associado a um único elemento de B [...] A função é uma relação especial e nela os conjuntos A e B recebem nomes especiais. O conjunto A recebe o nome de domínio da função e o conjunto B recebe o nome de contradomínio da função. O conjunto dos elementos de B que estão associados com elementos recebe o nome de conjunto imagem. (LIVRO DA COLEÇÃO A, 1999, p.89) Encontramos nesse livro a tarefa de identificar os diagramas que representam função a partir de correspondências arbitrárias (de A em B), onde o conjunto A é constituído de elementos genéricos identificados por x1, x2, x3, x4 e o conjunto B é
constituído de elementos genéricos identificados por y1, y2, y3, y4. Acreditamos que
essa tarefa não é adequada para alunos de oitava série, por causa dessa precoce generalização, além de ser isolada das demais, sem uma explicação sobre índices. Dessa forma, temos a impressão de que os autores desse livro não conhecem, ao menos, as recomendações encontradas nos PCNs (1998), de que não se deve apresentar função dessa maneira abstrata nesse nível de ensino.
Outra tarefa encontrada nesse livro pede que o aluno determine a lei de formação das funções, representadas cada uma delas por um diagrama de flechas, envolvendo conjuntos finitos A e B. Sem a apresentação de uma técnica, podemos nos perguntar como um aluno de oitava série pode concluir que y =3x−8 a partir do diagrama de flechas que associa os números: −1com−11, 4com4,−2com−14,
8 com
0 − e 1com− . 5
Um outro ponto que observamos é que esse livro padroniza as letras A e B para conjuntos e as letras x e y para variáveis e isso é um indicativo da rigidez da organização matemática, seguindo a nomenclatura proposta por Bosch et al. (2004). O livro da Coleção B (2002), apesar de não apresentar formalmente o conceito de função em termos conjuntistas, inclui a tarefa de identificar um gráfico como sendo (ou não) um gráfico de função. Há explicações sobre a técnica e a sua justificativa:
Já sabemos que, para existir uma função, é necessário que para qualquer x de um conjunto e valores corresponde um único y, de outro conjunto de valores. Geometricamente, se esses dois conjuntos de valores são números reais, significa que qualquer reta perpendicular ao eixo x que intersecta o gráfico deve fazê-lo em um único ponto. Assim, se a reta intersectar o gráfico em mais de um ponto, esse gráfico não é gráfico de uma função. (COLEÇÃO B, 2002, p.164). Para o esclarecimento da primeira sentença, observamos, antes do texto, a existência de uma tarefa que pede para dizer se a cada x corresponde um único y, a partir de uma expressão algébrica.
Um dos gráficos que devem ser analisados é uma cônica: parábola de equação y2 =2px+c. Diante da mesma tarefa e do gráfico de uma cônica (parábola), Schwarz (1995, p.116) mostra que somente 50% dos alunos de uma terceira série do segundo grau de uma escola estadual localizada na cidade de São Paulo conseguiram responder corretamente que o referido gráfico não representava
uma função. Isso nos leva a considerar que essa tarefa é difícil para estudantes de oitava série.
Critério 2. Conceituar função como relação entre grandezas.
Nos livros das coleções A (1999), B (2002), C (1998) e D (1997), as situações para o estudo da interdependência de grandezas provém da geometria, da cinemática e do cotidiano.
O livro da Coleção A, de 1999, não apresenta uma justificativa para os exercícios envolvendo grandezas, depois de apresentar função como correspondência entre dois conjuntos. Nesse livro, há o predomínio de tarefas que pedem a fórmula ou construção de uma tabela a partir do enunciado. Encontramos a instrução de determinar o domínio e conjunto imagem a partir de um enunciado. Por outro lado, não há sugestões para a construção de uma tabela, nem de como obter a fórmula a partir do enunciado; não há igualmente explicações para a necessidade de determinar o domínio e imagem a partir de um enunciado.
A palavra variação aparece somente uma vez, o que revela a concepção predominantemente estática sobre função apresentada pelos autores do livro. Além disso, não há uma situação em que se exiba um gráfico mostrando a relação entre grandezas nem explicações técnicas de como construir um gráfico.
Diferentemente dessa obra, nos livros das outras coleções, encontramos esclarecimentos e exemplos sobre duas grandezas que variam, uma dependendo da outra, logo no início do capítulo sobre funções.
O livro da Coleção C (1998), inicia o capítulo trabalhando com duas concepções simultaneamente: relação entre grandezas e correspondência, com o objetivo de introduzir função como relação entre dois conjuntos.
Apresenta o seguinte enunciado de uma situação-problema:
Márcia ligou seu computador à rede internacional de computadores Internet. Para fazer uso dessa rede, ela paga uma mensalidade fixa de R$ 30,00 mais 15 centavos de real a cada minuto de uso. O valor a ser pago por Márcia ao final do mês depende, então, do tempo que ela gasta acessando a Internet. (LIVRO DA COLEÇÃO C, 1998, p.108).
A partir desse enunciado, o livro oferece uma técnica para obter uma fórmula a partir de uma tabela. Pede para o aluno observar a tabela, já preenchida, que
relaciona o valor a ser pago (em R$) com o tempo de acesso à rede. O tempo é dado em minutos e o correspondente valor a ser pago é calculado, com a exibição de todas as operações envolvidas. Na última linha dessa tabela, aparece a letra t, para tempo, e a correspondente expressão: 30,00+0,15×t, para o valor a ser pago. A seguir, apresenta a fórmula V=30+0,15t, sendo V o valor a ser pago. Destacam- se os seguintes dados: ”Nessa fórmula t é uma grandeza variável, V é uma grandeza variável, a variável V depende da variável t e que a variável V é dada em função da variável t.” (Livro da Coleção C, 1998, p. 109). Dessa maneira, há um discurso tecnológico embutido na técnica. Por outro lado, não são utilizados gráficos nas poucas situações envolvendo interdependência de grandezas.
O estudo da interdependência de grandezas é mais enfatizado nos livros das Coleções B (2002) e D (1997), que trazem as palavras: aumento, diminuição, variação, como varia.
O livro da Coleção D (1997) apresenta relações entre grandezas que não são triviais para o aluno, como o tempo da órbita de um satélite (em horas) em função da distância média do satélite ao chão (em Km). Uma outra situação envolve movimento e o teorema de Pitágoras. Ao lado do desenho de um macaco de automóvel, como se pode ver na Figura 5, segue o texto: “Neste macaco de automóveis, a altura y é função da distância x. Virando a manivela num sentido ou noutro, fazemos x aumentar ou diminuir. a) Se x aumenta, y aumenta ou diminui? b) Deduza a fórmula de y em função de x.” (LIVRO DA COLEÇÃO D, 1997, p.224)
Figura 5 - Macaco de automóveis Fonte: Livro Coleção D, 1997, p.224
O autor sugere que o aluno pense no teorema de Pitágoras e apresenta um esquema do macaco de automóvel, representando as duas diagonais do losango.
No livro da Coleção B (2002), encontramos uma atividade que propõe uma análise de duas situações mas não há indicações de como obter o resultado desejado. Sob o título tomando decisões, segue o enunciado:
Leonor vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B. O plano A cobra R$ 100,00 de inscrição e R$ 50,00 por consulta em certo período. O plano B cobra R$ 180,00 de inscrição e R$ 40,00 por consulta em certo período. O gasto total de cada plano é dado em função do número x de consultas. (LIVRO DA COLEÇÃO B, 2002, p.166)
Seguem as tarefas: ”a) Escreva a fórmula da função correspondente a cada plano. b) Determine em que condições o plano A é mais econômico; o plano B é mais econômico; os dois planos são equivalentes” (LIVRO DA COLEÇÃO B, 2002, p.166).
Podemos utilizar diversas técnicas para determinar o plano mais econômico: construção de duas tabelas e comparação de dados numéricos; construção e análise dos gráficos das duas funções, utilizando um mesmo sistema de eixos; resolução de equação e de inequações. A escolha da(s) técnica(s) mais adequada(s) para uma determinada classe e do(s) respectivo(s) discurso(s) tecnológico(s) fica a cargo do professor, que não encontra subsídios no Manual Pedagógico.
Sobre a adequação dessa tarefa para alunos de oitava série, lembramos as considerações feitas por Sierpinska (1992, p.36), que expõe as dificuldades que os alunos de dezesseis anos enfrentam para interpretar, em termos funcionais, uma situação como a descrita acima - a determinação das condições para fazer uma escolha mais adequada. Acreditamos que alunos de oitava série podem resolver essa questão problemática, contanto que lhes sejam dadas as condições necessárias.
No quesito interdependência e variação de grandezas, consideramos que o livro da Coleção B (2002) é aquele que mais fornece tarefas pertinentes às necessidades dos alunos, explorando variadas situações; segue o livro da Coleção D (1997). Dessa forma, essas duas obras são as mais aderentes aos PCNs de Matemática (1998) e à Proposta Curricular do Estado de São Paulo (1997) sobre o ensino e aprendizagem de grandezas que se relacionam.
Os livros das Coleções A (1999), C (1998), D (1997) e E (2002) não nomeiam as variáveis dependentes e independentes. Assim, cabe ao professor apresentar as explicações necessárias para a construção de gráficos, de tabelas e para a confecção de fórmulas.
No livro da Coleção C, há um texto que indica qual é a variável dependente: ”Os valores que y irá assumir dependem dos valores assumidos por x. Para cada valor de x teremos um valor correspondente de y.” (LIVRO DA COLEÇÃO C, 1998, p.115).
Critério 4. Conceituar função como máquina.
Dentre os livros consultados, esse tipo de tarefa foi encontrado somente no livro da Coleção B (2002), onde está bem identificado, incluindo desenhos de máquinas, todas coloridas, com indicações de entrada e saída dos números, como a que se observa na Figura 6. Além disso, esse tipo de tarefa é adequado para alunos de oitava série; no livro do professor, é apresentada a razão da escolha da proposta, afirmando-se que ver função como máquina é uma estratégia, pois dá uma visão dinâmica de função.
Figura 6 – Máquina de entrada e saída Fonte: Livro da Coleção B, 2002, p.158
Os exercícios apresentados exploram os diversos ostensivos e pedem as mudanças de registro: de expressão verbal para tabela; de expressão verbal para fórmula algébrica; de fórmula algébrica para expressão verbal; de tabela para gráfico; do gráfico para pares ordenados e do gráfico para fórmula algébrica.
Apesar de ser pedida a identificação das variáveis dependente e independente, não há explicação de como construir o gráfico, utilizando essas informações, nem sobre alinhamento de pontos nas situações envolvendo expressões do tipo
b ax
y= + . O fato de que o gráfico de uma função afim é uma reta será enunciado mais adiante, no mesmo capítulo.
Trabalhar função como máquina se sobrepõe à apresentação “intuitiva” de função como correspondência, tendo em vista que algumas das tarefas apresentadas utilizam a palavra correspondência. O capítulo sobre funções se inicia com a explicação de que o conceito de função está presente em situações em que são relacionadas duas grandezas, mas as máquinas apresentadas não estão trabalhando com grandezas. Assim, parece que o autor não se dá conta das diversas concepções de função que ele apresenta em um mesmo capítulo. Perde-se uma oportunidade para trabalhar com máquinas “virtuais”, ou seja, conceber função como algo que faz, independentemente das máquinas físicas desenhadas.
A apresentação de função como máquina vai além das sugestões encontradas nos PCNs (1998) e na Proposta Curricular de Matemática para o Estado de São