Antes de iniciarmos a análise dos livros didáticos da oitava série, apresentaremos as propostas sobre o ensino / aprendizagem de funções, de variável, em dois documentos oficiais: Proposta Curricular para o Ensino de Matemática no Ensino Fundamental, elaborada pela Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas, vinculada à Secretaria de Educação do Estado de São Paulo e cuja primeira edição é de 1988; Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática
(terceiro e quarto ciclos) elaborados pela Secretaria de Educação Fundamental, vinculada ao Ministério de Educação e editados em 1998.
A Proposta Curricular (1997) tem como critério de seleção de conteúdos sua relevância social e sua contribuição para o desenvolvimento do raciocínio lógico, que são organizados em três blocos geradores: números, geometria e medidas e destaca que os conhecimentos matemáticos devem ser construídos especialmente a partir dos problemas encontrados no cotidiano e em outras disciplinas e não apenas na própria Matemática.
Enfatiza a importância de o ensino da proporcionalidade ser estreitamente ligado ao ensino de variação de grandezas. Sugere que devem ser propiciadas condições para que o estudante possa verificar o aspecto qualitativo da variação das grandezas em jogo, a fim de que ele consiga estabelecer relações entre os valores por meio de uma expressão algébrica. Propõe ainda que sejam utilizadas a representação gráfica, para visualizar o comportamento das variações, e as tabelas, por serem ferramentas úteis para “arrumar” os dados obtidos e visualizar o comportamento desses dados.
Encontramos exemplos para trabalhar grandezas direta e inversamente proporcionais. O exemplo dado para o primeiro caso apresenta o seguinte roteiro de tarefas, a partir de uma tabela preenchida: construir o gráfico e verificar que: a) os pontos obtidos são colineares, b) a inclinação da reta está relacionada com a taxa de crescimento, c) as frações são equivalentes. No segundo caso, o roteiro estabelecido, a partir de uma tabela, é o seguinte: construir o gráfico, observar que os pontos não são colineares e que o produto de dois valores correspondentes é constante.
Para fazer um contraponto com grandezas que variam direta ou inversamente, são propostas duas situações: grandezas que variam proporcionalmente ao quadrado de outra e grandezas que variam segundo leis do tipo y=ax+b. Para a segunda situação, o documento apresenta um texto, acompanhado de uma ilustração e propõe o seguinte roteiro: completar tabela, construir um gráfico, verificar que essas duas seqüências não são diretamente nem inversamente proporcionais, escrever uma expressão algébrica. A palavra função é mencionada somente na última página do documento:
Função não constitui tema à parte. As funções são indicadas em situações em que podem ser exploradas desde o início do estudo de números, em situações-problema, em interpretações de gráficos, no
estudo da variação de grandezas associadas a diferentes fenômenos, nas situações de interdependência [...]. (PROPOSTA CURRICULAR, 1997, p.181).
Apesar do texto acima indicar leitura e interpretação de gráficos, o documento termina e não oferece nenhum subsídio para isso.
Em síntese, a única concepção de função encontrada nesse documento é a interdependência de grandezas, a organização matemática apresentada privilegia determinados roteiros para as tarefas e o uso de das letras x e y para variável dependente e y para variável dependente.
Os PCNs surgiram da imposição legal de se oferecer uma referência curricular nacional para o ensino fundamental e médio e se apresentam inseridos em um movimento amplo de reformas do ensino de Matemática, iniciadas a partir de meados dos anos 80. Esse documento tem como objetivo propiciar aos sistemas de ensino e, particularmente, aos professores, subsídios à elaboração e / ou re- elaboração do currículo, visando à construção do projeto pedagógico, em função da cidadania do aluno.
Segundo seus idealizadores, os PCNs de Matemática, de 1998, refletem os avanços em Educação Matemática e têm como eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem dessa disciplina a resolução de problemas. Os conteúdos aparecem organizados em blocos, diferentemente do modo tradicional, a saber: números e operações; espaço e formas; grandezas e medidas e tratamento da informação.
Esse documento orienta que se organizem situações de ensino-aprendizagem, privilegiando as chamadas intraconexões das diferentes áreas da Matemática, porque elas favorecem uma visão mais integrada dessa disciplina, e as interconexões com as demais áreas do conhecimento.
Dentre os conteúdos propostos para o quarto ciclo, destacamos:
Assim, no trabalho com a Álgebra, é fundamental a compreensão de conceitos como o de variável e de função; a representação de fenômenos na forma algébrica e na forma gráfica; a formulação e a resolução de problemas por meio de equações (ao identificar parâmetros, incógnitas, variáveis) e o reconhecimento da sintaxe (regras de resolução) de uma equação. (PCNs, 1998, p.84).
Citamos as orientações didáticas para terceiro e quarto ciclos (PCNs, 1998, p.117,118) relativas ao ensino e aprendizagem de função: não fazer uma abordagem excessivamente formal desse conceito neste nível de ensino; propor situações que levem os alunos a construir noções algébricas pela observação de regularidades em tabelas e gráficos; a investigar padrões, tanto em sucessões numéricas como em representações geométricas e identificar suas estruturas, construindo a linguagem algébrica para descrevê-las simbolicamente; utilizar letras como variáveis para representar relações funcionais em situações-problema concretas; propor situações-problema sobre variação de grandezas para que o aluno possa desenvolver a noção de função; utilizar software educativo, que apresentam planilhas ou gráficos.
Encontramos o exemplo de uma situação que tem a finalidade de mostrar como um aluno, a partir de um texto, poderia perceber as vantagens do uso de letras (como variável) para generalizar procedimentos. O documento sugere ao professor a organização de dados em uma tabela, que leve o aluno a fazer uma descrição oral dos procedimentos e empregue a noção de variável para indicar genericamente a interdependência das grandezas envolvidas. Todavia, o documento não discute as dificuldades que os alunos poderiam encontrar para fazer essa generalização, como se esse raciocínio decorresse naturalmente. Além disso, não sugere a construção de um gráfico para a situação descrita, apesar de destacar a importância desse recurso para o desenvolvimento de conceitos e de procedimentos algébricos. Notamos igualmente a ausência de, pelo menos, uma situação que ilustrasse a leitura e a interpretação de um gráfico.
Para o ensino e aprendizagem de álgebra também há uma sugestão para um trabalho com padrões de regularidade em situações geométricas: uma seqüência de figuras, formadas por quadrados brancos e pretos, mas o texto não mostra que esse exemplo trata de uma concepção de função como padrão de regularidade. Outra ausência é a concepção de função como máquina.
O documento apresenta a proporcionalidade como uma fonte de conexões de diversos conteúdos e sustenta que a compreensão desse conceito passa pela exploração de problemas em que as relações não sejam proporcionais. Cita a necessidade de que o aluno analise a natureza da interdependência de duas grandezas em situações-problema em que elas sejam diretamente proporcionais,
inversamente proporcionais ou não proporcionais (função afim ou quadrática). Ressalta que essas situações são oportunas para que se expresse a variação por meio de uma sentença algébrica, representando-a no plano cartesiano. Não há nenhuma menção ao fato da proporcionalidade ser um obstáculo epistemológico relativo ao conceito de função, fato discutido por Sierpinska (1992, p.43).
Esse documento apresenta uma rede de conexões para a variação de grandezas e medidas (PCN, 1998, p.140), a partir de razão e proporção. Notamos que, de grandezas diretamente proporcionais, não há uma conexão para função linear, o que pode dificultar o estabelecimento de função linear como modelo da proporcionalidade. Também não encontramos uma rede para o conceito de função, apesar da importância dada a esse conceito.
Em síntese, as sugestões encontradas nos PCN de Matemática sobre variáveis e função são muito mais abrangentes do que aquelas encontradas na Proposta Curricular, mas seria necessário um material de apoio, a fim de suprir as lacunas encontradas.
Sugerimos apresentar redes para função, para mostrar as interconexões e as intraconexões; utilizar das diversidades regionais para a apresentação de exemplos com tarefas e técnicas, além de um discurso tecnológico; mostrar com maior clareza a importância desse conceito para a formação do Homem; esclarecer onde e como estão sendo utilizados os avanços da Educação Matemática sobre esse tema; discutir as concepções que foram emergindo ao longo da história. Em síntese, há a necessidade de uma ação efetiva, a fim de nortear o professor.