O propósito dessa seção é rever os conceitos de grandezas proporcionais, ou mais especificamente, grandezas diretamente proporcionais. O problema a seguir (Problema 4.1), em continuidade de uma atividade proposta (Atividade 4.1), é uma adaptação de proposta sugerida em [1].
Conforme sugestão da autora em [1], propõe-se inicialmente que o professor deixe os estudantes livres para resolver e discutir o problema. Posteriormente, sugere-se que os alunos, mesmos que não tenham respondido à questão inicial do problema em questão, completem a tabela, pedindo a eles que justifiquem cada linha preenchida e que indiquem as operações que foram realizadas para obterem os respectivos valores.
E finalmente, relacionar duas grandezas diretamente proporcionais na forma algébrica ( = ∙ , onde é constante) e na forma gráfica (reta crescente partindo da origem).
O problema proposto em seguida (Problema 4.2), envolvendo a composição de uma solução aquosa, a água do mar, ajuda a fixar essas ideias.
Problema 4.1. Com base nas informações do rótulo de um frasco de óleo de soja, tem-se que uma porção de 13 mL (colher de sopa) de óleo de soja, tem uma massa de 12 g.
Se em uma receita de bolo requer-se o uso de uma xícara de óleo de soja, qual a massa de óleo de soja, em gramas, que será usada, aproximadamente, na receita?
Dado: Uma “xícara” é uma unidade de volume equivalente a 240 mL.
Solução 4.1. A massa de óleo de soja é diretamente proporcional ao volume ocupado pelo óleo. Temos então, seguinte regra de três:
Volume de óleo Massa de óleo 13 mL 12 g
240 mL x
Que pode ser resolvida facilmente pelo método da “redução à unidade”. Volume de óleo Massa de óleo
12 g
÷
,
×
240 mL , × =
Portanto, uma xícara de óleo tem uma massa de, aproximadamente, 221 g.
Atividade 4.1
Relações de proporcionalidade direta entre duas grandezas físicas
1. Com base nas informações do enunciado do Problema 4.1, completem a tabela a seguir:
Porção de óleo (volume) Massa de óleo
13 mL 12 g
26 mL 65 mL
48 g 1,0 mL
Explique como obteve os valores que preenchem corretamente a tabela.
2. Construam um gráfico massa do óleo (em gramas) × volume ocupado
(em mililitros) numa folha de papel milimetrado com os dados da tabela preenchida no Item 1. Assinalem o volume (V) no eixo horizontal (abscissa) e a massa (m) no eixo vertical (ordenada). Seu gráfico deverá conter um título e a escala em que foi construído.
Sugestões ao professor:
O software GeoGebra pode ser usado como uma ferramenta eficaz na descrição de duas grandezas diretamente proporcionais. É possível obter além da representação gráfica da proporcionalidade entre a massa e o volume, permite obter também a massa em função do volume. Isso pode ser feito de um modo bem simples:
(1) Digitando no campo de entrada, os pares ordenados correspondentes
, ;
(2) Posteriormente, selecionando na Barra de Ferramentas, a opção “Reta de Regressão Linear” e, em seguida clicando em dois pontos quaisquer e obtém-se a reta passando pela origem. E exibindo a “Janela de Álgebra” obtém-se a função da forma = ∙ , que descreve a relação de proporcionalidade entre as grandezas massa e volume.
E assim, posteriormente, associar a constante (constante de proporcionalidade) com a densidade, a grandeza que expressa quanto há de massa por unidade de volume de um dado material, e que pode ser determinada pela seguinte a expressão: = /𝑉. Utilizando os valores do enunciado do Problema 4.1, = e 𝑉 = , obtém-se, com dois algarismos significativos, o seguinte valor da densidade do óleo: =
, / . Que que corresponde ao o valor encontrado pela “regressão linear” da constante na função = ∙ .
Problema 4.2. (Exame de Acesso – PROFMAT/2015) A água do mar contém 2,5% do sua massa em sal. Quantos quilogramas de água do mar são necessários para obtermos 200 gramas de sal?
Há diversas formas de se resolver esse problema. Um problema praticamente idêntico a este pode ser encontrado no livro “Tema e Problemas Elementares”, publicado pela SBM, ([10], p. 16). Neste mesmo livro podem ser encontradas algumas estratégias de resolução de problemas envolvendo o tema porcentagem.
Apresentaremos aqui três possíveis soluções, uma baseada no fato da massa de sal obtida ser diretamente proporcional à quantidade de água do mar (i.e., proporcional a massa de água do mar). E a terceira, utilizando o conceito de porcentagem como “uma fração de denominador 100”.
A primeira solução por meio da proporcionalidade envolve a estratégia de “redução à unidade” ou “método da razão unitária”, discutido no Capítulo 1. Solução 4.2. (Proporcionalidade 1). Um quilograma, isto é, 1 000 g, de água do mar contém 2,5% de sal, ou seja,
,
× = .
Agora, como a quantidade de sal é proporcional a quantidade de água do mar, temos a seguinte regra de três:
Quantidade de sal (g) Quantidade de água do mar (g)
25 g 1 000 g
÷
↓
↓
1 g 40 g
×
↓
↓
Logo, são necessários 8 kg de água do mar para se obter 200 g de sal.
Com base na proposta feita anteriormente em [28], podemos resolver o problema usando a definição de grandezas proporcionais apresentadas no Capítulo 1 (Definição 1.2).
Solução 4.2. (Proporcionalidade). Designemos por Q a quantidade de água do mar, em quilogramas; e S a quantidade obtida de sal, em gramas, no Q quilogramas de água. Como S é proporcional a Q, então:
= ∙ .
Onde = / á é a constante de proporcionalidade. Logo, Com os dados do problema, tem-se que = , segue-se daí que:
= ∙ = á ∙ = á .
E finalmente, tomando o conceito de porcentagem, temos a seguinte solução:
Solução 4.2. (Porcentagem). Serão 200 g de sal extraído da água do mar, os quais representam 2,5% dos gramas da água. Portanto, 2,5% de são 200, ou seja, , ∙ = . Daí, =
, = .
Observações:
1) As duas primeiras soluções são equivalentes. Notemos que a valor de ; correspondente ao recíproco da constante = / á , ou seja, á = á = á ;
Que é exatamente igual ao valor encontrado na solução anterior, pelo método de redução à unidade.
2) A segunda solução equivale em resolver o problema pelo “método da análise dimensional”. Calcule a densidade, em g/ cm3, do óleo de soja.
Expresse sua resposta com dois algarismos significativos, onde o fator de proporcionalidade / á é tido como fator de conversão da quantidade de sal (S) para a quantidade de água do mar (Q):
= á ∙ = á .
3) Os conceitos químicos implícitos nesse problema, é que temos uma solução aquosa (água do mar) de composição fixa: 2,5 % em massa de sal. Assim, tanto na amostra de 1 000 g de água do mar ou 8 000 g, a porcentagem em massa de sal na água do mar é 2,5% de sal!
4.2. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ESTEQUIOMÉTRICOS POR MEIO DO USO