Karesel çoklu sırt çantası problemi, karesel sırt çantası probleminin k adet sırt çantasının var olduğu duruma genelleştirilmiş hali olan NP-zor bir problemdir. Gerçek hayatta, bir grup çalışan içinden, proje ekiplerinin, kişilerin tek başına ve ekipteki kişilerle ortak performansları dikkate alınarak ve ödenecek maaşların bir bütçe kısıtı dahilinde sınırlandırılması gerekliliği altında oluşturulması probleminde ya da birden fazla makinanın mevcut olduğu ve hazırlık zamanlarının sıralamaya bağımlı olduğu, makina yükleme probleminde ortaya çıkmaktadır. Benzer şekilde pek çok uygulama alanı tanımlanabilecek olmasına rağmen bu problem yazında çok fazla ele alınmamıştır.
Bu çalışmada; öncelikle klasik karesel çoklu sırt çantası problemi için yeni bir GA (GASS) önerilmiştir. Daha sonra, klasik model gerçek hayat problemlerinin içerebileceği bazı kısıtları kapsayacak şekilde genelleştirilmiştir. GASS genelleştirilmiş modelin kısıtlarını kapsayacak şekilde geliştirilmiş ve bu problemin çözümündeki başarısı araştırılmıştır. Son olarak genelleştirilmiş modeli çözebilecek melez bir algoritma önerilmiştir. Ayrıca, genelleştirilmiş modelin enjeksiyon makinalarının çizelgelenmesi problemini çözmekte kullanılabileceği de gösterilmiştir. Rassal türetilmiş test problemleri kullanılarak yapılan testler ile önerilen yaklaşımların başarısı gösterilmiştir.
Klasik karesel çoklu sırt çantası problemi için önerilen genetik algoritmada ilk nesil, uygunluk koşullarını sağlayacak şekilde türetilmektedir. Kullanılan çaprazlama ve mutasyon işlemcileri de uygunluğu bozmayacak şekilde tasarlanmıştır. Algoritmada ayrı olasılıklarla uygulanan ve ayrı sezgisel iyileştirme yaklaşımlarını kullanan iki mutasyon işlemcisi önerilmiştir. Hiley ve Julstrom (2006)’dan farklı olarak sırt çantalarının aynı kapasitelere sahip olduğu varsayımı yapılmamıştır. Yazın test problemleri kullanılarak, sırt çantası sayısı arttıkça GASS’nın başarısının oldukça arttığı
gösterilmiştir. Problem büyüklüğü ne olursa olsun 10 sırt çantası olan problemlerde GASS’nin oldukça başarılı olduğu belirlenmiştir. İki algoritma ile elde edilebilinen en başarılı çözüm değerleri karşılaştırıldığında bazı örnekler için %20’yi aşan oranda üstünlük sağlanmıştır.
Gerçek hayat problemlerinin genellikle klasik yazın problemlerinin ele aldığı kısıtlar dışında, problemin özel yapılarından kaynaklanan ek kısıtlar da gerektirebileceği gerçeğinden yola çıkılarak klasik karesel çoklu sırt çantası problemi, parçaların sırt çantalarına atanabilmeleri için ilgili sırt çantasının özel bir ayar ya da aparat gerektirmesi durumunu ele alabilecek şekilde genelleştirilmiştir. Ve genelleştirilmiş model için ise iki çözüm yaklaşımı önerilmiştir.
Yöntemlerden ilki GAGSS’dır. Klasik KÇSÇP’yi çözen GASS, genelleştirilmiş modeli çözebilecek şekilde geliştirilmiştir. Burada, aparatların kopya sayılarını kontrol eden kısıt, ceza yöntemi kullanılarak kontrol edilmiştir. Genelleştirilmiş model yazında daha önce ele alınmamış olduğundan, GAGSS ile elde edilen çözümlerin başarısını ortaya koyabilmek için GAMS paket programının karesel sırt çantası problemlerindeki başarısı bilinen DICOPT çözücüsü ile karşılaştırılmasına karar verilmiştir. Öncelikle problemin özelliklerini göz önünde bulundurarak rassal olarak test problemi türetecek bir kod yazılmış ve bu yolla türetilen test problemleri GAMS/DICOPT ve GAGSS ile çözülerek karşılaştırılmıştır. 300 boyutlu 16 test probleminden 10 tanesi DICOPT, bir tanesi de ne DICOPT ne de GAGSS ile çözülememiştir. 30 boyutlu problemlerde ise çözüm süresi ve kalitesi yönlü bakıldığında çözümler arasında ciddi bir fark olmadığı göze çarpmaktadır. Geliştirilen GAGSS’nin hangi özelliklere sahip problemlerde daha başarılı olduğunu daha iyi yorumlayabilmek için performans ölçütü olarak algoritmaların erişebildikleri amaç fonksiyonu değerlerinin arasındaki yüzde farkı (100*(zGA_enb - zG)/ zG) alarak varyans analizi yapılmıştır. Bu analize göre, 0.05 anlam düzeyinde n (problem boyutu), r (aparat sayısı) ve trj (parçaların aparat kullanım profili) faktörleri kritiktir. Sonuç olarak, problem boyutunun 300 olduğu, aparat sayısının fazla olduğu ve parçaların aparat kullanım profilinin rassal olduğu problemlerde GAGSS’nin başarısının DICOPT’a kıyasla belirgin bir şekilde fazla olduğunu söylemek mümkündür.
GAGSS’nin geneldeki başarısına rağmen, bir test probleminde uygun çözüm bulamamış olması ve bir test probleminde de performansının düşük olması, her ne kadar parametrelerin değerlerinin değiştirilmesi, popülasyon büyüklüğünün ve ardıştırma sayılarının arttırılması gibi yollarla bu başarının arttırılması mümkün olabilecekse de, yöntemsel olarak da daha başarılı bir algoritma arayışının sürmesine yol açmıştır. Bu kapsamada uygun çözüm temelli genişletilmiş subgradient algoritması (UÇT_GSA) ve GAGSS’nin birlikte çalışacağı bir çözüm yaklaşımı önerilmiştir.
UÇT_GSA kuramsal olarak en iyi çözümün bulunmasına olanak tanıyan başarılı bir çözüm algoritmasıdır. Ancak başarısı alt problem olarak çözülmesi gereken kısıt sağlama probleminin çözüm kalitesi ve hızına bağlıdır. Genetik algoritmalar ise pek çok zor problemin çözümünde başarıyla uygulanan yapay zekâ tekniklerinden birisidir.
UÇT_GSA’nın alt probleminin G_KÇSÇP için geliştirilen GAGSS ile çözülmesi ile her iki algoritmanın birlikte çalıştırılması MASS’nın ana fikridir. Bu nedenle, öncelikle GAGSS melez algoritmanın alt problemini çözebilecek şekilde değiştirilmiştir. Bu amaçla, GAGSS’de aparatların kopya sayılarını kontrol etmek için kullanılan, uyum fonksiyonuna eklenmiş olan ceza parametresi kaldırılmıştır. Uyum fonksiyonu, UÇT_GSA’nın alt problemini çözecek şekilde düzenlenmiştir.
UÇT_GSA’da alt problem kısıt sağlama problemidir. Ancak MASS’de alt problem olarak kısıt sağlama problemi değil, eniyileme problemi çözülmektedir. Bu nedenle başarılı bir başlangıç üst sınır değerine de gereksinim duyulmamaktadır. Tüm problemler için başlangıç üst sınırı olarak sıfır değerini almak mümkündür. Algoritma ilk çalıştırıldığında tüm ikil değerlerin sıfır olduğu durumda bulunan çözüm, asıl problem için genetik algoritma ile bulunan çözüm olduğundan problemin en iyi değerine yakın bir değer olması beklenmektedir. Bu sayede daha ilk ardıştırmada başarılı bir üst sınır değeri elde edilmektedir. Alt problemin, bu şekilde bir üst sınırla başlayarak ve kısıtları sağlamakla yetinmeyip, amaç fonksiyonu başarısını da dikkate alarak çözülmesi ardıştırma sayısının önemli ölçüde azalmasını sağlamaktadır.
Bir ardıştırmada elde edilen asıl ve ikil problemin çözümleri sonraki ardıştırmalara aktarılmadığında, alt problemi çözen genetik algoritma her seferinde aynı
problemi çözmeye çalışacaktır. Bunu önlemek amacıyla, her aşamada o ana kadar elde edilmiş en iyi çözüm saklanmakta ve alt problemin çözümünü gerektiren her durumda eldeki en iyi çözüm GA’nın başlangıç popülasyonuna bir kromozom olarak aktarılmaktadır. Böylece bir anlamda GA’nın aramaya kaldığı yerden devam etmesi sağlanmış olmaktadır. Öte yandan benzer bir mantıkla, ikil değişkenlerin güncellenmesi gerektiğinde de en son ulaşılmış değerlerden devam edilmektedir. Bu sayede hızlı bir iyileşme sağlanmaktadır.
Genetik algoritma ile problem çözerken, rassal olarak türetilen başlangıç popülasyonu, elde edilecek sonucu etkilemektedir. Her ne kadar büyük popülasyonlarla çalışmak, yeni çözümlerin oluşmasına olanak tanıyan yapılar kullanmak (mutasyon, göç v.b.) ve algoritmayı çok nesil çalıştırmak bu bağımlılığı azaltsa da, genellikle GA kullanıldığında çözüm, belli sayıda tekrarlanır. Ancak MASS’da her alt problem çözümünde, elde edilmiş en iyi çözümü içeren yeni bir başlangıç popülasyon türetildiğinden, tekrarlı çözümlere ihtiyaç büyük ölçüde azalmıştır.
Önerilen melez yaklaşım, klasik yazın problemleri için geliştirilmiş GA’ların gerçek hayat problemlerine uygulanırken kullanılabilecek genel bir yaklaşım özelliği taşıması sebebiyle de önemlidir.
Geliştirilen MASS’nın DICOPT’a kıyasla hangi özelliklere sahip problemlerde daha başarılı olduğunu daha iyi yorumlayabilmek için performans ölçütü olarak algoritmaların erişebildikleri amaç fonksiyonu değerlerinin arasındaki yüzde farkı (100*(zMA - zG) / zG) alarak varyans analizi yapılmıştır. Bu analize göre, 0.05 anlam düzeyinde n (problem boyutu) ve trj (parçaların aparat kullanım profili) faktörlerinin kritik olduğu belirlenmiştir. Problem boyutunun 300 olduğu ve parçaların aparat kullanım profilinin rassal olduğu problemlerde MASS’nın başarısının DICOPT’a kıyasla belirgin bir şekilde fazla olduğunu söylemek mümkündür.
MASS’nın GAGSS’ye kıyasla hangi özelliklere sahip problemlerde daha başarılı olduğunu yorumlayabilmek için yine performans ölçütü olarak algoritmaların erişebildikleri amaç fonksiyonu değerlerinin arasındaki yüzde farkı (100*(zMA - zGAenb)/
zGAenb) alarak varyans analizi yapılmıştır. Bu analize göre, 0.05 anlam düzeyinde hiçbir faktör kritik değildir. Bu da bize MASS’nın GAGSS’ye kıyasla gösterdiği yüksek performansın problem tipine bağlı olarak açıklanamayacağını göstermektedir. Bir başka deyişle, özellikle belli tip problemlerde MASS GAGSS’ye kıyasla daha başarılıdır demek mümkün değildir.
MASS ile çözüm araştırırken, farklı adım parametreleri kullanıldığında, farklı sonuçlar elde edilebilmektedir. Tez kapsamında MASS ile yapılan çözümlerin tamamında Tablo 10’da verilen parametre değerleri kullanılmıştır. Probleme özel parametre değerlerinin araştırılması ve kullanılması ile elde edilen başarı düzeylerini arttırmak mümkün olabilecektir.
Son olarak, bu çalışmada bir de enjeksiyon makinalarının çizelgelenmesi problemi (EMÇP) için bir G_KÇSÇP modeli önerilmiştir. Enjeksiyonla plastik parça üretimi, çok yaygın kullanılan bir üretim yöntemdir ve paralel makina çizelgeleme probleminin özel bir halidir. Bu nedenle hem pratik hem de kuramsal açıdan önemli bir problemdir. Bu çalışmada EMÇP için bir G_KÇSÇP modeli önerilmiştir. Önerilen modelin kullanması gereken parametrelerin değerlerinin belirlenmesine yönelik olarak iki yaklaşım geliştirilmiştir. Gerçek hayat problemlerinin özelliklerine sahip 100 ve 500 boyutlu iki örnek problem türetilerek önerilen çözüm yöntemlerinin başarısı araştırılmıştır. 100 boyutlu problem için, DICOPT ile elde edilebilen en iyi amaç fonksiyonu değerine, GAGSS ile DICOPT’a kıyasla çok daha kısa bir süre içinde oldukça yaklaşılmıştır. MASS ile her iki yönteme kıyasla hem çözüm süresi hem de çözüm kalitesi yönlü olarak başarılı bir çözüm elde edilmiştir. Özellikle DICOPT ile kıyaslama yapılırsa, 10 kat daha kısa sürede daha başarılı bir çözümün elde edilebilmiş olması dikkat çekicidir. 500 boyutlu problem, GAMS/DICOPT ile çözülememiştir. Bu nedenle aslında bu zorluktaki bir probleme uygun bir çözüm bulabilmek bile önemli bir başarıdır. GAGSS ve MASS ile problem üç faklı nesil sayısı kombinasyonu kullanılarak çözülmüştür. Probleme en başarılı çözüm, büyük nesil sayıları kullanılarak yaklaşık 13,5 saatte MASS ile elde edilmiştir. Ancak çözüm kalitesinden ödün vermek şartıyla bu probleme GAGSS ile yaklaşık 13 dakikada ve MASS ile de bir buçuk saatten kısa bir süre için de bile uygun çözümler bulunabileceği de gösterilmiştir.
Bu çalışmada önerilen tüm algoritmalar MS Excel VBA ile kodlanmıştır. Oysa VBA’nın Excel’in altında çalışması nedeniyle yavaş olduğu bilinmektedir. Örnek vermek gerekirse, MS Excel VBA ile kodlanmış bir algoritmada 10 dakikada elde edilen bir sonuç aynı algoritmanın C++ gibi bir dile ve etkin programlama yaklaşımları kullanıldığında bir dakikanın altında çözüm verebilmesi mümkündür. Bu nedenle bu çalışma kapsamında MS Excel VBA ile kodlanmış algoritmalarla makul sürelerde elde edilen çözümlerin C++ gibi bir dil ve etkin programlama yaklaşımları kullanılarak çok daha dikkat çekici şekilde kısa sürelerde elde edilebilmisi mümkün olabilecektir.
Çalışmanın devamında GA dışında başka algoritmalarında UÇT_GSA ile melez olarak çalıştırılarak denenmesi mümkündür. Yine önerilen yöntemlerin özel bir problemin çözümünde kullanılması durumunda GA ve UÇT_GSA parametrelerinin bu probleme özel olarak deney tasarımı ile belirlenmesi çözüm kalitesini arttıracaktır.
Çalışmanın devamında önerilebilecek bir başka alan da, karesel, karesel çoklu ve genelleştirilmiş karesel çoklu SÇP problemlerinin çok amaçlı olarak ele alınması olabilir.
Son olarak, UÇT_GSA’nın kuramsal olarak eniyi çözümü verebildiği ancak kısıt sağlama probleminin çözüm başarısına bağlı olarak pratikte garanti edilemediği bilinmektedir. Bu yönde bir çalışma yapılarak yöntemin KÇSÇP problemlerinin çözümünde kullanıldığında eniyi çözümün garanti edilebileceği bir yapıya dönüştürülebilmesi mümkündür.
Ayrıca EMÇP için önerilen modelin varsayımlarının kaldırılarak genelleştirilmesi ya da bu problem için klasik çizelgeleme bakış açısıyla bir matematiksel model kurularak modellerin süre ve çözüm yönlü karşılaştırılması yapılabilecek çalışmalar arasındadır.
KAYNAKLAR DİZİNİ
Abboud, N.J., Sakawa, M. and Inuiguchi M., 1997, A fuzzy programming approach to multiobjective multidimensional 0–1 knapsack problems, Fuzzy Sets and Systems, 86, 1, 1-14.
Ahmed, E. and Elettreby, M.F., 2006, On combinatorial optimization motivated by biology, Applied Mathematics and Computation, 172, 1, 40-48.
Alanne, K., 2004, Selection of renovation actions using multi-criteria “knapsack” model, Autamation in construction, 13, 3, 377-391.
Alves, M.J. and Almeida, M., 2006, MOTGA: A multiobjective Tchebycheff based genetic algorithm for the multidimensional knapsack problem, Computers & Operations Research, 34, 11, 3458-3470.
Anagun, A.S. and Saraç, T., 2006, Optimization of performance of genetic algorithm for 0-1 knapsack problems using Taguchi method, Lecture Notes in Computer Science, 3982, 678-687.
Ang, J.S.K., Cao C. and Ye H.Q., 2007, çalışmanın adı, European Journal of Operational Research, 180, 1381-1393.
Bazaraa M.S., Sherali H.D. and Shetty C.M., 2006, Nonlinear Programming. Theory and Algorithms, John Wiley & Sons, Inc., New Jersey.
Bertsekas D.P. (1995), Nonlinear Programming, Athena Scientific, Belmont, MA.
Bhatia A.K., Basu S.K., (2003), “Tackling 0/1 knapsack problem with gene induction”, Soft Computing, 8, 1-9.
Billionnet A., Calmels F., (1996), “Linear programming for the 0-1 quadratic knapsack problem” European Journal of Operational Research, 92, 310-325.
Billionnet A., Soutif E., (2003), “An exact method based on Lagrangean decomposition for the 0-1 quadratic knapsack problem”, European Journal of operational research, 157(3), 565-575.
KAYNAKLAR DİZİNİ (devam)
Bortfeldt ve Gehring, (2001), “A hybrid genetic algorithm fort he container loading problem”, European Journal of Operational Research, 131, 143-161.
Bretthauer K.M., Shetty B., (2002), “The nonlinear knapsack problem-algorithms and applications”, European Journal of Operational Research, 138, 459-472.
Brucker P. (2004), “Scheduling Algorithms”, Springer-Verlag, BerlinHeidelberg.
Caprara A., Pisinger D., Toth P., (1999), “Exact solution of the quadratic knapsack problem”
INFORMS Journal on Computing, 11, 125-137.
Captivo M.E., Climaco J., Figueira J., Martins E., Santos J.L. (2003), “Solving bicriteria 0-1 knapsack problems using a labeling algorithm”, Computers & Operations Research, 30, 1865-1886.
Chaillou P., Hansen P., Mahieu Y., (1986), “Best network flow bound for the quadratic knapsack problem”, Combinatorial Optimization of Lecture Notes in Mathematics, 1403, 225-235.
Chang P.C., Chen S.H., Lin K.L., (2005), “Two phase sub population genetic algorithm for paralel machine-scheduling problem”, Expert System with Applications, 29, 705-712.
Cho K.I., Kim S.H. (1997), “An improved interactive hybrid method for the linear multi-objective knapsack problem”, Computers & Operations Research, 24, 991-1003.
Dantzig G.B., (1957), “Discrete variable extremum problems”, Operations Research, 5, 266-277.
Dastidar S.G., Nagi R. (2005), “Scheduling injection molding operations with multiple resource contraints and sequence dependent setup times and costs”, Computers & Operations Research, 32, 2987-3005.
Eilon S., Christofides N., (1971), “The loading problem”, Management Science, 17:259-268.
French, S., (1982), “Sequencing and scheduling: an introduction to the mathematics of the job shop”,. John Wiley&Sons, New York.
KAYNAKLAR DİZİNİ (devam)
Freville A., (2004), “The multi dimensional 0-1 knapsack problem: An overview”, European Journal of Operational Research, 155(1), 1-21.
Gallo G., Hammer P.L., Simeone B., (1980), “Quadratic Knapsack Problems”, Mathematical Programming Study, 12, 132-149.
Gasimov R.N., Ustun O., (2007), “Solving the quadratic assignment problem using F-MSG algorithm”, Journal of Industrial and Management Optimization, 3(2), 173-191.
Gasimov, R.N., (2002), “Augmented Lagrangian duality and nondifferantiable optimization methods in nonconvex programming”, Journal of Global Optimization, 24, 187-203.
Gasimov, R.N., Rubinov A.M., Üstün, Ö., (2004), “The Modified Subgradient Algorithm Based on Feasible Dual Values and Solving the Quadratic Assignment Problems”, International Conference on Continuous Optimization (ICCOPT-I), Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, New York, August 2-4.
Gen, M., Cheng, R., (1997), “Genetic Algorithms and Engineering Design”, John Wiley&Sons, New York.
Gilmore P.C., Gomory R.E., (1966), “The theory and computation of knapsack functions”, Operations Research, 14, 1045-1074.
Goldberg, D.E., (1989), Genetic Algorithms in Search, Optimization, and Machine Learning, Addison-Wesley, USA.
Helmberg C., Rendl F., Weismantel R., (2000), “A semidefinite programming approach to the quadratic knapsack problem”, Journal of Combinatorial Optimization, 4, 197-215.
Henkel C.V., Back T., Kok J.N., Rozenberg G., Spaink H.P., (2006), “DNA computing of solutions to knapsack problems”, Biosystems, 88 (1-2), 156-162.
Hiley A., Julstrom B.A., (2006), “The Quadratic multiple knapsack problem and three heuristic approaches to it”, Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference, 547-552.
KAYNAKLAR DİZİNİ (devam)
Holland, J., (1975), Adaptation in natural and artificial systems, University of Michigan Press, Ann Arbor.
Horowitz E., Sahni S., (1974), “Computing partitions with applications to the knapsack problem”, Journal of ACM, 21, 277-292.
Hua Z.S., Huang F.H., (2005), “A variable-grouping based genetic algorithm for large-scale integer programming”, Information Science, 176 (19), 2869-2885.
Hung M.S., Fisk J.C., (1978), “An algorithm for 0-1 multiple knapsack problems”, Naval Research Logistic Quarterly, 24, 571-579.
Ingargiola G.P., Korsh J.F., (1973), “A reduction algorithm for zero-one single knapsack problems”, Management Science, 20, 460-463.
İşlier A.A., (1995), İmalat Problemlerinde Genetik Algoritmalar, Otomasyon Dergisi, Ocak, 94-98.
İşlier A.A., (1997), Tesis Planlaması, Osmangazi Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü, Eskişehir.
Jaszkiewicz A. (2004), “On the computational efficiency of multiple objective metaheuristics.
The knapsack problem case study”, European Journal of Operational Research, 158, 2, 418-433.
Jaszkiewicz A., (2002), “On the performance of multiple-objective genetic local search on the 0/1 knapsack problem-A comparative experiment”, IEEE Transactions on Evoluationary Computation, 6(4), 402-412.
Jenkins L. (2002), “A bicriteria knapsack program for planning remediation of contaminated lightstation sites”, European Journal of Operational Research, 140, 2, 427-433.
Julstrom B.A., (2005), “Greedy, genetic, and greedy genetic algorithms for the quadratic knapsack problem”, Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference, 1, 607-614.
KAYNAKLAR DİZİNİ (devam)
Kelerler H., Mansini R., Pferschy U., Speranza G., (2003), “An efficient fully polynomial approximation scheme for the subset-sum problem”, Journal of Computer and System Sciences, 66, 349-370.
Kellerer H., Pferschy U., Pisinger D. (2004), “Knapsack Problems”, Springer-Verlag, NY.
Klamroth K, Wiecek M M., (2001), “A time-dependent multiple criteria single-machine scheduling problem”, European Journal of Operational Research, 135, 1, 17-26.
Kohli R., Krishnamurti R., Mirchandani P., (2004), “Average performance of greedy heuristics fort he integer knapsack problem”, 154(1), 36-45.
Kolesar P.J., (1967), “A branch and bound algorithm for the knapsack problem”, Management Science, 13, 723-735.
Kubota R., Horio K., Yamakawa T., (2006), “Genetic algorithm with modified reproduction strategy based on self-organizing map and usable schema”, International Congress Series, 1291, 169-172.
Kumar ve Banerjee (2006), “Analysis of a multiobjective evolutionary algorithm on the 0-1 knapsack problem”, Theoretical Computer Science, 358, 104-120.
Laumanns M., Thiele L., Zitzler E., (2006), “An efficient, adaptive parameter variation scheme for metaheuristics based on the epsilon-constraint method”, European Journal of Operation Research, 169, 932-942.
Martello S., Pisinger D., Toth P. (2000), “New trends in exact algorithms for the 0-1 knapsack problem”, European Journal of Operation Research, 123, 325-332.
Martello S., Toth P. (1990), “Knapsack Problems: algorithms and computer implementations”, John Wiley&Sons , Chichester, UK.
Martello S., Toth P., (1980), “Solution of the zero-one multiple knapsack problem”, European Journal of Operational Research, 4, 276-283.
KAYNAKLAR DİZİNİ (devam)
Martello S., Toth P., (1981a), “A bound and bound algorithm for the zero-one multiple knapsack problem”, Discrete Applied Mathematics, 3, 275-288.
Martello S., Toth P., (1981b), “Heuristic algorithms for the multiple knapsack problem”, Computing, 27, 93-112.
Michelon P., Veuilleux L., (1996), “Lagrangean methods for the 0-1 quadratic knapsack problem”, European Journal of Operational Research, 92, 326-341.
Mihelcic S., Slivnik T., Vilfan B. (1997), “The optimal cut of sheet metal belts into pieces of given dimensions”, Engineering Structures, 19(12), 1043-1049.
Morton T.E., Pentico D.W. (1993), “Heuristic Scheduling Systems with Applications to Production Systems and Project Management”, John Wiley&Sons , U.S.A.
Nemhauser G.L. ve Wolsey L.A. (1988), “Integer and Combinatorial Optimiazation”, John Wiley&Sons , U.S.A.
Pinedo M. (2002), “Scheduling Theory, Algorithms, and Systems”, Prentice Hall, New Jersey, U.S.A.
Pisinger D., (1999), “An exact algorithm for large multiple knapsack problems”, European Journal of Operational Research, 114, 528-541.
Rockafellar R.T. and Wets R.J.-B (1998), Variational Analysis, Springer, Berlin.
Saaty T.L. (1980), “The Analytic Hiearchy Process”, McGraw-Hill, NY.
Saaty T.L. (1996), “Fundamentals of Decision Making and Priority Theory with the Analytic Hiearchy Process”, RWS Publications, Pittsburgh, PA.
Sakawa M., Kato K. (2002), “An interactive fuzzy satisficing method for general multiobjective 0-1 programming problems through genetic algorithms with double strings based on reference solution”, Fuzzy Sets and Systems, 125 (3), 289-300.
KAYNAKLAR DİZİNİ (devam)
Sakawa M., Kato K. (2003), “Genetic algorithms with double strings for 0–1 programming problems”, European Journal of Operational Research, 144, 3, 581-597.
Saraç T., Sipahioglu A., (2004), “Solving the quadratic knapsack problem by using modified subgradient algorithm”, International Conference on Continuous Optimization (ICCOPT-I), Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, New York, August 2-4.
Saraç T., Sipahioglu A., (2007), “A genetic algorithm fort he quadratic multiple knapsack problem”, Lecture Notes in Computer Science, 4729, 490-498.
Saraç T., Sipahioğlu A., (2006), “Karesel sırt çantası problemi için subgradient temelli bir çözüm yaklaşımı”, Yöneylem Araştırması ve Endüstri Mühendisliği 26. Ulusal Kongresi, 3-5 Temmuz, İzmit-Kocaeli.
Shachnai H., Tamir T., (2004), “Tight bounds for online class-constrained packing”, Theoretical computer science, 321(1), 103-123.
Shih HS, (2005), “Fuzzy approach to multilevel knapsack problems”, Computers &
Mathematics with Applications, 49(7-8), 1157-1176.
Silva C.G., Climaco J., Figueira J., (2006a), “A scatter search method for bi-criteria {0,1}-knapsack problems”, European Journal of Operational Research, 169, 373-391.
Silva C.G., Climaco J., Figueira J., (2006a), “A scatter search method for bi-criteria {0,1}-knapsack problems”, European Journal of Operational Research, 169, 373-391.