Nesta subse¸c˜ao se demonstra que com o formalismo de espinores de dois componentes ´e poss´ıvel representar um vetor real quadridimensional. Com os agentes respons´aveis por este isomorfismo ´e fact´ıvel obter a conex˜ao de spin presente nas equa¸c˜oes (329) e (330). A teoria por detr´as deste isomorfismo ´e bem extensa e complexa. Por este motivo segue apresentado, resumidamente, todo o desenvolvimento at´e a obten¸c˜ao dos s´ımbolos de I-vdW. Tendo estes s´ımbolos ´e poss´ıvel “converter”os ´ındices do espa¸co-tempo, dados pelas letras gregas, por ´ındices espinoriais, dados pelo alfabeto latino com letras mai´usculas. Verifica-se, que ao converter os ´ındices dos s´ımbolos de Christoffel se obt´em a conex˜ao de spin, que tecnicamente ´e uma conex˜ao “mista”, que possui ´ındices de espa¸co-tempo e espinores. Tal caracter´ıstica ´e apreciada na equa¸c˜ao (466), onde entretanto os ´ındices espinoriais s˜ao omitidos. Nesta se¸c˜ao, torna-se mais clara a estrutura real da conex˜ao de spin, j´a que os ´ındices espinoriais n˜ao s˜ao mais suprimidos, uma vez que s˜ao imprescind´ıveis neste formalismo.
Define-se primeiramente uma base ortonormal vetorial qualquer do espa¸co-tempo, dada por {e1, e2, e3, e4}. Associado a esta base est´a uma m´etrica que define o espa¸co-tempo,
a qual est´a relacionada uma signatura. Em outras palavras, os sinais dos termos diagonais da m´etrica definem a signatura do espa¸co-tempo, que para o presente caso se trata de {+, −, −, −}.
Dado certa signatura, pode-se obter infinitas bases que s˜ao representadas pela mesma m´etrica, de modo que sendo gµν = g (eµ, eν) um componente da m´etrica, tem-se
que
g (eµ, eν) = g e′µ, e′ν , (467)
onde {e′
1, e′2, e′3, e′4} representam uma outra base que pode ser obtida por meio de uma
transforma¸c˜ao usual da base definida originalmente. A transforma¸c˜ao dessas bases ´e feita por meio do matriz L (4 × 4). Logo,
eµ= Lνµe′ν. (468)
Decorre das equa¸c˜oes (467) e (468) que
gµν = LλµLρνgλρ, (469)
que por sua vez indica que Lµ
ν ´e invert´ıvel, com determinante igual `a +1 ou −1 e
classificadas como matrizes ortogonais. O grupo pelo qual estas matrizes s˜ao classificadas ´e o O (p, q), onde p e q indicam a signatura da m´etrica. Nesta classifica¸c˜ao p indica o n´umero de sinais positivos enquanto que q indica o n´umero de sinais negativos.
Quando as matrizes analisadas respeitam a rela¸c˜ao (469) e o determinante delas ´e positivo o grupo estudado ´e classificado como SO (p, q), um subgrupo da classifica¸c˜ao
indicada anteriormente. Desta forma, estuda-se no presente trabalho o grupo SO (3, 1), de acordo com todas as m´etricas utilizadas at´e ent˜ao.
O mapeamento de um vetor do espa¸co-tempo (ℜ4) pode ser feito por meio de um
espinor 2 × 2 (ℜ2,2), de maneira que
(t, x, y, z) −→ √1 2 t + z x − iy x + iy t − z ! . (470)
Pode-se relacionar o determinante da matriz presente no lado direito da rela¸c˜ao (470), chamada de matriz P , com o produto interno do vetor presente no lado esquerdo da mesma rela¸c˜ao. Isto ´e,
detP = 1 2 t
2
− x2− y2− z2 . (471) Resumidamente, conclui-se que a matriz P representa o vetor (t, x, y, z), pertencente ao grupo SO (3, 1). Entretanto ainda ´e necess´ario caracterizar as transforma¸c˜oes das bases do espa¸co-tempo neste novo cen´ario espinorial. Para executar esta fun¸c˜ao, lan¸ca-se m˜ao das matrizes K e M . A transforma¸c˜ao por meio destas ´e dada por
P′ = KP M, (472)
onde detP′ = (detK) (detP ) (detM ), que resulta em
(detK) (detM ) = 1, (473)
de maneira que
detP′ = detP. (474)
Neste caso P′representa um vetor do tipo (t′, x′, y′, z′). Atrav´es da rela¸c˜ao (474) se constata
que o m´odulo do vetor ´e preservado. Tamb´em se verifica que os tipos de transforma¸c˜oes s˜ao os “boosts”e as rota¸c˜oes, presentes no grupo de Lorentz (i.e. t′2− x′2− y′2− z′2=
t2− x2− y2− z2). Isto significa que o mapeamento (472) ´e na realidade uma transforma¸c˜ao
ortogonal em ℜ2,2, ou seja, elementos do O (2, 2).
Assumindo que a rela¸c˜ao (474) ´e verdadeira, faz-se poss´ıvel for¸car que a trans- forma¸c˜ao (472) tamb´em seja ortogonal por meio da redefini¸c˜ao ˜K = (detK)−1/2K e
˜
M = (detK)1/2M . Deste modo, tem-se que a transforma¸c˜ao
P′ = ˜KP ˜M , (475)
com det ˜K = det ˜M = 1 corresponde `a uma transforma¸c˜ao ortogonal.
Pode-se passar esta transforma¸c˜ao para a forma “matricial”ou “tensorial”utilizando ´ındices para indicar as entradas do espinor P nas matrizes de transforma¸c˜ao. Apesar de ter sido utilizado o termo matriz durante toda esta subse¸c˜ao, encara-se todos estes elementos como espinores de rank 2. Deste ponto em diante se atribui aos espinores estudados os ´ındices A, B, C . . . para os componentes de ˜K, que s˜ao prontamente diferentes dos
componentes de ˜M, dados por ˙A, ˙B, ˙C . . .. Esta classe distinta de ´ındices se deve ao car´ater de ˜K e ˜M . Assim como nas transforma¸c˜oes matriciais a matriz multiplicada pelo lado direito da matriz transformada ´e transposta. Todavia, a correspondˆencia desta transposi¸c˜ao no formalismo espinorial ´e a dualidade. Deste modo ˙A, ˙B, ˙C . . . representam os ´ındices de espinores duais.
Como P “interage”com ambos espinores por meio da rela¸c˜ao (475), conclui-se que o mesmo deve ter entrada dos dois tipos de ´ındices de forma que a express˜ao final ´e dada por
P′AB˙ = KACPCD˙MD˙B˙. (476)
Ap´os ter a estrutura espinorial caracterizada, ainda ´e necess´ario estruturar melhor a passagem de ℜ4 para ℜ2,2, presente em (470). Considera-se, primeiramente, uma nova
base mais conveniente para descrever os componentes do espinor 2 × 2, P , dada por (E1, E2, E3, E4). Tais bases s˜ao descritas como
E1 = 1 √ 2(e2+ ie3) , E2 = 1 √ 2(e2− ie3) , E3 = √1 2(e4− e1) , E4 = 1 √ 2(e1+ e4) , (477)
que por sua vez est˜ao inseridos na estrutura espinorial pela seguinte forma
eA ˙B = E4 E2 E1 −E3
!
, (478)
onde A, B = 1, 2 e ˙A, ˙B = 1, 2.
A mesma estrutura da base do espa¸co-tempo vetorial se repete para a presente base espinorial, isto ´e
g (eA ˙B, eC ˙D) = −ǫACǫB ˙˙D, (479) onde εAB = εA ˙˙B = εAB = εA ˙˙B= 0 1 −1 0 ! , (480)
que s˜ao conhecidos como os s´ımbolos de Levi-Civita. Ademais, tais s´ımbolos s˜ao utilizados para subir e baixar ´ındices espinoriais.
Neste momento, em que a base da teoria est´a estabelecida se pode introduzir os s´ımbolos de I-vdW, que fazem a conex˜ao entre a base de ℜ4, dada por e
µ, e ℜ2,2, dada por eA ˙B. Logo, eA ˙B = √1 2σ µ A ˙Beµ. (481)
Como consequˆencia das equa¸c˜oes (478) e (481) segue a express˜ao
que de certo modo exemplifica a passagem de determinado objeto do espa¸co-tempo usual para o cen´ario espinorial, j´a que os s´ımbolos de Levi-Civita tamb´em se comportam como a m´etrica para os espinores.
Al´em disto, de acordo com as defini¸c˜oes dos vetores de base eA ˙B e eµ, encontra-se
que os s´ımbolos de I-vdW s˜ao, segundo as escolhas do presente trabalho, dados por
σ1A ˙B = 1 0 0 1 ! , σ1A ˙B = 1 0 0 1 ! , σ1A ˙B = 1 0 0 1 ! , σ1A ˙B = 1 0 0 1 ! . (483)
Visto que os s´ımbolos de I-vdW representam uma mudan¸ca de base, eles correspon- dem a uma rela¸c˜ao invert´ıvel que, portanto, pode gerar
σµA ˙BσνA ˙B = 2gµν. (484)
H´a nesta equa¸c˜ao, ind´ıcios de que a mesma estrutura da equa¸c˜ao (467) pode ser reproduzida por meio dos s´ımbolos de I-vdW.
Tendo os s´ımbolos de I-vdW sido definidos, basta aplic´a-los na conex˜ao usual do espa¸co-tempo e “converter”seus dois primeiros ´ındices em ´ındices espinorias. Deste modo se realiza o isomorfismo que transporta a conex˜ao usual em sua vers˜ao espinorial, onde o ´ındice de ℜ4 deixado inalterado representa a coordenada do quadrivetor que representa a
derivada covariante. Isto ´e,
Γµνλ −→ ΓABλ, (485)
nesta representa¸c˜ao o ´ındice λ est´a ligado com ∇λ.
Devido `a antissimetria dos dois primeiros ´ındices da conex˜ao afim, d´a-se um tratamento especial na mudan¸ca de ´ındices. Consequentemente,
ΓABλεA ˙˙B+ ΓA ˙˙BλεAB =
1 2σ
µ
A ˙AσνB ˙BΓµνλ. (486)
Verifica-se que ambos s´ımbolos I-vdW do lado direito da equa¸c˜ao realizam a troca dos ´ındices µ e ν da conex˜ao afim por ´ındices espinorias. Ao se isolar os termos procurados
desde o inicio da subse¸c˜ao, tem-se
ΓABλ = 1 4S µν ABΓµνλ, ΓA ˙˙Bλ = 1 4S µν ˙ A ˙BΓµνλ, (487) onde Sµν
AB e SµνA ˙˙B s˜ao dados por
SµνAB = σ[µA ˙Cσν]B ˙ C , SµνA ˙˙B = σ[µC ˙Aσν]CB˙. (488)
Por fim, conclui-se que a conex˜ao de spin pode de fato ser escrita por meio dos s´ımbolos de I-vdW por meio das equa¸c˜oes (487) e (488). Nota-se, entretanto, que os ´ındices antes omitidos das express˜oes (329) e (330), agora se fazem presentes. Pode-se, ent˜ao, descrever ambas equa¸c˜oes de uma maneira mais completa
∇µψA = ∂µψA− ΓABµψB, (489) ∇µψ ˙ A= ∂ µψ ˙ A+ ΓA˙ ˙ Bµψ ˙ B, (490)
Apˆendice B – Classifica¸c˜ao de Lounesto
Neste apˆendice est´a descrito a classifica¸c˜ao de Lounesto, segundo os bilineares covariantes dos espinores. Entretanto, assim como na constru¸c˜ao do dual do ELKO na se¸c˜ao 4.1.2.5, verifica-se que a classifica¸c˜ao de Lounesto, baseada no espinor de Dirac, n˜ao comporta a estrutura deste espinor. Por este motivo tamb´em segue descrito neste apˆendice informa¸c˜oes baseadas no artigo (SILVA et al.,2016), onde o processo de constru¸c˜ao
dos bilineares ´e refeito para o ELKO, de forma a se redefinir algumas caracter´ısticas da classifica¸c˜ao de Lounesto convencional.
Deste modo seguem duas se¸c˜oes neste apˆendice, onde a primeira descreve basi- camente a classifica¸c˜ao de Lounesto que ´e utilizada, por quest˜ao de completeza, para a discuss˜ao posterior dos bilineares do ELKO. Por outro lado, na segunda se¸c˜ao est´a descrito os principais argumentos e os elementos bilineares reconstru´ıdos de modo a atender uma classifica¸c˜ao baseada na de Lounesto. Por meio deste ´ultimo, observa-se que existe um abuso de linguagem de alguns autores ao classificar o ELKO segundo Lounesto.