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A ideia por detr´as dos duais, tanto para o ELKO quanto para o pr´oprio campo de Dirac, ´e se obter um escalar quando os mesmos s˜ao compostos com os campos usuais. O significado f´ısico desta afirma¸c˜ao se baseia na invariˆancia e na covariˆancia de seus valores para diversos referenciais poss´ıveis. Uma grandeza escalar se demonstra invariante por transforma¸c˜oes de Lorentz. Por outro lado, as grandezas covariantes tamb´em s˜ao interessantes do ponto de vista f´ısico, pois elas possuem uma mesma forma para qualquer referencial, mantendo assim a sua maneira de se transformar. Essas caracter´ısticas s˜ao na realidade uma propriedade imprescind´ıvel que permite as medi¸c˜oes f´ısicas coerentes e, portanto, validam a teoria proposta frente a natureza. Tais fatos est˜ao intimamente ligados com as defini¸c˜oes dos bilineares e consequentemente a classifica¸c˜ao de Lounesto (ROCHA; RODRIGUES JR., 2006; LOUNESTO, 2001).

Segue no apˆendice (B) uma breve explica¸c˜ao sobre os bilineares e a classifica¸c˜ao de Lounesto. Tamb´em se demonstra neste apˆendice que o ELKO possui uma estrutura distinta da proposta por essa classifica¸c˜ao, e portanto n˜ao pode ser classificado segundo a mesma. O problema que ocorre ´e fruto do fato de que os espinores de Dirac foram utilizados para constru¸c˜ao das classes de espinores. No decorrer deste cap´ıtulo fica claro que n˜ao se pode construir um dual para o ELKO a “la Dirac”.

Ao se testar produzir um dual para o espinor ELKO, do mesmo modo que ´e produzido para Dirac, ´e poss´ıvel verificar que suas composi¸c˜oes com os usuais ´e ou nula ou imagin´aria. Algo indubitavelmente problem´atico do ponto de vista de medi¸c˜oes. Sendo assim, se o dual do ELKO for definido como sendo

¯

λS/A_{±,∓}(~p) =¯

λ_{±,∓}(~p)†

ou seja, igual ao espinor de Dirac, as combina¸c˜oes s˜ao ¯ λC_α (~p) λC_α′′(~p) = 2imε C αα′δ C′ C , (229) onde εC

αα′, com C = S, ´e igual a −1 para α = {+, −} e α′ = {−, +}, igual a 1 para

α = {−, +} e α′ _{= {+, −} e igual a zero para α = α}′_{. Por outro lado, quando C = A,}

tem-se que εC

αα′ ´e igual a 1 para α = {+, −} e α′ = {−, +}, igual a −1 para α = {−, +} e

α′ _{= {+, −} e tamb´em igual a zero para α = α}′_{. Nesta equa¸c˜ao n˜ao se deve interpretar}

os ´ındices C covariante e contravariante como uma soma, de acordo com a nota¸c˜ao de Einstein.

Deste modo se deve buscar uma outra defini¸c˜ao que conserve o car´ater da express˜ao (229) com rela¸c˜ao `as helicidades e os tipos de espinores (auto-conjugados e anti auto- conjugados). Nesta constru¸c˜ao se deve garantir que a norma do espinor seja real e tamb´em garantir uma norma positiva definida para dois dos quatro ELKOs e norma negativa definida para os dois restantes (ROG´eRIO, 2014; AHLUWALIA,2013). Esta ´ultima exigˆencia

´e uma forma de se garantir a simetria j´a presente na equa¸c˜ao (229).

De acordo com (ROG´eRIO, 2014; AHLUWALIA; GRUMILLER, 2005b; AHLUWALIA, 2013), faz-se plaus´ıvel supor uma constru¸c˜ao de dual de um espinor gen´erico ̺α(~p) da

seguinte maneira

˜

̺α(~p) = [Ξ̺α(~p)]†η, (230)

onde o operador Ξ possui a fun¸c˜ao de converter o espinor ̺α em um espinor ̺α′ do

seu pr´oprio conjunto. Como alertado no final da subse¸c˜ao anterior, a estrutura das transforma¸c˜oes de “boost”do ELKO ´e imprescind´ıvel para entender a fun¸c˜ao de Ξ em (230). Os termos correspondentes `as transforma¸c˜oes dependem de E, ~p e m. Deles, somente m ´e invariante por transforma¸c˜oes de Lorentz. Deste modo unicamente m pode aparecer na express˜ao final, j´a que tal composi¸c˜ao representa uma medida f´ısica. Tal caracter´ıstica j´a ´e obtida quando se cria um dual do ELKO “a la Dirac”, como visto em (229). Deste modo a cria¸c˜ao deste novo dual para o ELKO n˜ao pode falhar em manter propriedades desej´aveis j´a obtidas. Ap´os se obter a forma da matriz η, discute-se um pouco mais o papel de Ξ na pr´atica.

Este operador dever possuir um mapeamento invert´ıvel, que culmina na propriedade Ξ2 _{= I. Por outro lado, a invariˆancia de Lorentz dita que a matriz η deve comutar com os}

geradores de “boosts“ e rota¸c˜oes. Isto ´e,

{K, η} = 0 (231)

para os “boosts“ e

{J, η} = 0 (232)

para as rota¸c˜oes. Por meio de c´alculos simples baseados nas equa¸c˜oes (231) e (232), presentes em (ROG´eRIO, 2014; AHLUWALIA,2013), demostra-se que a matriz η ´e dada por

η =         0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0         , (233)

ou seja, η = γ0. Observa-se que, assim como no caso de Dirac, a matriz γ0 emerge da

defini¸c˜ao de um espinor dual. No caso de Dirac, as combina¸c˜oes, dadas pelas equa¸c˜oes (188) e (189), multiplicam-se de maneira cruzada por conta da matriz γ0. Isto ´e, na

composi¸c˜ao do dual de Dirac com seu usual surge a multiplica¸c˜ao de q

E+m 2m



I + _E+m~σ·~p  por qE+m_2m _{I − E+m}~σ·~p , de maneira a resultar em 2m, um invariante de Lorentz. Todavia este cen´ario n˜ao ´e apreciado no caso do ELKO por meio do dual do tipo (228). De acordo com as equa¸c˜oes (224), (225), (226) e (227) todo o espinor possui os fatores q E+m 2m  I +_E+m~σ·~p e q E+m 2m  I − E+m~σ·~p 

. Logo, para produzir a multiplica¸c˜ao citada acima ´e necess´ario que o dual possua a estrutura de outro usual, s´o que com helicidade trocada. Com isto, a fun¸c˜ao Ξ ´e justamente trocar a helicidade e trazer a estrutura deste outro usual `a tona. Para o ELKO, a equa¸c˜ao (229) indica que o operador Ξ ´e pode ser dado por

Ξ = 1 2mλ

S

+(~p) ¯λS+(~p) + λS−(~p) ¯λS−(~p) − λ+A(~p) ¯λA+(~p) − λA−(~p) ¯λA−(~p) , (234)

onde a constru¸c˜ao formal deste operador se faz presente em (AHLUWALIA, 2013), por

exemplo. Pode-se represent´a-lo por meio das fun¸c˜oes G (φ), apresentado na subse¸c˜ao

4.1.2.7. Resumidamente, tem-se que o dual do ELKO ´e dado por

¬

onde o s´ımbolo acima do λ do lado esquerdo da equa¸c˜ao representa o novo dual do ELKO. Por sua vez, esta rela¸c˜ao permite reescrever a regra contida na equa¸c˜ao (229) da seguinte forma ¬ λ C α (~p) λC ′ α′ (~p) = 2mδα ′ α δ C′ CβC, (236)

onde βC _{= 1 para C = S e β}C _{= −1 para C = A. Assim como anteriormente, os ´ındices}

n˜ao exibem nenhum car´ater de soma, segundo a nota¸c˜ao de Einstein. Substituindo a equa¸c˜ao (234) em (235) resulta no conjunto completo de duais, dados por

¬ λ S +(~p) = −iλS−(~p) † γ0, (237) ¬ λ S −(~p) = iλS+(~p) † γ0, (238) ¬ λ A +(~p) = −iλA−(~p) † γ0, (239) ¬ λ A −(~p) = iλA+(~p) † γ0. (240)