Suponha que você decida provar sua conjectura Ainda que um simples contra-exemplo seja suficiente para refutar a conjectura, em geral muitos exemplos não provam a suposição — eles simplesmente fortalecem sua inclinação a procurar uma demonstração. A única exceção desta situação ocorre quando você está fazendo uma asserção sobre uma coleção finita. Neste caso, a asserção pode ser provada verdadeira desde que se mos- tre ser verdadeira para cada um dos elementos da coleção. Por exemplo, a asserção "Se um inteiro entre 1 e 20 é divisível por 6, então ele também é divisível por 3" pode ser provada, mostrando-se simplesmente para os inteiros divisíveis por 6 entre 1 e 20.
Demonstração Direta
No caso geral, como podemos demonstrar que é verdadeira? A abordagem óbvia é a demonstração direta — assume-se a hipótese P como verdadeira e deduz-se a tese Q.
Nós iremos dar uma demonstração direta para o exemplo dado como teorema. "Se um inteiro é divisível por 6, então ele também é divisível por 3." O teorema faz uma afirmação sobre um inteiro arbitrário, sua forma é:
EXEMPLO 2
EXEMPLO 1
onde o domínio de interpretação é entendido como sendo os inteiros. Vamos então representar por x um intei- ro arbitrário e provar
x divisível por divisível por 3
Para desenvolver a demonstração, assumimos que a hipótese de que x é divisível por 6 é verdadeira, e então deduzimos que a tese x é divisível por 3 também é verdadeira. Nós temos que utilizar a definição de divisibi- lidade — a é divisível por b, se a é igual ao produto de um inteiro por b — e também outras propriedades aritméticas.
Hipótese: x é divisível por 6
x = k .6 para algum inteiro k (definição de divisibilidade)
6 = 2.3 (fato numérico)
x = k(2 . 3) (substituição)
x = (k . 2)3 (associatividade do produto) k . 2 é um inteiro (fato conhecido dos inteiros)
Conclusão: x é divisível por 3 (definição de divisibilidade) •
Note que um dos nossos primeiros passos no Exemplo 2 foi identificar claramente a hipótese e a tese, não só o que elas são em palavras, mas o que elas realmente significam, pela aplicação de definições apropri- adas. Se não entendemos claramente o que nós temos (a hipótese) e o que nós desejamos (a tese), não podemos esperar construir um elo de ligação entre uma e outra. Esta é a razão da importância de se conhecer definições.
Forneça uma demonstração direta para o teorema "Se um inteiro é divisível por 6, então duas vezes o inteiro é divisível por 4". Mostre cada passo para se ir da hipótese à tese. •
Uma demonstração direta de que o produto de dois pares é par é: Seja x = 2m e y = 2n, com m e n inteiros. Então xy = (2m)(2n) = 2(2mn), onde 2mn é um inteiro. Então xy é da forma 2k, onde k é um inteiro, logo xy é par.
Esta prova é menos formal do que a do Exemplo 2; ela não indica a hipótese explicitamente e faz uso implícito da definição de um inteiro par. Entretanto, a prova seria perfeitamente aceitável na maioria das cir- cunstâncias. •
Contraposição
Se você tiver tentado assiduamente, mas falhado, produzir uma demonstração direta de sua conjectura e ainda sente que a conjectura é verdadeira, você deve tentar algumas variantes da técnica de prova direta. Se você pode demonstrar o teorema , pode concluir que pelo uso da tautologia
é a contrapositividade de A técnica para demonstrar que construindo uma prova direta de é chamada de demonstração por contraposição. Já vimos demonstrações diretas, de forma que a única idéia nova aqui é a aplicação da contrapositividade.
A contrapositividade do teorema "Se um inteiro é divisível por 6, então ele também é divisível por 3" é "Se um inteiro não é divisível por 3, então ele também não é divisível por 6". A forma mais fácil de provar este teore- ma é a demonstração direta dada no Exemplo 2, porém a demonstração por contraposição também é possível.
Hipótese: x não é divisível por 3
para algum inteiro k (Esta é a negação de divisibilidade por 3.) para algum inteiro k1 (2k1 pode ser um inteiro k, definido acima.)
para algum inteiro k1 (propriedade da multiplicação)
para algum inteiro kl (fato numérico)
Conclusão: x não é divisível por 6 (negação da divisibilidade por 6). •
EXEMPLO 4 PRÁTICA 2
PRÁTICA 3 EXEMPLO 5
EXEMPLO 6
PRÁTICA 4
EXEMPLO 7
Seção 2.1 Técnicas de Demonstração 53
Escreva a contraposição para cada sentença da Prática 3 do Cap. 1.
• Demonstre que se o quadrado de um número é ímpar, então o número também é ímpar.
O teorema é n2 ímpar n ímpar. Nós faremos a demonstração por contraposição, ou seja, demonstrare- mos que n par rr par. Seja n par. Então rr - n(n) é par pelo Exemplo 3. • A Prática 7 do Cap. 1 mostrou que as wffs não são equivalentes. é a recíproca de Se uma implicação é verdadeira, a sua recíproca pode ser verdadeira ou falsa. Portanto, não pode- mos demonstrar a partir do resultado
A implicação "Se a > 5 então a > 2" é verdadeira, no entanto a sua recíproca "Se a > 2 então a > 5" é falsa.
Escreva a recíproca de cada sentença da Prática 3 do Cap. 1. • Teoremas são, por diversas vezes, enunciados na forma: P se, e somente se, Q, significando P se Q e P somente se Q, ou Para demonstrar um teorema como esse, deve-se demonstrar tanto uma implicação como a sua recíproca. Lembre-se de que qualquer teorema do tipo "se e somente se" requer uma demonstração em ambas as direções.
Demonstre que o produto xy é ímpar se, e somente se, x e y são inteiros ímpares.
Provaremos inicialmente que se x e y são ímpares, então xy também o é. Faremos uma demonstração direta. Suponha que x e y são ímpares. Então x = 2n + 1 e y = 2m + 1, onde m e n são inteiros. Então xy = (2n + 1) (2m + 1) = 4nm + 2m + 2« + 1 = 2 (2nm + m + n) + 1. Assim xy é da forma 2k + 1 onde k é um inteiro, logo xy é ímpar.
A seguir mostraremos que se xy é ímpar, então x e y devem ser ímpares, ou
xy ímpar x ímpar e y ímpar
Faremos aqui uma demonstração por contraposição, demonstraremos que
(x ímpar e y ímpar)' (xy ímpar)'
Pela Lei de De Morgan veremos que esta conjectura pode ser escrita como
x par ou y par xy par (1) A hipótese "x par ou y par" pode ser dividida em três partes. Consideremos uma por vez.
1. x par, y ímpar. Temos x = 2m, y = 2n + 1 e xy = (2m) (2n + 1) = 2 (2mn + m), que é par. 2. x ímpar, y par: O procedimento é semelhante ao caso 1.
3. x par, v par: Neste caso xy é par pelo Exemplo 3.
Isto completa a demonstração de (1) e do teorema. • Parte da demonstração do Exemplo 7 utiliza a técnica conhecida como demonstração por exaustão que algumas vezes é muito útil. Ela envolve a identificação de todos os casos possíveis com as informações dadas e, em seguida, a prova de cada um desses casos separadamente.
Contradição
Além da demonstração direta e da demonstração por contraposição, podemos usar a técnica de demonstração por contradição (algumas vezes chamada demonstração indireta; entretanto este termo significa, na verdade, qualquer argumento que não seja uma demonstração direta). Como fizemos no Cap. 1, associaremos 0 valor 0 (zero) a qualquer contradição, isto é, qualquer wff que tem valor-verdade sempre falso. (. , por exemplo, é uma wff deste tipo.) Mais uma vez, suponhamos que estamos tentando demonstrar que Por constru- ção da tabela-verdade, veremos que
é uma tautologia, então para demonstrar que o teorema é suficiente demonstrar que
Portanto, em uma prova por contradição, você assume que tanto a hipótese como a negação da tese são verda- deiras, e então tenta obter algumas contradições a partir dessas suposições.
Vamos usar a prova por contradição para a sentença "Se um número somado a ele próprio resulta no próprio número, então o número é 0 (zero)". Representemos por x um número qualquer. A hipótese é x + x = x e a conclusão é x = 0. Para construirmos uma demonstração por contradição, assumamos que x + x = x e que x 0. Então 2x = x e Como , podemos dividir ambos os lados da equação 2x = x por x, o que nos leva à contradição 2 = 1 . Logo (x + x = x) (x = 0). •
Uma prova por contradição bem conhecida mostra que não é um número racional. Lembrando que um
número racional é um número que pode ser escrito na forma p/q onde p e q são inteiros, q 0 e p e q não têm
fatores comuns (além de 1).
Vamos assumir que é racional. Então = p/q, e 2 = p2/q2, ou seja 2q2 = p2. Então 2 divide p2,
logo 2 deve dividir p. Isto significa que 2 é um fator de p, logo 4 é um fator de p2, e a equação 2q2 = p2 po- de ser escrita como 2q2 = 4x , ou q2 = 2x. Obtemos desta equação que 2 divide q2, logo 2 divide q. Então 2 é
fator de q e fator de p, o que contradiz a hipótese de que p e q não têm fatores comuns. Logo não é racio- nal.
•
Prove por contradição que o produto de dois inteiros pares é par. (Nós fizemos a prova direta deste resultado no Exemplo 7.) • A demonstração por contradição pode ser uma técnica útil, mas é fácil imaginar que fizemos uma de- monstração por contradição sem tê-la feito. Por exemplo, suponha que assumimos , e que deduzimos Q sem usar a hipótese Q'.E então chegamos a como uma contradição. O que de fato realizamos neste caso foi uma demonstração direta de , e devemos reescrever a demonstração desta forma. Voltando ao Exemplo 8 nós poderíamos assumir que x + x = x e . como antes. Poderíamos argumentar então que de
x + x = x nós obtemos 2x = x e depois, subtraindo x de ambos os lados obter x = 0. Nós temos então, x = 0
e o que é uma contradição. Entretanto, no argumento utilizado, em momento algum, fizemos uso da hipótese nós provamos diretamente que x + x = x implica x = 0.
Outro engano comum na demonstração por contradição, ocorre quando assumimos e estamos aptos a deduzir F sem usar a hipótese P. Então nós assumimos como uma contradição. O que realmen- te elaborou-se aqui foi uma prova direta de , desenvolveu-se, portanto, uma demonstração por contra- posição e não uma demonstração por contradição.
Ainda não discutimos um método de demonstração especialmente útil na ciência da computação — a indução matemática. Ele será objeto da próxima seção.
Revisão da Seção 2.1
Técnicas
• Procura de contra-exemplos
• Construção de demonstrações diretas, demonstrações por contraposição, e demonstrações por con- tradição
Idéias Principais
O raciocínio indutivo é usado para formular uma conjectura baseada em experiência.
O raciocínio dedutivo é usado tanto para refutar uma conjectura encontrando um contra-exemplo, como para prová-la.
Na demonstração de uma conjectura, fatos lógicos e fatos sobre assuntos particulares podem ser usados. Se não podemos demonstrar diretamente uma conjectura, podemos tentar demonstrá-la por contraposição ou por contradição.
EXEMPLO 8
EXEMPLO 9
Exercícios 2.1
As definições a seguir podem ser úteis na resolução de alguns dos exercícios. Um quadrado perfeito é um inteiro n tal que n = k2 para algum inteiro k. Um número primo é um inteiro n > 1 tal que n não é divisível por nenhum inteiro além de 1 e n. Para dois números x e y, x < y significa y - x > 0.
1. Escreva a recíproca e contraposição para cada sentença do Exercício 4 da Seção 1.1. 2. Encontre contra-exemplos para cada uma das seguintes afirmações:
a. Toda figura geométrica com quatro ângulos retos é um quadrado. b. Se um número real não é positivo, então ele deve ser negativo. c. Todas as pessoas ruivas têm olhos verdes ou são altas. d. Todas as pessoas ruivas têm olhos verdes e são altas.
3. Prove que se n = 25, 100 ou 169 então n é um quadrado perfeito e é a soma de dois quadrados perfeitos. 4. Prove que se n é um inteiro par, então n é a soma de dois números primos.
5. Forneça uma demonstração direta de que a soma de inteiros pares é par. 6. Prove por contradição que a soma de inteiros pares é par.
7. Prove que a soma de dois inteiros ímpares é par.
8. Prove que a soma de um inteiro par e um inteiro ímpar é ímpar. 9. Prove que o produto de quaisquer dois inteiros consecutivos é par. 10. Prove que a soma de um inteiro e do seu quadrado é par.
11. Prove que o quadrado de um número par é divisível por 4. 12. Prove que para qualquer inteiro n, o número
3(n2 + 2n + 3) - 2n2 é um quadrado perfeito.
13. Prove por contradição que se qualquer número x é positivo, então x + 1 também é positivo. 14. Sejam x e y números positivos, prove que x < y se, e somente se, x2 < y2.
15. Prove que se x2 + 2x — 3 = 0 , então x 2.
16. Prove que se x é inteiro par e primo, então x = 2.
17. Prove que se dois inteiros são ambos divisíveis por um inteiro n, então a sua soma é divisível por n. 18. Prove que se o produto de dois inteiros não é divisível por um inteiro n, então nenhum dos inteiros é
divisível por n.
19. Prove que a soma de três inteiros consecutivos é divisível por 3.
20. Prove que o quadrado de um inteiro ímpar pode ser escrito como 8k + 1 para algum inteiro k. 21. Prove que a diferença de dois cubos consecutivos é ímpar.
22. Prove que a soma de quadrados de dois inteiros ímpares não pode ser um quadrado perfeito. (Sugestão. Use o Exercício 20.)
23. Prove que o produto dos quadrados de dois inteiros é um quadrado perfeito.
24. Suponha que você usou os passos do Exemplo 9 para tentar mostrar que não é um número racional. Em qual passo a prova não seria válida?
25. Prove que não é um número racional. 26. Prove que não é um número racional. 27. Prove que não é um número racional.
28. Prove ou apresente um contra-exemplo: O produto de quaisquer três inteiros consecutivos é par. 29. Prove ou apresente um contra-exemplo: A soma de quaisquer três inteiros consecutivos é par. 30. Prove ou apresente um contra-exemplo: O produto de um inteiro pelo seu quadrado é par.
31. Prove ou apresente um contra-exemplo: A soma de um inteiro com o seu cubo é par.
32. Prove ou apresente um contra-exemplo: Para um inteiro positivo
33. Prove ou apresente um contra-exemplo: Para todo número primo n, n + 4 é primo.
34. Prove ou apresente um contra-exemplo: O produto do dois números irracionais é irracional. 35. Prove ou apresente um contra-exemplo: A soma de dois números racionais é racional. Para os exercícios 36 a 38, use a figura abaixo e os seguintes fatos da geometria:
• A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°.
• Ângulos opostos pelo vértice (ângulos opostos que são formados quando duas linhas se interceptam) têm a mesma medida.
• Um ângulo raso mede 180°. • Um ângulo reto mede 90°.
36. Prove que a medida do ângulo 4 é a soma das medidas dos ângulos 1 e 2. 37. Prove que a medida do ângulo 5 mais a medida do ângulo 3 é 90°.
38. Se o ângulo 1 e o ângulo 5 têm a mesma medida, então o ângulo 2 é um ângulo reto.
Seção 2.2
Indução
O Método
Existe uma última técnica de demonstração que se aplica a determinadas situações. Para ilustrar o uso desta técnica, imagine que você está subindo em uma escada sem fim. Como você pode saber se será capaz de alcan- çar um degrau arbitrariamente alto? Suponha que você faça as seguintes afirmações sobre as suas habilidades de subir escadas:
1. Você pode alcançar o primeiro degrau.
2. Se você alcançar um degrau, você pode sempre passar ao degrau seguinte. (Note que esta asserção é uma implicação.)
Seção 2.2 Indução 57 Tanto a sentença 1 como a implicação na sentença 2 são verdadeiras; então, pela sentença 1 você pode chegar ao primeiro degrau e pela sentença 2 você pode chegar ao segundo; novamente pela 2 você pode chegar ao terceiro; pela sentença 2 novamente você pode chegar ao quarto degrau, e assim sucessivamente. Você pode, então, subir tão alto quanto você queira. Neste caso, ambas as asserções são necessárias. Se apenas a sentença 1 é verdadeira, você não tem garantias de que poderá ir além do primeiro degrau, e se apenas a segunda sen- tença é verdadeira, você poderá não chegar ao primeiro degrau a fim de iniciar o processo de subida da escada. Vamos assumir que os degraus da escada são numerados com os números inteiros positivos — 1, 2, 3, e assim por diante. Agora vamos considerar uma propriedade específica que um número pode ter. Ao invés de "alcan- çarmos um degrau arbitrário" podemos mencionar que um inteiro positivo arbitrário tem essa propriedade. Usaremos a notação simplificada P(n) para denotar que o inteiro positivo n tem a propriedade P. Como pode- mos usar a técnica de subir escadas para provar que para todos inteiros positivos n nós temos P(n)? As duas afirmações de que precisamos para a demonstração são:
1. P(l) (1 tem a propriedade P.)
2.Para qualquer inteiro positivo k, (Se algum número tem a propriedade P, então
o número seguinte também a tem.)
Se pudermos demonstrar as sentenças 1 e 2, então P(n) vale para qualquer inteiro positivo n, da mesma manei- ra que nós podemos subir até um degrau arbitrário na escada.
O fundamento deste tipo de argumentação é chamado princípio de indução matemática, que pode ser enunciado como
P(n) verdadeira para todos os n inteiros positivos
O princípio da indução matemática é uma implicação. A tese desta implicação é uma sentença da forma "P(n) é verdadeira para todos os n inteiros positivos". Portanto, sempre que desejamos demonstrar que algu- ma propriedade é válida para todo inteiro positivo n, uma tentativa é o uso da indução matemática como téc- nica de demonstração.
Para averiguarmos que a tese desta implicação é verdadeira, mostramos que as duas hipóteses, ou seja, as afirmações 1 e 2 são verdadeiras. Para demonstrar a afirmação 1, precisamos apenas mostrar que a propri- edade P vale para o número 1, o que é normalmente uma tarefa trivial. Para demonstrar a afirmação 2, uma implicação que deve valer para todo k, assumimos que P(k) é verdadeira para um inteiro arbitrário k, e basea- dos nesta hipótese mostramos que P(k + 1) é verdadeira. Você deve convencer a si próprio que assumir a propriedade P como válida para o número k não é a mesma coisa que assumir o que desejamos demonstrar (uma freqüente fonte de confusão, quando nos deparamos pela primeira vez com este tipo de demonstração). Assumi-la como verdadeira é simplesmente o caminho para elaborar a prova de que a implicação
é verdadeira.
Ao desenvolver uma demonstração por indução, estabelecemos inicialmente a veracidade da sentença 1,P(1), que é chamada de base da indução ou passo básico, para a demonstração indutiva. Estabelecer que a sentença é verdadeira constitui o passo indutivo. Quando assumimos que P(k) é verdadeira com o intuito de demonstrar o passo indutivo, P(k) é chamado de suposição indutiva, ou hipótese induti- va.
Todos os métodos de demonstração sobre os quais comentamos neste capítulo são técnicas de raciocínio dedutivo — formas de demonstrar uma conjectura que possivelmente foi formulada por um raciocínio induti- vo. A indução matemática também é uma técnica dedutiva, e não um método para o raciocínio indutivo (pro- cure não ficar confuso com a terminologia utilizada aqui). Para outras técnicas de demonstração, podemos começar com as hipóteses, e encadear fatos até que mais ou menos tropecemos em uma solução. De fato, mes- mo que nossa conjectura seja ligeiramente incorreta, provavelmente acabamos por verificar a tese correta no decorrer do processo de demonstração. Na indução matemática, entretanto, devemos saber no princípio a forma exata da propriedade P(n) que estamos tentando estabelecer. A indução matemática, portanto, não é uma téc- nica de demonstração exploratória — ela pode apenas confirmar uma conjectura correta.