press˜ao (4.3) para ak que
ak(t, w) = 0 para todo t ∈ R
para cada k = 1, . . . , m, de modo que
W (t, w) = 0 para todo t ∈ R
i.e. w ∈ EW. Observe ainda que o conjunto descrito em (5.1) ´e, conforme a equa¸c˜ao (4.2), exata-
mente o conjunto dos pontos cr´ıticos de V i.e. o conjunto dos pontos de G onde o diferencial de V se anula.
Sintetizamos nossas conclus˜oes at´e agora no seguinte enunciado.
Proposi¸c˜ao 5.3. Suponha que (xr, ur1, . . . , urm) ´e uma trajet´oria de referˆencia T -peri´odica regular
do sistema (3.1), e seja W o campo auxiliar associado a esta trajet´oria. Ent˜ao s˜ao iguais os seguintes conjuntos:
• o conjunto dos pontos de equil´ıbrio EW;
• o conjunto dos pontos Ω-limite ΩW;
• o conjunto dos pontos cr´ıticos de V .
At´e o fim deste cap´ıtulo suporemos que (xr, ur1, . . . , urm) ´e regular no sentido da Defini¸c˜ao 5.1.
5.2 Estudo dos conjuntos Ω-limite – parte II
Recapitulando nossos objetivos postos no fim do Cap´ıtulo 3, j´a demonstramos no Corol´ario4.9 que e ∈ EW. Este mesmo corol´ario nos diz que o nosso segundo objetivo – provar que e ´e um atrator
local de W – s´o ´e fact´ıvel se G for um grupo de Lie semi-simples. Ainda sem supor esta condi¸c˜ao, vamos deduzir mais algumas propriedades do conjunto EW que nos aproximar˜ao da solu¸c˜ao do
problema.
Proposi¸c˜ao 5.4.
1. Se x ∈ EW e y ∈ G ent˜ao y · x · y−1∈ EW.
2. Se x · y ∈ EW ent˜ao y · x ∈ EW.
3. Se x ∈ EW ent˜ao x−1 ∈ EW.
1. Para todo X ∈ g temos que
trAd y · x · y−1 · ad(X) = tr Ad(y) · Ad(x) · Ad(y)−1· ad(X) = trAd(x) · Ad(y)−1· ad(X) · Ad(y) = trAd(x) · ad Ad(y)−1X
= 0 pois x ∈ EW por hip´otese. Da´ı y · x · y−1 ∈ EW.
2. Se x · y pertence a EW ent˜ao pelo item anterior temos que y · (x · y) · y−1 = y · x tamb´em
pertence a EW.
3. Sejam h·, ·i um produto interno Ad-invariante em g conforme a Proposi¸c˜ao 2.15 e Y1, . . . , Yn
uma base ortonormal de g. Ent˜ao fixado X ∈ g temos que trAd x−1 · ad(X) = n X j=1 Ad x−1 · ad(X)Y j, Yj = n X j=1 had(X)Yj, Ad(x)Yji = − n X j=1 hYj, ad(X)Ad(x)Yji = − n X j=1 had(X)Ad(x)Yj, Yji = −tr {ad(X) · Ad(x)} = −tr {Ad(x) · ad(X)} = 0
pois x ∈ EW. Como X ∈ g ´e arbitr´ario, conclu´ımos que x−1 ∈ EW.
Inspirados na proposi¸c˜ao acima, poder´ıamos imaginar que EW ´e um subgrupo de G. De fato,
mostraremos a seguir que se esta conjectura for verdadeira ent˜ao EW ´e discreto.
Proposi¸c˜ao 5.5. Suponha que G ´e semi-simples e que EW ´e um subgrupo de G. Ent˜ao EW ´e um
subconjunto discreto de G. Em particular, a identidade e ´e um ponto isolado de EW.
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, observe que EW ´e um subconjunto fechado de G. Se al´em disso ele
for um subgrupo de G ent˜ao pelo Teorema do Subgrupo Fechado1 temos que EW ´e um subgrupo
de Lie de G. Denotemos por h ⊂ g sua ´algebra de Lie.
1
5.2. ESTUDO DOS CONJUNTOS Ω-LIMITE – PARTE II 59 Fixemos X ∈ h. Para cada Y ∈ g defina fY : R → R por
fY(t) ˙= trAd etX · ad(Y )
para cada t ∈ R. Como X ∈ h temos que etX ∈ E
W para todo t ∈ R de modo que segundo a
Proposi¸c˜ao 5.3temos fY(t) = 0 para todo t ∈ R. Derivando temos fY′ (t) = d dttrAd e tX · ad(Y ) = tr d dtAd e tX · ad(Y ) = tr Ad etX · ad dLe−tX d dte tX · ad(Y ) = trAd etX · ad dL e−tXX etX · ad(Y ) = trAd etX · ad (X) · ad(Y )
que ´e igual a 0 para todo t ∈ R. Em particular para t = 0 temos que fY′ (0) = tr {Ad (e) · ad (X) · ad(Y )}
= tr {ad (X) · ad(Y )} ´e igual a 0, ou seja
B(X, Y ) = 0
onde B ´e a forma de Killing de g introduzida na Se¸c˜ao 2.1. Como Y ∈ g ´e arbitr´ario e G por hip´otese ´e semi-simples conclu´ımos que X = 0.
Como X ∈ h ´e arbitr´ario temos h = {0} e, portanto, EW ´e um subgrupo discreto de G.
A conclus˜ao acima ´e at´e mais forte. Como EW ´e fechado e G ´e por hip´otese compacto temos
que EW ´e compacto. Sendo discreto, EW ´e finito! Infelizmente, n˜ao conseguimos demonstrar que
EW ´e um subgrupo de G (e honestamente n˜ao acreditamos que isso seja verdade), de modo que
teremos que empregar outra t´ecnica para demonstrar que e ´e um ponto isolado de EW – e, mais
que isso, ´e um atrator local de W –, a qual introduzimos a seguir.
Defini¸c˜ao 5.6. Sejam M uma variedade e f : M → R uma fun¸c˜ao suave. Dizemos que x ∈ M ´e um ponto cr´ıtico n˜ao-degenerado de f se
• existe uma vizinhan¸ca coordenada (U, φ) de x tal que a matriz Hessiana de f ◦ φ−1
∂2(f ◦ φ−1)
∂xj∂xk
1≤j,k≤n
´e n˜ao-singular no ponto φ(x). ´
E poss´ıvel mostrar que embora a matriz Hessiana dependa da vizinhan¸ca coordenada escolhida a condi¸c˜ao de n˜ao-degenerescˆencia ´e invariante: se a matriz Hessiana de f ´e n˜ao-singular em algum sistema de coordenadas local de um dado ponto ent˜ao o ´e em qualquer sistema de coordenadas local do ponto em quest˜ao. ´E uma consequˆencia do Lema de Morse2 que todo ponto cr´ıtico n˜ao-
degenerado de uma fun¸c˜ao suave ´e isolado, isto ´e, possui uma vizinhan¸ca que n˜ao cont´em outros pontos cr´ıticos. Para mais detalhes sobre esses assuntos consultar [Mil63], Parte I, par´agrafo 2.
Procedemos provando que todo x ∈ Z(G) ´e um ponto cr´ıtico n˜ao-degenerado de V . Com tal finalidade introduzimos uma fam´ılia especial de sistemas de coordenadas em G, `as vezes chamados na literatura de coordenadas de segunda esp´ecie (coordinates of second kind).
Lema 5.7. Sejam x ∈ G, Y1, . . . , Yn∈ g e Φ : Rn→ G dada por
Φ(t1, . . . , tn) ˙= x · et1Y1· . . . · etnYn
para cada (t1, . . . , tn) ∈ Rn. Ent˜ao
dΦ ∂ ∂tj (t1,...,tn)=(0,...,0) ! = Yj(x)
para cada j = 1, . . . , n. Em particular, se Y1, . . . , Yn formam uma base de g ent˜ao a aplica¸c˜ao Φ
definida acima ´e um difeomorfismo local em uma vizinhan¸ca de (0, . . . , 0) ∈ Rn.
Demonstra¸c˜ao. Dada f ∈ C∞(G) temos, denotando
t= (t˙ 1, . . . , tn)
0= (0, . . . , 0)˙
2
5.2. ESTUDO DOS CONJUNTOS Ω-LIMITE – PARTE II 61 elementos de Rn, que dΦ ∂ ∂tj t=0 (f ) = ∂ ∂tj t=0 f ◦ Φ = ∂ ∂tj t=0 f x · et1Y1 · . . . · etj−1Yj−1· etjYj· etj+1Yj+1· . . . · etnYn = d ds s=0 f x · e0Y1 · . . . · e0Yj−1 · esYj· e0Yj+1 · . . . · e0Yn = d ds s=0 f x · esYj = d ds s=0 x · esYj (f ) = Yj(x)(f ).
Como f ∈ C∞(G) ´e arbitr´aria conclu´ımos que
dΦ ∂ ∂tj t=0 = Yj(x).
Agora, se Y1, . . . , Ynformam uma base de g ent˜ao Y1(x), . . . , Yn(x) formam uma base de TxG. A
igualdade anterior implica, nesse caso, que dΦ0 ´e um isomorfismo linear, de modo que a conclus˜ao
segue do Teorema da Fun¸c˜ao Inversa.
Proposi¸c˜ao 5.8. Se G ´e semi-simples ent˜ao todo x ∈ Z(G) ´e um ponto cr´ıtico n˜ao-degenerado da fun¸c˜ao “tipo Lyapunov” V . Em particular todo x ∈ Z(G) ´e ponto isolado de EW e, portanto, Z(G)
´e aberto em EW.
Demonstra¸c˜ao. Primeiramente recordemos que Z(G) ⊂ EW, segundo o Corol´ario4.9, de modo que
x ´e um ponto de equil´ıbrio de W . A Proposi¸c˜ao 5.3 implica, ent˜ao, que x ´e ponto cr´ıtico de V , visto que estamos supondo que a trajet´oria de referˆencia (xr, ur1, . . . , urm) em quest˜ao ´e regular.
A fim de provar a n˜ao-degenerescˆencia, vamos calcular a matriz Hessiana de V em um sistema de coordenadas especial ao redor de x que constru´ımos na sequˆencia. J´a vimos nos coment´arios que sucedem o Teorema 2.17que se G semi-simples ent˜ao −B ´e um produto interno em g, onde B ´e a forma de Killing de g. Assim sendo, considere Y1, . . . , Yn ∈ g uma base ortonormal de g com
rela¸c˜ao a esse produto interno e defina Φ : Rn→ G por
Φ(t1, . . . , tn) ˙= x · et1Y1· . . . · etnYn
para cada (t1, . . . , tn) ∈ Rncomo no lema anterior, o qual nos diz que existe uma vizinhan¸ca aberta
U ⊂ G de x tal que φ ˙= Φ−1|U ´e um sistema de coordenadas de G i.e. (U, φ) ´e uma vizinhan¸ca
Vamos computar as entradas da matriz Hessiana de V neste sistema de coordenadas. Observe que
(V ◦ φ−1)(t1, . . . , tn) = V (Φ(t1, . . . , tn))
= trAd x · et1Y1 · . . . · etnYn
= trAd(x) · Ad et1Y1 · . . . · Ad etnYn = trnAd(x) · ead(t1Y1)· . . . · ead(tnYn)
o
= trnet1ad(Y1)· . . . · etnad(Yn)o
onde usamos que Ad(x) = idg(pois, conforme (2.9) todo ponto de Z(G) est´a no n´ucleo de Ad) e a
identidade (2.7). Uma conta simples mostra ent˜ao que no ponto φ(x) = (0, . . . , 0) temos ∂2(V ◦ φ−1)
∂tj∂tk
= tr {ad(Yj) · ad(Yk)}
= B(Yj, Yk)
= −δjk
para quaisquer 1 ≤ j, k ≤ n. Isto prova que no ponto φ(x) temos
det ( ∂2(V ◦ φ−1) ∂tj∂tk 1≤j,k≤n ) = (−1)n
e, portanto, x ´e um ponto cr´ıtico n˜ao-degenerado de V .
Como todo ponto cr´ıtico n˜ao-degenerado ´e isolado, a conclus˜ao acima implica que todo ponto de Z(G) possui uma vizinhan¸ca em G cuja intersec¸c˜ao com EW ´e trivial e, portanto, contida em
Z(G). Logo Z(G) ´e aberto em EW.
Os pr´oximos dois lemas caracterizam o centro de G em termos de V e n˜ao dependem da hip´otese de G ser semi-simples. Para demonstr´a-los precisamos empregar o processo de complexifica¸c˜ao de espa¸cos vetoriais: nos argumentos seguir, gC denota a complexifica¸c˜ao de g – a qual ´e um espa¸co
vetorial sobre C com dimens˜ao complexa igual a n ˙= dim g – e AdC(x) : gC→ gC
a complexifica¸c˜ao do operador Ad(x). ´E um fato bem conhecido que
trAd(x) = trAdC(x) = n
X
j=1
λj(x)
5.2. ESTUDO DOS CONJUNTOS Ω-LIMITE – PARTE II 63 alg´ebricas.
Considere agora h·, ·i um produto interno Ad-invariante em g cuja existˆencia ´e garantida pela Proposi¸c˜ao 2.15. N˜ao ´e dif´ıcil mostrar que h·, ·i possui uma ´unica extens˜ao sesquilinear h·, ·iC a
gC, a qual ´e um produto interno hermitiano em gC que satisfaz a propriedade de ser invariante
por AdC(x) i.e. este ´e um operador unit´ario com rela¸c˜ao a h·, ·iC. Isto implica, segundo um fato
bem conhecido de ´Algebra Linear, que AdC(x) ´e diagonaliz´avel e que todos os seus autovalores tˆem
m´odulo igual a 1 ou seja
|λj(x)| = 1 para j = 1, . . . , n.
A digress˜ao acima implica Lema 5.9. Se x ∈ G ent˜ao
V (x) ≤ dim g. Em particular, todo x ∈ Z(G) ´e ponto de m´aximo global de V . Demonstra¸c˜ao. ´E s´o observar que
|trAdC(x)| = n X j=1 λj(x) ≤ n X j=1 |λj(x)| ≤ n X j=1 1 = n mas, por defini¸c˜ao,
V (x) = trAd(x) = trAdC(x)
de modo que
V (x) ≤ |V (x)| = |trAdC(x)|
≤ n.
Em particular, se x ∈ Z(G) ent˜ao Ad(x) = idg(veja (2.9)) de modo que
e pelo argumento anterior
V (y) ≤ n = V (x)
para todo y ∈ G. Ou seja, x ´e um ponto de m´aximo global de V . Lema 5.10. Dado x ∈ G temos que
x ∈ Z(G) ⇔ V (x) = dim g.
Demonstra¸c˜ao. J´a sabemos que se x ∈ Z(G) ent˜ao V (x) = n. Reciprocamente, suponha que V (x) = n. Ent˜ao n = n X j=1 λj(x) = n X j=1 ℜλj(x) + i n X j=1 ℑλj(x)
o que implica que
n X j=1 ℑλj(x) = 0 n X j=1 ℜλj(x) = n.
Observe ainda que
ℜλj(x) ≤ |ℜλj(x)| ≤ |λj(x)| = 1
para cada j = 1, . . . , n. Vamos provar que ℜλj(x) = 1 para todo j = 1, . . . , n. Com efeito, se
ℜλk(x) < 1 para algum k ∈ {1, . . . , n} ent˜ao n X j=1 ℜλj(x) = ℜλk(x) + X j6=k ℜλj(x) < n
o que contradiz nossa conclus˜ao anterior. Isto prova que ℜλj(x) = 1 para todo j = 1, . . . , n.
Al´em disso |λj(x)| = 1 para todo j = 1, . . . , n: como pelo argumento acima ℜλj(x) = 1 temos
que
ℑλj(x) = 0 para todo j = 1, . . . , n.
Da´ı λj(x) = ℜλj(x) = 1 para todo j = 1, . . . , n. Como λ1(x), . . . , λn(x) s˜ao os autovalores de
AdC(x) conclu´ımos que
5.2. ESTUDO DOS CONJUNTOS Ω-LIMITE – PARTE II 65 o que por sua vez implica que Ad(x) = idg, ou seja, x ∈ Z(G).
J´a podemos demonstrar o resultado principal do presente trabalho. Recordemos que W ´e o campo auxiliar associado a uma trajet´oria de referˆencia peri´odica regular.
Teorema 5.11. Se G ´e semi-simples ent˜ao todo w ∈ Z(G) ´e um atrator local de W .
Demonstra¸c˜ao. Como w ∈ Z(G) a Proposi¸c˜ao5.8implica que existe uma vizinhan¸ca aberta U ⊂ G de w que n˜ao cont´em outros pontos cr´ıticos de V ou seja
U ∩ EW = {w}.
Seja U′ ⊂ G um aberto conexo que cont´em w e cujo fecho, necessariamente compacto, est´a contido
em U . Em particular, sua fronteira ∂U′, tamb´em compacta, est´a contida em U . Definimos
M ˙= max
x∈∂U′V (x).
De acordo com os lemas anteriores temos que M < n pois ∂U′∩ Z(G) = ∅: o ´unico ponto em
U ∩ Z(G) ´e w, o qual pertence a U′ (e portanto n˜ao est´a na fronteira).
Como V (w) = n e V ´e cont´ınua existe U′′⊂ U′ vizinhan¸ca aberta de e tal que
V (x) > M para todo x ∈ U′′.
Seja agora (t0, w0) ∈ R × U′′ e w : R → G a ´unica curva integral de W que satisfaz w(t0) = w0.
Como V ◦ w ´e n˜ao decrescente (pois V ´e n˜ao decrescente ao longo de W , conforme j´a observado na Se¸c˜ao4.2) temos, para todo t ≥ t0, que
V (w(t)) ≥ V (w(t0)) = V (w0) > M
pois w0 ∈ U′′ por hip´otese. Em particular w(t) /∈ ∂U′ para todo t ≥ t0, de modo que pela
continuidade de w temos que
w(t) ∈ U′ para todo t ≥ t0.
Por fim, provemos que
lim
t→∞w(t) = w.
De fato vamos provar que toda sequˆencia crescente ilimitada superiormente (tn)n∈N possui uma
subsequˆencia (tnk)k∈N tal que
lim
Com efeito, se (tn)n∈N ´e uma tal sequˆencia – a qual, podemos supor, satisfaz tn ≥ t0 para todo
n ∈ N – temos que
w(tn) ∈ U′ para todo n ∈ N.
Al´em disso, U′ possui fecho compacto contido em U , de modo que necessariamente existem uma
subsequˆencia (tnk)k∈N de (tn)n∈N e w1 ∈ U tal que
lim
k→∞w(tnk) = w1.
Observe que (tnk)k∈N tamb´em deve necessariamente ser uma sequˆencia crescente e ilimitada supe-
riormente, o que implica que w1 pertence a ΩW(t0, w0) e, portanto, a EW. Contudo por defini¸c˜ao
de U temos
U ∩ EW = {w}
o que prova que w1= w. Conclu´ımos que
lim
k→∞w(tnk) = w
conforme prometˆeramos.
Tomando w = e no teorema acima conclu´ımos em particular que e ´e um atrator local de W .
5.3 Coment´arios e referˆencias
O conceito de trajet´oria regular no sentido da Defini¸c˜ao 5.1´e original e foi introduzido precisa- mente para garantir a validade da Proposi¸c˜ao5.3 a partir do Teorema 4.7sem criar complica¸c˜oes adicionais. O ponto importante, contudo, ´e ter condi¸c˜oes suficientes para garantir que todo ponto Ω-limite do campo auxiliar W seja ponto cr´ıtico de V (a rec´ıproca ´e sempre verdadeira pois todo ponto cr´ıtico de V ´e trivialmente um ponto de equil´ıbrio de W e, portanto, um ponto Ω-limite). A existˆencia de trajet´orias de referˆencia T -peri´odicas com condi¸c˜oes iniciais arbitr´arias ´e demons- trada no Apˆendice A, onde constru´ımos uma trajet´oria desse tipo que ´e regular sempre que o sistema (3.1) satisfaz algumas hip´oteses adicionais. Tamb´em no presente cap´ıtulo nossa abordagem tem a vantagem de obter resultados an´alogos `aqueles apresentados em [Sil09] sem recorrer a uma descri¸c˜ao expl´ıcita da trajet´oria de referˆencia: a identifica¸c˜ao da regularidade da trajet´oria como um elemento chave do problema foi decisiva nesse desenvolvimento. Sobre este assunto, observa- mos por fim que nosso conceito de regularidade n˜ao possui liga¸c˜ao direta com o conceito de sistema T -regular introduzido por [Sil09], Defini¸c˜ao 4.2, p´agina 85.
Embora com um enunciado bastante distinto, nosso Teorema 5.11 ´e an´alogo aos resultados apresentados em [Sil09], Lema 4.18 e Teorema 4.20, p´aginas 103–108 (note que G = SU(n) ´e
5.3. COMENT ´ARIOS E REFER ˆENCIAS 67 semi-simples3 se n ≥ 2). A t´ecnica que empregamos para demonstr´a-lo – introduzir coordenadas
de segunda esp´ecie para analisar a degenerescˆencia dos pontos cr´ıticos –, contudo, ´e radicalmente diferente.
A seguir, descrevemos informalmente um projeto que desenvolvemos na tentativa de generalizar a t´ecnica empregada por [Sil09], p´aginas 103–108, para resolver o problema acima. Os conceitos envolvidos podem ser consultados em [Kna02] ou [Sep07].
1. O objetivo do projeto ´e provar que V (EW) ´e um conjunto finito: aparentemente n˜ao ´e dif´ıcil
provar, a partir da´ı, que os pontos de Z(G) s˜ao equil´ıbrios atratores de W , mas ´e muito mais forte que isso, o que torna este projeto mais ambicioso do que aquele desenvolvido na se¸c˜ao anterior.
2. Primeiramente, ´e poss´ıvel provar que, sem perda de generalidade, podemos restringir esse problema a qualquer toro maximal de G: se T ⊂ G ´e um toro maximal ent˜ao
V (EW) = V (EW ∩ T).
Isto ´e uma consequˆencia da Proposi¸c˜ao5.4.
3. Em seguida, fixado um toro maximal T ⊂ G, empregamos a Decomposi¸c˜ao em Espa¸cos de Ra´ızes de gC com rela¸c˜ao `a ´algebra de Cartan t de T, onde gC ´e a complexifica¸c˜ao de g.
Observamos que se x ∈ T ent˜ao Ad(x) age trivialmente em t e, portanto, sua complexifica¸c˜ao AdC(x) age trivialmente em tC. Juntamente com o fato de que os autoespa¸cos da Decom-
posi¸c˜ao s˜ao unidimensionais, isto implica que estes tamb´em s˜ao autoespa¸cos de AdC(x), e
portanto a Decomposi¸c˜ao em Espa¸cos de Ra´ızes diagonaliza AdC(x).
4. O argumento anterior permite escrever
V (x) = trAd(x) = trAdC(x)
convenientemente como soma de autovalores de AdC(x).
5. A descri¸c˜ao (5.1) ´e facilmente estendida para
EW = {x ∈ G ; tr {AdC(x) · adC(Z)} = 0 para todo Z ∈ gC}
onde adC ´e a representa¸c˜ao adjunta da ´algebra de Lie complexa gC.
6. Especializando a f´ormula acima em um vetor Z ∈ tCe escolhendo uma base de gCcompat´ıvel
com a Decomposi¸c˜ao em Espa¸cos de Ra´ızes para computar tr {AdC(x) · adC(Z)}
obtemos um sistema linear homogˆeneo para as partes imagin´arias dos autovalores de AdC(x)
quando x ∈ EW ∩ T.
7. Infelizmente o sistema linear descrito acima ´e subdeterminado, e n˜ao nos fornece muita in- forma¸c˜ao a respeito dos autovalores de AdC(x) quando x ∈ EW ∩ T.
Infelizmente, devido ao ´ultimo passo descrito acima, n˜ao conseguimos concluir este projeto. Acre- ditamos, por´em, que seja poss´ıvel remedi´a-lo (talvez com algum conhecimento adicional da De- composi¸c˜ao em Espa¸cos de Ra´ızes) e que seja poss´ıvel extrair dele mais informa¸c˜oes a respeito dos valores cr´ıticos do caractere da representa¸c˜ao adjunta de G.
Os passos finais da demonstra¸c˜ao do Teorema5.11foram inspirados na demonstra¸c˜ao do Crit´erio de Lyapunov, conforme apresentado em [Sot79], Cap´ıtulo VIII, Se¸c˜ao 2, Teorema 3, p´agina 272. Conforme observado pelo Prof. Hector Bessa Silveira em comunica¸c˜ao pessoal, a demonstra¸c˜ao deste teorema prova muito mais do que foi enunciado: que os pontos de Z(G) s˜ao equil´ıbrios uniformemente est´aveis do campo auxiliar.
Apˆendice A
Constru¸c˜ao de uma trajet´oria de referˆencia regular
O objetivo deste apˆendice ´e demonstrar que se a fam´ılia Γ ´e regular (Defini¸c˜aoA.5) ent˜ao o sis- tema (3.1) possui trajet´orias de referˆencia T -peri´odicas regulares passando por pontos arbitr´arios. Mais que meramente demonstrar a existˆencia de uma tal trajet´oria, sob tais hip´otese n´os construi- remos uma explicitamente!
Neste apˆendice G ´e um grupo de Lie compacto e conexo, com ´algebra de Lie g, e X1, . . . , Xm∈ g
s˜ao campos invariantes `a esquerda fixados. Ademais, n˜ao supomos que Γ ˙= span{X1, . . . , Xm}
´e Lie-determinada.
A.1 Construindo uma trajet´oria de referˆencia peri´odica
Fixemos x∞∈ OΓ e T > 0. Para cada j = 1, . . . , m denotamos, para cada p ∈ Z,
Jjp =˙ (j − 1)T m + pT, jT m + pT = Jj0+ pT.
Observe que Jjp ⊂ (pT, (p + 1)T ) = (0, T ) + pT para todo p ∈ Z e que
Jjp∩ Jkq 6= ∅ ⇔ j = k, p = q. (A.1)
Considere χj ∈ Cc∞(Jj0) com as seguintes propriedades:
1. existe um intervalo aberto Ij ⊂ Jj0 tal que
χj(t) = 1 para todo t ∈ Ij;
2. RT
0 χj(t)dt = 0.
Fun¸c˜oes χj com as propriedades acima podem ser constru´ıdas a partir de fun¸c˜oes de corte atrav´es
de transla¸c˜oes e reflex˜oes. Por exemplo, se φ ∈ C∞
c ((−1, 1)) ´e tal que φ(t) = 1 para t ∈ (−1/2, 1/2)
ent˜ao χj(t) ˙= φ 4mT t − 4j + 3 , se t ∈(j−1)Tm ,jTm − T 2m −φ 4m T t − 4j + 1 , se t ∈ jT m − T 2m, jT m
0, caso contr´ario
define, para cada j = 1, . . . , m, uma fun¸c˜ao χj : R → R com as propriedades pedidas acima,
tomando, por exemplo,
Ij =˙ jT m − 7T 8m, jT m − 5T 8m .
(As contas acima s˜ao muito mais simples do que parecem: apenas aplicamos transforma¸c˜oes afins (−1, 1) → (j − 1)T m , jT m − T 2m (−1, 1) → jT m − T 2m, jT m
convenientes e carregamos as fun¸c˜oes φ e −φ, respectivamente, colando-as no ponto m´edio jT m − T 2m= 1 2 (j − 1)T m + jT m
a fim de anular a integral de χj em Jj0. O intervalo Ij ´e, ent˜ao, simplesmente a imagem do intervalo
(−1/2, 1/2) pela primeira transforma¸c˜ao afim.) Considere agora ur
j : R → R fun¸c˜ao T -peri´odica tal que
urj(t) = χj(t) para todo t ∈ [0, T ].
Estas duas propriedades determinam unicamente ur
j (observe que χj(0) = 0 = χj(T )), a qual ´e
necessariamente suave. Ou seja, ur
j ´e a extens˜ao T -peri´odica de χj|[0,T ].
Listamos a seguir as propriedades fundamentais dos controles urj que constru´ımos acima. Na ver- dade, esses controles foram constru´ıdos de forma a valerem as propriedades enunciadas na sequˆencia. Proposi¸c˜ao A.1. supp ur
j ⊂
S
p∈ZJ p j.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que t /∈ S
p∈ZJ p
j e seja q ∈ Z tal que t − qT ∈ [0, T ]. Por hip´otese,
t − qT /∈ Jj0 e, como
A.1. CONSTRUINDO UMA TRAJET ´ORIA DE REFER ˆENCIA PERI ´ODICA 71 ent˜ao t − qT /∈ supp χj, de modo que existe uma vizinhan¸ca U de t − qT tal que
χj(s) = 0 para todo s ∈ U .
Da´ı U + qT ´e uma vizinhan¸ca de t onde ur
j se anula, e portanto t /∈ supp urj.
Proposi¸c˜ao A.2. Suponha que t ∈ R ´e tal que existe j ∈ {1, . . . , m} tal que urj(t) 6= 0.
Ent˜ao urk(t) = 0 para todo k 6= j.
Demonstra¸c˜ao. Basta observar que se ur
j(t) 6= 0 ent˜ao
t ∈ supp urj
de modo que, pela proposi¸c˜ao anterior, existe p ∈ Z tal que t ∈ Jjp. Analogamente, se ur
k(t) 6= 0
existe q ∈ Z tal que t ∈ Jkq. Mas ent˜ao t ∈ Jjp∩ Jkq, o que implica que j = k. Proposi¸c˜ao A.3. Se t ∈ Ijp= I˙ j+ pT ent˜ao
• ur
j(t) = 1,
• ur
k(t) = 0 se k 6= j e
• todas as derivadas de ur
k se anulam em t para k = 1, . . . , m (inclusive k = j).
Demonstra¸c˜ao. Se t ∈ Ijp ent˜ao t − pT ∈ Ij de modo que
urj(t) = χj(t − pT ) = 1.
Do lema anterior, temos necessariamente que ur
k(t) = 0 se k 6= j. Como I p
j = Ij + pT ´e aberto, a
´
ultima conclus˜ao ´e imediata. Defina agora ξj : R → R por
ξj(t) ˙=
Z t
0
de modo que ξj ´e necessariamente suave. Observe que ξj ´e tamb´em T -peri´odica pois ξj(t + T ) = Z t+T 0 urj(s)ds = Z T 0 urj(s)ds + Z t+T T urj(s)ds = Z T 0 χj(s)ds + Z t 0 urj(s − T )ds = Z t 0 urj(s)ds = ξj(t)
para todo t ∈ R (usamos que urj ´e T -peri´odica e que a integral de χj sobre [0, T ] ´e nula). Observe
ainda que se t − pT ∈ [0, T ] ent˜ao ξj(t) = Z t 0 urj(s)ds = Z t 0 urj(s − pT )ds = Z t−pT −pT urj(s)ds = Z 0 −pT urj(s)ds + Z t−pT 0 urj(s)ds = Z t−pT 0 urj(s)ds = Z t−pT 0 χj(s)ds ou seja ξj(t) = Z t−pT 0 χj(s)ds.
Proposi¸c˜ao A.4. supp ξj ⊂Sp∈ZJjp.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que t /∈S
p∈ZJ p
j e seja q ∈ Z tal que t − qT ∈ [0, T ], de modo que
t − qT /∈ Jj0 = (j − 1)T m , jT m
e portanto h´a dois casos a serem analisados: 1. t − qT ≤ (j−1)Tm e
A.1. CONSTRUINDO UMA TRAJET ´ORIA DE REFER ˆENCIA PERI ´ODICA 73 Recordando que supp χj ⊂ Jj0 temos que, em cada um dos casos, respectivamente, existe ǫ > 0 tal
que 1. supp χj ⊂ t − qT + ǫ,jTme 2. supp χj ⊂ (j−1)T m , t − qT − ǫ . Ainda, segundo a digress˜ao anterior,
ξj(t) =
Z t−qT
0
χj(s)ds.
Logo, no primeiro caso temos que χj(s) = 0 para todo s ∈ [0, t − qT + ǫ] e, portanto,
Z r
0
χj(s)ds = 0
para todo r em uma vizinhan¸ca de t − qT . Isto, por sua vez, implica que ξj se anula em uma
vizinhan¸ca de t e, portanto, t /∈ supp ξj.
No segundo caso temos que χj(s) = 0 para todo s ∈ [t − qT − ǫ, T ] e, portanto,
Z r 0 χj(s)ds = Z T 0 χj(s)ds = 0
para todo r em uma vizinhan¸ca de t − qT . Isto, por sua vez, implica que ξj se anula em uma
vizinhan¸ca de t e, portanto, t /∈ supp ξj.
Definimos agora xr: R → G da seguinte forma:
xr(t) ˙= ( eξj(t)Xj(x ∞), se t ∈Sp∈ZJ p j para j = 1, . . . , m;
x∞, caso contr´ario.
Observe que xr est´a bem definida em vista da observa¸c˜ao (A.1). Ainda, a curva xr ´e suave. De
fato, em cada intervalo Jjp a curva xr´e suave por defini¸c˜ao. Se t /∈ J p
j para quaisquer j = 1, . . . , m
e p ∈ Z ent˜ao pela proposi¸c˜ao anterior
t /∈ supp ξj para todo j = 1, . . . , m
e da´ı existe ǫ > 0 tal que
|s − t| < ǫ ⇒ s /∈ supp ξj para todo j = 1, . . . , m.
Desse modo, se |s − t| < ǫ temos
e, portanto,
eξj(s)Xj(x
∞) = x∞ para todo j = 1, . . . , m.
Conclu´ımos que se |s − t| < ǫ ent˜ao
xr(s) = x∞. (A.2)
Em particular, xr ´e suave em (t − ǫ, t + ǫ). Isto prova que xr ´e suave em R.
Da defini¸c˜ao de xr temos, para t ∈ Ijp, que
xr′(t) = d dte ξj(t)Xj(x ∞) = ξ′j(t)Xj(eξj(t)Xj(x∞)) = urj(t)Xj(xr(t)) = m X k=1 urk(t)Xk(xr(t))
onde a ´ultima igualdade segue da Proposi¸c˜aoA.2.
Agora, se t /∈ Jjp para quaisquer j = 1, . . . , m e p ∈ Z ent˜ao de (A.2) segue que
xr′(t) = 0.
Nesse caso, contudo, a Proposi¸c˜ao A.1 nos diz que t /∈ supp ur
j para todo j = 1, . . . , m, de modo
que tamb´em podemos escrever
xr′(t) = m
X
k=1
urk(t)Xk(xr(t)).
Os argumentos anteriores provam que (xr, ur1, . . . , urm) ´e uma trajet´oria do sistema (3.1). Ainda,
a periodicidade de ξj para todo j = 1, . . . , m implica que xrdefinida acima ´e uma curva T -peri´odica.
Ou seja, provamos que (xr, ur1, . . . , urm) conforme definida acima ´e uma trajet´oria de referˆencia T -
peri´odica para o sistema (3.1) nos moldes da Defini¸c˜ao 3.1.