Matematiksel Tanımlar

Bir “kavram”ın ne anlama geldiğinin anlaşılmasında, kavramın tanımı önemli rol oynamaktadır. “Tanım” kelimesinin sözlük anlamı, “bir kavramın niteliklerini eksiksiz olarak belirtme veya açıklama, tarif ”tir (http://tdkterim.gov.tr/bts/). Kavramlar, kendilerini karakterize eden ve betimleyen özelliklere sahiptir. Tanım tarafından da içerilen bu özellikler; bir nesnenin, kavramın örneği olması için gerekli koşulları belirler (Toumasis, 1995).

“Tanımların (var) olduğu –doğal bir dilin anlambirimlerinin, ‘anlamsal düzey’de genellikle iç yapısının olduğu– fikri; en azından Platon’dan beri, filozofların ve psikologların çok ilgisini çekmektedir” (Fodor, Garrett, Walker ve Parkes, 1980: 264). İnsanların tanımlarla ilk karşılaşmaları, anadili öğrenmeye başladıkları küçük yaşlara dayanmaktadır. Başlangıçta çeşitli türde tanımlarla karşılaşılsa da; birkaç yıl sonra, özellikle okul yıllarında, tanımın bir türü olan “sözlüksel tanım” ön plana çıkmaktadır. Sözlüksel tanımda, belirli bir sözcüğün (ya da sözcüklerin) anlamı, başka sözcükler yardımıyla açıklanmaktadır (Vinner, 1976).

Bir tanım, bir kelimenin anlamını veriyorsa; bu durumda,

(1) Bir kelimenin ne anlama geldiğini bilmenin, o kelimenin tanımını bilmek olduğu,

(2) Bir kelimenin sembolik ifadesini anlamanın, o tanımın zihinde var olduğunu gösterdiği veya var olmasını gerektirdiği

varsayılabilir (Fodor, Garrett, Walker ve Parkes, 1980).

“Matematik; içinde tanımların çok önemli bir rol oynadığı, teorik bir sistemdir.” (Mariotti ve Fischbein, 1997, p. 220). Tanımlar, bu teorinin “nesneleri”nin tanıtılmasını sağlar (Mariotti ve Fischbein, 1997). Matematiksel tanım; matematiğin çeşitli elemanlarının durumunu ve işlevini göstermeye yarayan –aksiyom, teorem, ispat,

yardımcı teorem, önerme ve sonuç gibi– az sayıdaki ileri-matematiksel belirleyici terimlerden biridir (Pimm, 1993).

“Tanım kavramı, birçok matematiksel uygulamada ayrıcalıklı bir konuma sahiptir.” (Morgan, 2005, p. 105) Matematiksel kavramlar, çoğunlukla tanımları aracılığıyla elde edilir ve tanım, matematik öğreniminde ciddi bir sorun oluşturur (Vinner, 1991). Matematikte tanımlar önemli bir rol oynamakla birlikte (Edwards ve Ward, 2004; Mamona-Downs ve Downs, 2002; Vinner, 1977); matematiksel tanımların oluşumu ve kullanımı, günlük dildeki tanımlarınkinden farklıdır. Matematiksel tanımlar, koşullu bir yapıya sahiptir (Edwards ve Ward, 2004) ve “kesin, minimal”, “gerekli ve yeterli” gibi terimlerle ilişkili olmasından dolayı; sıradan tanımlardan farklılık göstermektedir (Morgan, 2005).

2.1.1. Matematiksel Tanımlarda Bulunması Gereken Kriterler

Bir tanımın “iyi” bir tanım olabilmesi için önemli sayılan bazı kriterler vardır. “Tanım”ı, “birçok yontulmuş yüzü olan bir elmas parçası”na benzeten ve elmasın formal tarafına ışık tutan Dormolen ve Zaslavsky (2003); mantıksal gereklilik olarak gördüğü bu kriterleri aşağıdaki şekilde sıralamıştır:

Hiyerarşi kriteri: Yeni bir kavram tanımlanırken; yeni kavram, daha genel bir kavramın özel bir durumu olmalıdır. Bu kritere göre; yeni bir kavram tanımlanırken, sadece önceden tanımlanmış genel kavram ve özellikler kullanılabilir (Dormolen ve Zaslavsky, 2003).

Varlık kriteri: Yeni tanımlanmış kavramın, geçerli sistem içinde en azından bir örneğinin bulunması gerektiği kastedilmektedir (Dormolen ve Zaslavsky, 2003).

Denklik kriteri: Bir kavram için birden fazla formülasyon olduğunda; bunların birbirlerine denk olması gerektiğini ifade etmektedir (Dormolen ve Zaslavsky, 2003).

Aksiyomatikleştirme kriteri: Bir tanımın, tümdengelimli sisteme uygun ve sistemin bir parçası olması kastedilmektedir. Bir tanımda geçen tüm kavramların sırasıyla yine aynı tümdengelimli sistem içinde tanımlandığının doğrulanması; tanımın “aksiyomatikleştirme kriteri”ni sağladığı anlamına gelmektedir. Hiyerarşi kriterine göre tanımlanamayan “nokta”, “doğru”, “düzlem” gibi kavramları dolaylı olarak tanımlayabilmek için ise; aksiyomlar ve postulatlar verilmiştir (Dormolen ve Zaslavsky, 2003).

Bu kriterler dışında; mantıksal açıdan bakıldığında gerekli olmadığı düşünülen, ancak genel kültürün bir parçası olarak görülen kriterler de vardır (Dormolen ve Zaslavsky, 2003):

Minimallik kriteri: Kavramın var olması için gerekenin dışında çok fazla özelliğinin verilmemesi kastedilmektedir (Dormolen ve Zaslavsky, 2003).

Şıklık kriteri: Birbirine denk olan iki tanımdan; daha güzel görünen, daha az sembol/sözcük kullanan veya daha basit kavramları kullanan tanımın, (örneğin ders kitabı yazarları tarafından) daha tercih edilir olması kastedilmektedir (Dormolen ve Zaslavsky, 2003).

Dejenerasyon kriteri: Bazen bir tanımın sonucu, kavrama dair sezgisel düşüncemize uymayan örneklere olanak verir; ki bu tür örnekler, “dejenerasyonlar” olarak adlandırılmıştır. “Kavramı tanımlarken, dahil olacağını ummadığımız kavram örnekleri” olarak da tanımlanabilecek dejenerasyonlar, tanımın mantıksal bir sonucudur. Birisi, bu tür örneklerin olmasından hoşlanmayabilir ve tanımın koşullarını, bu tür örnekleri dışarıda bırakacak şekilde değiştirebilir. Belirli bir örnek için “dejenerasyon” demek, son derece özneldir ve bir örneğin “dejenerasyon” olduğuna karar vermede nesnel bir kriter de yoktur. Bir dejenerasyonu dışarıda bırakıp bırakmamak ise, çoğu kez tercih meselesidir (Dormolen ve Zaslavsky, 2003).

Winicki-Landman ve Leikin (2000) ise, –Khinchin, 1968; Solow, 1984; Vinner, 1991 gibi– bazı matematikçilerin çalışmalarına dayalı olarak; matematiksel kavramların tanımlanmasında yerine getirilmesi gereken mantıksal ilkeleri, başka bir deyişle bir tanımın matematiksel özelliklerini aşağıdaki şekilde listelemiştir (p. 17):

1. “Tanımlama, bir ad vermedir. Yeni kavramın adı; tanım olarak kullanılan ifadede takdim edilir ve o ifadede yalnızca bir kere görünür.

2. Yeni kavramı tanımlamak için, sadece önceden tanımlanmış kavramlar kullanılabilir.

3. Tanım, kavram için gerekli ve yeterli koşulları belirler. 4. Koşullar kümesi, en az (minimal) olmalıdır.

5. Tanım, keyfidir.”

Ancak belirli bir matematiksel kavram için “en uygun” tanım; hem matematiksel olarak doğru hem de öğretim açısından uygun olmalıdır (Winicki-Landman ve Leikin, 2000).

2.1.2. Matematik Öğretiminde Kavramların ve Tanımların Rolü

Matematik eğitimi açısından önemli olduğu düşünülen sorulardan biri, “öğrenciye yeni bir matematiksel kavramı tanıtmanın en iyi yolunun ne olduğu” sorusudur. Daha öncelerde ise, “(belirli bir) kavramın nasıl tanımlanması gerektiği” sorusuna cevap aranmıştır (Winicki-Landman ve Leikin, 2000). Öğrencilerin formal tanımlarla yaşadıkları zorluklar, yeni bir olgu değildir ve bu olgu, büyük matematikçilerden biri olan Poincaré’nin zihnini de meşgul etmiştir (Tall, 1988). Poincaré (1914), “iyi bir tanım” için şunları söylemiştir:

“İyi bir tanım nedir? Filozof ya da bilim adamı için, tanımlanacak tüm nesnelere ve yalnızca bu nesnelere uygun olan tanımdır; mantık kurallarına uygun tanımdır. Ancak eğitimde durum böyle değildir; iyi tanım, öğrenciler tarafından anlaşılabilen tanımdır.” (p. 117)

Ayrıca Poincaré (1914), “bir tanımı anlamak”, bazı insanlar için, kullanılan tüm terimlerin anlamını bilmek ve herhangi bir çelişkinin olmadığına ikna olmak anlamına gelse de; çoğunluk için durumun hiç de böyle olmadığını dile getirmiştir. Onlar, bir ispatın tüm kıyaslarının doğru olup olmadığını bilmekle yetinmeyerek; neden belli bir sırada birbirleriyle ilişkili olduklarını da bilmek isterler. Öğrencilerin bir kısmı da, kendi kendilerine her zaman bunun ne işe yarayacağını sorarlar ve çevrelerinde gerçekte ya da doğada öyle bir matematiksel kavrama gerekçe bulamadıkları sürece de anlayamazlar. Her kelimenin altına mantıklı bir görüntü koymak isteyen bu kişiler; tanımın da bu görüntüyü çağrıştırmasını isterler; çoğunlukla akıl yürütmek yerine şekillere bakarlar ve yalnızca gördüklerinde anladıklarını sanırlar (Poincaré, 1914, 1969).

Toumasis (1995); matematikteki kavramlar için, “matematikte düşünmenin, özellikle ileri-düzey düşünmenin temel yapı blokları” (p. 98) benzetmesini yapmış ve tecrübeli öğretmenlerin, bunun farkında olduklarını belirtmiştir. 1960’lı yıllardaki “yeni matematik”le; öğrencilerin anlayabilecekleri bir şekilde sunulduğu düşünülen, matematiksel kavramların net tanımlarına dayalı bir yaklaşım oluşturulmaya çalışılmış; ancak bu yüksek ideallere ulaşma noktasında başarılı olunamamıştır. Başarılı olunamamasının başlıca nedeni; bireylerin, matematiksel kavramlar üzerine düşünme yöntemlerinin, daha ziyade sadece tanımda kullanılan sözcük kalıplarına bağlı olmasıdır (Tall, 1992). 1970’li yılların sonları, 1980’li yılların başlarında; birçok yazar, formal

matematikçiler tarafından formüle edilen kavramlar ile öğrenciler tarafından yorumlanan kavramlar arasındaki uyumsuzluğu fark etmişlerdir (Tall, 1992).

Bir kavramı açıklamanın aksine, onu bir cümlede tanımlama fikrini anlamak; ilk başta hiç de kolay olmamaktadır. Özellikle de, tanımda, tanımlanmamış sözcüklerin olması; durumu daha da zorlaştırmaktadır. Bu tür durumlarda; bireyin, mantıksal olarak formüle edilmiş kavram tanımına değil de; kişisel kavram imajına dayalı birtakım varsayımlarda bulunmadan başlangıç yapması mümkün değildir (Tall, 1992).