Kavramsal Bilgi ile İşlemsel Bilgi Arasındaki Gelişimsel İlişkiler

Kavramsal ve işlemsel bilginin öğretimdeki önemi ve gelişimsel ilişkilerini ele alan, birbiriyle yarış halinde olan farklı teoriler öne sürülmüştür (Rittle-Johnson ve Koedinger, 2002). İşlemsel beceri ve kavramsal anlama arasında algılanan ikilem; matematik öğretimi için, “geleneksel” işlem-tabanlı yaklaşımlar ile “deneysel” kavram- tabanlı yaklaşımlardan hangisinin tercih edilmesi gerektiği yönündeki tartışmayı körüklemiştir (Chappell ve Killpatrick, 2003).

Rittle-Johnson ve Siegler (1998); kavramsal bilgi ile işlemsel bilgi arasındaki olası ilişkileri, dört başlık altında toplamıştır (p. 77):

1. “İşlemsel bilgi, kavramsal bilgiden önce gelişir. 2. İşlemsel bilgi, kavramsal bilgiden sonra gelişir. 3. İşlemsel ve kavramsal bilgi, aynı zamanda gelişirler.

4. İşlemsel ve kavramsal bilgi; birindeki küçük artışlar diğerinde küçük artışlara yol açarak, bu da ilkinde yeni artışlara neden olarak, yinelemeli olarak gelişirler.”

Yukarıdaki olası ilişki türlerini listeleyen Rittle-Johnson ve Siegler (1998); o zamanlardaki teorinin ve deneysel çalışmaların; üçüncü ve dördüncü olasılıkları test etmedeki birtakım zorluklardan dolayı, bu olası ilişkilerden sadece ilk ikisini ele aldığını ifade etmiştir. Bu durumu, talihsizlik olarak değerlendiren Rittle-Johnson ve Siegler (1998); halbuki dördüncü olasılığın, özellikle mantıklı bir gelişme yolu gibi gözüktüğünü de sözlerine eklemiştir.

Leung ve Park (2002); geleneksel, işlemsel ağırlıklı öğretimin yapıldığı Doğu Asya ülkelerindeki öğrencilerin üstün başarılarını örnek göstererek; işlemsel öğretimin, mutlaka ezbere öğrenme veya anlamadan öğrenme anlamına gelmediğini ifade etmiştir. Anlamlı uygulama yapabilmek için, öncesinde anlamanın gerçekleşmiş olması gerektiği varsayımının geçerli olmayabileceğini söyleyen Leung ve Park (2002); öğrenme sürecinin, çoğu kez, işlemlerde yeterlilik kazanmayla başladığını; ancak –iyi tasarlanmış alıştırmalardan oluşan– tekrarlanan uygulamalar sayesinde, yavaş yavaş işlemlerin ardındaki kavramları anlamanın gerçekleşebildiğini savunmuştur. Bu durumun, özellikle ilkokul öğrencileri için geçerli olduğunu; bu öğrencilerin, ilk başta çoğu kez, anlama olmaksızın uygulamalara gereksinim duyduklarını ve tam anlaşılmadan yapılan işlemler aracılığıyla, zamanla işlemlerin ardındaki kavramları anlamaya başladıklarını dile getirmiştir (Leung ve Park, 2002).

Rittle-Johnson ve Alibali (1999); işlemsel bilginin, işlemi çokça kullanma deneyimi sonrasında veya işlem ile bunun altında yatan kavramlar arasındaki ilişkinin apaçık olması gibi durumlarda, daha fazla kavramsal bilgiye yol açabileceğinden bahsetmiştir. Ayrıca kavramsal ve işlemsel bilginin, biri bir uçta diğeri bir uçta olacak biçimde, fakat birbirinin devamı olarak uzandıklarını ve ayrı tutulamayacaklarını, birbirinden bağımsız olarak gelişmediklerini ifade etmiştir (Rittle-Johnson ve Alibali, 1999).

Rittle-Johnson ve Alibali (1999), matematik öğrenme konusunda yapılan araştırmalardan dört çeşit delil göstererek; bunların, ‘kavramsal anlamanın, işlemlerin oluşturulmasında ve benimsenmesinde bir rolünün olduğu’ düşüncesini desteklediğini ifade etmiştir. Bunlardan ilki, daha geniş kavramsal anlayışa sahip olan çocukların, daha geniş işlemsel beceriye yatkın olmalarıdır. İkincisi; birçok alanda, kavramsal anlamanın, işlemsel becerinin önünde olması; hatta kavramsal anlama düzeyinin,

gelecekteki işlemsel bilgiyi önceden haber verdiğini gösteren –sayıca sınırlı da olsa– bazı delillerin olmasıdır. Rittle-Johnson ve Alibali (1999), bu tür araştırma sonuçları, kavramsal bilginin işlemsel bilgi üzerinde pozitif bir etkisinin olduğunu akla getirse de; IQ veya motivasyon gibi başka faktörlerin de, görünen bu ilişkiden sorumlu olabileceğine dikkat çekmiştir. Üçüncü delil, işlemlerin yanısıra kavramlar ile ilgili öğretimin de, işlemsel becerinin artışına yol açabilmesidir. Dördüncüsü ise; kavramsal bilgideki artışın, doğru işlemler oluşturmaya yol açtığını gösteren araştırma delilinin olmasıdır. Rittle-Johnson ve Alibali (1999), genelde literatür, kavramsal anlamanın, işlemlerin oluşturulmasında ve benimsenmesinde önemli bir rol üstlendiğini ileri sürse de; bu ilişkinin, büyük ihtimalle tek yönlü olmadığını; kavramsal ve işlemsel bilginin birindeki artışın, diğerinde artışa yol açarak ve o da, ilkinde yeni artışlara neden olarak, bu iki bilginin yinelemeli olarak gelişiyor olabileceğini; böylece işlemsel bilginin de, kavramsal anlamayı etkiliyor olabileceğini belirtmiştir. Fakat matematikte işlemsel bilginin, kavramsal bilgi üzerindeki etkisine dair çok az sayıda delil bulunduğunu da sözlerine eklemiştir.

Benzer şekilde, Rittle-Johnson ve Koedinger (2002); kavramsal ve işlemsel bilginin, karşılıklı olarak birbirini destekleyici etkileri olduğunu ve yinelemeli bir süreç oluşturduklarını öne sürmüşlerdir. Rittle-Johnson ve Koedinger (2002); kavramsal ve işlemsel öğretimin yinelemeli şekilde olmasının, daha iyi öğrenmeye götürebileceğine dair birkaç sebepten bahsetmişlerdir:

1) İlk önce bütün kavramsal materyallerin bir anda verilmesi, öğrencilerde kafa karışıklığına yol açabilir. Oysaki, belli bir düzeyde işlemsel akıcılık; belleğin yükünü hafifletir ve kavramsal bilgide artışa olanak tanıyabilir.

2) Kavramsal ve işlemsel derslerin yinelemeli şekilde yapılması; her bir ders türünün, diğeri ile olan ilgisini vurgulamaya yardımcı olabilir.

3) Birbirinden farklı, fakat ilişkili olan görevlerin yinelemeli şekilde yerine getirilmesi; işlemlerin ve kavramların uygun biçimde genelleştirilmesini destekleyebilir (Rittle-Johnson ve Koedinger, 2002).

Voutsina’nın (2012) da belirttiği gibi; geçmiş araştırmalar ve teoriler, daha ziyade, matematik öğrenmede kavramsal bilginin mi yoksa işlemsel bilginin mi daha önce geliştiğini tartışmışken (örneğin Byrnes ve Wasik, 1991); matematiksel yeterliliğin, hem ne yapılması hem de neden yapılması gerektiğini bilmeyi gerektirdiğinin anlaşılması üzerine, yakın zamandaki araştırmaların odağı, matematik

öğrenme ve öğretmede kavramsal ve işlemsel bilgi arasındaki ilişkilere ve bütünleşmeye (örneğin Rittle-Johnson, Siegler ve Alibali, 2001; Canobi, 2009; Che Ghazali ve Zakaria, 2011; Schneider, Rittle-Johnson ve Star, 2011) doğru kaymıştır.

Kavramsal ve işlemsel bilgi ilişkisini ortaya çıkarmayı hedefleyen araştırma çabaları; birinin diğeri üzerindeki üstünlüğünü vurgulamaya çalışan önceki çabalara göre daha yararlı olmuştur (Hiebert ve Carpenter, 1992). Matematik eğitimi araştırma topluluğu (The mathematics education research community), kavramsal anlama ve işlemsel beceri arasındaki ikilemi aşmış ve her bir bilgi türünün önemini kabul etmiş olsa da; bu iki tür bilginin birbirleriyle olan ilişkisi hala tam olarak ortaya konamamıştır (Rittle-Johnson ve Koedinger, 2002).

Hiebert’in, kavramsal–işlemsel bilgi ile ilgili oluşturmuş olduğu yapıya eleştiri getirenler de olmuştur. Star (2002), bu yapıyı iki yönden eleştirmiştir: Birincisi; bu yapıya temel oluşturan çalışmaların neredeyse tamamının, –sayma, tek basamaklı sayılarla toplama, çok basamaklı sayılarla toplama ve kesirler gibi– ilkokulun konu alanları ile ilgili olması; cebir, geometri ve temel matematik (calculus) alanlarında kavramsal ve işlemsel bilginin gelişimi ile ilgili çalışmaların bulunmaması. İkincisi; kavramların bilgisinin, çoğu kez, sözel olarak ve çeşitli görevler aracılığıyla değerlendiriliyor olmasının, kavramsal bilginin kompleks ve çok yönlü olduğu izlenimi uyandırması; buna karşın, işlemsel bilginin, bir işlemin yerine getirilmesi gözlemlenerek, tek boyutlu ve sözsüz olarak değerlendiriliyor olması. Bir öğrenci, bir işlemin nasıl yapılacağını biliyor ya da bilmiyordur ve eğer biliyorsa, o işlemi otomatik olarak ve başarılı bir şekilde yerine getirebilir (Star, 2002).

Silver (1986) ise; Hiebert ve Lefevre’nin (1986), daha ziyade kavramsal ve işlemsel bilgi arasındaki ayrımlar üzerinde durduklarını; halbuki bu ayrımların, aşılması imkansız bariyerler oluşturmadığını ileri sürmüş; bilgi, bir problemi çözmek veya sıradan olmayan bazı görevleri yerine getirmek için dinamik olarak kullanıldığında, ilişkilerin birincil öneme sahip olduğunu savunmuştur. Karmaşık bilgi alanlarında problem çözmenin, genellikle hem işlemsel hem de kavramsal bilginin uygulamasını gerektirdiğini söyleyen Silver (1986); bu nedenle matematiksel problemlerin, kavramsal ve işlemsel bilgi araştırmaları için uygun, kullanışlı araçlar olabileceğini dile getirmiştir. Bu, özellikle de; problem için bir çözüm yapmadan önce, problem durumunu anlamaya ihtiyaç duyulan problemler için doğrudur. Genelde problem çözmenin, anlamayı içerdiği iddia edilse de; problemi çözenlerin, çoğu kez fazla anlamadan da

ilerleyebildikleri ve işlemleri anlamadan kullandıkları halde başarılı olabildikleri de iyi bilinmektedir (Silver, 1986).

2.8.6. Farklı Öğretim Kademesindeki Öğrenciler için Kavramsal Bilgi ile İşlemsel