KURUMLAR ARASI İŞBİRLİĞİ DENEYİMLERİ

1.6 Compara¸c˜oes na Literatura: L-Curve versus GCV

H´a uma vasta gama de trabalhos na literatura que estuda e compara os m´etodos de busca de parˆametros ´otimos. Os autores tendem a comparar os m´etodos, na maioria dos casos, por meio de experimentos num´ericos, numa tentativa de encontrar qual m´etodo ´e “mais eficiente”, em algum sentido, para equilibrar o ajuste aos dados e a regulariza¸c˜ao,

xλ = argminx∈RnkAx − bk2

2+ λ 2

kL (x − x0)k2₂ .

Hansen em um de seus trabalhos sobre a L-curve [19] deu o pontap´e incial para com- parar seu m´etodo com outros e, em especial, com GCV. Nos experimentos num´ericos, Hansen compara os m´etodos L-curve e GCV para dois modelos distintos. O primeiro modelo satifaz a condi¸c˜ao discreta de Picard, descrita na se¸c˜ao 1.2, enquanto que o se- gundo n˜ao satisfaz esta condi¸c˜ao. Inicialmente perturbou as medidas dos dois modelos com ruidos gaussianos. Em seguida perturbou o primeiro modelo com ruidos altamente correlacionados, obtendo assim, 3 problemas diferentes. Vale dizer, que cada problema foi testado para 8 n´ıveis de erros e para cada n´ıvel foram criados 25 vetores de erros, tendo assim, 200 rodadas. Hansen concluiu que:

I Problemas com ruidos gaussianos.

• No primeiro modelo, onde a condi¸c˜ao de Picard foi satisfeita, os 2 parˆametros s˜ao bem pr´oximos.

• J´a no segundo modelo, que n˜ao satisfazia a condi¸c˜ao discreta de Picard, o m´etodo GCV apresentou problemas em obter o m´ınimo de G(λ), pois a curva tornou-se muito plana.

II Problems com ruidos n˜ao-gaussinos

• Para todos os testes o m´etodo GCV falha e torna-se uma fun¸c˜ao crescente, sem ponto de m´ınimo aproveit´avel.

Hansen, conclue ainda, que o m´etodo L-curve, mesmo falhando em alguns momentos, ´e mais eficiente do que o m´etodo GCV.

V´arios outros trabalhos, com aplica¸c˜oes espec´ıficas, surgiram com o intuito de com- parar os m´etodos e visando descobrir qual seria o “mais eficiente”, em algum sentido. Registramos os resultados obtidos atrav´es das compara¸c˜oes de alguns trabalhos encon- trados na literatura:

1.6 Compara¸c˜oes na Literatura: L-Curve versus GCV 27 • [25] conclue que, para o problema tratado, o m´etodo GCV ´e a melhor escolha

quando a matriz de medidas ´e afetada por erros.

• [36] conclue que o m´etodo GCV ´e mais robusto do que o L-curve, mesmo para sinais que violam a condi¸c˜ao discreta de Picard, contrariamente ao que indicava Hansen em [19].

• [22] estima que o m´etodo L-curve ´e mais eficiente do que o GCV, quando se trata de problemas severamente mal-condicionados.

Nos artigos [34; 10; 40; 35; 1; 41; 12], tamb´em em aplica¸c˜oes espec´ıficas, um dos obje- tivos consiste em comparar as recupera¸c˜oes obtidas com os parˆametros de regulariza¸c˜ao ´otimos obtidos com L-curve e GCV, em cada problema. Destacamos que a maioria dos autores conclui que o m´etodo GCV ´e o m´etodo que fornece o melhor parˆametro de regulariza¸c˜ao, no sentido de fornecer solu¸c˜oes com erro relativo menor.

N´os tamb´em encontramos algo parecido em rela¸c˜ao ao parˆametro de regulariza¸c˜ao GCV nos nossos testes num´ericos, gerando recupera¸c˜oes com erro relativo menor do que os obtidos com o parˆametro ´otimo do m´etodo L-curve, contrariamente ao que Han- sen indicou inicialmente. Dito de outra maneira, o parˆametro fornecido pelo m´etodo L-curve tende a gerar imagens mais ruidosas, principalmente quando o n´ıvel de ruido nas medidas ´e mais alto. Contudo, a partir de nossos testes num´ericos, levantamos a possibilidade que este seja o foco errado para se discutir a quest˜ao. Os dois parˆametros nos parecem ter voca¸c˜oes diversas e complementares. A voca¸c˜ao do parˆametro gerado pelo m´etodo L-curve ´e de ser mais barato computacionalmente e fornecer um valor de λ menor que o do m´etodo GCV , bem como de forma a recuperar imagens com mais ruido, mas conservando, ao mesmo tempo, mais informa¸c˜oes sobre o sinal original a ser recuperado. J´a o parˆametro ´otimo gerado pelo m´etodo GCV, nos nossos testes, nos d´a a impress˜ao de cumprir bem a inten¸c˜ao da heur´ıstica que o definiu, fornecendo um parˆametro que tende a devolver uma imagem da fam´ılia xλ pr´oxima `a que minimiza a

distˆancia `a imagem verdadeira, na norma 2. Por´em, ela pode vir excessivamente suavi- zada, a depender do n´ıvel de ruido nas medidas Conforme discutiremos, na se¸c˜ao 2.3.3, a compara¸c˜ao entre os dois m´etodos deveria incluir a possibilidade de p´os-processamento dedicado a eliminar ruidos, sem a qual o m´etodo da L-curve tende a fornecer natu- ralmente imagens mais ruidosas que GCV , sem a vantagem de se aproveitar o que o parˆametro gerado pelo m´etodo L-curve tem de bom, que ´e conservar mais informa¸c˜oes do sinal a ser recuperado.

Cap´ıtulo 2

Simula¸c˜oes para obten¸c˜ao de parˆametros

´

otimos de regulariza¸c˜ao

2.1 Imagens para teste

Para organizar nossa bateria de testes, escolhemos 12 imagens com o objetivo de cobrir desde imagens razoavelmente cont´ınuas at´e imagens com muitas varia¸c˜oes brus- cas, conforme est˜ao dispostas na figura 2.1, com n2 _{= 128}2 _{pixels. Al´em disto, nesta}

escolha, priviegiamos imagens e phantoms t´ıpicos tanto da tomografia m´edica, quanto da tomografia em geof´ısica, embora n˜ao de forma exclusiva. Um segundo ponto na escolha das imagens foi o de tentar orden´a-las segundo uma ordem decrescente de “re- gularidade `a la Picard”, entendida a partir da id´eia de decaimento dos coeficientes de Picard pick em SVD. Conforme discutimos no cap´ıtulo 1, a condi¸c˜ao de Picard de um

sinal x∗ _{medido por b}∗ _{= Ax}∗ _{´e tida como uma condi¸c˜ao importante para o sucesso}

de sua recupera¸c˜ao em medidas com ruidos b = Ax∗ _{+ r. A condi¸c˜ao de Picard 1.7,}

dada a partir da decomposi¸c˜ao A = U SVT_{, juntamente com 1.8, pode ser reescrita no}

formato: pick=  u_ktb∗/σ_k  =  v_ktx∗  = O(1) (2.1)

Como a base de vetores singulares de GSVD n˜ao ´e ortonormal, entendemos que isto precisaria ser levado em conta, se pensamos que neste caso, pick = |uktb∗/σk| 6= |wktx∗|,

se wk ´e a base de vetores singulares generalizados `a direita. No apˆendice C discutimos

a id´eia de “regularidade `a la Picard” a partir de SVD e tentamos adapt´a-la a GSVD, com uma breve ponte `a id´eia similar na transformada de cosenos bidimensional DCT2. Nosso objetivo no apˆendice ´e explicitar os motivos que nos induzem a dar algum sentido `a ordena¸c˜ao das imagens conforme est´a na figura 2.1. Um dos objetivos ao fazˆe-lo, foi o de testar se esta “regularidade `a la Picard” teria correspondˆencia direta com uma melhor ou pior recupera¸c˜ao de imagens, na presen¸ca de ruidos gaussianos iid, via regulariza¸c˜ao

2.1 Imagens para teste 29

Figura 2.1 12 imagens para testes em ordem aproximadamente decrescente de concentra¸c˜ao, tanto na base dos vetores singulares `a direita da decomposi¸c˜ao GSVD, como na transformada discreta de cossenos em torno da origem.

2.2 Simula¸c˜ao com GSVD 30