Hareketli ortalama (moving averages)

Mevsimsel komponenti olmayan herhangi bir zaman serisinin ayrıştırılması süreci, bu zaman serisinin sadece trend döngüsünün incelenmesini kapsamaktadır. Trend döngüsü zaman serisinin düzleştirilmesi (smoothing) ile ve dolayısıyla hata komponentinden arındırılmasıyla elde edilmektedir. Hareketli ortalama yöntemi düzleştirme metodlarından en eskisi ve en basitidir. Bu başlık altında basit hareketli ortalama (simple moving average), duble hareketli ortalama (double moving average) ve ağırlıklı hareketli ortalama (weighted moving average) yöntemleri aktarılacaktır208.

2.5.4.1.1 Basit hareketli ortalama (simple moving average)

Basit hareketli ortalamanın dayandığı düşünce, birbirine yakın zamanda gözlemlenen değerlerin birbirlerine yakın olmalarının beklenmesidir. Bundan dolayı, istenen

206

Sypros Makridakis vd. (2012), a.g.e., s. 85. 207

Sypros Makridakis vd. (2012), a.g.e., s. 85. 208

109

noktaya yakın zamanda bulunan değerlerin ortalamasını almak trend döngüsü için isabetli bir tahmin sağlayacaktır. Ortalama almak verideki rastgeleliği düzelteceğinden dolayı, düzleştirilmiş bir trend döngüsü elde edilebilmektedir209. Bu yöntem uygulanmadan önce ortalamaya kaç tane veri noktası eklenmesi gerektiğine karar verilmelidir. Örneğin ortalamaya 5 tane veri noktası katılacak ise bu durumda 5MA düzleştirici kullanılmaktadır. 5 veri noktası kullanılması, her noktanın sağından solundan iki nokta eklenerek ortalama alınması anlamına gelmektedir. Bir sonraki veri noktasına geçerken en eski veri noktası atılacak ve yerine sıradaki veri noktası eklenecektir. Bu ilemden dolayı yönteme hareketli ortalama adı verilmektedir. Bu işleme zaman serisinin sonunda hesaplanması mümkün olan son veri noktasına kadar devam edilmektedir. Örneğin 5MA düzleştirici kullanılırken zaman serinin sondan üçüncü noktasına kadar bu işlem yapılabilir210.

MA düzleştirinin uzunluğu yarım genişilik (half-width) ölçeği ile de tanımlanmaktadır. Yarım genişlik hareketli ortalamaya veri noktasının sağından veya solundan eklenen veri noktası sayısıdır. Örneğin, 5MA düzleştirici kullanıldığında veri noktasına sağından ve solundan ikişer nokta eklenmektedir. Bu durumda yarım genişlik 2’ye eşittir. Bu örneği genellersek, kMA düzleştirici için yarım genişlik (m) aşağıdaki formülle hesaplanmaktadır211.

m = (k-1)/2 (2.07)

Bütün tek sayılarla uygulanabilen basit hareketli ortalama aşağıda 2.08’de sunulan formülle hesaplanmaktadır212.

= ∑ (2.08)

Tt : zaman serisinin t periyodundaki trend döngüsü komponenti,

Yt : zaman serisinin t periyodundaki gerçek verisi,

k : düzleştirme işleminde ortalamaya alınan veri noktası sayısı,

209

Sypros Makridakis vd. (2012), a.g.e., ss. 89-90. 210

Sypros Makridakis vd. (2012), a.g.e., s. 90. 211

Sypros Makridakis vd. (2012), a.g.e., s. 93. 212

110

m : yarım genişlik değeri

Yarım genişlik değerine karar verilmesi hareketli ortalama yönteminde önemli bir konudur. Kural olarak yarım genişlik değerinin artırılması, diğer bir deyişle düzleştiricinin artırılması, hata veya rastgelelik faktörünü azaltarak daha düz bir eğri elde edilmesini sağlayacaktır. Buna karşılık, yarım genişliğin artırılması hesaplanabilen veri noktası sayısını azaltacaktır. Ayrıca zaman serisinin eğrinin fazla düzleştirilmesi, eğride önemli olabilecek tümsek veya döngülerin kaybolmasına da sebep olabilmektedir213.

Zaman serisinin uç noktalarındaki veri kaybını önlemek için, bu noktalarda daha kısa hareketli ortalama alınabilmektedir. Bir bakış açısına göre, mümkün olan noktaların ortalamaya dahil edilmesi mümkündür. Örneğin 3MA düzleştirici ile birinci noktanın değeri T1=(Y1+Y2)/2 formülüne göre hesaplanabilir, çünkü sadece bu iki nokta mevcuttur. Bu işleme uç nokta ayarlaması adı verilmektedir214.

2.5.4.1.2 Merkezlenmiş hareketli ortalama (centered moving average)

Basit hareketli ortalama yönteminde ortalamaya katılan veri noktası sayısı, diğer bir deyişle MA düzleştiricisinin sayısı, tek sayı olduğundan dolayı, hesaplanan noktanın bu veri noktalarının tam merkezinde olması garantilenmektedir. Ancak düzleştirici sayısı çift bir sayı olduğunda, basit hareketli ortalama ile hesaplanan noktanın merkezde olması mümkün değildir. Örneğin, zaman serisine 4MA düzleştirici uygulandığında, veri noktasının sol tarafından iki, sağ tarafından ise bir nokta alınacaktır. Bu durumda ortalamanın merkezi hesaplanan noktadan 0,5 birim ileride olacaktır. Bu sorunun çözümlenmesi, 4MA düzleştirici uygulanmış seriye, yeniden 2MA düzleştirici uygulanması ile mümkündür. Bu şekilde alınan merkezlenmiş ortalamaya 2x4MA düzleştirici uygulanmış olmaktadır. Aşağıda 2x4MA uygulaması örneği için ilk uygulanabilir veri noktasına birinci ve ikinci aşama hareketli ortalama formülleri sunulmaktadır215.

T2,5 = ( Y1 + Y2 + Y3 + Y4 ) / 4 (2.09)

T3,5 = ( Y2 + Y3 + Y4 + Y5 ) / 4 (2.10)

213

Sypros Makridakis vd. (2012), a.g.e., s. 93. 214

Sypros Makridakis vd. (2012), a.g.e., s. 94. 215

111

T3 = ( T2,5 + T3,5 ) / 2 (2.11)

= ( Y1 + 2Y2 + 2Y3 + 2Y4 + Y5 ) / 8

Yukarıda sunulan 3.8 ve 3.9 numaralı formüller hareketli ortalamanın ilk aşamasıdır ve merkezlenmişlerdir. Formül 3.10’da sunulan ikinci aşamada ise ilk aşamanın sonuçlarının ortalamasının alınması ile merkezlenme sağlanmaktadır. Formül 3.10’da görüldüğü gibi ağırlıkları birbirinden farklı beş veri noktası ortalamaya dahil edildiğinden dolayı 2x4MA hareketli ortalama, beşinci dereceden bir hareketli ortalamaya eşdeğerdir.

2.5.4.1.3 Çift hareketli ortalama (double moving average)

Merkezlenmiş hareketli ortalama aynı zamanda bir çift hareketli ortalamadır, çünkü hareketli ortalaması alınmış bir zaman serisine tekrar hareketli ortalama işlemi uygulanmaktadır. Düzleştirme işleminin aynı zaman serisine iki kere peşpeşe uygulanmasına çift hareketli ortalama adı verilmektedir. Bu yöntemin merkezlenmiş hareketli ortalamadan farkı ise her yarım genişlik kombinasyonuyla zaman serisine uygulanabilmesidir216.

2.5.4.1.4 Ağırlıklı hareketli ortalama (weighted moving average)

Bu yöntemin önceki hareketli ortamalardan farkı farklı veri noktaları için farklı ağırlıklar tanımlanmasıdır. Aşağıda 2.12’de ağırlıklı hareketli ortalama formülü sunulmaktadır.

= ∑ (2.12)

Tt : zaman serisinin t periyodundaki trend döngüsü komponenti,

Yt : zaman serisinin t periyodundaki gerçek verisi,

k : düzleştirme işleminde ortalamaya alınan veri noktası sayısı, m : yarım genişlik değeri

aj : ağırlık katsayısı

Bu formülde ağırlık katsayılarının toplamı bire eşit olmalıdır ve ağırlıklar simetrik olmalıdır (aj = a-j). Ayrıca katsayı setine ağırlık fonksiyonu adı da verilmektedir.

216

112

Ağırlıklı hareketli ortalama yönteminin avantajı sonuçta elde edilen trend döngüsü eğrisinin göreceli olarak daha düz olmasıdır. Ortalamaya eşit ağırlıkla yeni veri noktalarının alınması yerine, daha düşük katsayılarla veri noktaları eklenmektedir217. Bazı araştırmacıların oluşturduğu ağırlık setleri uygulamada yaygın olarak kullanılmaktadır. Örneğin, Spencerin ortaya koyduğu 5x4x4MA 5 terimli düzleştiricisi a0=1, a1=a-1=3/4, a2=a-2=-3/4 ağırlıklarına sahiptir. Spencer bu

ağırlıkları rastgele seçmemiştir. Hesaplandığında 15 terimli katsayı setine karşılık gelmektedir ve bu katsayılar iyi sonuçlar vermektedir218.

Ağırlıklı hareketli ortalama yönteminde Henderson’un katsayı seti de sıklıkla kullanılmaktadır. Amerikan Sayım Bürosu (U.S. Census Bureau) Henderson’un 5’li, 7’li, 9’lu, 13’lü ve 23’lü katsayı setlerinden faydalanmaktadır. Bu setler arasından seçim yapılırken, rastgelelik faktörü yüksek olduğunda yüksek adetli setlerin seçilmesine dikkat edilmelidir219.