Formalizm

Formalizme göre matematiksel nesne yoktur. Matematik, aksiyom, tanım ve teoremlerden ibarettir. Bir formülden başka bir formül türetmeyi sağlayan kurallar vardır ama bu formüller hiç bir şeye dair değildir. Sadece semboller dizisidir.180

Bir formalist matematiği kesin ispat bilimi olarak tanımlar. Ona göre matematik, aksiyomlardan teoremlere giden formel çıkarsama bilimidir. Temel terimleri tanımsızdır. İfadeleri, bir yorum getirilinceye kadar içerikten yoksundur.181

Bu tez matematiğin temelini yine matematiğin kendi içinde yeniden bir düzenleme ya da arındırmayla gerçekleştirmeyi savunmuştur. Öncülüğünü David Hilbert yapmıştır. Formalist öğretiye göre, matematik soyut nesne ve ilişkileri konu alan simgesel bir sistemdir. Matematiksel ilişkileri dile getiren tümceler de içeriksiz birer önermedir. Matematik, mantığa indirgenerek değil, simgesel aksiyomatik bir yapıya dönüştürülerek temellendirilmelidir. Ancak bu şekilde istenen tutarlılık sağlanabilir. Klasik matematikte, matematiksel bir çalışmanın tutarlılığı, tutarlılığı varsayılan başka bir dizge model alınarak yapılıyordu. Örneğin geometrinin tutarlılığını göstermek için aritmetiğin, ya da tersine aritmetiğin tutarlılığını göstermek için geometrinin model alınması gibi. Bu şekilde yapılan tutarlılık yoklaması sorunu bir alandan başka bir alana kaydırıyordu. Hilbert, bu sıkıntıları içermeyen bir tutarlılık yöntemi geliştirmek istedi. Formalizmin Principia Mathematica’sı denilen iki ciltlik Matematiğin Temelleri (1934)

179 _{Yıldırım, Matematiksel Düşünme, s.92.}

180 _{Philip J. Davis, Reuben Hersh, Matematiğin Seyir Defteri, Çeviren: Ender Abadoğlu, Doruk}

Yayınları, Ankara 2002, s.364.

47

isimli eserinde bu durumu ortaya koydu. Fakat çalışmaları Gödel’in çalışmalarıyla bir darbe aldı.182

Gödel’in teoremleri tutarlılığın basit dizgeler dışında geçekleşmediğini gösterir. Yani matematiğin hiçbir dalında tutarlılık o dizgenin elverdiği yöntemle ispatlanamazdı. Tutarlılık için dizgenin dışında başka yöntemlere başvurmak gerekliydi.183

Gödel’in teoremi, aritmetiğin nasıl bir aksiyom sistemine oturtulursa oturtulsun, tutarlı ve anlaşılır olması koşuluyla, tamlık ilkesini sağlayacak şekilde aksiyomlaştırmanın mümkün olmadığını söyler. Başka bir ifadeyle, aksiyomların dışına çıkmadan doğruluğunu da yanlışlığını da kanıtlayamayacağımız bir önerme her zaman mümkündür. Klasik mantığın temel ilkelerinden biri olan üçüncü halin imkânsızlığı ilkesi Gödel’in gösterdiği kanıtlanabilirlik ilkesi için geçerli değildir. Gödel’den önce her önermenin doğruluğunun ya da yanlışlığının önünde sonunda kanıtlanabileceğine dair bir inanç vardı. Gödel bu inancı yıktı. Gödel’in teoremi matematiğin her şeyi anlamamıza olanak vermediğini yani her gerçeği kavrayamayacağımızı göstermiştir.184

Gödel’in bu keşfi, Hilbert’in yanıldığını ve biçimciliğin yapılamayacağını gösterdi. Yani, bir şeyin doğru olup olmadığını açıklayacak, bütün matematiksel gerçekliği kapsayacak, matematiğin tümü için aksiyomatik sisteme sahip olacak hiçbir yol yoktur. Daha net bir ifadeyle herhangi bir konu hakkında elde etmeye çalıştığımız bir aksiyomlar kümesi ya tutarsız ya da eksik olacaktır. Eğer aksiyomların yanlış teoremler ispatlamanıza izin vermediğini kabul ederseniz, bu durumda aksiyomatik sistem eksik olacaktır. Yani bu aksiyomlardan çıkan fakat ispatlanamayan doğru teoremler olacaktır. Gödel’in yaptığı şey “Ben ispatlanamam” diyen bir cümle üretmektir.185

Gödel’in teoremi karşısında Hilbert’in duyduğu hayal kırıklığı, Russell’ın paradoksunu öğrendiğinde Frege’nin kapıldığı hayal kırıklığı gibidir.186

182 _{Yıldırım, Matematiksel Düşünme, s.93,94.} 183 _{Yıldırım, Matematiksel Düşünme, s.95.} 184 _{Ülger, agm., s.53.}

185 _{Gregory J. Chaitin, “Matematiğin Temelleri Üzerine Uyuşmazlık Yüzyılı”, Matematik Felsefesi,}

Derleyen: Bekir S. Gür, Kadim Yayınları, Ankara 2011, s.349.

48

Bazı matematikçiler tutarlılığın aslında erişilmez olmadığını, bu durumun başlangıçta aritmetik ve mantık aksiyomlarıyla sınırlandırmadan kaynaklandığını düşünmektedirler. Böyle bir sınırlamaya gidilmediğinde klasik matematiğin tutarlılığının gösterilebileceğini belirtmişlerdir. Bazılarına göre ise formalizm, matematik tarihi ile matematik felsefesinin ilişkisini kesmiştir. Çünkü formalistler için matematik tarihi diye bir şey yoktur. Bu durumu da bağnazlıkla eş tutmuşlardır.187

Bir matematik felsefesi olarak formalizmin savunucuları matematiksel sistemlere, biçimselleştirilmiş sistemler olarak bakarak birçok gereksiz ve kafa karıştırıcı sorudan kaçtığını düşünür. Sayı var mıdır? Sayı yasaları ne anlama gelir? Bir formalist için bu tür sorular anlamını yitirir.188

Hilbert ise oluşturduğu kuram için şunları dile getirir:

…..matematik, temel sorulara karar vermek için herkesin hemfikir olduğu ve her ifadenin kontrol edilebileceği somut bir temel üzerine kurulmuş üst düzey bir kürsü, bağımsız bir mahkeme olmuştur….Yeni iddiaların ilk önce bu kürsüden geçerlilik sertifikası almaları gerekir.189

Yirminci yüzyılın ortalarında formalizm ders kitapları ve diğer resmi matematik yazılarındaki baskın felsefi tavır haline geldi. Çağdaş formalizm Hilbert’in formalizminden gelir ama aynısı değildir.190 Formalizmin baskın hale gelmesinin nedenlerinden biri mantıkçı pozitivizm ile olan bağlantısıdır. Mantıkçı pozitivizm 1940 ve 1950’ler boyunca bilim felsefesindeki baskın eğilimdi. Mantıkçı pozitivistlerin Viyana Okulu, formel mantıksal kalkülüste kodlanmış ve tek bir çıkarsama yöntemi olan bir bileşik bilim amacındaydılar. Tüm bilim için formelleştirme hedefleriydi. Matematiğin kendisi bir bilim olarak değil, diğer bilimler için bir dil olarak görülüyordu. Böylece bilim felsefesindeki mantıksal pozitivizm, matematik felsefesindeki formalizme yol açmıştır.191

187 _{Yıldırım, Matematiksel Düşünme, s.96.} 188 _{Barker, age., s.160.}

189 _{Hilbert, age., s.137.} 190

Davis, Hersh, age., s.385.

49