2.3 Reel Opsiyonları Değerleme Yaklaşımları
2.3.2 Binom Modeli
2.3.2.1 Eşlenik Portföy ile Değerleme
Eşlenik portföy yaklaşımı, iki temel varsayıma dayanmaktadır. Birincisi, arbitraj fırsatlarının olmaması, ikincisi ise, mevcut varlığın getiri profilini taklit etmek için kullanılabilecek piyasada işlem gören pek çok eş varlığın (twin security) bulunabilmesidir (Dixit ve Pindyck, 1994: 121).
Bu yaklaşımda amaç, dayanak varlığın nakit akışlarını taklit eden risksiz bir portföy elde etmektir. Opsiyonun bünyesinde barındırdığı risklerden korunmak için, bu portföy, B adet devlet tahvilinden (risksiz varlık) ve piyasada işlem gören bir eş varlığın m adet hisse senedinden (riskli varlık) oluşturulmaktadır. Bu iki değişkenin değeri, dayanak varlığın nakit akışları, eş varlığın nakit akışları ve eş varlığın
84 getirisinin bugünkü değerine dayalı olarak hesaplanmaktadır. Gelecekte aynı getiriyi sağlayan iki varlığın bugünkü değerlerinin de aynı olacağını ifade eden Tek Fiyat Kanunu’nu kullanarak, dayanak varlığın bugünkü değeri, hesaplanan m ve B değerleri yardımıyla elde edilmektedir. Eşlenik portföyün sunduğu çeşitlendirme sayesinde opsiyon riskten arındırıldığı için, risksiz faiz oranı üzerinden nakit akışları indirgenmekte ve opsiyon değeri hesaplanmaktadır.
Örnek olarak, ABC firmasına ait hisse senedinin fiyatının ya da değerinin kesikli rassal bir süreç izlediği ve herhangi bir zaman aralığında bu değerin artabileceği veya azalabileceği varsayılsın. Ocak ayında bu hisse senedine dayalı bir alım opsiyonunun satın alımının planlandığı düşünülsün. Bu alım opsiyonunun vadesi Nisan ayı ve kullanım fiyatı 40 TL olsun. ABC hissesinin bugünkü değeri 32 TL’dir. Bu hisse senedinin gelecekteki durumu belirsizdir, ancak Nisan ayında 16 TL ya da 64 TL olması beklenmektedir. Aynı zamanda, opsiyonun geçerli olduğu süre boyunca bir banka kredisinin faiz oranının 3 aylık %2 olduğu varsayılsın. Bu, bir alternatif yatırım olarak banka borcunun, ABC firmasının hisse senedinin fiyatından bağımsız olarak %2 getiri sağlayacağı anlamına gelmektedir. Örneğin, 100 TL’lik bir banka borcunun tutarı üç ay sonra 102 TL’dir (Brealey, Myers ve Marcus, 2001: 679).
Bahsedilen senaryo altında üç alternatif yatırım aracı bulunmaktadır. Bu yatırımların her birinin üç ay sonraki durumlarına ilişkin binom ağacı gösterimi Şekil 14’teki gibidir. Şekil 14’ten görüldüğü gibi, alım opsiyonunun üç ay sonra alabileceği iki değer bulunmaktadır:
(
uS X)
maks Cu = 0, − = maks [0, (64 - 40 TL)]= 24 TL(
dS X)
maks Cd = 0, − = maks [0, (16 – 40 TL)]= 0 TLBu değerlere göre, alım opsiyonun süresi Nisan ayında dolduğunda hisse senedi fiyatı 16 TL’ye düşerse opsiyon değersiz olacaktır, ancak 64 TL’ye yükselirse opsiyon 24 TL değerinde olacaktır.
85 Şekil 14: Eşlenik Portföy Örneği
32 TL 64 TL 16 TL C TL= ? 24 TL 0 TL 7.84 TL (1+0.02) 8 TL 8 TL
Ocak Nisan Ocak Nisan Ocak Nisan
ABC hisse senedi Alım opsiyonu (uygulama fiyatı: 40 TL)
Banka kredisi
Bu alım opsiyonunun getirilerini taklit eden bir eşlenik (ya da sentetik) portföy, diğer iki yatırım aracını kullanarak, yani risksiz faiz oranından B tutarında banka kredisi ve ABC hisse senedinden m adet alarak oluşturulabilir. Bu, bir eş varlık bulunabildiğinde, alım opsiyonuna yapılan bir yatırımın, bir banka borcu ve bir hisse senedi yatırımı kombinasyonuyla tıpatıp kopya edilebileceği anlamına gelmektedir. Öyleyse, bugünden itibaren üç ay sonraki portföyün değeri, artış durumunda 24 TL ve azalış durumunda 0 TL olacak şekilde bir pozisyona sahip olunduğunda, yatırımcı riskten korunmuş olacaktır, çünkü kaybedilecek hiçbir şey yoktur, ancak kazanılacak şeyler olabilir.
Nisan ayında eşlenik portföyün artış durumundaki değeri:
( )
64 +B(
1+rf)
=24m TL
Nisan ayında eşlenik portföyün azalış durumundaki değeri:
( )
16 +B(
1+rf)
=0m TL
Yukarıdaki iki bilinmeyenli iki denklemin çözümünden, m= 0.5 ve B= -7.84 elde edilir. Yani, Ocak ayında eş varlıktan 0.5 adet hisse senedi alıp, bankadan 7.84 TL borçlanılırsa, alım opsiyonu ile aynı getiriler elde edilebilmektedir. Öyleyse, iki yatırım bütün koşullarda aynı sonuçları veriyorsa, bugün de değerleri aynı olmalıdır. Bir başka deyişle, bir alım opsiyonunu satın almanın maliyeti, bankadan 7.84 TL borç alma ve 0.5 adet ABC hisse senedi satın almanın maliyetinin tamamen aynı olmalıdır. Buna göre, eşlenik portföyün bugünkü değeri,
86
( )
+ B=m 32 0.5 (32) – 7.84 = 8.16 TL
olur. Dolayısıyla, risk-nötr bir yatırımcı için, ABC hisse senedinin üzerine yazılan, vadesi üç ay ve kullanım fiyatı 40 TL olan bir alım opsiyonun değeri,
C= 8.16 TL olarak elde edilir.
Opsiyon değerleme teorisinde hem Black-Scholes hem de binom modellerinin çözümlerinde kullanılan eşlenik portföy yaklaşımı, genellikle finansal opsiyonları değerlemek için uygun bir yaklaşımdır. Çünkü finansal opsiyonlar, hisse senetleri, hisse senedi endeksleri, yabancı para birimleri, borçlanma araçları, ticari mallar ve vadeli sözleşmeler gibi dayanak varlıklara dayalıdır. Ancak piyasada aktif olarak işlem görmeyen reel varlık opsiyonlarının değerlemesinde, eşlenik portföy yaklaşımının kullanılması ile ilgili bazı kaygılar mevcuttur. Reel opsiyonları değerlemede bu yaklaşımı uygulayabilmek için, reel varlığın değeri ile arasında mükemmel bir korelasyon bulunan ve piyasada işlem gören bir eş varlığın (menkul kıymetin) belirlenmesi gerekmektedir. Daha önce 1.7 bölümünde belirtildiği gibi, uygulamada böyle bir eş varlığın bulunması zordur ya da pratik değildir (Miller ve Park, 2002: 108).
Bazı araştırmacılar reel opsiyonların piyasalarda işlem görmediği gerçeğine karşın, reel bir varlık ile aynı risk özelliklerine sahip işlem gören bir portföyün bulunabilmesinin değerleme için yeterli olacağını ve korelasyon mükemmel olmasa da yaklaşık çözümler bulmak için bu varsayımın kullanılmasını tavsiye etmektedir. Ancak bu, modellerden elde edilen sonuçların dikkatli bir şekilde yorumlanmasını gerektirmektedir (Damodaran, 2006: 21).
Reel opsiyonlar için eşlenik portföy yaklaşımını kullanmaya yönelik geliştirilen varsayımlardan en çok kabul göreni, Copeland ve Antikarov (2001: 94) tarafından ortaya atılan ‘Piyasa Varlık Yadsıması’ (MAD - Marketed Asset Disclaimer) yaklaşımıdır. MAD yaklaşımına göre, “eğer reel varlık işlem gören bir varlık olsaydı, esneklik olmadan, reel varlığın nakit akışlarının bugünkü değeri, reel varlığın piyasa değerinin en iyi sapmasız tahmini olurdu. Bu nedenle, finansal
87 piyasalarda aramak yerine, geleneksel NBD, dayanak alınan riskli varlık (eş varlık) olarak kullanılabilir”. Bu yaklaşıma göre tüm pazar belirsizlikleri tek bir bugünkü değerde birleştirilebilmekte ve bugünkü değerin zamanla gelişimi GBH ile modellenebilmektedir. Yani, bugünkü değer, zamanın tüm noktalarında lognormal olarak dağılmaktadır. Karmaşık modellerin daha farklı dağılımlarla eşleştirilmesi gerektiği düşünülse bile, bu varsayım çoğunlukla sağlanmaktadır (Schneider ve diğerleri, 2008: 88).