Durağanlığın Birim Kök ile Sınanması

Zaman serisi analizlerinin gelişmesiyle ortaya atılmış kavramlardan biri de birim kök kavramıdır. Bir zaman serisinin birim kök içermesi, o serinin durağan olmadığını göstermektedir. Bu özelliğe sahip değişkenler ile yapılan uygulamalarda kullanılan ekonometrik yöntemlerin sonuçları da anlamsız olacaktır. Birim kök testleri, zaman serilerinin durağanlığını ölçmek için oluşturulmuştur. Durağan olmayan zaman serisi söz konusu olduğunda, yapılan regresyon ile elde edilen t ve F testleri geçerli olmayacak ve bundan dolayı elde edilen regresyon, sahte regresyon sonuçlarına neden olacaktır. Serilerin durağanlığını sağlamak için; serilerin farkları, logaritmaları, logaritmalarının birinci farklarının alındığı farklı yöntemler kullanılmaktadır (Göktaş, 2005: 13-14).

Kullanılan birim kök testleri, zaman serilerinin trend durağan veya fark durağan kısımdan hangisine uyum sağladığını göstermektedir. Trendden arındırılarak durağanlığın sağlandığı deterministik trend etkisine sahip süreç, trend durağan süreç olarak adlandırılır. Stokastik trend etkisi taşıyan ve farkı alınarak durağanlaştırılan süreç ise fark durağan süreçtir. Rassal yürüyüş, fark durağan süreci göstermektedir.

Uygulamada birçok birim kök testi yer almaktadır. Literatürde ilk birim kök testi, Dickey-Fuller Testi’dir. Bunun yanı sıra Genişletilmiş Dickey Fuller (ADF), Philips- Perron, Kwiatkowski-Philips-Schmidt-Shin testleri de geliştirilmiştir (Göktaş, 2005: 29).

Bu çalışmada Dickey Fuller, Genişletilmiş Dickey Fuller (ADF) ve Philips Perron testleri ile durağanlık sınaması yapılmıştır. Literatürde en çok kullanılan testler olan, Dickey Fuller, Genişletilmiş Dickey Fuller (ADF) ve Philips- Perron Testi hakkında açıklama yapılmıştır.

3.1.3.1.1.Dickey Fuller Testi

Dickey Fuller Testi, serilerin durağanlığının tespit edilmesi için kullanılan ilk birim kök testidir. Dickey Fuller Testi’nin ortaya çıkışı, Dickey D.A. ve W.A.Fuller’ın 1979’da ‘Journal of American Statistical Association’ adlı dergide yayınlanan makaleleriyle olmuştur.

Model: Yt = pYt-1 + ɛt ɛt = stokastik hata terimi Eşitlik şu şekilde gösterilebilir.

yt – yt-1 = (p-1) yt-1 + ɛt eşitliğin her iki tarafından yt-1 çıkarıldığında Δyt = γyt-1 + ut

Ho: p=1, H1: p<1

Serinin durağan olabilmesi için p<1 olmalıdır.

Dickey Fuller Testi birim kökün varlığını tespit etmek için aşağıdaki regresyon denklemlerini kullanır (Göktaş, 2005: 31).

ΔYt= 𝛶𝑌_𝑡−1+ ɛ_𝑡 (3.4)

ΔYt= 𝑎0+ 𝛶𝑌𝑡−1 ɛ𝑡 (3.5)

ΔYt= 𝑎₀+ 𝛶𝑌_𝑡−1+ 𝛽_𝑡+ ɛ_𝑡 (3.6)

Dickey Fuller testinde, hata teriminin otokorelasyona sahip olması durumunda seriler için birinci dereceden otogresif denir. Bu süreç için testler Genişletilmiş Dickey Fuller testi ile gerçekleştirilir.

3.1.3.1.2.Genişletilmiş Dickey Fuller Testi (ADF)

Birim kökün varlığını tespit etmek için kullanılan Dickey-Fuller ve Genişletilmiş Dickey-Fuller testleri en çok kullanılan birim kök testleridir. Standart Dickey-Fuller testi, hata terimlerinin bağımsız ve dağılımlarının da benzer olduğu varsayımı üzerine kurulmuştur. Fakat hata terimi bazen farklı varyans şeklinde veya seri korelasyon şeklinde dağılmış olabildiğinden Dickey-Fuller testi, Genişletilmiş Dickey-Fuller testi olarak değiştirilmiştir (Tetik, 2011: 25).

Testin amacı, bir değişkene ait zaman serisinin gecikmeli değerleri kullanılarak otokorelasyonun ortadan kaldırılmasıdır. Bu testte bağımlı değişkenin gecikmeli değerleri, modelde bağımsız değişken olarak ele alınmaktadır (Bağdigen ve Beşer, 2009: 6).

𝑌𝑡= ρ 𝑌𝑡−1+ εt (3.4)

Regresyonda ρ katsayısı, bire eşit (ρ=1) bulunursa, Yt olasılıklı değişkeninde birim kök problemi olduğu kabul edilmektedir;

Denklemin her iki tarafının farkı alınırsa;

Δ𝑌𝑡 = δ𝑌𝑡−1+ εt (3.6)

Kurulacak hipotezler:

𝐻₀: δ= 0, ρ= 1 ise; zaman serisi durağan değildir, normal dağılmamaktadır ve otokorelasyona sahiptir (birim kök vardır).

𝐻1: δ≠ 0 ise; zaman serisi durağandır, normal dağılmaktadır ve otokorelasyon yoktur (birim kök yoktur).

Testte kullanılan modeller (Göktaş, 2005: 35) :

-Sabitsiz model 𝛥𝑌_𝑡= δY_𝑡−1+ ∑𝑚 (𝛽_𝑖Δ𝑌_{𝑡−𝑖+1}+ 𝜀_𝑡) 𝑖=2

-Sabitli model 𝛥𝑌_𝑡= 𝛼₀+ δY_𝑡−1+ ∑𝑚 (𝛽_𝑖Δ𝑌_{𝑡−𝑖+1}+ 𝜀_𝑡) 𝑖=2

-Sabitli ve trendli model 𝛥𝑌_𝑡 = 𝛼₀+ δY_𝑡−1+ 𝛽_𝑡∑𝑚𝑖=2(𝛽𝑖Δ𝑌𝑡−𝑖+1+ 𝜀𝑡)

Burada amaç kalıntıları ortadan kaldırmak olduğu için yeterince terim modele dâhil edilmelidir. Uygun gecikme düzeyinin belirlenebilmesi için Akaike Bilgi Kriteri ve Schwarz Kriterleri kullanılmaktadır.

Akaike Bilgi Kriteri;

AIC = ln (𝑅𝑆𝑆 𝑇 ) +

2𝑘 𝑇

Schwarz Kriteri ;

SC = ln (𝑅𝑆𝑆 𝑇 ) +

𝑘. 𝑙𝑛𝑇 𝑇

‘T’ örnek büyüklüğünü, ‘k’ bu değerleri en küçük yapan değişkenlerin sayısını, ‘RSS’ hata(kalıntı) kareleri toplamını göstermektedir. Uygun gecikmenin tespit edilebilmesi için bu kriterlerin değerlerinin minimum olması gerekir. Modele bağımsız değişken eklenmesiyle kalıntı kareleri toplamı azalmalıdır fakat ilave edilen değişken gereksiz ise bu kriterlerin değeri yükselecektir. Diğer yandan modele sabit terim ve trend terimi eklendiğinde kullanılan testlerin gerçeği resmetmekteki gücü azalacaktır (Göktaş, 2005: 35-37).

3.1.3.1.3.Philips- Perron Testi

Zaman serilerinin genellikle birim köke sahip olmaları nedeniyle, bu zaman serilerini birim kökten kurtarmak için kullanılan testler çeşitlenmekte ve gelişmektedir. Dickey Fuller ve Genişletilmiş Dickey Fuller Testleri’nde hata terimlerinin bağımsız ve sabit varyansa sahip olduğu varsayılır iken, Philips- Perron Testi hata terimlerinin bağımlılık ilişkisinin güçsüz olduğunu ifade etmektedir. Böylece otokorelasyon sorunu oluşmamaktadır. Philips- Perron (1988), hata terimleri ile ilgili öngörüleri geliştirmiş ve Dickey Fuller Testleri’ne bu konuda katkıda bulunmuştur (Torun, 2015: 61- 62).

Hata terimlerinin değişen varyans içermesi durumunda, Philips- Perron tarafından öne sürülen Z istatistikleri kullanılmaktadır. Burada kullanılan tablo değeri, Dickey Fuller Testinin tablo değeri ile aynıdır (Göktaş, 2005: 40).

𝑌_𝑡 = 𝑎₀∗ _{+ 𝑎} 1 ∗_𝑌 𝑡−1+ 𝜀𝑡 (3.7) 𝑌_𝑡 = ᾰ₀+ ᾰ₁𝑌_𝑡−1+ ᾰ₂(𝑡 −𝑇 2)+ 𝜀𝑡 (3.8)

Burada, T gözlem sayısı, 𝜀𝑡 hata terimi ve E( 𝜀𝑡) = 0.

Philips- Perron testinde oluşturulan hipotezler:

𝐻₁: p˂ 0 Seri durağandır, seride birim kök yoktur şeklinde gösterilir.

Bu test 𝐻0 hipotezini test ederken, Dickey Fuller т istatistiğinde düzenleme yaparak, kalıntıların daha serbest belirlenmesini sağlar. Aynı zamanda, testte veri oluşturma sürecinde pozitif MA göstermesi durumunda testin geçerliliği artmaktadır (Göktaş, 2005: 41).