Değişen Varyans

Klasik doğrusal regresyon modeli varsayımlarından biri olan sabit varyans varsayımından sapma değişen varyans olarak tanımlanmaktadır. Genellikle bazı yatay kesit çalışmalarında değişkenlerin aldığı değerlerin çok yaygın olduğu durumlarda hata terimlerinin varyansları da, buna bağlı olarak farklı büyüklükte olabilmektedir. Klasik Doğrusal Regresyonun varsayımlarından biri olan açıklayıcı değişkenlerin seçilmiş değerlerinin koşullu bir sonucu olan her bir bozucu teriminin varyansının ’ye eşit sabit bir sayı olduğu ileri sürülen durum sabit varyans olarak tanımlanmaktadır230

. Sabit varyans simgelerle şu şekilde gösterilebilir:

Sabit varyans dağılımı Şekil 3.2. deki şekliyle gösterilebilir:

Kaynak: Damodar Gujarati, Temel Ekonometri, 1999, s. 356. Şekil 3.2. Sabit Varyans Dağılımı

229 _{Nilgün Çil, Ekonometri II Ders Notları, İstanbul Üniversitesi İktisat Fakültesi, s. 14-15}

http://auzefkitap.istanbul.edu.tr/kitap/ekonometri_ue/ekonometri2.pdf (22.04.2020).

230

değerlerine bağlı olarak ’nin koşullu varyansı ( ’ninkiyle aynı) X değişkeni hangi değerleri almış olursa olsun, aynı kalır. Kısaca varyans sabit olmalıdır. Ortalama değişse bile ortalama etrafındaki dağılım değişmemelidir.

Tam tersi bir durumda X büyüdükçe ’nin koşullu varyansının da değiştiği durumda, ’nin varyansları aynı kalmaz. Bu durum ise değişen varyans durumudur.Değişen varyans ise hata terimlerinin varyansının bütün örneklem için sabit olmaması durumu olarak ifade edilmektedir. Değişen varyans şu şekilde gösterilebilir:

Değişen varyans dağlımı Şekil 3.3. de aşağıdaki şekilde gösterilebilir:

Kaynak: Damodar Gujarati, Temel Ekonometri, 1999, s. 357. Şekil 3.3. Değişen Varyans Dağılımı

Değişen varyans olup olmadığını tespit edebilmek için hata terimleri hesaplanıp bir grafik yardımıyla incelenebilir. Ancak daha kesin bir tespit için ise değişen varyans testlerinden biri uygulanabilir. Bu testler; Park Testi, Glejser Testi, Breusch Ve Pagan Testi, White Testi, Goldfeld Ve Quandt Testi, Breusch-Pagan-Godfrey Testi, Spearman Sıra Korelasyonu Testi şeklinde sıralanabilir231

.

231

Farklı varyans sorunlarını çözmeden önce, uygulamada sıklıkla kullanılan sınama yöntemlerinden biri Breusch-Pagan Goldfrey Değişen Varyans (BPG) sınamasıdır232

.

BPG sınamasını göstermek için k değişkenli doğrusal bir bağlanım modeli şu şekilde oluşturalabilir233

:

Hata varyansı ’nin şu şekilde tanımlandığı varsayılırsa;

+ ) (3.5) Yani , olasılıklı olmayan Z değişkenlerinin bir fonksiyonudur; X’lerin bazıları

ya da hepsi Z işlevi görebilir. Özel olarak söylenebilir ki,

Yani , Z’lerin doğrusal bir fonksiyonu olduğu bir durumda eğer =

olur, bu da bir sabittir. O halde ’nin sabit olup olmadığını anlamak için önsavı sınanabilir. BPG sınamasının ana düşüncesi budur. Sınama aşağıdaki adımlar doğrultusunda yapılmaktadır.

Adım1. (3.4) Sıradan En Küçük Kareler (SEK) yöntemi ile tahmin edilerek, ̂ ̂ ̂ kalıntıları bulunur.

Adım 2. ̃ ∑ ̂ değeri bulunur. Bunun ’nin en yüksek olabilirlik (EYO) tahmin edicisidir.

Adım 3. Şu şekilde tanımlanan değerleri oluşturulur. ̂ ̃

Bu da her kareli kalıntının ̃ ’ye bölünmesiyle bulunmaktadır. Adım 4. Bu ’lerin Z’lere göre bağlanımları bulunur.

Burada bu bağlanımın kalıntı terimi dir.

232 _{Trevor Breusch, Adrian Pagan " A Simple Test for Heteroscedasticity and Random Coefficient}

Variation ", Ekonometrica, 47(5), 1979, 1287–1294.

233 _{Damodar Gujaratı, Dawn Porter, Temel Ekonometri, (çev. Ümit Şenesen, Gülay Günlük Şenesen,}

Adım 5. (3.7)’de açıklanan kalıntı kareleri (AKT) bulunarak şu tanım yapılır:

’nin normal dağıldığı varsayımıyla, sabit varyans varken, örneklem büyüklüğü n de sonsuza doğru artarken şu şekilde gösterilebilir.

Yani , (m-1) serbestlik derecesiyle ki-kare dağılımına uymaktadır. (Açıklama:

“kav” kavuşmazda, yani büyük örneklemde demektir.)

O halde bir uygulamada hesaplanan =( ) seçilmiş bir anlamlılık düzeyinde eşik değerini aşıyorsa sabit varyans varsayımı reddedilebilir. Aksi takdirde aşmıyorsa reddedilemez234

.

Değişen varyans sorunundan şüphe edildiği ama formuna yönelik bir fikir sahibi olunmadığı durumlarda başvurulan bir test olan White testi büyük örneklemler için değişen varyans sınamasına uygun bir testtir.

Gözlemleri değişen varyansa yol açtığı düşünülen X değişkenine göre normallik varsayımına karşı duyarlı Breusch Pagan Goldfrey sınamasının başka bir biçimi White’ın önerdiği genel değişen varyans sınaması, normallik varsayımına uymayan durumlarda da uygulanabilirliği olan ve çok yaygın kullanılan heteroskedasite testidir235.

Değişen varyans ilgili değişkenlere ilişkin herhangi bir bilgi olmaksızın da test edilmek istenebilir. Ortalama fonksiyonunun iki açıklayıcı değişkene sahip olduğu varyasılırsa236

:

(3.10) White testinde Z’ler X’lere, X’lerin karelerine ve X’lerin olası çapraz çarpım terimlerine eşit olarak tanımlanmaktadır. White testi çarpım terimleri olmaksızın aşağıdaki şekilde gösterilebilir:

234 _{D. Gujarati, P. Dawn, 2012, age., s. 385-386.}

235_{Burça Kızılırmak, Ekonometri Ders Notları, Ankara Üniversitesi, Değişen Varyans Sorunu, 2019, s. 7.,}

(Heteroscedasticity), http://kisisel.ankara.edu.tr/politics.ankara.edu.tr/burca/ekonometri/8- %20Degisenvaryans.pdf (04.03.2020).

236 _{Nilgün Çil, Ekonometri Ders Notları, İstanbul Üniversitesi İktisat Fakültesi, s. 369-370.}

White testi, F testi ya da testi kullanılarak uygulanır. İki tane bağımsız değişkeni olan bir model için White testinin aşamaları aşağıdaki şekildedir:

Regresyon denklemi tahmin edildikten ( ̂ ̂ ̂ ̂ ) sonra

kalıntılar ( hesaplanır.

Bağımlı değişkeni ilk aşamada hesaplanan kalıntıların kareleri olan ve bağımsız değişkenleri de yukarıda tanımlanan Z olan bir yardımcı regresyon denklemi kurulur. ̂

Yardımcı regresyonun belirginlik katsayısı hesaplanır ve temel ve alternatif hipotezler kurulur.

Sabit varyans (Homoskedasite)

Değişen Varyans (Heteroskedasite)

doğru ise, ile gözlem sayısının çarpımı yardımcı regresyondaki bağımsız değişken sayısı serbestlik derecesiyle Ki-kare dağılımına sahiptir. Sonuç olarak test istatistiği aşağıdaki şekilde:

değeri ile hesaplanır ve gözlem sayısı hem ana modelde hem de yardımcı regresyon modelinde aynıdır.

ve ile karşılatırıldığında ise sabit varyans varsayımı olan temel hipotezi reddedilir. Eğer çıkan sonuç ise temel hipotezi kabul edilir.

Çalışma zaman serisi regresyon analizinde, yokluk hihpotezinde ( ) değişen varyans yokturu, alternatif hipotez ( ) otokorelasyon vardıra karşı test etmiştir.

Çalışmada modelin sonuçlarının güvenilirliği açısından yapılan analizler sonucunda, otokorelasyon ve değişen varyans sorunlarına rastlanmamış ve hata terimlerinin normal dağıldığı belirlenmiştir.