2. KURAMSAL ÇERÇEVE VE İLGİLİ ARAŞTIRMALAR
2.1. DÜŞÜNME BECERİSİ ÖĞRETİMİ
2.1.3. Düşünme Öğretilebilir mi?
Da Teoria de Espa¸cos de Recobrimento, podemos obter muitos exemplos de G−complexos livres. Por isto, recordaremos alguns resultados sobre espa¸cos de recobrimento.
Sejam X um CW −complexo conexo, ( eX, p) um recobrimento de X e G = Aut( eX, p) o grupo das transforma¸c˜oes de recobrimento. Como X ´e um CW − complexo ent˜ao eX tamb´em ´e um CW −complexo onde as n−c´elulas eσn de eX
s˜ao as componentes conexas de p−1(σn), com σn as n−c´elulas de X. Al´em disso,
G = Aut( eX, p) permuta as c´elulas de eX e a a¸c˜ao de G sobre eX ´e livre (isto ´e, se para algum ex ∈ eX, tivermos ϕ · ex = ex ent˜ao ϕ = idXe).
Assim, G atua livremente nas c´elulas de eX e portanto, eX ´e um G−complexo livre.
Agora, se p : eX → X ´e um recobrimento regular (isto ´e, p∗(π1( eX)) ⊳ π1(X))
ent˜ao G = Aut( eX, p) ≃ π1(X) p∗(π1( eX))
(ver [10], corol´ario 7.4, p.163). Em particular, se eX ´e recobrimento universal de X, segue que G ≃ π1(X).
´
E interessante observar que se X ´e um CW −complexo ent˜ao sempre existe um recobrimento universal eX de X (vide [4], I.6.7, p.23 ou [10], p.173).
Ent˜ao, tendo em vista a proposi¸c˜ao 3.1.2, ´e natural considerarmos X como segue:
Defini¸c˜ao 3.2.1. Dizemos que X ´e um complexo de Eilenberg-MacLane do tipo (G, 1) (ou um K(G, 1)−complexo) se X ´e um CW −complexo que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:
(i) X ´e conexo; (ii) π1(X) = G;
(iii) O recobrimento universal eX de X ´e contr´atil.
Observa¸c˜ao 3.2.1. (1) Dado um grupo G, sempre existe um K(G, 1)−complexo (ver [1], teorema 7.1, p.205).
3.2. Uma Aplica¸c˜ao a Espa¸cos de Eilenberg - MacLane do Tipo (G, 1) 55
(2) Pode-se mostrar que a condi¸c˜ao (iii) da defini¸c˜ao acima pode ser subs-
titu´ıda ([5], corol´ario 4.33, p.367 e Teorema 4.5, p.346) por: (iii)′ H
i( eX) = 0, para todo i ≥ 2, ou (iii)′′ πi(X) = 0, para todo i ≥ 2.
(3) Sejam X um K(G, 1)−complexo e eX o recobrimento universal de X.
Ent˜ao, eX ´e recobrimento regular e ainda temos que, Aut( eX, p)[10], p.163≃ π1(X)
XeK(G,1)´
≃ G.
Disto segue que eX ´e um G−complexo livre.
Exemplo 3.2.1. Sejam X = S1 e G = hti ≃ Z (o grupo c´ıclico infinito).
Temos que X ´e um CW −complexo conexo, π1(X) = G e o recobrimento uni-
versal de X, eX = R, ´e contr´atil. Desse modo, X = S1 ´e um K(Z, 1)−complexo.
Mais geralmente, seX = S1×. . .×S1 (toro n−dimensional) e G = Z⊕. . .⊕Z
(grupo abeliano livre de posto n) ent˜ao o recobrimento universal de X ´e Rn,
que ´e contr´atil, π1(X) = G e X ´e um CW −complexo conexo. Logo, X ´e um
K(G, 1)−complexo.
Exemplo 3.2.2. Sejam X = T2# . . . #T2 (soma conexa de n toros) e G =
ha1, . . . , an, b1, . . . , bn| n Y i=1 [ai, bi] = 1i, onde [ai, bi] = aibia−1i b −1 i .
Sabemos que X ´e um CW −complexo conexo, com π1(X) = G ([10], 5.3,
p.131).
Agora, seja p : eX → X o recobrimento universal de X. Como X n˜ao possui c´elulas de dimens˜ao maior que 2 e p : eX → X ´e um homeomorfismo local ent˜ao
Hi( eX) = 0, para todo i > 2.
Temos tamb´em que G ´e infinito e eX ´e n˜ao-compacto (pois se eX fosse com-
pacto, como as fibras est˜ao em correspondˆencia biun´ıvoca com G, que ´e infinito,
ent˜ao elas teriam um ponto de acumula¸c˜ao, o que seria um absurdo pelo fato das fibras serem subconjuntos discretos).
Da´ı, por [4] (corol´ario 22.25, p.121), segue que H2( eX) = 0.
Logo, Hi( eX) = 0, para todo i ≥ 2 e portanto, X ´e um K(G, 1)−complexo.
Em particular, obtemos que T2 (toro) ´e um K(G, 1), onde G = ha, b | ab =
3.2. Uma Aplica¸c˜ao a Espa¸cos de Eilenberg - MacLane do Tipo (G, 1) 56
Exemplo 3.2.3. Consideremos X = _
λ∈Λ
Sλ1, G = F (Λ) (grupo livre gerado por
Λ) e p : eX → X o recobrimento universal de X.
Temos que X ´e um CW −complexo conexo e π1(X) = G. Al´em disso, como
X n˜ao possui c´elulas de dimens˜ao maior que 1 e p : eX → X ´e homeomorfismo
local, segue que Hi( eX) = 0, para todo i > 1.
Portanto, X ´e um K(G, 1)−complexo.
Proposi¸c˜ao 3.2.1. Se X ´e um K(G, 1)−complexo ent˜ao o complexo de cadeias
celular aumentado do recobrimento universal eX de X: . . . → C2( eX) ∂2 −→ C1( eX) ∂1 −→ C0( eX) ε −→ Z → 0, ´
e uma resolu¸c˜ao livre de Z sobre ZG.
Demonstra¸c˜ao : Como X ´e um K(G, 1)−complexo ent˜ao, pela observa¸c˜ao 3.2.1(3), eX ´e um G−complexo livre. Al´em disso, eX ´e contr´atil.
Portanto, pela proposi¸c˜ao 3.1.2, . . . → C2( eX) ∂2 −→ C1( eX) ∂1 −→ C0( eX) ε −→ Z → 0,
´e uma resolu¸c˜ao livre de Z sobre ZG. Observa¸c˜ao 3.2.2. (1) Como, para cada grupo G sempre existe um K(G, 1)−
complexo, ent˜ao a proposi¸c˜ao anterior nos fornece (para cada grupo G) um
exemplo de resolu¸c˜ao livre de Z sobre ZG.
(2) O corol´ario seguinte nos d´a uma interessante aplica¸c˜ao de cohomologia
de grupos a espa¸cos K(G, 1), onde G ´e um grupo que tem tor¸c˜ao. A prova ´e
conseq¨uˆencia da proposi¸c˜ao anterior e da proposi¸c˜ao2.2.1, que foi obtida a partir
da cohomologia de grupos c´ıclicos finitos.
Corol´ario 3.2.1. Se G tem tor¸c˜ao ent˜ao n˜ao existe K(G, 1)−complexo de di-
mens˜ao finita. Em particular, o espa¸co K(G, 1) n˜ao pode ser variedade.
Demonstra¸c˜ao : Seja t um elemento de tor¸c˜ao de G. Ent˜ao, t ´e um elemento de ordem finita, digamos n (n ≥ 2).
3.3. Interpreta¸c˜ao Topol´ogica da Cohomologia de Grupos 57
Suponhamos que exista um K(G, 1)−complexo X de dimens˜ao finita.
Sejam m a dimens˜ao de X e eX o recobrimento universal de X. Da´ı, eX tamb´em tem dimens˜ao m e pela observa¸c˜ao 3.1.1(1), Cq( eX) = 0, para todo q > m.
Assim, segue da proposi¸c˜ao anterior, que o complexo de cadeias celular au- mentado do recobrimento universal eX
0 → Cm( eX) ∂m −→ Cm−1( eX) → . . . → C1( eX) ∂1 −→ C0( eX) ε −→ Z → 0, (∗) ´e uma resolu¸c˜ao livre (e portanto, projetiva) de Z sobre ZG e da´ı, pelo lema 1.3.1, ´e uma resolu¸c˜ao projetiva de Z sobre ZS, o que ´e uma contradi¸c˜ao pois, pela proposi¸c˜ao 2.2.1, n˜ao existe resolu¸c˜ao projetiva de Z sobre ZS (S ≃ Zn) de
comprimento finito.
Logo, n˜ao existe K(G, 1)−complexo de dimens˜ao finita.
Finalmente, se o K(G, 1)−complexo fosse uma variedade de dimens˜ao m ent˜ao K(G, 1) seria um complexo de dimens˜ao finita, o que seria um absurdo.
Portanto, K(G, 1) n˜ao pode ser variedade.
3.3
Interpreta¸c˜ao Topol´ogica da Cohomologia de
Grupos
Finalmente, vamos relacionar a cohomologia de um grupo G com a cohomo- logia de um CW −complexo especial, o CW −complexo de Eilenberg-MacLane K(G, 1) definido na se¸c˜ao anterior (defini¸c˜ao 3.2.1).
Primeiro, provaremos dois lemas que ser˜ao importantes na demonstra¸c˜ao do Teorema 3.3.1.
Lema 3.3.1. Sejam X um G−complexo livre e X/G o complexo das ´orbitas de X. Ent˜ao, C∗(X/G) ≃ C∗(X)G. Mais precisamente, os complexos de cadeias
(C∗(X/G), ∂) e (C∗(X)G, ∂) s˜ao isomorfos.
3.3. Interpreta¸c˜ao Topol´ogica da Cohomologia de Grupos 58
p : X → X/G
x 7→ p(x) := G(x) = {g · x | g ∈ G}.
Temos induzido, para cada n ≥ 0, um homomorfismo bem definido: p#: Cn(X) → Cn(X/G)
P
rjσj 7→PrjG(σj),
onde rj ∈ Z e σj ∈ Xn (o conjunto das n−c´elulas de X).
Note que, p#(g·σ−σ) = p#(g·σ)−p#(σ) = G(g·σ)−G(σ) = G(σ)−G(σ) = 0,
para todo g ∈ G e toda n−c´elula σ (estamos identificando σ com 1 · σ e G(σ) com 1 · G(σ)). Assim, I = hg · σ − σ | g ∈ G e σ ∈ Cn(X)i ⊂ Ker p#.
Da´ı, a aplica¸c˜ao
ϕ : Cn(X)G = Cn(X)/I → Cn(X/G)
α =Xrjσj 7→ ϕ(α) := p#(α) =
X
rjG(σj)
est´a bem definida e ainda temos que:
(i) ϕ ´e homomorfismo (de grupos abelianos): De fato, dados α =Xrjσj, e β = X sjσj ∈ Cn(X)G, segue que ϕ(α + β) = ϕXrjσj + X sjσj = ϕX(rj+ sj)σj = p# X (rj+ sj)σj =X(rj+sj)G(σj) = X rjG(σj)+ X sjG(σj) = ϕ X rjσj +ϕXsjσj = ϕ(α) + ϕ(β).
(ii) ϕ ´e injetora:
Como Cn(X) ´e um Z−m´odulo livre com base Xn (o conjunto das n−c´elulas
σj) e ´e um ZG−m´odulo livre com base {σλ}λ∈Λ, onde σλ ´e um representante de
cada G−´orbita de n−c´elulas de X, ent˜ao Cn(X)G = Cn(X)/I ´e um Z−m´odulo
livre com base {σλ}λ∈Λ. Agora, Cn(X/G) ´e um Z−m´odulo livre gerado pelas
n−c´elulas em X/G, isto ´e, gerado por {G(σ) | σ ´e n−c´elula em X}. Assim, Cn(X/G) ´e um Z−m´odulo livre com base {G(σλ)}λ∈Λ, onde σλ, λ ∈ Λ, s˜ao os
representantes escolhidos (pois σλ1 6= σλ2 ⇔ G(σλ1) 6= G(σλ2)).
Logo, ϕ leva elementos b´asicos distintos σλ1 6= σλ2 em elementos b´asicos
3.3. Interpreta¸c˜ao Topol´ogica da Cohomologia de Grupos 59
(iii) ϕ ´e sobrejetora:
Considere y ∈ Cn(X/G). Como {G(σλ)}λ∈Λ ´e base de Cn(X/G) segue que
y =PrλG(σλ), com rλ ∈ Z.
Observe que, Xrλσλ ∈ Cn(X) e da´ı, x =
X
rλσλ ∈ Cn(X)G.
Assim, ϕ(x) = ϕXrλσλ
=XrλG(σλ) = y.
Logo, ϕ ´e sobrejetora.
Portanto, de (i), (ii) e (iii), conclu´ımos que ϕ ´e isomorfismo (em cada n´ıvel) e conseq¨uentemente, C∗(X/G) ≃ C∗(X)G como complexos de cadeias pois ϕ ´e
claramente uma aplica¸c˜ao de cadeias (∂ ◦ ϕ = ϕ ◦ ∂). Lema 3.3.2. Se X ´e um CW −complexo e A um ZG−m´odulo trivial ent˜ao HomZG(C∗(X), A) ≃ HomZ(C∗(X)G, A) (como complexos de cocadeias).
Demonstra¸c˜ao : Considere a aplica¸c˜ao ψ : HomZG(C∗(X), A) → HomZ(C∗(X)G, A)
f 7→ ψ(f ) := ef tal que ef (u + I) = f (u), ∀ u ∈ C∗(X),
em particular, se σj = σj + I ´e um elemento b´asico de C∗(X)G, ef (σλ) := f (σλ).
Temos que ψ est´a bem definida pois, dado f ∈ HomZG(Cn(X), A), como A ´e
ZG−m´odulo trivial, f (g · σ) = g · f (σ) = f (σ), para todo g ∈ G e n−c´elula σ. Assim, f (g · σ) = f (σ) e conseq¨uentemente, f (u) = f (v) se u + I = v + I, isto ´e, se u − v ∈ I = hg · σ − σ | g ∈ G e σ ∈ Cn(X)i.
Al´em disso,
(i) ψ ´e homomorfismo:
Com efeito, sejam f1, f2 ∈ HomZG(C∗(X), A). Ent˜ao,
ψ(f1 + f2) := ek, tal que ek(u + I) = (f1 + f2)(u) = f1(u) + f2(u), para todo
u ∈ C∗(X).
Por outro lado, ψ(f1) + ψ(f2) := ef1+ ef2 com ef1(u + I) = f1(u) e ef2(u + I) =
f2(u), para todo u ∈ C∗(X). Assim, ( ef1 + ef2)(u + I) = ef1(u + I) + ef2(u + I) =
3.3. Interpreta¸c˜ao Topol´ogica da Cohomologia de Grupos 60
(ii) A aplica¸c˜ao
ϕ : HomZ(C∗(X)G, A) → HomZG(C∗(X), A)
h 7→ ϕ(h) := eh tal que eh(u) = h(u + I), ∀ u ∈ C∗(X),
´e o homomorfismo inverso de ψ. (iii) ψ ´e aplica¸c˜ao de cocadeias.
De (i), (ii) e (iii) conclu´ımos que HomZG(C∗(X), A) ≃ HomZ(C∗(X)G, A).
Teorema 3.3.1. Se X ´e um K(G, 1)−complexo e A um RG−m´odulo trivial
ent˜ao H∗(G, A) ≃ H∗(X, A).
Demonstra¸c˜ao : Como todo Z2G−m´odulo trivial A ´e um ZG−m´odulo trivial,
considerando a proposi¸c˜ao 2.1.1, ´e suficiente mostrarmos para o caso em que R = Z.
Por hip´otese, X ´e um K(G, 1)−complexo e da´ı, pela proposi¸c˜ao 3.2.1, o com- plexo de cadeias celular aumentado do recobrimento universal eX de X:
. . . → C2( eX) ∂2 −→ C1( eX) ∂1 −→ C0( eX) ε −→ Z → 0, ´e uma resolu¸c˜ao livre (e portanto, projetiva) de Z sobre ZG.
Temos tamb´em que A ´e um ZG−m´odulo trivial e da´ı, pelo lema 3.3.2, HomZG(C∗( eX), A) ≃ HomZ(C∗( eX)G, A).
Assim, H∗(G, A) = H∗(Hom
ZG(C∗( eX), A)) ≃ H∗(HomZ(C∗( eX)G, A)).
Pelo lema 3.3.1, H∗(Hom
Z(C∗( eX)G, A)) ≃ H∗(HomZ(C∗( eX/G), A)). Como
X ´e homeomorfo `a X/G (por [8], proposi¸c˜ao 11, p.171), segue quee H∗(Hom
Z(C∗( eX/G), A)) ≃ H∗(HomZ(C∗(X), A)).
Logo, H∗(X, A) = H∗(Hom
Z(C∗(X), A)) ≃ H∗(G, A).
Corol´ario 3.3.1. Se G ´e um grupo e X um K(G, 1)−complexo ent˜ao H∗(G) ≃
H∗(X).
Demonstra¸c˜ao : Pelo fato de Z ser um ZG−m´odulo trivial segue, do teorema anterior, que H∗(G)not.= H∗(G, Z) ≃ H∗(X, Z)not.= H∗(X). Exemplo 3.3.1. Sejam Λ um conjunto, G = F (Λ) o grupo livre gerado por Λ e X = _
λ∈Λ
3.3. Interpreta¸c˜ao Topol´ogica da Cohomologia de Grupos 61
Vimos que X ´e um K(G, 1)−complexo. Logo, Hi(F (Λ)) ≃ Hi(X) ≃ M λ∈Λ Z, se i = 0, Z, se i = 1, 0, se i > 1. Exemplo 3.3.2. Sejam G = ha1, . . . , an, b1, . . . , bn| n Y i=1
[ai, bi] = 1i, onde n ´e um
inteiro positivo e [ai, bi] = aibia−1i b −1
i , e X = T2# . . . #T2 (soma conexa de n
toros). J´a vimos que X ´e um K(G, 1) e da´ı, pelo corol´ario anterior, Hi(G) ≃ Hi(X) ≃ Z, se i = 0, Z⊕ . . . ⊕ Z (2n − vezes), se i = 1, Z, se i = 2, 0, se i > 2.
Exemplo 3.3.3. Sejam G = hti ≃ Z o grupo c´ıclico infinito e A um ZG−m´odulo.
Do exemplo 2.2.2, obtemos que Hi(G, A) ≃ AG, se i = 0, AG, se i = 1, 0, se i > 1.
Temos que X = S1 ´e um K(G, 1) e assim, se A ´e um ZG−m´odulo trivial,
pelo teorema 3.3.1, Hi(X, A) ≃ Hi(G, A) ≃ A, se i = 0, 1, 0, se i > 1.
Em particular, considerando A = R com a G−a¸c˜ao trivial, temos: Hi(X, R) ≃ Hi(G, R) ≃ R, se i = 0, 1, 0, se i > 1.
3.3. Interpreta¸c˜ao Topol´ogica da Cohomologia de Grupos 62
Observa¸c˜ao 3.3.1. (1) Existe tamb´em uma interpreta¸c˜ao topol´ogica para H∗(G, A) quando A ´e um RG−m´odulo n˜ao trivial. Considerando X um K(G, 1)−
complexo, temos que H∗(G, A) ≃ H∗(X, A), onde A ´e o sistema de coeficientes
locais associado ao RG−m´odulo A ([6], 7.6, p. 307).
(2) Se um grupo G tem tamb´em uma estrutura de CW −complexo, n˜ao ´e ver-
dade, em geral, que os grupos de cohomologia do espa¸co X = G, “Hn(X, A)”,
sejam isomorfos aos grupos de cohomologia do grupo G, “Hn(G, A)”. Por exem-
plo, considere G o grupo multiplicativo S1 = {e2πxi| x ∈ R}. Neste caso, S1 tem
tamb´em uma estrutura de CW −complexo (com uma 0−c´elula e uma 1−c´elula).
ConsiderandoS1 com as duas estruturas (de espa¸co e de grupo) temos:
• como espa¸co: H1(S1) ≃ H
0(S1) ≃ Z.
• como grupo: H1(S1, Z) ≃ Der(S 1, Z)
P (S1, Z) ≃ Hom(S
Cap´ıtulo 4
Cohomologia em Dimens˜oes
Baixas, Extens˜oes de Grupos e
Aplica¸c˜oes
Neste cap´ıtulo apresentamos algumas aplica¸c˜oes em Teoria de Grupos. Como j´a mencionado essas aplica¸c˜oes est˜ao apoiadas na rela¸c˜ao existente entre coho- mologia de grupos (em dimens˜oes baixas) e extens˜oes de grupos. O principal problema no estudo de extens˜oes de grupos ´e classificar as extens˜oes de um grupo G por um grupo N a menos de “equivalˆencia”. Consideramos apenas extens˜oes em que N ´e um grupo abeliano (aditivo) denotado por A. Neste caso, toda extens˜ao de G por A d´a origem a uma a¸c˜ao de G sobre A tornando A um ZG−m´odulo. O caso n˜ao abeliano n˜ao ser´a tratado aqui (ver [1], p.104). Os prin- cipais resultados do cap´ıtulo s˜ao: a existˆencia de uma bije¸c˜ao entre H1(G, A) e
L(G, A), o conjunto das classes de A−conjuga¸c˜ao de levantamentos s : G → A⋊G da extens˜ao cindida 0 → A → A ⋊ G → G → 1, onde A ⋊ G indica o produto semidireto de A e G (Teorema 4.2.1); a existˆencia de uma bije¸c˜ao entre H2(G, A)
e o conjunto E(G, A), das classes de equivalˆencia das extens˜oes de G por A cuja a¸c˜ao de G sobre A induzida pela extens˜ao coincide com a G−a¸c˜ao dada pelo ZG−m´odulo A (Teorema 4.3.2), os Teoremas de Schur-Zassenhaus (Teoremas
4.1. Extens˜oes de Grupos e A¸c˜ao Induzida da Extens˜ao 64
4.4.1 e 4.4.2) e o Teorema de Classifica¸c˜ao dos p−grupos que cont´em um sub- grupo c´ıclico de ´ındice p, p primo (Teorema 4.5.1).
4.1
Extens˜oes de Grupos e A¸c˜ao Induzida da
Extens˜ao
Defini¸c˜ao 4.1.1. Uma extens˜ao de um grupo G por um grupo N (ou extens˜ao
de N por G) ´e uma seq¨uˆencia exata curta de grupos 1 → N → E → G → 1.
Defini¸c˜ao 4.1.2. Sejam 1 → N → E1 → G → 1 e 1 → N → E2 → G → 1 duas
extens˜oes de G por N. Dizemos que tais extens˜oes s˜ao equivalentes se existe um homomorfismo ϕ : E1 → E2 tal que o diagrama
E1 ϕ A A A A A A A 1 //N >> } } } } } } } } A A A A A A A A G //1 E2 >> } } } } } } } seja comutativo.
Proposi¸c˜ao 4.1.1. O homomorfismo ϕ da defini¸c˜ao anterior ´e um isomorfismo,
isto ´e, ϕ ´e bijetor.
Demonstra¸c˜ao : Sejam 1 → N i1 −→ E1 π1 −→ G → 1 e 1 → N i2 −→ E2 π2 −→ G → 1 duas extens˜oes equivalentes de G por N e ϕ : E1 → E2 o homomorfismo que
comuta o seguinte diagrama
E1 ϕ π1 A A A A A A A 1 //N i1 >> } } } } } } } } i2 A A A A A A A A G //1 E2 π2 >> } } } } } } }
4.1. Extens˜oes de Grupos e A¸c˜ao Induzida da Extens˜ao 65
isto ´e, ϕ ◦ i1 = i2 e π2◦ ϕ = π1.
Temos que:
(i) Ker ϕ = {1} e assim, ϕ ´e injetor: Seja u ∈ E1 tal que ϕ(u) = 1. Ent˜ao,
ϕ(u) = 1 ⇒ π2(ϕ(u)) = 1 ⇒ π1(u) = 1 ⇒ u ∈ Ker π1 = Im i1 ⇒ ∃ v ∈
N : i1(v) = u.
Assim,
ϕ(i1(v)) = ϕ(u) = 1 ⇒ i2(v) = 1 ⇒ v ∈ Ker i2.
Como i2 ´e injetora segue que v = 1. Logo, u = i1(v) = i1(1) = 1.
Portanto, Ker ϕ = {1}. (ii) ϕ ´e sobrejetor:
Seja y ∈ E2. Ent˜ao, π2(y) ∈ G.
Como π1 ´e sobrejetor segue que existe ez ∈ E1 satisfazendo π1(ez) = π2(y).
Considere z = y · (ϕ(ez))−1 ∈ E 2. Da´ı,
π2(z) = π2(y · (ϕ(ez))−1) = π2(y) · π2(ϕ(ez))−1 = π2(y) · π1(ez)−1 = 1 ⇒ z ∈
Ker π2 = Im i2 ⇒ ∃ w ∈ N : z = i2(w).
Seja x = i1(w) · ez ∈ E1. Temos que,
ϕ(x) = ϕ(i1(w) · ez) = ϕ(i1(w)) · ϕ(ez) = i2(w) · ϕ(ez) = z · ϕ(ez) = y · (ϕ(ez))−1·
ϕ(ez) = y.
Logo, para todo y ∈ E2, ∃ x ∈ E1 tal que ϕ(x) = y.
Portanto, de (i) e (ii), conclu´ımos que ϕ ´e um homomorfismo bijetor e assim,
E1 ≃ E2.
Defini¸c˜ao 4.1.3 (A¸c˜ao induzida da extens˜ao). Considere N um grupo abeliano denotado aditivamente e representado por A. Neste caso, uma extens˜ao de G por A
0 → A−→ Ei −→ G → 1π (⋆) d´a origem a uma a¸c˜ao de G sobre A, tornando A um ZG-m´odulo da seguinte maneira:
4.1. Extens˜oes de Grupos e A¸c˜ao Induzida da Extens˜ao 66
Como i(A) = Ker π ´e um subgrupo normal de E ent˜ao, para todo x ∈ E e a ∈ A, xi(a)x−1 ∈ i(A) = Ker π e assim, E atua sobre i(A) por conjuga¸c˜ao
φ : E × i(A) → i(A)
(x, i(a)) 7→ x · i(a) := xi(a)x−1
Da´ı, E atua sobre A ≃ i(A) (por conjuga¸c˜ao): φ′ : E × A → A
(x, a) 7→ x · a := i−1(xi(a)x−1),
onde i−1(xi(a)x−1) indica o ´unico elemento b ∈ A tal que i(b) = xi(a)x−1.
Conseq¨uentemente, a a¸c˜ao de i(A) ⊂ E sobre A ´e a trivial pois para todo x = i(a1) ∈ i(A) e todo a ∈ A, x · a := i−1(xi(a)x−1) = i−1(i(a1)i(a)i(a1)−1) =
i−1(i(a
1+ a − a1))
Ae abeliano´
= i−1(i(a)) = a.
Assim, existe uma a¸c˜ao de G sobre A induzida da extens˜ao (⋆), que ´e dada por
G × A → A
(g = π(x), a) 7→ g ∗ a := x · a = i−1(xi(a)x−1).
Esta a¸c˜ao fica bem definida pois se g = π(x) = π(x′) ent˜ao x−1· x′ ∈ Ker π =
i(A), da´ı (x−1· x′) · a = a, ou seja, x′ · a = x · a.
Note que, se identificamos a com i(a), esta a¸c˜ao se reduz a g ∗ a := xax−1,
para todo a ∈ A e g = π(x) ∈ G. Ainda, se i : A → E ´e a inclus˜ao ent˜ao tamb´em π(x) ∗ a = xax−1. Note que, se E ´e n˜ao abeliano e i ´e a inclus˜ao, n˜ao
´e conveniente, em geral, denotar A (que ´e abeliano) com a nota¸c˜ao aditiva pois A ´e um subgrupo de E. Agora, se tamb´em E ´e abeliano ent˜ao a nota¸c˜ao aditiva pode ser usada para A e E mas, neste caso, independente da nota¸c˜ao, a G−a¸c˜ao em A ´e a trivial:
g ∗ a = π(x) ∗ a = xax−1 = a, ∀ a ∈ A.
Observa¸c˜ao 4.1.1. (1) A a¸c˜ao de G sobre A anteriormente definida ´e caracteri-
zada por:
i(g ∗ a) = xi(a)x−1.
`
4.2. Produto Semidireto, Extens˜oes Cindidas e H1(G, A) 67
muta¸c˜ao
xi(a) = i(g ∗ a)x, (>)
para todo x ∈ E. Al´em disso, para todo g ∈ G e todo a ∈ A,
g ∗ a = a ⇔ i(g ∗ a) = i(a) ⇔ i(g ∗ a) · x = i(a) · x , ∀ x ∈ E (>)⇔ x · i(a) = i(a) · x , ∀ x ∈ E ⇔ i(a) ∈ Z(E).
Isto ´e, a G−a¸c˜ao ´e trivial se, e somente se, i(A) ⊂ Z(E), onde Z(E) := {u ∈ E | u · x = x · u, ∀ x ∈ E} ´e o centro de E. E neste caso, a extens˜ao ´e chamada
extens˜ao central.
(2) `As vezes, denotamos g ∗ a simplesmente por g · a. Desse modo, (>) se
reduz a:
xi(a) = i(g · a)x.
Como j´a observamos, o principal problema no estudo de extens˜oes de grupos ´e classificar as extens˜oes de um grupo G por um grupo N a menos de equivalˆencia. Em vista da estrutura de ZG−m´odulo sobre A obtida, podemos refinar o problema de classifica¸c˜ao fixando um ZG−m´odulo A e tentando classificar as extens˜oes de G por A que d˜ao origem `a a¸c˜ao dada de G sobre A. A resposta a este problema ser´a dada no teorema 4.3.2, que nos mostra que as classes de equivalˆencia de tais extens˜oes est˜ao em correspondˆencia biun´ıvoca com os elementos de H2(G, A).
4.2
Produto Semidireto, Extens˜oes Cindidas e
H
1(G, A)
Neste se¸c˜ao nos dedicamos a uma classe mais simples de extens˜oes, a saber, as extens˜oes cindidas (splits).
Defini¸c˜ao 4.2.1 (Produto Semidireto). Seja A um grupo abeliano com uma G−a¸c˜ao (ZG−m´odulo) e considere a seguinte opera¸c˜ao sobre A × G :
4.2. Produto Semidireto, Extens˜oes Cindidas e H1(G, A) 68
onde g · b indica a a¸c˜ao de g em b ∈ A. ´E f´acil ver que A × G com a opera¸c˜ao definida ´e um grupo com elemento neutro (0, 1G) e elemento inverso de (a, g)
dado por (−g−1a, g−1). Este grupo ´e denominado o produto semidireto de A por
G e ´e denotado por A ⋊ G.
Observa¸c˜ao 4.2.1. (1) No caso em que G atua trivialmente sobre A, A ⋊ G = A × G (com a opera¸c˜ao do produto direto usual). De fato, dados (a, g), (b, h) ∈ A ⋊ G, segue que
(a, g) · (b, h) := (a + g · b, gh) = (a + b, gh).
(2) A × {1} e {0} × G s˜ao subgrupos de A ⋊ G. Ainda, A × {1} ´e subgrupo
normal mas {0} × G ´e normal se, e somente se, G atua trivialmente sobre A. O grupo diedral ´e um produto semidireto como veremos no exemplo seguinte. Exemplo 4.2.1. Consideremos A = Zm (grupo aditivo), m ≥ 2 e G = hbi ≃
Z2 (grupo multiplicativo). Podemos definir uma a¸c˜ao de G sobre Zm que ´e a
multiplica¸c˜ao por−1, isto ´e, bk·u := (−1)ku, ∀ u ∈ Z
m e∀ k ∈ {1, 2} e portanto,
considerar o produto semidireto Zm ⋊ Z2. Seja D2m = hx, y | xm = 1 = y2 e
xy = yxm−1i o grupo diedral (que ´e tamb´em denotado, na literatura, por D m).
Mostremos que tal grupo ´e isomorfo ao produto semidireto Zm⋊ Z2, onde Z2 atua
sobre Zm pela multiplica¸c˜ao por −1. Defina a aplica¸c˜ao φ : Zm⋊ Z2 → D2m
(u, bk) 7→ xuyk.
Temos que:
(i) φ est´a bem definida:
Sejam (u, bk1), (v, bk2) ∈ Z
m⋊ Z2 tais que (u, bk1) = (v, bk2). Ent˜ao, u = v e
bk1 = bk2. Assim, existem t
1, t2 ∈ Z satisfazendo u = v + t1m e k1 = k2+ 2t2.
Logo,
φ(u, bk1) = xuyk1 = xv+t1myk2+2t2 = xv(xm)t1yk2(y2)t2 = xvyk2 = φ(v, bk2).
(ii) φ ´e homomorfismo:
Primeiro, observe que
4.2. Produto Semidireto, Extens˜oes Cindidas e H1(G, A) 69 Assim, ykxu = xu, se k ´e par
yxu = x−uy, se k ´e ´ımpar. (1)
Agora, dados (u, bk1), (v, bk2) ∈ Z
m⋊ Z2, segue, da defini¸c˜ao de produto semi-
direto, que
φ((u, bk1) · (v, bk2)) = φ(u + bk1 · v, bk1+k2) = φ(u + (−1)k1v, bk1+k2) =
= φ(u + v, bk2), se k 1 ´e par φ(u − v, bk1+k2), se k 1 ´e ´ımpar = xu+vyk2, se k 1 ´e par xu−vyk1+k2, se k 1 ´e ´ımpar.
Por outro lado,
φ(u, bk1) · φ(v, bk2) = xuyk1xvyk2 (1)= xu+vyk2, se k 1 ´e par xu−vyk1+k2, se k 1 ´e ´ımpar.
Portanto, φ((u, bk1) · (v, bk2)) = φ(u, bk1) · φ(v, bk2).
(iii) φ ´e injetora:
Seja (u, bk) ∈ Z
m⋊ Z2 tal que φ(u, bk) = 1. Ent˜ao, k ´e par pois para k ´ımpar,
φ(u, bk) = xuy 6= 1.
Suponhamos que k = 2t, t ∈ Z. De φ(u, bk) = 1 e de (1) segue que xu = 1 e
assim, u = sm, s ∈ Z.
Logo, (u, bk) = (sm, b2t) = (sm, (b2)t) = (0, 1).
(iv) φ ´e sobrejetora:
Considere w ∈ D2m. Assim, existem k e u tais que w = xuyk. Tomando
z = (u, bk) ∈ Z
m⋊ Z2, temos que φ(z) = φ(u, bk) = xuyk= w.
Desse modo, φ ´e sobrejetora.
De (i), (ii), (iii) e (iv), segue que φ ´e isomorfismo. Portanto, D2m≃ Zm⋊ Z2.
Fixemos um grupo abeliano A com uma G-a¸c˜ao (ou um ZG-m´odulo) e seja 0 → A−→ Ei −→ G → 1π (⋆) uma extens˜ao cuja a¸c˜ao induzida de G sobre A coincide com a a¸c˜ao de G sobre A dada inicialmente.
Defini¸c˜ao 4.2.2. Dizemos que (⋆) cinde (splits) ou ´e cindida se existe um homo- morfismo s : G → E tal que o seguinte diagrama
4.2. Produto Semidireto, Extens˜oes Cindidas e H1(G, A) 70 E π //G G s OO idG ?? ~ ~ ~ ~
seja comutativo, isto ´e, π ◦ s = idG. Tal homomorfismo ser´a chamado levanta-
mento da extens˜ao (⋆).
Exemplo 4.2.2. Considere A um ZG−m´odulo e temos que
0 → A−→ A ⋊ Gi′ −→ G → 1π′ (⋆⋆)
´e uma extens˜ao de G por A (dada pelo produto semidireto), com i′(a) = (a, 1)
e π′(a, g) = g, para todos a ∈ A e g ∈ G (i′ e π′ s˜ao as aplica¸c˜oes inclus˜ao e
proje¸c˜ao canˆonicas). Podemos verificar que a a¸c˜ao induzida de G sobre A por esta
extens˜ao coincide com a a¸c˜ao de G sobre A como ZG−m´odulo e esta extens˜ao cinde, pois s(g) = (0, g) ´e um levantamento (chamado levantamento trivial).
Al´em disso,(a, 1)−1 = (−a, 1), para todo a ∈ A e s(G) = {0} × G.
Proposi¸c˜ao 4.2.1. As seguintes condi¸c˜oes sobre a extens˜ao (⋆) s˜ao equivalentes: (i) (⋆) cinde.
(ii) E tem um subgrupo eG que ´e aplicado por π isomorficamente em G e que
satisfaz E = i(A) · eG e i(A) ∩ eG = {1}.
(iii) E tem um subgrupo eG tal que todo elemento u ∈ E ´e unicamente expresso
na forma u = i(a) · eg (a ∈ A, eg ∈ eG). (iv) a extens˜ao (⋆) ´e equivalente `a extens˜ao
0 → A−→ A ⋊ Gi′ −→ G → 1π′ (⋆⋆)
onde A ⋊ G ´e o produto semidireto de G e A relativo `a a¸c˜ao dada inicialmente e i′ e π′ s˜ao as aplica¸c˜oes inclus˜ao e proje¸c˜ao canˆonicas,
isto ´e, i′(a) = (a, 1) e π′(a, g) = g, para todo a ∈ A e todo g ∈ G.
Demonstra¸c˜ao : Mostremos que (i) ⇔ (ii), (ii) ⇔ (iii) e (i) ⇔ (iv).
(i) ⇒ (ii) Por hip´otese, a extens˜ao 0 → A−→ Ei −→ G → 1 cinde. Ent˜ao,π existe um homomorfismo s : G → E tal que π ◦ s = idG. Da´ı, s ´e injetora e assim,
4.2. Produto Semidireto, Extens˜oes Cindidas e H1(G, A) 71
Seja eG := s(G). Temos que • E = i(A) · eG.
Seja u ∈ E. Ent˜ao, π(u) ∈ G e da´ı, s(π(u)) ∈ E. Como E ´e grupo, (s(π(u)))−1 ∈ E. Considere λ = u · (s(π(u)))−1. Assim,
π(λ) = π(u) · (π(s(π(u))))−1 = π(u) · π(u)−1 = 1 ⇒ λ ∈ Ker π = i(A).
Logo, u = λ · s(π(u)) ∈ i(A) · eG. • i(A) ∩ eG = {1}.
Seja u ∈ i(A) ∩ eG. Ent˜ao, u ∈ i(A) e u ∈ eG. Como (⋆) ´e exata, segue que i(A) = Ker π. Da´ı,
u ∈ Ker π e u ∈ eG ⇒ π(u) = 1 e u = s(g), para algum g ∈ G ⇒ π(s(g)) = 1 ⇒ idG(g) = 1 ⇒ g = 1.
Logo, u = s(g) = s(1) = 1. • π|Ge : eG → G ´e isomorfismo.
Temos que π|Ge ´e homomorfismo pois eG ´e subgrupo de E e π ´e homomorfismo.
Falta mostrar que π|Ge ´e bijetora. Para isto, seja eg ∈ eG tal que π|Ge(eg) = 1.
Assim,
π(eg) = 1 ⇔ eg ∈ Ker π = Im i ⇔ ∃ a ∈ A : i(a) = eg.
Pelo fato de eg = i(a) ∈ i(A) e eg ∈ eG, segue que eg ∈ i(A) ∩ eG = {1}. Logo, eg = 1 e assim, π|Ge ´e injetora.
Agora, considere g ∈ G. Como π ´e sobrejetora ent˜ao existe u ∈ E tal que π(u) = g.
Mas, E = i(A) · eG e da´ı, u = i(a) · eg, para algum a ∈ A e eg ∈ eG. Assim, π(u) = π(i(a) · eg) = π(i(a)) · π(eg) = 1 · π(eg) = π(eg).
Logo, existe eg ∈ eG satisfazendo π(eg) = π(u) = g, o que implica que π ´e sobrejetora.
Portanto, π|Ge ´e bijetora.
(ii) ⇒ (i) Temos, por hip´otese, que existe um subgrupo eG de E tal que π|Ge : eG → G ´e isomorfismo.
4.2. Produto Semidireto, Extens˜oes Cindidas e H1(G, A) 72 Defina s = π|Ge −1 : G → eG ⊂ E g 7→ s(g) = π|Ge −1 (g). Assim, (π ◦ s)(g) =π ◦ π|Ge −1 (g) = idG(g), ∀ g ∈ G.
Portanto, a extens˜ao (⋆) cinde.
(ii) ⇒ (iii) Considere eG como em (ii). Seja u ∈ E e suponhamos que existam a1, a2 ∈ A e eg1, eg2 ∈ eG tais que u = i(a1) · eg1 = i(a2) · eg2. Ent˜ao,
π(u) = π(i(a1) · eg1) = π(i(a2) · eg2) ⇒ π(i(a1)) · π(eg1) = π(i(a2)) · π(eg2) ⇒
1 · π(eg1) = 1 · π(eg2) ⇒ π(eg1) = π(eg2)
π|Ge: isom.
=⇒ eg1 = eg2.
Portanto, u ´e expresso de maneira ´unica.
(iii) ⇒ (ii) Seja eG nas hip´oteses dadas em (iii). Ent˜ao,
• E = i(A) · eG pois para todo u ∈ E, existem ´unicos a ∈ A e eg ∈ eG tais que u = i(a) · eg, ou seja, E ∈ i(A) · eG. Al´em disso, claramente i(A) · eG ⊂ E pois i(A) ´e subgrupo normal de E e eG ´e subgrupo de E.
• i(A) ∩ eG = {1}.
Seja u ∈ i(A) ∩ eG. Assim, u ∈ i(A) e u ∈ eG e da´ı, u = i(a) e u = eg, para algum a ∈ A e eg ∈ eG. Desse modo, u = i(a) · 1 ∈ E e u = i(0) · eg ∈ E e da´ı, i(a) · 1 = i(0) · eg ∈ E. Mas, como todo elemento de E ´e escrito de maneira ´unica, segue que a = 0 e eg = 1.
Logo, u = eg = 1.
• π|Ge : eG → G ´e isomorfismo.
A verifica¸c˜ao de que π|Ge ´e homomorfismo e ´e bijetor ´e similar `a dada em (i)
⇒ (ii).
(i) ⇒ (iv) Queremos mostrar que (⋆) ´e equivalente `a extens˜ao
0 → A−→ A ⋊ Gi′ −→ G → 1π′ (⋆⋆) Como (⋆) cinde, existe um homomorfismo s : G → E tal que π ◦ s = idG.
4.2. Produto Semidireto, Extens˜oes Cindidas e H1(G, A) 73
ϕ : A ⋊ G → E
(a, g) 7→ ϕ(a, g) = i(a) · s(g). Temos que:
• Claramente ϕ est´a bem definida, e ´e homomorfismo:
Sejam (a, g), (b, h) ∈ A ⋊ G. Ent˜ao, usando o fato que i(g · b) · s(g) = s(g) · i(b) (regra de comuta¸c˜ao), obtemos que
ϕ((a, g) · (b, h)) = ϕ(a+ g · b, gh) = i(a+ g · b) · s(gh) = i(a) · i(g · b) · s(g) · s(h) = i(a) · s(g) · i(b) · s(h) = ϕ(a, g) · ϕ(b, h).
• ϕ ◦ i′ = i :
Seja a ∈ A. Ent˜ao,
(ϕ ◦ i′)(a) = ϕ(i′(a)) = ϕ(a, 1) = i(a) · s(1) = i(a).
• π ◦ ϕ = π′ :
Seja (a, g) ∈ A ⋊ G. Assim,
(π ◦ ϕ)(a, g) = π(ϕ(a, g)) = π(i(a) · s(g)) = π(i(a)) · π(s(g)) = 1 · idG(g) =
g = π′(a, g).
Portanto, (⋆) ´e equivalente `a (⋆⋆).
(iv) ⇒ (i) Suponhamos que exista um homomorfismo ϕ : A ⋊ G → E que comuta o diagrama A ⋊ G ϕ π′ ##G G G G G G G G G 0 //A i′ ww;; w w w w w w w i ##G G G G G G G G G G //1 E π ;;w w w w w w w w w isto ´e, π ◦ ϕ = π′ e ϕ ◦ i′ = i.
Defina s : G → E por s(g) = ϕ(0, g), para todo g ∈ G. Temos que: • s ´e homomorfismo:
Sejam g, h ∈ G. Ent˜ao, s(gh) = ϕ(0, gh)ϕ:hom.= ϕ(0, g) · ϕ(0, h) = s(g) · s(h). • π ◦ s = idG :
Seja g ∈ G. Ent˜ao, (π ◦ s)(g) = π(s(g)) = π(ϕ(0, g)) = π′(0, g) = g = id G(g).
4.2. Produto Semidireto, Extens˜oes Cindidas e H1(G, A) 74
Portanto, a extens˜ao (⋆) cinde. Corol´ario 4.2.1. Existe somente uma extens˜ao cindida de G por A (a menos de
equivalˆencia) associada `a a¸c˜ao dada de G sobre A. Isto ´e, se 0 → A i1
−→ E1 π1 −→ G → 1 e 0 → A i2 −→ E2 π2
−→ G → 1 s˜ao extens˜oes cindidas ent˜ao elas s˜ao
equivalentes.
Demonstra¸c˜ao : Pela proposi¸c˜ao anterior, existem isomorfismos ϕ1 : E1 →
A ⋊ G e ϕ2 : A ⋊ G → E2 que comutam o diagrama
E1 ≃ ϕ1 π1 ##F F F F F F F F F 0 //A i′// i1 ;; x x x x x x x x x i2 ##F F F F F F F F F A ⋊ G π′ // ≃ ϕ2 G //1 E2 π2 ;; x x x x x x x x x isto ´e, ϕ1◦ i1 = i′, π′◦ ϕ1 = π1, ϕ2◦ i′ = i2 e π2◦ ϕ2 = π′.
Considere a aplica¸c˜ao ϕ2◦ ϕ1 : E1 → E2. Temos que:
• ϕ2◦ ϕ1 ´e homomorfismo pois ϕ1 e ϕ2 s˜ao homomorfismos.
• (ϕ2◦ ϕ1) ◦ i1 = ϕ2 ◦ (ϕ1◦ i1) = ϕ2◦ i′ = i2. • π2◦ (ϕ2◦ ϕ1) = (π2◦ ϕ2) ◦ ϕ1 = π′◦ ϕ1 = π1. Portanto, 0 → A i1 −→ E1 π1 −→ G → 1 e 0 → A i2 −→ E2 π2 −→ G → 1 s˜ao equivalentes.
Exemplo 4.2.3. Considere a extens˜ao (⋆⋆) da proposi¸c˜ao anterior, no caso em
que A = Z3 e G = Z2. Considere tamb´em a extens˜ao 0 → Z3 = {0, 1, 2} i1
→ D2·3 = hx, y | x3 = 1 = y2 e xy = yx2i
π1
→ Z2 = hbi → 1, onde i1(u) = xu, ∀ u ∈
Z3 e π1(xuyk) = bk, ∀ xuyk ∈ D
2·3, e Z2 atua sobre Z3 pela multiplica¸c˜ao por
−1. Temos, pelo exemplo 4.2.1, que a aplica¸c˜ao φ : Z3 ⋊ Z2 → D2·3 dada por
φ(u, bk) = xuyk, ∀ (u, bk) ∈ Z
3⋊ Z2 ´e um isomorfismo. Ainda,
• (π1◦φ)(u, bk) = π1(φ(u, bk)) = π1(xuyk) = bk = π′(u, bk), ∀ (u, bk) ∈ Z3⋊Z2;
• (φ ◦ i′)(u) = φ(i′(u)) = φ(u, 1) = φ(u, b2) = xuy2 = xu = i
1(u), ∀ u ∈ Z3. Assim, 0 → Z3 i′ −→ Z3 ⋊ Z2 π′ −→ Z2 → 1 e 0 → Z3 i1 −→ D2·3 π1 −→ Z2 → 1 s˜ao
equivalentes e pela proposi¸c˜ao anterior, 0 → Z3 i1
−→ D2·3 π1
4.2. Produto Semidireto, Extens˜oes Cindidas e H1(G, A) 75
Defini¸c˜ao 4.2.3. Sejam s1, s2 : G → E dois levantamentos de uma extens˜ao
cindida 0 → A −→ Ei −→ G → 1. Dizemos que sπ 1 e s2 s˜ao A−conjugados se
existe a ∈ A tal que s1(g) = i(a)s2(g)i(a)−1, para todo g ∈ G.
Observa¸c˜ao 4.2.2. A defini¸c˜ao anterior d´a origem `a uma rela¸c˜ao de equivalˆencia
no conjunto L de levantamentos de uma extens˜ao cindida e assim, podemos falar em classes de equivalˆencia [s], s ∈ L e no conjunto quociente L(G, A) = L/∼ = {[s] | s ∈ L}. E ainda, se E for abeliano, s1 e s2 s˜aoA−conjugados se, e somente
se, s1 = s2. Neste caso, [s1] = {s1}, ou seja, as classes de A−conjuga¸c˜ao s˜ao
unit´arias.
Exemplo 4.2.4. Considere a extens˜ao cindida 0 → A −→ A ⋊ Gi′ −→ G → 1π′
e s : G → A ⋊ G o levantamento trivial, isto ´e, s(g) = (0, g), para todo g ∈ G.
Ent˜ao,
[s] = {s1 : G → A ⋊ G; s1(g) = i′(a)s(g)i′(a)−1, para algum a ∈ A e todo
g ∈ G} = {s1 : G → A ⋊ G; s1(g) = (a − g · a, g), para algum a ∈ A e todo
g ∈ G}.
J´a sabemos dos resultados anteriores, que a extens˜ao (⋆⋆) ´e a ´unica extens˜ao cindida de G por A (a menos de equivalˆencia). O resultado seguinte classifica, a menos de A−conjuga¸c˜ao, os levantamentos poss´ıveis da extens˜ao cindida (⋆⋆). Teorema 4.2.1. Sejam G um grupo, A um ZG−m´odulo e L(G, A) o conjunto
das classes de A−conjuga¸c˜ao de levantamentos s : G → A ⋊ G da extens˜ao
cindida 0 → A −→ A ⋊ Gi′ −→ G → 1 (⋆⋆). Ent˜ao, existe uma bije¸c˜ao entreπ′ L(G, A) e H1(G, A).
Demonstra¸c˜ao : Sabemos que H1(G, A) ≃ Der(G, A)
P (G, A) (proposi¸c˜ao 2.3.1). As- sim, ´e suficiente mostrar que existe uma bije¸c˜ao entre L(G, A) e Der(G, A)
P (G, A) . Um levantamento s : G → A⋊G tal que π◦s = idG´e da forma s(g) = (d(g), g)
onde d ´e uma aplica¸c˜ao de G em A. Temos que,
4.2. Produto Semidireto, Extens˜oes Cindidas e H1(G, A) 76
s ´e homomorfismo ⇐⇒ ∀ g, h ∈ G, s(gh) = s(g) · s(h) ⇐⇒ (d(gh), gh) = (d(g), g) · (d(h), h) ⇐⇒ (d(gh), gh) = (d(g) + g · d(h), gh) ⇐⇒ d(gh) = d(g) + g · d(h) ⇐⇒ d ∈ Der(G, A).
E mais, dados dois levantamentos s1(g) = (d1(g), g) e s2(g) = (d2(g), g) segue
que
s1 e s2 s˜ao A−conjugados ⇐⇒ s1(g) = i′(a)s2(g)i′(a)−1, para algum a ∈ A
e todo g ∈ G ⇐⇒ (d1(g), g) = (a, 1) · (d2(g), g) · (−a, 1) ⇐⇒ (d1(g), g) = (a +
d2(g), g)·(−a, 1) ⇐⇒ (d1(g), g) = (a+d2(g)−g·a, g) ⇐⇒ d1(g) = a+d2(g)−g·a
⇐⇒ d2(g) − d1(g) = g · a − a = da(g) ∈ P (G, A) ⇐⇒ d2− d1∈ P (G, A).
Logo, a aplica¸c˜ao
ϕ : Der(G, A)
P (G, A) → L(G, A)
d + P (G, A) 7→ [s], com s(g) := (d(g), g) est´a bem definida e ´e uma bije¸c˜ao. De fato:
• Sejam d1+ P (G, A) e d2+ P (G, A) ∈
Der(G, A)
P (G, A) . Temos,
d1 + P (G, A) = d2 + P (G, A) ⇐⇒ d2 − d1 ∈ P (G, A) ⇐⇒ s1 e s2 s˜ao
A−conjugados ⇐⇒ [s1] = [s2] ⇐⇒ ϕ(d1+ P (G, A)) = ϕ(d2+ P (G, A)).
Logo, ϕ est´a bem definida e ´e injetora.
• Seja [s] ∈ L(G, A). Como s(g) = (d(g), g), ∀ g ∈ G e s ´e homomorfismo segue que d ∈ Der(G, A).
Da´ı, d + P (G, A) ∈ Der(G, A)
P (G, A) e assim, ϕ(d + P (G, A)) = [s].
Portanto, ϕ ´e sobrejetora. Corol´ario 4.2.2. Se A ´e um ZG−m´odulo trivial ent˜ao L(G, A) = Hom(G, A) × {id} e a bije¸c˜ao ϕ acima se reduz a ϕ : Hom(G, A) → Hom(G, A) × {idG};
d 7→ (d, idG).
Demonstra¸c˜ao : Como A ´e um ZG−m´odulo trivial segue, pela observa¸c˜ao 2.3.1(2), que Der(G, A) = Hom(G, A) e P (G, A) = 0.
Agora, dado s1 ∈ [s], usando que a G−a¸c˜ao ´e trivial, d(g) ∈ A e A ´e abeliano,
4.3. Extens˜oes com N´ucleo Abeliano e H2(G, A) 77
s1(g) = i′(a)·s(g)·i′(a)−1 = (a, 1)·(d(g), g)·(−a, 1) = (a+d(g)+g ·(−a), g) =
(d(g), g), isto ´e, [s] = {s} = {(d, idG)}.
Assim, a bije¸c˜ao ϕ ´e dada por ϕ : Hom(G, A) → L(G, A) = Hom(G, A)× {idG}; d 7→ [s] = {(d, idG)}.
4.3
Extens˜oes com N´ucleo Abeliano e H
2(G, A)
Seja A um ZG−m´odulo fixado. Todas as extens˜oes de G por A (grupo abeli- ano) a serem consideradas nesta se¸c˜ao ser˜ao tais que a a¸c˜ao de G sobre A induzida da extens˜ao coincide com a a¸c˜ao de G sobre A dada como ZG−m´odulo.
Nosso objetivo ´e, (dado um ZG−m´odulo A) exibir uma bije¸c˜ao entre H2(G, A)
e o conjunto (denotado por E(G, A)) das classes de extens˜oes de G por A cuja a¸c˜ao de G sobre A induzida da extens˜ao coincide com a G−a¸c˜ao dada pelo ZG−m´odulo A. Para isso, precisamos estabelecer v´arios resultados. Primeiro, relacionamos as extens˜oes (com uma “se¸c˜ao normalizada” s) com fun¸c˜oes que satisfazem
(I) s(g)s(h) = i(f (g, h))s(gh) e (II) f (g, 1) = 0 = f (1, g),
para todos g, h ∈ G, e depois, relacionamos tais fun¸c˜oes com os 2−cociclos nor- malizados de G com coeficientes em A.