Bulanık programlama

20. yüzyılın ikinci yarısından itibaren üretim planlama ve çizelgeleme, yerleştirme, ulaşım, finans, tasarım vb. konularda yoğunlaşan optimizasyon çalışmalarının büyük bir kısmında göz ardı edilmiş olsa da gerçek hayattaki birçok parametre bilgi eksikliği veya doğal nedenlerden dolayı belirsizlik içermektedir. Belirsizlik altında optimizasyonun en önemli zorluğu ise belirsizlik uzayının büyüklüğü nedeniyle küçük boyutlu problemlerin bile sıklıkla büyük boyutlu optimizasyon problemine dönüşmesinden kaynaklanmaktadır. Ayrıca, ilgilenilen problem için oluşturulan modelin tamsayılı değişkenler içermesi durumunda problemin zorluğu daha da

artmaktadır. Yarım yüzyıldan fazla bir süredir üzerinde çalışılan ve hem teori hem de algoritma konusunda önemli gelişmelerin ortaya konduğu belirsizlik altında optimizasyon konusu halen en önemli açık problemlerden biri olarak değerlendirilmektedir.

Belirsizliklerin modellenmesi için kesikli ve sürekli olasılık dağılımlarının kullanıldığı stokastik programlama yaklaşımı geçmiş yıllarda en fazla kullanılan yöntem olmuştur. Daha yakın tarihli çalışmaların ise bulanık programlama yaklaşımı üzerinde yoğunlaştığı görülmektedir. Bulanık programlama kabaca stokastik olmayan belirsizliklerin bulunduğu matematiksel programlama olarak tanımlanabilir (Dubois ve Prade, 1988). Bulanık programlamada belirsiz parametreler bulanık aralıklar veya sayılar ile belirsiz kısıtlar ise bulanık kümeler ile modellenmektedir. Gerçek hayat problemleri incelendiğinde genellikle iki tip belirsizlik ile karşılaşıldığı görülmektedir.

Birinci tip belirsizlik, hemen hemen tüm nesnelerin değişimleri sürekli olan fiziki özelliklere sahip olmasından kaynaklanmaktadır. Aslında hiç kimse tam olarak 175 cm uzunluğunda değildir, ancak aşağı yukarı veya kabaca 175 cm uzunluğunda olan pek çok insan vardır. Ölçümleri anlamlı bir doğrulukla yuvarlamak genellikle mantıklı ve yararlı olmasına rağmen 1 veya 0’a başka bir deyişle yanlış veya doğruya yuvarlama yapılması durumunda önemli zorluklar ortaya çıkmaktadır. Bazı insanlar için “uzun boyludur” veya “kısa boyludur” ifadelerini kullanmak çok kolaydır ve ifadenin doğruluğu konusunda herhangi bir belirsizlik söz konusu değildir. Ancak uzun veya kısa boylu olmasına kolayca karar verilemeyen bir çok insan vardır. Bu insanlar uç/sınır veya arada kalma durumlarını temsil etmektedir ve kesin sınırların belirlenememesi/esneklik içerme (vagueness) anlamındaki belirsizliğe temel oluşturmaktadır. Kesikli olmama, ilgilenilen alan sınırlarının tam olarak belirlenememesi veya kesin ayrımların yapılamaması durumunu ifade etmektedir. Bulanık kümeler bu tip belirsizliklerin modellenebilmesine imkan sağlamaktadır. Bulanık programlamada, gerçek hayatta sürekli değerler alan değişkenler amaç fonksiyonu değeri kabul sınırı (aspirasyon kriteri) olarak veya kısıtların sağ tarafında bulanık kümeler ile modellenerek kullanılabilmektedir. Örnek olarak, bir iş çizelgeleme probleminde J_i işi için teslim tarihi müşteri tarafından “saat 10 gibi”

olarak ifade ediliyorsa, oluşturulan modelde J_i işinin teslim tarihi ile ilgili sağ taraf kısıtı müşteri tatmin düzeyini temsil eden bir bulanık küme ile modellenebilmektedir. İkinci tip belirsizlik ise muğlaklık veya şüpheli olma (ambiguity) anlamında ortaya çıkan belirsizliktir. Birden fazla tercih arasındaki seçim kriteri tam olarak ortaya konmamıştır. Olasılık anlamındaki belirsizliğin genelleştirilmiş hali olarak da düşünülebilir. Bir elemandan birden çok elemana ilişki içerir. Yukarıdaki örnekte J_i işinin işlem süresi için “yaklaşık 2 dakika” ifadesi ile henüz bilinmeyen ancak uygulama anında kesinleşecek bir değer için muğlaklık anlamında belirsizlik ortaya konmaktadır. 2 civarında bir değerin gerçekleşeceği doğrudur ancak kesin olarak bilinmemektedir. Muğlaklık anlamındaki belirsizlik bilgi eksikliğinden veya doğadaki rassallıktan kaynaklanabilir. Bulanık programlamada muğlak parametreler bulanık aralıklar ile modellenmektedir.

Bulanık programlama modelleri içerdikleri belirsizliklere göre üç gruba ayrılabilir (Inuiguchi ve Ramik, 2000):

• Esneklik içeren bulanık programlama • Muğlaklık içeren bulanık programlama

• Esneklik ve muğlaklık içeren bulanık programlama

Esneklik içeren bulanık programa modeli ilk olarak Bellman ve Zadeh (1970) tarafından ortaya konmuştur. Daha sonra Tanaka ve diğ. (1974) ve Zimmermann (1976, 1978) tarafından geliştirilmiştir. Bulanık hedefler ve kısıtlar (sağ taraf) durumunda karar vermeyi gerektiren bir problemdir. Bulanık hedefler ve kısıtlar amaç fonksiyonu hedef değeri için esnekliği, kısıtlar için elastikiyeti/toleransı temsil etmektedir. Bu nedenle esnek programlama olarak da adlandırılmaktadır. Klasik bir doğrusal programlama modeli (3.45) ile gösterilebilir;

min _{c x}T

Ax b≤ (3.45) Bu problemde karar değişkeni vektörü olan X, Ax b≤ kısıtını sağlamalıdır. Ancak e’nin en küçük pozitif değerleri için bile b< Ax b e≤ + durumları aday bir çözüm olarak değerlendirilmemektedir. Uygulama alanında ise sağ taraf değerlerinin tam bir kesinlikte kısıtlayıcı olmadığı, karar verici için sol taraf denklemlerinden elde

edilebilecek farklı sonuçların Ax b e≤ + durumunda kabul edilebilir olması sıklıkla karşılaşılan bir durumdur. Bu tip durumlarda, sağ taraf kısıtlarının tam bir kesinlikle modellenmesi yerine daha zayıf veya esnek bir ifadeyle modellenmesine ihtiyaç duyulmaktadır. Bulanık programlama ile bu tip kısıtlar modellenebilmektedir.

{

}

B= r r b≤ olarak tanımlanırsa yukarıdaki klasik programlama modelindeki kısıt denklemi yerine Ax B∈ kullanılabilir. Bulanık programlamada, B klasik kümesi yerine, “takriben b’den küçük değerler”i temsil eden B% bulanık kümesi kullanılarak ve Ax B∈ % kısıt denklemi ile µ_B%(Ax) üyelik dereceleri kontrol edilerek esnek/zayıf kısıtlar modellenebilmektedir. B% kümesi bulanık kısıt olarak adlandırılmaktadır.

Bulanık programlamada ikinci kategori olan muğlaklık içeren modeller ise amaç fonksiyonu katsayıları ve kısıt denklemi katsayıları için muğlak değerlerin kullanıldığı durumdur. Bu modellerde bulanık hedefler ve kısıtlar yer almamaktadır. Dubois ve Prade (1980b) tarafından ilk olarak doğrusal denklemler için muğlak katsayıların kullanımı ile ortaya konmuştur. Daha sonra Dubois (1987) bulanık katsayılı matematiksel programlama problemlerindeki bulanık aralıklar için olabilirlik teorisini temel alarak dört eşitsizlik indisi önermiştir. Böylece bulanık katsayılar, katsayı değerleri için olabilirlik dağılımları olarak tanımlanmıştır. Bu tip matematiksel programlama modelleri ise olabilirlik programlama olarak adlandırılmıştır. Yukarıdaki (3.45) klasik doğrusal programlama modelinde c ve A katsayılarının gerçel sayı olarak bilindiği varsayılmaktadır. Ancak, uygulama alanında karşılaşılan problemlerde bu katsayıların gerçel bir sayı olarak belirlenmesi için yeterli bilgi bulunmamakta veya rassallık nedeniyle genellikle “c_i yaklaşık 3’tür” gibi bir bilginin modellenmesine ihtiyaç duyulmaktadır. Bu tip durumlarda c ve A katsayılarının dahil olabileceği aralıklar c% ve A% bulanık kümeleri ile temsil edilebilir. Ax’in ve c ’nin gerçekleşebileceği aralıklar ve olabilirlikleri Ax% ve c% bulanık kümeleri ile modellenebilir. B Ax∈ % kısıt denklemi ile µ_Ax% ( )B üyelik dereceleri kontrol edilerek muğlak kısıtlar modellenebilmektedir.

Üçüncü tip bulanık programlama modeli ise sağ taraf kısıtlarında esnekliğin, amaç fonksiyonu ve kısıt katsayılarında ise muğlaklığın birarada bulunduğu durumdur. Negoita ve diğ. (1976) tarafından ilk defa bulanık doğrusal programa problemi

olarak ortaya konmuştur. Karar vericinin tercihi bulanık bir tatmin alanı ile modellenmiştir. Bu tip bulanık programlama modelleri ise gürbüz programlama olarak adlandırılmıştır. Bulanık programlama modellerinin en genel halidir. Ax B% ∈ % kısıt denklemi ile µ_Ax% ( )B% _{üyelik dereceleri kontrol edilerek muğlak kısıtlar} modellenebilmektedir.

Geçmiş çalışmaların çoğunda bulanık programlama problemleri olabilirlik teorisi temel alınarak şans kısıtlı programlama problemi olarak formüle edilmişlerdir. Bulanık programlama modellerinde oluşturulan bir çözümün uygun bir çözüm olup olmayacağı konusunda karar vericiye olabilirlik ve gereklilik ölçütleri kullanılarak bilgi sağlanmaktadır. Bulanık matematiksel programlama problemleri ile ilgili geçmişte fazla sayıda çalışma yapılmış, özellikle bulanık doğrusal programlama problemlerinin çözümü için oldukça başarılı yöntemler önerilmiştir. Bulanık doğrusal programlama problemi; amaç fonksiyon değerinin belirli bir kesin değerden büyük/küçük olmasına ilişkin gereklilik ölçütünün maksimum yapılması (modal, minimum risk, aspirasyon kriteri yaklaşımları) şeklinde veya belirli bir gereklilik ölçütü eşik değeri belirlenerek bu eşik değerin üstünde gereklilik ile amaç fonksiyonu değerinin maksimum yapılması şeklinde (fraktal yaklaşım) ele alınabilmektedir. Kısıtların sağlanması için ise minimum gereklilik ölçeği sınır değeri belirlenerek ve güçlü varsayımlar kullanılarak gürbüz programlama modelleri klasik doğrusal programlama modellerine dönüştürülebilmektedir (Inguiguchi ve Ramik 2000).

Yakın zamanda ise araştırmaların bulanık kombinatoryal problemler üzerinde yoğunlaşmaya başladığı görülmektedir. Bazı araştırmacılar genetik algortima, tavlama benzetimi, tabu arama ve karınca kolonisi optimizasyonu gibi popüler metasezgisel yöntemlerle çizelgeleme ve proje seçimi gibi problemler için çalışmalar ortaya koymuştur (Ishibuchi ve diğ., 1994; Tsujimura ve diğ., 1995; Hapke ve Slowinski, 1996; Sakawa ve diğ., 1997; Zheng ve Liu, 2006; Kılıç ve Kahraman, 2006a; Kılıç ve Kahraman 2007). Öte yandan bulanık kombinatoryal problemler üzerine teorik yaklaşımların geliştirildiği çalışmaların da devam ettiği gözlenmektedir.

Bulanık karar ortamında ele alınan çizelgeleme problemleri incelendiğinde, işlem veya yolculuk sürelerindeki belirsizliklerin olabilirlik teorisi ile modellenerek tanımlandığı görülmektedir. Olabilirlik teorisi ile olasılık teorisine göre daha basit modellerle ve daha az veriye ihtiyaç duyularak belirsizlik içeren veriler ile çalışılmıştır. Problemlerdeki tercihler veya öncelikler için uzlaşma sağlayan en iyi çözümün bulunması amacıyla yapılan çalışmalarda ise tercihlerin veya önceliklerin esnek kısıtlarla modellenebildiği görülmüştür. Belirsiz verilerin bulanık sayılarla, müşteri tatmin düzeylerinin ise bulanık kümelerle ele alındığı çalışmaların iş çizelgeleme ve sıralama problemleri üzerinde yoğunlaştığı görülmektedir. Ishii ve diğ. (1992), Han ve diğ. (1994) ve Tanaka ve Vlach (1997) bulanık teslimat zamanlı tek makina problemi üzerinde çalışmışlardır. Itoh ve Ishii (1999), Wang ve diğ. (2002), Sung ve Vlach (2003) ve Chanas ve Kasperski (2001) bulanık işlem zamanlı tek makina problemi üzerinde çalışmışlardır. Bu çalışmalarda çözümün optimalliği için farklı kıstaslar kullanılmıştır. Chanas ve Kasperski (2004), belirsizlik durumunda elde edilen bir çizelgenin optimalliği için olabilirlik ve gereklilik indislerini kullanmıştır. Önerdikleri yaklaşımda optimal olma durumu [0,1] arasında bir değerle temsil edilen ve belirsizlik içeren bir değerdir. Kasperski (2005), iş sıralama problemi için olabilirlik teorisi temelli bir yaklaşım önermiştir. Problemde yer alan ve belirsizlik içeren her parametre bir olabilirlik dağılımına sahiptir. Optimal sonucun bulunması amacıyla Dubois ve Prade (1988) tarafından önerilen indisler kullanılmıştır. Kılıç ve Kahraman (2007) çalışmasında bulanık işlem süreli ve teslimat zamanlı akış tipi çizelgeleme problemi için elde edilen çözümlerin uygulama aşamasında kısıtlara uygun olup olmayacakları gereklilik ölçütü ile ele alınmıştır. Bulanık küme teorisi, belirsiz bilginin modelllenebilmesi için istatistiksel yöntemleri kullanmadan geçerli ve güçlü modellerin oluşturulabilmesine olanak sağlamıştır. Bulanık modeller ile hem istatistiksel modellerdeki gerçeklik kaybının önüne geçilebilmekte hem de yüksek veri işleme maliyeti düşürülmektedir (Rommelfanger, 1995). Etkileşimli çözüm sürecinin başlangıç aşamasında, bulanık sistem, sadece karar verici tarafından yüksek maliyet gerektirmeden sağlanan veri ile modellenebilir. Uzlaşık çözüm elde edildikten sonra ilerleyen aşamalar için hangi bilgilere ihtiyacı duyulacağına, bu bilgilerin elde edilme maliyeti ile bu bilgiler elde edildiğindeki kazanımların neler olabileceği karar verici tarafından değerlendirilebilir. Bu süreç devam ettirilerek uzlaşık çözümler aşamalı olarak

geliştirilebilir. Böylece sadece ihtiyaç duyulan bileşenler için veri elde edilerek ve sadece ihtiyaç duyulan kadarıyla verinin işlenmesi sağlanarak çözüm sürecinin maliyeti azaltılabilir.