3. BULANIK KÜME ve OLABİLİRLİK TEORİSİ
3.1 Bulanık Küme
U tanım kümesi içerisindeki bir u elemanının klasik bir A kümesine üyelik derecesi (3.1) eşitliğinde gösterilen karakteristik fonksiyon ( X ( )A u ) ile tanımlanmaktadır;
1, X ( ) 0, A u A u u A ∈ = ∉ (3.1) Tanım kümesi içerisindeki herhangi bir elemanın klasik bir A kümesi için karakteristik fonksiyon değeri söz konusu elemanın A kümesine ait olup olmamasına bağlı olarak sadece 0 veya 1 değerlerini alabilmektedir. Şekil 3.1’de de görüldüğü gibi klasik bir kümede kümeye dahil olan ve olmayan elemanlar arasında kesin bir ayırım vardır. Şekil 3.1’de gösterilen A kümesi için karakteristik fonksiyon değerleri;
,
v∈A y∈A ve z∉Aolduğundan X vA( )= XA(y) 1 = ve XA( =z) 0 olacaktır.
A
.v .y
.z
Bu tip bir kabul teorik düzeyde genellikle geçerliliğini koruyabilmektedir. Örneğin, A çift sayılar kümesi olarak tanımlanmış ise evrensel kümenin tam sayılardan oluştuğu bir düzlemde her tam sayı için (3.1) eşitliği ile 0 veya 1 olmak üzere karakteristik fonksiyon değeri belirlenebilir.
Ancak, gerçek hayatta karşılaşılan durumlar ele alındığında klasik küme kavramı çoğu zaman model oluşturmada yetersiz kalmakta, çok fazla varsayım ve kabul ile gerçek hayatın modellenmesi için kullanılabilmektedir. Özellikle günlük hayatta kullandığımız uzun, kısa, soğuk, sıcak, az, çok vb. sözel değişkenler söz konusu olduğunda klasik bir küme tanımı yetersiz kalabilmektedir. Örneğin, boyu uzun olan insanlardan oluşan klasik bir A kümesini tanımlamak için bu kümenin kesin sınırlarının belirlenmesi gereklidir. Uzun boylu insanlar kümesini boyu 180 cm ve üstü insanlar olmak üzere tanımlamış olsun. Bu durumda boyu 179,99 cm olan bir insanı uzun boylu olarak kabul etmemek ne kadar doğrudur? Ayrıca, boyu 195 cm olan bir insan ile boyu 181 cm olan bir insanı aynı derecede uzun boylu kabul etmek ne kadar doğrudur? Buna benzer durumlar için oldukça fazla örnek verilebilir. Zadeh (1965) tarafından önerilen bulanık kümeler işte bu tip durumlarda, gerçek hayattaki belirsizlik içeren algılamanın modellenebilmesi amacıyla kullanılabilmektedir. Bulanık kümeler, klasik kümeler gibi kesin sınırlara sahip değildir ve herhangi bir u elemanının bulanık bir kümeye üyelik derecesi, üyelik fonksiyonu ( ( )µ u ) ile tanımlanır. µ( )u üyelik fonksiyonu, [0,1] kapalı aralığında değer alır. U tanım kümesi içinde tanımlanan bulanık bir A~ kümesi, (3.2) denklemi ile tanımlanan çiftler ile liste halinde gösterilebilir. µA%( )u , u elemanının A~ kümesine üyelik derecesidir.
( ) A u
µ% değeri ne kadar büyükse u elemanının kümeye ait olma derecesi de o kadar büyüktür.
(
)
{
, A( )}
A% = u µ% u u U∈ (3.2) Şekil 3.1’de klasik kümeler için kullanılan Venn diyagramı gösterimi, Şekil 3.2’de görüldüğü gibi küme sınırı belirsizleştirilerek bulanık kümeler için kullanılabilir. Bu durumda µA%( ) 1, 0v = <µA%( ) 1,y < µA%( ) 0z = olarak üyelik dereceleri belirlenebilir.
A~
.v .y
.z
Şekil 3.2: Bulanık bir A~ kümesi ve v, y, z elemanları
Bulanık kümelerin gösterimi için genellikle üyelik fonksiyonlarının grafikleri kullanılır. Klasik küme yaklaşımıyla kesin sınırları tam olarak belirlenemeyen uzun insan boyu kümesi ve benzer şekilde kısa ve orta insan boyu kümeleri bulanık kümelerle tanımlanırsa üyelik fonksiyonları Şekil 3.3’te olduğu gibi gösterilebilir.
0 0,25 0,5 0,75 1 130 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 200 boy (cm) ü y e li k d e re ce si
k ısa orta uzun
Şekil 3.3: Kısa, orta ve uzun insan boyu bulanık kümeleri üyelik fonksiyonları Şekil 3.3’te görüldüğü gibi boyu 185 cm olan bir insan 0,75 derece ile uzun boylu insanlar kümesine aitken aynı zamanda 0,25 derece ile de orta boylu insanlar kümesine aittir. Klasik küme teorisi ile böyle bir modellemenin yapılabilmesi mümkün değildir.
U tanım kümesi içerisinde tanımlanmış olan bulanık bir A% kümesine üyelik derecesi 1 olan elemanlardan oluşturulan klasik bir küme, A% kümesinin çekirdeği, c A%( ), olarak adlandırılır (3.3).
( ) { A( ) 1}
A% kümesine üyelik derecesi en büyük olan elemanın üyelik derecesi, A% kümesinin yüksekliği, h( A% ), olarak adlandırılır. h( A% ) değeri 1’den küçük ise, c( A% ) kümesi boştur. c( A% ) boş küme değilse, A% normal bulanık kümedir. Normal olmayan bulanık kümeler alt-normal bulanık küme olarak adlandırılır.
Bulanık A% kümesi (3.4) eşitsizliğindeki koşulu sağlıyor ise dışbükeydir.
( ) min{ ( ), ( )} , , [ , ]
A z A x A y x y z z x y
µ% ≥ µ% µ% ∀ ∈ (3.4)
Bulanık bir A% kümesinin λ-kesimi ( A% ), (3.5) denklemi ile klasik bir küme olarak λ
elde edilir. A% , A% bulanık kümesine üyelik derecesi en az λ kadar olan λ
elemanlardan oluşur. Dışbükey bulanık kümelerdeA%λ =[ ( ), ( )]a λ a λ kapalı aralığı ile gösterilebilir.
{ A( ) }, (0,1].
Aλ u µ u λ λ
= % ≥ ∈
% (3.5)
Bulanık bir A% kümesine üyelik derecesi 0’dan büyük elemanlardan oluşan klasik bir küme, A% kümesinin desteği, s A%( ), olarak adlandırılmaktadır (3.6).
( ) { A( ) 0}
s A% = u µ% u > (3.6)
Bulanık bir A% kümesinin tümleyeni, A%c olarak gösterilen bulanık bir kümedir. A%c kümesindeki elemanların üyelik dereceleri µA%c( ) 1u = −µA%( )u olarak hesaplanabilir. Bulanık kümelerin birleşimi veya kesişimi için tanım kümesindeki her elemanın her bir bulanık kümedeki üyelik derecelerinin en büyüğü veya en küçüğü alınır.
( ) maks{ ( ), B( )} A B x A x x µ%∪% = µ% µ% (3.7) ( ) min{ ( ), B( )} A B x A x x µ%∩% = µ% µ% (3.8)
3.2 Olabilirlik dağılımı
Olabilirlik dağılımı (Zadeh, 1978), U kümesindeki her u elemanına olabilirlik dereceleri ( ( ) [0, 1]π u ∈ ) atamaktadır. Olabilirlik dağılımı U kümesi içerisinde farklı değerler alabilen X değişkeni hakkındaki belirsizliği temsil etmektedir.
X değişkeninin olabilirlik dağılımı, bulanık bir A% kümesinin üyelik fonksiyonu ile tanımlanmaktadır. πX =µA% ile gösterilir. Gerçekleşmesi farklı düzeylerde makul (plausible) görülebilen X değişkenine ait üyelik fonksiyonudur. X değişkeninin olabilirlik dağılımı ile temsil edilen değerleri birbirleriyle bağdaşmaz çünkü X değişkeni için bu değerlerden sadece bir tanesi gerçek olacaktır. Bazı u değerleri için
( ) 0 X u
π = değerini almaktadır, bunun anlamı X=u durumunun imkansız olduğudur. ( ) 1
X u
π = için ise X=u durumunun bir sürpriz olmayacağı anlaşılmaktadır, olasılığın 1 olması durumuna göre oldukça zayıf bir ifadedir. Olabilirlik dağılımı, olasılık dağılımına benzemektedir, ancak πX( ) 1u = ’in anlamı X=u durumunun makul olduğu ve hariç tutulamayacağıdır.
X değişkeni için U kümesindeki elemanlardan bir tanesi gerçek değer olacağından en az bir u elemanı için πX( ) 1u = ’dir ve bu durum normalizasyon koşulu olarak adlandırılır. En az bir değerin tam anlamıyla olabilir olduğunu ortaya koymaktadır.
, X( ) 1
u U π u
∀ ∈ < ifadesi mantıksal olarak tutarlı değildir çünkü bu durumda U kümesindeki her eleman X değişkeni için kısmi olarak imkansızlık içerecektir. Dubois ve Prade (1988) çalışmasında, eksik bilgi durumunda olabilirlik dağılımlarının oluşturulması ve yorumlanması konuları detaylı olarak incelenmiştir.