Birim Kök Testler

Zaman serilerinin en önemli yönlerinden biri, bu serilerin durağan ya da durağan olmamalarıdır. Değişkenler arasında ekonometrik olarak anlamlı ilişkiler elde edilebilmesi için analiz yapılan serilerin durağan seriler olması gerekir. Bir zaman serisinin uzun bir dönem içerisinde gösterdiği ana eğilime trend (uzun devre eğilimi) adı verilir. Değişkenler arasında ekonometrik olarak anlamlı ilişkiler elde edilebilmesi için analizi yapılan serilerin güçlü bir trend taşımaması gerekir. Eğer değişkenlere ait zaman serilerinde trend bulunuyorsa, ilişki gerçek olmaktan çok sahte regresyon şeklinde ortaya çıkmaktadır.218 Birçok ekonometrik analizde ele alınan iki serinin de güçlü genel eğilimler (trend) taşıması nedeniyle değişkenler arasında anlamlı bir ilişki olmasa dahi yüksek bir R2 bulunmaktadır. Gözlenen yüksek R2 iki değişken arasındaki gerçek ilişkiden ziyade bu eğilimden kaynaklanmaktadır. Bu nedenle regresyonun gerçek bir ilişkiyi mi yoksa sahte bir ilişkiyi mi ifade ettiği, zaman serilerinin durağan olup olmamasıyla yakından ilgilidir.219

Yt’nin herhangi bir zaman serisini ifade ettiğini düşünürsek, Yt serisinin

durağan olması için şu koşulları taşıması gerekir.220

Sabit aritmetik ortalama : E(Yt)= µ

Sabit varyans : Var(Yt)= E(Yt -µ)2= s2

Gecikmeye bağlı kovaryans : Yk=E[(Yt - µ)( Yt+k-µ)]

k=gecikme mesafesi (bütün t değerleri için)

218

Recep Tarı (2002), Ekonometri, Alfa Yayınları, Đstanbul , s.372.

219

Damodar N.Gujarati (1999), Temel Ekonometri, Çev: Ümit Şenesen ve Gülay Günlük Şenesen, Literatür Yayıncılık, Đstanbul, s. 709.

220

Özetle, eğer bir zaman serisi durağansa, ortalaması, varyansı ve çeşitli gecikmelerdeki ortak varyansı aynı kalacaktır.221 Zaman serilerinin durağan olup olmaması özellikle üç yönden önem taşımaktadır: 222

a) Zaman serileri kullanmak suretiyle iki değişkenin katsayıları arasında istatistiksel bakımdan anlamlı bir ilişki bulunabilir. Ancak bu iki zaman serisi arasındaki ilişki ortak bir trendin varlığından kaynaklanabilir. Durağan olmayan serilerin olduğu durumda yapılan tahminde ortaya sahte regresyonun çıkacağı Granger ve Newbold tarafından 1974 yılında belirtilmiştir. Trend içeren tahminlerin regresyon sonuçlarına bakıldığında R2 yeterince yüksek ve t istatistikleri anlamlıdır, fakat Durbin-Watson (DW) istatistik değeri küçüktür. Ancak sonuçların herhangi bir ekonomik anlamı bulunmamaktadır.

b) Zaman serisi verileri içeren regresyon modelleri çoğunlukla öngörü amaçlı kullanılmaktadır. Durağan serilerin kullanılmadığı modellerle yapılan öngörülerin geçerliliği tartışmalıdır.

c) Dinamik bir zaman serisi modelinde geleneksel tahmin yöntemlerinin (En Küçük Kareler Yöntemi) kullanılabilmesi için tüm değişkenlerin durağan olmaları gerekmektedir.

Değişik yöntemler olmakla birlikte, durağanlık için kullanılan en yaygın ve en geçerli yöntem “birim kök” testleridir. Çalışmada Genişletilmiş Dickey-Fuller (ADF) birim kök testi ve Philip-Peron (PP) birim kök testi kullanılmıştır.

3.4.1.1. Genişletilmiş Dickey –Fuller (ADF) Testi

Bir seride birim kök tespiti için ifade şu şekildedir:223

Yt = pYt-1 + ut (3.3)

221

Damodar N.Gujarati (1999), a.g.e. , s.713.

222

Aziz Kutlar (2000), Ekonometrik Zaman Serileri, Gazi Kitabevi Yayınları, Ankara, s.156.

223

Burada ut ; stokastik bir hata terimidir. Yt; Y’nin t zamandaki aldığı değer ve

Yt-1 ise, Y’nin t-1 zamandaki aldığı değeridir. Eşitlik birinci dereceden otoregresif

AR(1) modelidir. Yani t dönemindeki Y’nin kendi değerine göre regresyonunu ifade etmektedir.

Eğer regresyon hesaplanır ve p = 1 olarak bulunursa Yt olasılıklı değişkeninin

bir birim köke sahip olduğu söylenir. Bu durum zaman serisi analizinde, rassal yürüyüş olarak bilinir. Serinin durağan olmadığı anlamına gelir ve ilişki,

Yt = Yt-1 + ut (3.4)

biçimini alır. Bu ifade bir önceki dönemde iktisadi değişkenin değerinin ve o dönemde maruz kaldığı şokun olduğu gibi sistemde kalması anlamına gelmektedir. Yani geçmiş dönemde yaşanan şokların etkisi bütün bir döneme yayılmakta ve son dönem değeri geçmişteki bütün şokların toplamını içermektedir. Şokların kalıcı nitelikte olması ise serinin durağan olmaması ve zaman içinde gösterdiği trendin stokastik olması demektir.

(3.3) numaralı denklem, eşitliğin sağ ve sol tarafından Yt-1 çıkartılarak başka

bir biçimde yazılabilir:

∆Yt = (p-1) Yt-1 + u t (3.5)

Burada ∆Yt = Yt - Yt-1; birinci fark işlemcisidir. (p-1)’de ‘γ ’ olarak ifade

edilirse ilişki,

∆Yt = γ Yt-1 + u t (3.6)

olarak yazılabilir. p=1 olduğunda γ =0 olacaktır. γ =0 olduğunda (3.6) numaralı denklem şu şekilde yazılabilir:

∆Yt = (Yt - Yt-1)= ut (3.7)

Bu denklem rassal bir yürüyüşün birinci farklarının durağan olduğunu ifade etmektedir. Bir zaman serisinin birinci farkı alınır ve bu seri durağan çıkarsa orijinal seriye birinci dereceden bütünleşiktir denilmekte ve I(1) ile gösterilmektedir. Eğer seriyi durağan yapmak için iki defa fark almak gerekirse 2. dereceden bütünleşik denilmekte ve I(2) olarak gösterilmektedir. Genel olarak, bir zaman serisinin d kez farkının alınması gerekiyorsa o seri d’inci dereceden bütünleşik ya da I(d) olur.

Zaman serisi analizinin test edilmesi için gerekli olan hipotez ise şu şekilde ifade edilebilir:224

H0 : γ = 0, p= 1 ise; seri durağan değildir, normal dağılmamaktadır ve

otokorelasyona sahiptir.

H1 : γ < 0, ise; seri durağandır, normal dağılmaktadır ve otokorelasyona sahip

değildir.

H0 : p= 1 hipotezi varsayımıyla hesaplanan t değeri t (tau) istatistiği olarak

bilinir. Literatürde tau sınaması bulanların adıyla anılmakta ve Dickey- Fuller Testi olarak bilinmektedir.225

H0 : p = 1 hipotezinin reddedilip edilmediğini anlamak için t istatistiğinden ve

kritik eşik değerlerini gösteren tablodan faydalanılır. Kritik eşik değerlerini (red- kabul) gösteren Dickey-Fuller çizelgesi, MacKinnon tarafından Monte Carlo benzetiminden yararlanılarak daha da genişletilmiştir. Bu teste ilişkin kritik değerler %1, %5 ve %10 anlam düzeylerine göre oluşturulmaktadır.

DF testi entegre derecesini ölçmekte önemli bir adım olmasına rağmen hata terimlerindeki otokorelasyonu dikkate almamaktadır. Eğer hata terimi ut

otokorelasyon içeriyorsa DF testi geçersiz olacaktır. Bu durumda çözüm olarak

224

Damodar N.Gujarati (1999), a.g.e. , s. 719

225

Dickey ve Fuller, bağımlı değişkenin gecikmeli değerlerinin modele açıklayıcı değişken olarak ilave edilmesini, bu şekilde otokorelasyonun ortadan kalkacağını öne sürmüşlerdir. Genişletilmiş Dickey-Fuller Testi (Augmented Dickey Fuller – ADF) olarak adlandırılan bu test, entegrasyon derecesinin belirlenmesinde kullanılan testlerin en etkini olarak değerlendirilmekte ve pratikte yaygın olarak kullanılmaktadır. ADF testini şu şekilde ifade edebiliriz:

m

∆Yt = β1+ β2t + γ Yt-1+ α Σ Yt-1+ ut (3.8)

i=1

ADF testi, her serinin kendi gecikmeli değeri ile gecikmeli farklarının kullanıldığı bir testtir.226 ADF testinde kullanılan kritik değerler tablosunun, DF testlerinde kullanılan tablo ile aynıdır.227

3.4.1.2. Philips- Peron(PP) Testi

ADF testi hata terimlerinin birbirleriyle ilişkisiz olduğunu kabul eder. Ancak bu genelde karşılaşılan bir durum değildir. Philips – Peron(PP) testi ise bu varsayımı kaldırır ve hata terimlerinin dağılımlarının zayıf bağımlı ve heterojen bir yapıya sahip bir süreçte üretildiğini kabul eder . Pozitif hareketli ortalama parametresinin varlığında, PP testinin ADF testine göre daha başarılı sonuçlar verdiği bulunmuştur. Öte yandan parametre negatif olarak tahmin edilirse , sonlu örnek büyüklüğünden kaynaklanan sapmalar oluşmakta ve Philips – Perron testinin gözlemlenebilen avantajı kalmamaktadır. PP testinin kullanılmasını gerektirecek başka bir neden, ADF testlerinde seçilen gecikmeli değişkenlerin sayısının yaratabileceği sorunlardan kaynaklanmaktadır.228 Bu nedenlerden dolayı genellikle hem ADF hem de PP testleri birlikte uygulanır.

226

Saadet K. Kasman ve Adnan Kasman (2004) , “Turizm Gelirleri Ve Ekonomik Büyüme Arasındaki Eşbütünleşme Ve Nedensellik Đlişkisi”, Đktisat- Đşletme ve Finans Dergisi, Cilt:19 Sayı: 220, s.125.

227

Wojciech W. Charemza ve Derek F. Deadman (1993), New Directions Đn Econometric Practise, Edward Elgar Publishing, England, ss.133-134.

228

Bhaskara. B. Rao (1994), Cointegration for The Applied Economist,, St. Martin’s Press., New York, ss. 80-85