Vimos no Cap. 1, que a estabilidade do ramo termodinˆamico n˜ao ´e assegurada por muito tempo quando um sistema ´e dirigido para muito distante do equil´ıbrio e esse sis- tema pode mudar significativamente sua forma e exibir uma variedade de padr˜oes espa¸co- temporais. O espa¸co de fases gerado por uma ou mais equa¸c˜oes do sistema pode ser modificado quando se varia o valor de um parˆametro dessas equa¸c˜oes. Em linguagem de sistemas dinˆamicos, ocorre a perda de estabilidade estrutural de um sistema quando a to- pologia de seu espa¸co de fases n˜ao ´e preservada ap´os mudan¸cas nos valores dos parˆametros de suas equa¸c˜oes. A mudan¸ca topol´ogica que ocorre no espa¸co de fases de um sistema, quando algum parˆametro desse passa por um valor cr´ıtico, ´e chamada de bifurca¸c˜ao. Uma maneira de entender o comportamento de um sistema seria usar suas caracter´ısticas es- pec´ıficas, tratando diretamente suas equa¸c˜oes hidrodinˆamicas. J´a sabemos que, devido ao car´ater fortemente n˜ao-linear dessas equa¸c˜oes, somente em poucos casos isto ´e poss´ıvel. Tamb´em pode existir uma quantidade enorme de vari´aveis, de tal modo que conhecer com boa precis˜ao os valores de todas essas vari´aveis ´e praticamente inexequ´ıvel. No entanto, a
2.1 Teoria de bifurca¸c˜ao 31 perda de estabilidade de um estado no regime de n˜ao-equil´ıbrio pode ser analisada usando a teoria de bifurca¸c˜ao. Esta t´ecnica consiste em analisar a estabilidade dos pontos fixos de uma equa¸c˜ao diferencial modelo e conhecer em que ponto do sistema o estado esta- cion´ario se torna inst´avel. Em sistemas fora do equil´ıbrio, a perda de estabilidade e a transi¸c˜ao para novos estados pode ser pensada como fun¸c˜ao de um parˆametro de controle, µ, que ´e caracter´ıstico do sistema. S˜ao exemplos de parˆametros de controle: a diferen¸ca de temperatura em uma instabilidade de Rayleigh-B´enard e a velocidade angular em uma instabilidade de Taylor-Couette, citadas no Cap. 1. Quando esse parˆametro alcan¸ca um valor particular de n˜ao-equil´ıbrio, o ramo termodinˆamico se torna inst´avel e surgem novas solu¸c˜oes para o sistema.
Um sistema dinˆamico pode ser descrito por
˙xk = fµ(xk) (2.1)
na qual os xk (k = 1, 2, . . . , n) representam as vari´aveis de estado desse sistema, que
no caso mais geral s˜ao fun¸c˜oes da posi¸c˜ao r e do tempo t, e fµ ´e uma fun¸c˜ao dessas
vari´aveis. Os pontos fixos do sistema (x∗) s˜ao as solu¸c˜oes estacion´arias da Eq. 2.1. A
evolu¸c˜ao espa¸co-temporal deste sistema depende tamb´em de µ, que ´e o seu parˆametro de controle. Ao variar µ, pode-se alterar a estabilidade de seus pontos fixos. A teoria de bifurca¸c˜ao estabelece que se pode analisar a estabilidade das solu¸c˜oes de equil´ıbrio avaliando o sinal do autovalor α = (df /dx) para cada x∗. Aqueles valores de µ para os
quais as derivadas (df /dx) |x=x∗ s˜ao negativas estabelecem o ramo no qual as solu¸c˜oes x∗
s˜ao assintoticamente est´aveis. J´a os valores de µ para os quais (df /dx) |x=x∗ s˜ao positivas
definem o ramo inst´avel para aquelas solu¸c˜oes x∗. Em outras palavras, dada uma solu¸c˜ao
estacion´aria de um sistema, a estabilidade desse estado depender´a do valor do parˆametro de controle. Para uma determinada faixa de valor deste, uma das solu¸c˜oes estacion´arias ser´a est´avel e a outra inst´avel. No ponto de bifurca¸c˜ao (µ cr´ıtico), a primeira solu¸c˜ao estacion´aria fica inst´avel e a segunda passa a ser est´avel, e neste ponto de bifurca¸c˜ao o sistema muda suas caracter´ısticas. A bifurca¸c˜ao para novas solu¸c˜oes, no exato ponto no qual uma solu¸c˜ao perde estabilidade, ´e uma propriedade geral das solu¸c˜oes de equa¸c˜oes n˜ao-lineares. A n˜ao analiticidade dessas equa¸c˜oes frente ao parˆametro de controle µ reflete a mudan¸ca qualitativa do comportamento do sistema no ponto de bifurca¸c˜ao.
2.1 Teoria de bifurca¸c˜ao 32
2.1.1
Equa¸c˜ao de Ginzburg-Landau - A equa¸c˜ao modelo para a
bifurca¸c˜ao do sistema estudado
A interface fluido-fluido do sistema que estudamos apresenta-se como uma linha reta (interface plana) no regime pr´e-bifurca¸c˜ao. No ponto de bifurca¸c˜ao, a linha reta para a interface passa a ser um estado inst´avel e, a partir deste ponto, ela passa a exibir uma estrutura peri´odica. Este padr˜ao surge com amplitude muito pequena quando o parˆametro de controle atinge seu valor cr´ıtico, e sua amplitude cresce suavemente quando esse parˆametro se afasta de seu ponto de bifurca¸c˜ao. Este tipo de bifurca¸c˜ao ´e conhecida por bifurca¸c˜ao de forquilha supercr´ıtica. Uma equa¸c˜ao muito conhecida e que tem as caracter´ısticas deste tipo de bifurca¸c˜ao ´e a equa¸c˜ao de Ginzburg-Landau. Em sua forma completa, ela possui termos complexos e termos que d˜ao conta das varia¸c˜oes espaciais (o termo laplaciano ∇2). O sistema que estudamos ´e modelado por uma equa¸c˜ao de Ginzburg-Landau escrita na forma
dAk
dt = λ(k)Ak− σ(k)|Ak|
2A
k ≡ fω(Ak), (2.2)
na qual Ak representa a amplitude dos modos do padr˜ao espacial, λ(k) representa uma
taxa de crescimento da amplitude e σ(k), que ´e o coeficiente que acompanha o termo n˜ao- linear de satura¸c˜ao da amplitude, assume valor positivo para a bifurca¸c˜ao supercr´ıtica. Seus pontos fixos s˜ao
A1 = 0
A2,3 = ±
r λ
σ (2.3)
na qual omitimos o subscrito k para n˜ao sobrecarregar demais a nota¸c˜ao. A Eq. 2.2 revela uma simetria. Uma troca de Ak por −Ak n˜ao altera as suas solu¸c˜oes, e isto revela que
o padr˜ao espacial ´e invariante por mudan¸ca na fase ou, equivalentemente, por transla¸c˜ao ao longo do eixo y (paralelo ao eixo do cilindro). Como estamos interessados em solu¸c˜oes reais da Eq. 2.2, o par A2,3 s´o existe para λ > 0. De acordo com o que foi estabelecido na
se¸c˜ao 2.1, devemos avaliar a estabilidade de cada solu¸c˜ao estacion´aria substituindo seus valores na express˜ao dos autovalores α = df
dA. Dessa forma, temos α = df
dA = λ − 3σA
2. (2.4)
A interface plana corresponde ao ponto de equil´ıbrio A1 = 0. O valor de α = λ estabelece