para λ > 0. Os pontos fixos A2,3 = ±
r λ
σ se referem ao padr˜ao peri´odico. O valor de α = −2λ mostra que esse par de solu¸c˜oes estacion´arias, que s´o existe a partir de λ > 0, ´e assintoticamente est´avel. O comportamento para essas trˆes solu¸c˜oes estacion´arias pode ser representado em um gr´afico, como mostrado na Fig. 8. Neste diagrama de bifurca¸c˜ao mostramos que o par de solu¸c˜oes A2,3 surge a partir da origem (A1 = 0; λc= 0), quando
o parˆametro passa pelo seu valor cr´ıtico λc que ´e o ponto de bifurca¸c˜ao. Neste tipo de
bifurca¸c˜ao, um par de solu¸c˜oes estacion´arias de mesma estabilidade aparece ou desaparece simultaneamente e ocorre em sistemas que apresentam algum tipo de simetria. Quando o sinal de σ na Eq. 2.2 ´e positivo, a bifurca¸c˜ao ´e supercr´ıtica o que implica que o ramo termodinˆamico acima do ponto de bifurca¸c˜ao ´e est´avel apenas para os pontos fixos A2,3.
Figura 8: Bifurca¸c˜ao das solu¸c˜oes Ak como fun¸c˜ao do parˆametro λ. A linha pontilhada representa a solu¸c˜ao que ´e inst´avel no ramo p´os-bifurca¸c˜ao.
2.2
An´alise de Estabilidade Linear
A an´alise de estabilidade linear ´e uma t´ecnica empregada para estudar a dinˆamica de um sistema fora do equil´ıbrio termodinˆamico na presen¸ca de instabilidades. Essas ins- tabilidades d˜ao origem a uma grande variedade de estruturas e a an´alise de estabilidade linear nos permite determinar a taxa de crescimento dessas instabilidades. Ela consiste em perturbar infinitesimalmente as solu¸c˜oes estacion´arias (pontos fixos) das equa¸c˜oes di- ferenciais e, mantendo-se apenas termos de primeira ordem da perturba¸c˜ao nas equa¸c˜oes
2.2 An´alise de Estabilidade Linear 34 de movimento do sistema, obt´em-se uma equa¸c˜ao dinˆamica que permite chegar a uma rela¸c˜ao tipo dispers˜ao para a perturba¸c˜ao. Como estamos tratando de equa¸c˜oes de mo- vimento do sistema, o resultado obtido com uma an´alise de estabilidade leva em conta muitos dos fatores f´ısicos importantes para o problema.
Nesta se¸c˜ao, estudaremos o comportamento de um sistema sob a influˆencia de uma pequena perturba¸c˜ao. Fazemos isto acrescentando um desvio nas solu¸c˜oes homogˆeneas do estado estacion´ario, x∗
1, . . . , x∗i, do sistema descrito pela Eq. 2.1. J´a sabemos que a
evolu¸c˜ao espa¸co-temporal deste sistema depende tamb´em dos parˆametros de controle µ. Considere a presen¸ca de uma pequena perturba¸c˜ao, ǫ(t), nas solu¸c˜oes estacion´arias de modo que a nova solu¸c˜ao na vizinhan¸ca dos pontos fixos fica sendo
x(t) = x∗+ ǫ(t). (2.5)
Derivando a Eq. 2.5 em rela¸c˜ao ao tempo, chegamos a express˜ao dx dt = dǫ dt = fµ(x(t)) = fµ(x ∗ + ǫ(t)). (2.6)
Como estamos tratando de uma perturba¸c˜ao infinitesimal, ou seja |ǫ|
|x∗| ≪ 1, podemos
expandir a fun¸c˜ao fµ em uma s´erie de potˆencias em torno do ponto fixo x∗ e truncar essa
s´erie em uma ordem finita. Este m´etodo ´e de grande utilidade quando estamos estudando desvios muito pequenos, pois caso um ponto fixo seja inst´avel para uma perturba¸c˜ao pequena ele ser´a inst´avel tamb´em para maiores valores daquela perturba¸c˜ao. A expans˜ao de fµ pode ser representada como
fµ(x∗+ ǫ(t)) = fµ(x∗) + dfµ dx x=x∗ ǫ(t) + O(ǫ2). (2.7) Mantendo apenas o termo linear na express˜ao (2.7), sabendo que fµ(x∗) = 0 e substituindo
este resultado na Eq. 2.6 para ǫ(t), ficamos com dǫ dt = dfµ dx x=x∗ ǫ(t). (2.8)
Considerando que as vari´aveis de estado podem depender da posi¸c˜ao e do tempo, repre- sentaremos o desvio do equil´ıbrio, ǫ, por um vetor coluna ~ǫ. Com isto, a derivada espacial da fun¸c˜ao das vari´aveis de estado pode ser escrita como uma matriz Jacobiana M que, em duas dimens˜oes, ´e
M = " ∂f1/∂x1 ∂f1/∂x2 ∂f2/∂x1 ∂f2/∂x2 # . (2.9)
2.2 An´alise de Estabilidade Linear 35 Ent˜ao, podemos reescrever a Eq. 2.8 de uma maneira mais geral como
˙~ǫ = M~ǫ(t). (2.10)
Em geral, a solu¸c˜ao da Eq. 2.10 pode ser escrita se os autovalores e os autovetores da matriz M s˜ao conhecidos. Fazendo α serem os autovalores e ~ϕ os correspondentes autovetores
M~ϕ = α~ϕ, (2.11)
a solu¸c˜ao da Eq. 2.10 ´e
~ǫ = eαtϕ.~ (2.12)
A quest˜ao da estabilidade do estado estacion´ario est´a relacionada com os autovalores de M, ou seja, as ra´ızes da equa¸c˜ao | M − αI |= 0. Assim os autovalores α determinar˜ao o tipo de estabilidade desses estados e podemos sintetizar as possibilidades assim:
• Se um ou mais autovalores tiver uma parte real positiva, as solu¸c˜oes associadas da Eq. 2.12 crescer˜ao exponencialmente. Os autovetores correspondentes s˜ao chamados de modos inst´aveis;
• Se todos os autovalores tˆem parte real negativa, qualquer pequena perturba¸c˜ao ǫ na vizinhan¸ca da solu¸c˜ao estacion´aria decair´a exponencialmente. (Isto n˜ao ´e v´alido para grandes perturba¸c˜oes j´a que, nesse caso, a aproxima¸c˜ao dada pela Eq. 2.8 n˜ao ´e v´alida.)
Da an´alise dessas possibilidades conclu´ımos que a condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para a estabilidade de um estado estacion´ario ´e que todos os autovalores da matriz Jacobiana associada, M, tenham parte real negativa. Um ´unico autovalor com parte real positiva resulta em instabilidade para o modo correspondente. Por´em, o crescimento exponencial da perturba¸c˜ao ´e limitado pelos efeitos n˜ao-lineares e as imperfei¸c˜oes do pr´oprio sistema que o fazem passar por uma transi¸c˜ao de um estado inst´avel para um novo estado esta- cion´ario est´avel. Assim, a instabilidade presente pode levar um sistema para esse novo estado, que em alguns casos, apresenta auto-organiza¸c˜ao. A an´alise de estabilidade linear n˜ao fornece um meio de determinar como o sistema evoluir´a quando ele se torna inst´avel. Sua importˆancia consiste em mostrar que uma mudan¸ca qualitativa no comportamento do sistema pode acontecer quando se atinge um valor cr´ıtico de um dado parˆametro de controle do sistema. A an´alise de estabilidade linear para o sistema que estudamos foi desenvolvida por Hakim et al. [15] e na se¸c˜ao 2.6.1, desenvolveremos esta an´alise.