Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) Teoris

1957’de Bardeen, Cooper ve Schrieffer süperiletkenliğin pek çok özelliğini nicel olarak açıklayabilen ve en geniş ölçüde kabul gören mikroskobik bir teori öngördüler. Bu teori BCS teorisi olarak isimlendirilmiştir (Ashcroft ve Mermin 1976, Bilgeç 2004, Poole 2000, Fossheim ve Sudbo 2004, Müller ve Ustinov 1997, Popić 1998, Prochnow 1989, Soltan 2005, Tinkham 1996, Turton 2000, Waldram 1996, Wesche 1998).

BCS teorisinden önce 1950 yılında, kurşun ve civa süperiletkenlerinin farklı izotopları çalışıldığında, kritik sıcaklığın ortalama atomik kütle ile değiştiği gözlendi (Bilgeç 2004, Poole, 2000). Bu etki izotop etkisi olarak bilinir. Bu etki Tc ile fonon frekansı arasındaki ilişkiyi gösterme açısından oldukça önemlidir.

c T ∝ _M−α _⎟ ⎠ ⎞ 2 1 ~ ⎜ ⎝ ⎛∝

Bardeen, Cooper ve Scrieffer,

1. Kritik sıcaklıkta ortaya çıkan ikinci mertebe faz geçişini

2. T = 0 K civarında _e(−T0/T) olarak değişen ve enerji aralığının bir kanıtı olan

elektronik spesifik ısıyı 3. Meissner etkisini (Br =0)

4. Sınırsız iletkenlik etkilerini (Er =0)

5. Kritik sıcaklığın izotop kütlesine bağlılığını, baz alarak bir teori geliştirmişlerdir (Bilgeç 2004).

Teori, bağlı durumdaki elektronların zayıf bir çekicilikle bağlanabileceği fikrine dayanmaktadır (Popić 1998, Tinkham 1996).

Bu etkileşim şu şekilde açıklanabilir.

Birbirinden bağımsız olarak H. Fröhlich ve J. Bardeen teorik olarak elektronların fonon aracılığı ile etkileşebileceğini bulmuşlardır. Elektron fonon etkileşimi şematik olarak Şekil 1.17’de gösterilmektedir. Bu işlemde iki elektron bir fononu takas etmektedirler. Fonon sadece çok kısa bir süre var olmaktadır ve yalnızca fononu soğurmaya hazır ikinci bir elektronun varlığı ile yayılabilir.

Şekil 1.17 İki elektronun bir fonon takas etmesi yoluyla etkileşimi

Şekil 1.17’de pr₁, pr₂ ve ' 1

pr , ' 2

pr iki elektronun sanal fononu takas etmeden önceki ve takas ettikten sonraki momentumlarını göstermektedir. qr , fononun momentumunu _p göstermektedir. Momentumun korunumundan, ' 1 2 1 p p p ' 2 pr r r r _{+ = + (1.39)}

denklemi yazılabilir. Burada

p q p' +r 1 p q p r r +₂ Δ ΔE ı pr₁ = (1.40) pr' = 2 (1.41)

dir. Ayrıca enerji de korunur. Bununla birlikte fononun var olduğu çok kısa süre içinde sistemin enerjisi ilk durumdan farklı olabilir. Bu zaman ve enerji arasındaki belirsizlik prensibinin ( ) bir sonucudur. Kısa etkileşim süreleri büyük enerji belirsizlikleri ile bağlıdır. Eğer ilk ve orta durumlar arasındaki enerji farklılığ _p

h ≥ t ν h d ’den daha küçük ise elektron-fonon etkileşmesi çekicidir. Bura a h , Planck sabiti ve νp fonon frekansıdır. Bu diğer elektron tarafından örgünün polarizasyonu olarak algılanabilir. İlk elektron tarafından üretilen pozitif yüklerin konsantrasyonu ikinci elektronun potansiyel enerjisinin azalmasına yol açar. Bu çekici etkileşmeden dolayı, elektronlar zıt momentumlara ve spinlere sahiptir. Bu zıt spin ve momentuma sahip elektron çiftine

Şekil 1.18 Cooper çiftinin şematik gösterimi (Okumuş 2004).

Çekici etkileşme oluştuğunda iki elektron Fermi yüzeyi yakınından Fermi yüzeyinin hemen üst kısmına saçılırlar. Bu, enerji olarak iki elektronun bir çift formunda olmasını gerekli kılar. Eğer iki elektronu birlikte tutabilmek için gereken enerji onları ayırmaya çalışan örgünün termal titreşiminden daha fazla ise çifti meydana getiren elektronlar bağlı kalacaktır (Okumuş 2004). Elektronların benzer yüke sahip olmalarından dolayı birbirlerini itmeleri gerektiğinden bu anlayış ilk bakışta ters gelebilir. Ancak bir örgü noktası civarından geçen elektronun anlık olarak neden olduğu örgü bozuklukları, iki elektron arasında net bir çekici etkileşme elde edilmesine neden olabilmektedir. Şekil 1.19’da elektronun pozitif örgü iyonları arasındaki hareketinden bir an gösterilmektedir. Bu, o civardaki iyonların elektrona doğru hareketine neden olur. Bu da o bölgedeki pozitif yük yoğunluğunun az miktarda artması sonucunu doğurur. Pozitif iyon denge konumuna dönme şansını elde etmeden, o civardan geçen başka bir elektron (Cooper çiftinin ikinci elektronu) bozulmaya uğramış pozitif yüklü bölgeye doğru çekilir. Burada net etki, pozitif iyon aracılığı ile iki elektron arasında çekici bir kuvvetin ortaya çıkmasıdır. Daha genel olarak Cooper çiftlerini oluşturan neden, iki elektron arasındaki çekici bir elektron-örgü-elektron etkileşmesidir. Burada kristal örgü, çekici kuvvetin oluşması için aracı görevini yapmaktadır (Doğan 2000).

Şekil 1.19 İki elektron arasındaki örgü bozulmasından doğan çekici etkileşmenin şematik gösterimi.

Elektron-fonon etkileşimi 1 µm üzerindeki mesafenin üzerinde etkindir. Bu bir Cooper çiftinin uzaysal genişlemesi ξCo olarak düşünülebilir. Tipik olarak ξCo3 hacminde 107 Cooper çifti bulunur. Cooper çiftinde

2 1 p p r r ₌₋ 2 1 s sr =r

Bir süperiletkende akımın akmadığı durumda bir Cooper çifti sisteminin momentumu ve spini sıfırdır. Cooper çifti yeni bir parçacık gibi düşünülmelidir. Çünkü spini sıfır olduğu için hem Pauli Dışarlama İlkesi’ne uymaz hemde Cooper çifti bir bozon olarak ifade edilir (Wesche 1998, Okumuş 2004). Bundan dolayı enerji durumlarının işgali Bose-Einstein Dağılımı ile tanımlanır. İşgal edilen bir durumun olasılığı aynı kuantum durumuna yerleşen parçacıkların sayısıyla artar. Bu davranış Pauli Dışarlama İlkesi’ne zıt bir davranış gibi düşünülebilir. Çünkü uygulanan bir elektrik alanda aynı momentuma sahip bütün Cooper çiftleri aynı kuantum durumunu işgal ederler. Bu yüzden, sadece Cooper çiftini bozan saçılma süreçleri bir momentum değişimiyle sonuçlanır. Elektrik alandan ileri gelen enerji Cooper çiftinin bağlanma enerjisini aşar aşmaz direnç oluşur. Bu kritik akım yoğunluğunun varlığına karşılık gelir. Elektron-fonon etkileşimi, tek elektronlar için durumların yoğunluğunda birkaç meV’lik bir enerji boşluğuna neden olur. Şekil 1.20 süperiletken durumda Fermi enerjisi yakınlarında tek elektronlar için durumların yoğunluğunu göstermektedir. Enerji aralığı

içinde normal durumda, enerji durumlarının varlığı kıyılara kaymıştır. Bu yüzden durumların yoğunluğu enerji aralığının kıyılarında güçlü bir şekilde artmıştır. BCS, bir süperiletkende tek elektron için Fermi enerjisi dolaylarında durumların yoğunluğunu

(

)

( )

(

₋

)

2 _−Δ2 − = − _{F n} s E E D D F F F E E E E E (1.42)

şeklinde ifade eder. Burada ≥Δ

) (E D_n −E_F

E ve Δ, enerji aralığının yarısıdır. Normal durumda durumların yoğunluğunun değişimi , ihmal edilebilir. Çünkü EF >> 2Δ.

Şekil 1.20 Süperiletken bir durumda EF Fermi enerjisi çevresinde tek elektronlar için durumların yoğunluğu ve enerji aralığı (Wesche 1998).

Çekici potansiyel düzeninde çiftlenmiş elektronlar Fermi enerjisinin Δ kadar altında ve çiftlenmemiş elektronlar Δ kadar üstünde yer alır. Bu nedenle bir Cooper çiftini bozacak enerji 2Δ kadardır. Fermi enerjisinde görülen aralık ve çiftler yalnızca aralığın üstüne elektronların yükselmesi sonucu kırılır. Bundan dolayı verilen enerji 2Δ’dan daha büyük olduğu zaman Cooper çifti iki tek elektrona ayrılır ve bu da direnci doğurur (Okumuş 2004).

BCS teorisi enerji aralığı için aşağıdaki basit ifadeyi öngörür.

( )

0 3.52kBTc

Şekil 1.21, BCS teorisi tarafından verilen enerji aralığının sıcaklığa bağımlılığını göstermektedir. 0.6Tc’nin altındaki sıcaklıklarda enerji aralığının genişliği sıcaklığa çok zayıf bir şekilde bağlıdır.

Şekil 1.21 BCS teorisi tarafından verilen enerji aralığının sıcaklığa bağımlılığı.

ritik sıcaklığın yakınında enerji aralığının yarı değeri yaklaşık olarak

(1.43) denklemi ile ifade edilir (Wesche

periletken olamadığı sorusunu açıklar. Altın ve platin

eorisi düşük sıcaklık süperiletkenlerini s-dalga süperiletkenlik durumu, yükse K

( )

(

)

1/2 / 1 2 . 3 k_BT_c T T_c T = − Δ 1998). Bu teori neden en iyi iletkenlerin sü

gibi iyi iletkenlerde elektron-fonon etkileşimi zayıftır ve elektron-elektron etkileşimi çekici değildir. Bundan dolayı elektronlar Cooper çiftleri olarak düzenlenmezler ve bunun sonucu olarak süperiletkenlik oluşmaz. Ancak altın ve platin kadar iyi bir iletken olmayan kurşun gibi malzemeler süperiletken olabilmektedir. Çünkü elektron-fonon-elektron etkileşimi güçlüdür ve Cooper çiftlerinin oluşması mümkün olmaktadır.

BCS t

(Okumuş 2004). Teori, yüksek sıcaklık süperiletkenlerinin tüm özelliklerini tanımlamada yetersiz kalmasına rağmen pek çok özelliği başarılı bir şekilde açıklamıştır.

Belgede Y0.6Gd0.4Ba2-xNbxCu3O7-d ve Y0.6Gd0.4Ba2Cu3-xNbxO7-d süper iletkenlerinin yapısal ve süper iletkenlik özelliklerinin incelenmesi (sayfa 52-58)