Atama Problemi

Atama problemi (AP), n tane işin m makineye atanması ve toplam maliyetin

∑ ∑ minimum yapılmasını isteyen bir problem olarak tanımlanabilir. Bu GSP için kullanılan ilk gevşetmelerden biridir. (3.1) – (3.4) denklemleri AP formülasyonunu sağlamaktadır. Buna göre GSP gevşetilmesi (3.1) – (3.5) Danztig, Fulkerson ve Johnson (1954) tarafından sağlanmıştır. Asimetrik Gezgin Satıcı Problemi (AGSP) için pek çok algoritmanın temelinde AP vardır.

Bu çalışmada simetrik problem ele alındığından AP gevşetmesine kısaca değinilecektir. AP kullanılarak geliştirilen algoritmaların etkin olanlarının bazıları

(1995) tarafından geliştirilen algoritmalardır. Aşağıda bu yazarların çalışmalarına kısaca değinilmiştir.

Carpaneto ve Toth Algoritması

Carpaneto ve Toth, AGSP için en küçük ilk dal-sınırına dayanan bir algoritma ortaya koymuşlardır. Dallandırma işlemi, amaç fonksiyon değeri en küçük olan düğüm noktasından yapılır. Her bir düğüm noktası için, örneğin h, (3.1) – (3.4) denklemleri dikkate alınarak ortaya çıkan problem Değiştirilmiş Atama Problemi gibi çözülüp, çıkartılan kenarlar alt kümesi ve eklenen kenarlar alt kümesi aşağıdaki gibi (3.7) tanımlanmıştır:

, : 0 , , : 1         3.7

Eğer ’nin optimal sonucu bir Hamilton turu oluşturmuyorsa ve ’nin optimal amaç fonksiyonu değeri, bilinen en iyi çözümden daha iyi ise, h düğüm noktasından m tane alt problem yeni bir dallandırma kuralına göre aşağıdaki gibi dallandırılır:

, 1, … , tarafından üretilen alt turlar olsun ve bir alt tur ,

ile , … , ve q. alt tur için durumda

, , … , , olsun. kenar setinde yer almayan en az sayıda kenarlara sahip alt turu dallandırmak için seçilir (Carpaneto ve Toth, 1980).

,…,        3.8

Önerilen bu metot ile 40 şehirden 240 şehire kadar rastgele 20 problem çözülmüştür (Carpaneto ve Toth, 1980).

Miller ve Penky Algoritması

Atama Probleminin duali Miller ve Penky tarafından aşağıdaki şekilde formüle edilmiştir.

Amaç Fonksiyonu

        3.9

Kısıtlar

0, , ,         3.10

Miller ve Penky, çok fazla sayıda çözümleri incelemeyi engelleyerek, etkin bir şekilde problemi çözmek için, orijinal problem ile aynı optimal sonuca sahip olan ve daha hızlı çözülebilen daha basit bir model oluşturmuşlardır.

gevşetilmesi ile ilişkili için değiştirilmiş bir maliyet matrisi düşünülsün:

       ğ  

∞                 3.11

AGSP ve AP’nin optimal değeri sırasıyla ve olsun. Eğer

1        3.12 1 0,         3.13

ve , dual nin optimal çözümü ve , için maksimum eleman ise, için optimal sonuç olan AGSP için de optimal sonuçtur.

1 çıkartılan matris elemanının, hiçbir başka elemanın daha iyi bir sonuç elde edemeyeceği en küçük azaltılmış maliyetidir.

Dal-sınır metoduna, AP’nin optimal çözüm setinden AGSP’ye hızlı bir şekilde çözüm bulmak için bir özellik eklenmiştir. Bu özellik verilen grafikte AGSP çözümünün azaltılmasını sağlamaktadır.

, V köşe noktalarına sahip ve ve optimal dual AP’nin değişkenleri olduğu, , 0 kenarlarına sahip, , şeklinde tanımlanan bir grafik olsun. üzerindeki bir Hamilton turu AGSP için bir optimal çözümdür.

Eğer bir Hamilton turu içermiyor ise, AP’nin alt sınırı en küçük sıfır olmayan bir indirgenmiş maliyet kadar artırılabilir. Bu özellik Dal-sınır metotlarına eklenmiştir.

Beş farklı özellikte rastgele üretilen problemler test edilmiş ve 500.000 şehirlik problem süper bilgisayar yardımı ile 12,623 saniyede çözülmüştür (Miller ve Penky, 1991).

Carpaneto, Dell’amico ve Toth Algoritması

Carpaneto, Dell’amico ve Toth, Atama Problemini temel alan en küçük dal-sınır metodu ve alt tur elemesi için yeni bir algoritma önermişlerdir. Bu algoritma Carpaneto ve Toth (1980) algoritmasının dört yönden geliştirilmiş halidir:

1. Kök düğüm noktasında (0. düğüm noktası), optimal tura ait olamayacak kenarlar, azaltma yöntemi ile çıkartılır. Orijinal C matrisi, her bir matris

elemanı ve ile azaltılan ( 0 matrisine

dönüştürülür. ve AP ile ilişkili dual problemin optimal çözümüdür. bir alt sınırı temsil etmektedir. , AP’nin dual probleminin bir alt sınırı olsun.

Eğer olurlu sonuç biliniyorsa, olan, kenar eklenmesi ’den daha küçük bir çözüm üretmeyen her kenar, , , çıkartılır. Böylece orijinal G grafiği, daha seyrek olan , : olduğu

, grafiğine dönüşür.

2. Her bir düğüm noktasında GAP çözülür ve kullanılan algoritmanın etkinliği GAP’nin çözümüne büyük ölçüde etki eder. h düğüm noktasında, ’yi çözmek için özel bir parametrik teknik kullanılır. Kenar alt kümesi olarak kullanılır.

3. Karar ağacının düğüm noktası ile ilişkili bilgilerinin saklanması için etkin bir veri stoklama vardır. Bu da değişmeyen bilgileri güncellemeyi önlemektedir.

4. Birkaç optimum sonuca sahip olan h düğüm noktası düşünülsün. Alt turların sayısını azaltan bağlantı yöntemi, aşağıda görüldüğü gibi tekrarlı bir şekilde uygulanır:

, ve , iki alt tur olsun. , ve , ,

0 olan iki kenar düşünülsün. ve aşağıdaki gibi tek bir alt tur olarak birleşebilir.

, , , (3.14)

Eğer Hamilton turu bulunursa, bu sonuç h düğüm noktası için optimum çözümdür.

Geliştirilmiş algoritma kullanılarak 3 dakikadan kısa sürede, 2000 şehire kadar rastgele problemler çözülmüştür (Carpaneto ve diğerleri, 1995).

3.2.1.1.2. 1-Ağaç Gevşetilmesi Yöntemi

1, … , köşe noktaları ve A kenar seti olan , grafiği düşünelim.

, i noktasından j noktasına kenar uzunluğu olsun. Ağaç grafiğe bir tur olmadan bağlıdır. Verilen G grafiğine göre, minimum kapsar ağaç (minimum spanning-tree) problemi, G içerisindeki en küçük kenar uzunluğunun toplamına sahip kapsar ağacı bulma problemidir. 1-Ağaç iki ayrı kenarın bir noktada birleşmesidir. Minimum 1-ağaç problemi aşağıdaki gibi formüle edilmiştir (Held ve Karp, 1970):

Amaç Fonksiyonu

       3.15 Kısıtlar

2        3.16

        3.17

| | 1, 2,3, … ,         3.18

, ,

0 1          ı       3.19

ikili değişken olduğu için, (3.16) kısıtı köşe noktası yani iki kenarın birleşmesini sağlamaktadır. (3.17) kısıtı , : 1 nokta setinin V-{1}

kenarları için ağaç oluşturmaktadır. (3.18) kısıtı alt turların oluşmasını engelleyen alt tur eleme kısıtıdır. (3.16) – (3.19) kısıtlarını sağlayan çözümü eğer (3.16) kısıtını sağlar ise GSP turu oluşturulmuş olur.

2,   2 1       3.20

(3.20) kısıtı her bir noktanın iki kenara sahip olmasını sağlamaktadır. Buna göre (3.15) – (3.20) denklemleri GSP için farklı bir formülasyon sağlamıştır (Held ve Karp, 1970).

(3.15) – (3.20) içeren GSP problemini çözmek için Lagrange gevşetilme tekniği kullanılmıştır. (3.20)’daki kısıt (3.15)’deki amaç fonksiyonuna eklenmiş ve Lagrange gevşetilmesi problemi aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.

min 2 : 4.16   4.19   ğ           3.21

bu da,

min 2 : 4.16   4.19   ğ          3.22

Lagrange gevşetilmesi, (3.23) denklemini sağlayan değeridir ve bu problem GSP için Lagrange duali olarak adlandırılmaktadır.

max        3.23 Lagrange gevşetilmesi problemi , GSP’nin optimum tur uzunluğu için bir alt sınır sağlamaktadır. 20 noktadan 64 noktaya kadar çeşitli boyuttaki problemler bu metot ile çözülmüştür.

Held ve Karp’ın algoritması ’nin hesaplanmasında değişik metotlar kullanılarak geliştirilmiştir. Geliştirilen bu algoritma Held ve Karp’ın algoritmasından 25 kat daha hızlıdır. 10 noktadan 80 noktaya kadar problemler test edilmiştir (Helbig ve Krarup, 1974).

Lanrange çarpanlarını bulabilmek için ikili azalan bir algoritma kullanılarak, Held ve Karp’ın algoritmasından daha hızlı ve daha az bilgisayar süresi isteyen çözüm yöntemi geliştirilmiş ve 100 şehre kadar olan problemler çözülmüştür (Malik ve Fisher, 1990).