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A oportunidade gerada por uma OR é um ativo que tem valor. Se esta oportunidade for um ativo transacionado no mercado, seu preço será conhecido.

18

Existem várias outras alternativas para resolver problemas de otimização sob incerteza. Dois exemplos são o método integral e o método evolucionário. O método integral é particularmente útil para opções perpétuas. Soma integrais estocásticas para apreçar OR em que os limites de integração são os tempos de parada ótima, quando o processo estocástico toca a curva de gatilho (ver exemplo Dixit e Pindick, 1994, Cap.9). O método evolucionário utiliza algoritmos genéticos para evoluir soluções a partir de uma estimativa inicial da curva de gatilho até se aproximar do ótimo, podendo ser combinada com SMC. (ver Dias, 2005, p.450-457 - opções evolucionárias).

Mas mesmo que não seja, seu valor pode ser calculado através de um portfolio de ativos transacionados que replique perfeitamente o retorno do projeto em qualquer momento futuro e em qualquer estado da natureza. Então o valor do projeto será o valor deste portfolio, caso contrário há uma oportunidade de arbitragem. Está implícita nesta premissa que, a firma gerencia a OR da forma mais eficiente possível, pois, de outra forma, não se elimina a oportunidade de fazer arbitragem.

Seja

V

o valor de um projeto segue um MGB, então:

dz

V

dt

V

dV

=α.

.

+σ.

.

(36)19

O uso de ativos contingentes (contingent claims) requer a premissa de que as mudanças estocásticas em

V

sejam modeladas por um portfolio ou ativo gêmeo transacionado na economia. Esse portfolio pode ser composto por ativos financeiros como ações, por commodities (transacionadas no mercado à vista e futuro) ou mesmo artigos manufaturados.

Seja

x

o ativo ou portfolio perfeitamente correlacionado com

V

(a correlação de

x

e

V

com o portfolio de mercado são iguais:

ρ

_xm

=ρ

_vm), então seu processo estocástico será dado por:

dz

x

dt

x

dx=α.

.

+σ.

.

Note que a volatilidade

σ

e a tendência

α

de

x

e

V

são exatamente as mesmas, afinal o portfolio e o projeto são idênticos por construção. Seja então

µ

a taxa esperada de retorno do investidor que detém este ativo ou portfolio gêmeo. Então

µ

também é a taxa ajustada ao risco exigida pelo investidor que detém a oportunidade de investimento

V

. De acordo com o CAPM

µ

é dado por:

σ

ρ

φ

µ

=r

f

+

.

xm

.

onde

φ

=(r

m

−r

f

)/σ

m é o market price of risk e

φ.ρ

xm

.σ

é o

prêmio de risco

π

, então:

_µ=r

_f

_+π

. Mas o retorno do projeto também é dado pela

19

Dixit e Pindick (1994, p136-137) alertam que a equação (36) é uma abstração da realidade para a maioria dos projetos. Seja por exemplo por não contemplar a possibilidade de desativar ou abandonar um projeto, seja por não permitir valores negativos para V (o que ocorre na realidade), ou mesmo por não ser o MGB o processo teoricamente mais adequado para modelar V. Mas ainda sim o MGB é útil numa série de situações onde a equação (36) reflita a expectativa da firma sobre o valor do projeto, ou pelo menos do preço do bem produzido. Adicionalmente há de se considerar que o MGB estatisticamente não pôde ser rejeitado em favor do MRM para períodos de 30 a 40 anos e a sua simplicidade analítica, fazendo-o um sucesso na literatura (ver Seção 3.1.2).

soma da taxa de ganho de capital

α

com a taxa de dividendos

δ

:

_µ=α+δ

. Igualando as duas equações obtém-se:

⇒

+

=

+

=α

δ

π

µ

r

f

α−π

=r

f

−δ

20 ₍₃₇₎

A taxa de dividendos

δ

desempenha um importante papel sobre o exercício de uma opção. Para uma opção de compra financeira, se

δ

=0

, a opção nunca é exercida antes da maturidade21. Isso se deve a dois motivos: Como não há custo em manter a opção de compra (

δ

=0

), manter a opção viva no lugar do ativo subjacente funciona (até a expiração) como um seguro contra quedas do preço do ativo subjacente abaixo do preço de exercício e; Adiar o exercício permite capitalizar o investimento (preço de exercício) à taxa livre de risco até a expiração. Para a opção de investimento esta propriedade se repete22_{. Se}

0

>

δ

, a taxa de retorno do projeto

α

(equação 43x) é menor do que a taxa de retorno

µ

(equação 44x) exigida pelo investidor, havendo um custo em manter a opção viva. Assim

δ

é um custo de oportunidade em adiar o início de um projeto que deve ser descontado do benefício da espera dado pela opção. Por outro lado, se

δ

é suficientemente grande, o valor da flexibilidade de adiar a decisão de investimento torna-se muito pequeno e a opção real torna-se deep in the money.

Para calcular o valor da opção real

F

considere um portfolio

Φ

dado por uma

posição longa na opção e uma posição curta em

n

unidades do ativo gêmeo ou do projeto

V

, sob a hipótese do MAD (Seção 3.3.1):

Φ=F−n.V

.

Seja

n

escolhido de tal forma que o portfolio seja livre de risco. Então num intervalo de tempo infinitesimal

dt

o retorno exigido pelo investidor será a taxa livre de risco:

r

_f

.Φ.dt=r

_f

.(F−n.V).dt

.

20

Ver expressão equivalente em Dixit e Pindick, 1994, p.118, equações 22 e 23.

21 _{Hull (2003, p.175-176) oferece uma demonstração desta propriedade com exemplos numéricos, a qual decorre} basicamente de argumentos de não arbitragem.

22 _{A taxa de dividendo δ também pode ser interpretada de outras formas. Por exemplo, pode refletir: o custo para} a firma da entrada de outros competidores no mercado; o FCL do projeto ou; a convenience yeld quando o ativo gêmeo é uma commodity – ver Seção 3.4.2. O valor agregado ou médio da convenience yield também pode ser medida no mercado spot e futuro de uma commodity.

O retorno do portfolio também é dado pela soma do retorno dos ativos da carteira. O retorno da opção (que não paga dividendos) é dado pelo ganho de capital

dF

. O retorno do projeto é dado pela soma do ganho de capital com os dividendos (

dV+δ.V.dt

). Então o retorno da carteira

Φ

será:

dF−n.(dV+δ.V.dt)

. Igualando as duas expressões:

dt

V

n

F

r

dt

V

dV

n

dF−

.(

+δ.

.

)=

_f

.(

−

.

).

(38)

Substituindo

x

pelo ativo subjacente V na equação (31) do Lema de Ito, obtém-se: 2

.

.

2

1

.

.dV

F

dt

F

dV

F

dF

=

_v

+

_t

+

_vv (31)

Mas também se viu em (29) que

dx

2

=b

2

(x,t).ε

2

.dt

e em (32) que

1

)

(ε

2

=

E

, então

dx

2

=σ

2

.x

2

.dt

ou de forma mais genérica:

dt

t

x

b

dx

2

=

2

(

,

).

(39)

Considerando que

dV

=α.V.dt+σ.V.dz

(36), então

dV

2

=σ

2

.V

2

.dt

.

Substituindo

dV

2 na equação (31) anterior e esta em (38):

⇒

+

+

=F

dV

F

dt

F

V

dt

dF

v t

.

vv

.

.

.

2

1

.

.

σ

2 2

⇒

−

=

+

−

+

+F

dt

F

V

dt

n

dV

V

dt

r

F

nV

dt

dV

F

_{v t}

.

_vv

.

.

.

.(

.

.

)

_f

.(

.

).

2

1

.

.

σ

2 2

δ

0

)].

.

.(

.

.

.

.

.

.

2

1

[

).

(F

_v

−n

dV

+

F

_t

+

F

_vv

σ

2

V

2

dt−nδV−r

_f

F−nV

dt=

Como o portfolio

Φ

é sem risco e o primeiro termo da expressão acima com

dV

tem risco (

dV

=α.V.dt+σ.V.dz

), este deve ser nulo, então:

⇒

=

−

⇒

=

−

).

0

0

(F

_v

n

dV

F

_v

n

n=F

v

=∂F/∂V

Note que este resultado é o mesmo delta hedging obtido na Seção 2.7 na forma discreta - equação (11). Retornando este resultado à última equação diferencial, dividindo por

dt

e rearranjando os termos:

⇒

=

−

−

−

+

+

.

.

.

.

.

.

.(

.

)].

0

2

1

[

.

0dV

F

_t

F

_vv

σ

2

V

2

dt

nδV

r

_f

F

nV

dt

t f v f vv

V

dt

r

F

V

r

F

F

F

.

.

.

+(

−

).

.

−

.

=

−

.

2

1

_σ

2 2

_δ

₍₄₀₎

A equação (40) é a conhecida equação diferencial parcial (EDP) de Black & Scholes & Merton (B&S&M)23 com dividendos contínuos. Note que na sua dedução, embora tenha sido citada a opção de investimento como exemplo, não foi assumida nenhuma premissa sobre o tipo da opção envolvida, se call ou put, se americana ou européia. Portanto, essa equação é genérica e vale para qualquer derivativo F(V,t) que não pague dividendos, escrita sobre um ativo básico V( tx, ) que segue um MGB e gera dividendos contínuos

δ

.

A valoração por ativos contingentes requer a existência de um conjunto de ativos transacionados no mercado diversificados o suficiente, de tal forma que seja possível montar um portfolio que não só replique o risco do projeto como também seja perfeitamente correlacionado com este. Esta é uma premissa exigente que não é feita na valoração com programação dinâmica, que simplesmente considera a valoração de risco subjetiva do tomador de decisão (Dixit e Pindick, 1994, p.121).

Apesar desta diferença significativa, a equação diferencial obtida por programação dinâmica correspondente à EDP (40) é dada por:

t v vv

V

dt

F

V

F

F

F

.

.

.

+

.

.

−

.

=

−

.

2

1

_σ

2 2

_α

_µ

24

As diferenças entre a EDP da programação dinâmica em relação à EDP de contingentes são duas25_{: A taxa de desconto ajustada o risco}

_µ

_{(exógena) no lugar} da taxa livre de risco (decorrente do equilíbrio no mercado de capitais); A tendência

α

do mundo real no lugar da tendência neutra ao risco

(r

f

−δ)

. Em outras

23 _{Originalmente a equação de Black & Scholes não previa dividendos (δ=0), tendo este sido incorporado por} Merton (ver, por exemplo, Hull, 2003, p.243).

24

Ver Dixit e Pindick, 1994, p.109. Considerando π(x,t)=0 , a EDP do valor da firma sem fluxo de caixa imediato é idêntica a de uma oportunidade de investimento.

25

palavras, pode-se avaliar o projeto descontando-o à taxa livre de risco imaginando que este segue um MGB com drift

(r

f

−δ)

neutro ao risco.

Note que, pela equação (45), no mundo real

_α−π

₌r

_f

_−δ

. Mas no mundo

neutro ao risco (e também com um portfolio

Φ

livre de risco), o retorno exigido pelo investidor é a taxa livre de risco. Desta forma o processo estocástico do ativo subjacente assume uma nova tendência

_α'₌r

_f

_−δ

_=α−π

, como ocorre na

equação (40). Da equação (36), o MGB neutro ao risco será dado por:

⇒

+

= V dt Vdz

dV

α

'. .

σ

. .

dV

=(r−δ).V.dt+σ.V.dz

(41)

Como dito, a equação (40) é genérica e vale para qualquer derivativo F(V,t) de um ativo básico V( tx, ) que segue um MGB com dividendos contínuos

δ

. O que permitirá adaptar a equação (40) para uma call ou put, americana ou européia, finita ou perpétua e o valor do seu payoff são as condições de contorno, necessárias para sua solução.

3.4.2. A opção de investir perpétua: Equação diferencial, condições de

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