Ölçeğe Göre Değişken Getiri (BCC) Modeli ve Ölçek Etkinliği 17

Ölçeğe göre sabit getiri varsayımı tüm firmaların optimum ölçekte faaliyet göstermesi durumunda gerçekçi bir varsayım olarak kabul edilebilir. Diğer taraftan eksik rekabet koşulları, devlet müdahaleleri, finansman kısıtları gibi çeşitli durumlar firmaların optimum ölçekte faaliyet göstermesini engelleyebilmektedir (Coelli ve diğerleri, 2005, s.172).

Ölçeğe göre sabit getiri varsayımının geçerli olduğu CCR modelinin aksine Banker, Charnes ve Cooper (1984) tarafından geliştirilen ve kısaca BCC modeli olarak adlandırılan model, ölçeğe göre değişken getiri durumunda da Veri Zarflama Analizi etkinlik ölçüm yöntemi olarak kullanılabilmektedir.

Ölçeğe göre getiri kavramı, tek bir girdi ve tek bir çıktının söz konusu olduğu bir teknolojide aşağıdaki şekilde açıklanabilir. Tek girdi ve tek çıktılı teknolojide üretim olanakları kümesi aşağıdaki şekilde tanımlanabilir (Ray, 2004, s.46-47):

T = { (x, y) : y ≤ f(x); x ≥ a} 1.25. y* = f(x), x girdisinden üretilebilen maksimum y çıktısını gösteren üretim fonksiyonu ve “a” üretim fonksiyonunun altında tanımlı olmadığı minimum girdi düzeyidir. Böyle bir minimum düzey olmadığı durumda a = 0’dır.

18

Herhangi bir (x,y) noktasında ortalama verimlilik AP = f(x) / x olarak ifade edilir. Eğer x’teki küçük bir artış ortalama verimlilikte de bir artışa yol açıyorsa yerel olarak bu noktada ölçeğe göre artan getiri; ortalama verimlilikte bir azalışa yol açıyorsa ölçeğe göre azalan getiri; ortalama verimliliği değiştirmiyorsa ölçeğe göre sabit getiri söz konusudur. Dolayısıyla , ölçeğe göre artan getiride pozitif, azalan getiride negatif ve sabit getiride 0’dır. Üretim fonksiyonunun diferansiyeli alınabiliyorsa; dAP dx = xf' x -f(x) x2 = f(x) x2 xf'(x) f(x) -1 1.26. x’in sonlu bir değeri için ortalama verimlilik maksimuma ulaşıyorsa, o noktada 0’a eşittir. Bu maksimum için birinci derece koşuldur. Eğer üretim fonksiyonu konkav ise ( x’in tüm değerleri için f x 0 ise), maksimum için ikinci derece koşul otomatik olarak sağlanmış olur.

ε= xf '_(x) f(x) 1.27. tanımlı iken; dAP dx = f x x2 ε-1 1.28. olarak ifade edilir. Dolayısıyla;

ε > 1 ölçeğe göre artan getiri, ε = 1 ölçeğe göre sabit getiri,

ε < 1 ölçeğe göre azalan getiri durumunu gösterir.

Şekil 1.2’de tek girdi ve tek çıktılı bir teknolojiye sahip bir üretim fonksiyonu gösterilmektedir. Girdi düzeyi 0 ile x0 arasında iken, girdi düzeyi arttıkça ortalama verimlilik de artmakta olduğu için bu bölgede ölçeğe göre artan getiri (ε > 1) söz konusudur. Girdi düzeyi x0’dan büyük olduğu durumda, girdi düzeyindeki artış ortalama verimliliği düşürmekte olduğu için, bu bölgede ölçeğe göre azalan getiri (ε <

19

1) vardır. Girdi düzeyi x0 noktasında iken, ortalama verimlilik maksimum düzeye ulaşmakta olup, ölçeğe göre sabit getiri (ε = 1) söz konusudur.

Şekil 1.2. Ölçeğe Göre Değişken Getiri Durumunda Üretim Fonksiyonu

Kaynak: Ray, S.C. (2004). Data Envelopment Analysis: Theory and

Techniques for Economics and Operations Research. Cambridge: Cambridge

University Press.

BCC modelinin lineer olarak çözümünün, CCR modelinden temel farkı, BCC modelinde kısıtlar arasına konvekslik sınırlamasının ( ∑ λ 1, λ 0, j ya da eλ = 1) getirilmesidir. Dolayısıyla, girdi odaklı BCC modeline ilişkin lineer problem aşağıdaki şekildedir (Cooper, Seiford ve Tone, 2007, s.91):

Amaç fonksiyonu: minθ_B,λ θB 1.29. Kısıtlar: θBx0-Xλ ≥ 0 1.30. f(x) x0 0 Girdi (x) Çıktı (y)

20

Yλ ≥ y₀ 1.31. eλ = 1 1.32. λ ≥ 0 1.33. CCR modeli çözümüne benzer olarak BCC modeli de iki aşamalı olarak çözülmektedir. Birinci aşamada θB minimize edilmekte, ikinci aşamada ise θB=θB* (birinci aşamadaki optimum karar değeri) eşitliği sağlanırken girdi fazlalıkları ve çıktı eksiklikleri toplamı maksimize edilmektedir.

BCC modelinde ölçeğe göre değişken getiri durumu da dikkate alınırken, CCR modelinin sadece ölçeğe göre sabit getiri varsayımına dayanması nedeniyle, CCR modeli ile elde edilen etkinlik skorları, teknik etkinlik yanında karar birimlerinin optimum ölçekte üretim yapıp yapmadıklarını gösteren “ölçek etkinliği”ni de içermektedir.

Ölçek etkinlikleri, her bir karar birimi için hem ölçeğe göre sabit getiri (CCR) hem de ölçeğe göre değişken getiri (BCC) modelleri ile Veri Zarflama Analizi hesaplamasının yapılması ve daha sonra CCR teknik etkinlik skorlarının, bileşenleri olan ölçek etkinliği ve saf teknik etkinlik skorlarına ayrıştırılması ile elde edilebilmektedir. Herhangi bir karar birimi için elde edilen CCR ve BCC teknik etkinlik skorları arasında farklılık olması durumunda, bu durum ilgili karar biriminde ölçek etkinsizliği olduğunun bir göstergesidir (Coelli ve diğerleri, 2005, s.172).

Şekil 1.3 tek girdi ve tek çıktılı bir yapıda ölçek etkinsizliğinin nasıl ölçülebileceğini göstermek amacını taşımaktadır. Kırmızı ile gösterilen etkin sınır ölçeğe göre sabit getiri (ÖGSG) etkin sınırını, mavi ile gösterilen etkin sınır ölçeğe göre değişken getiri (ÖGDG) etkin sınırını, mor ile gösterilen etkin sınır ise ölçeğe göre artmayan getiri (ÖGAG) etkin sınırını göstermektedir.

Herhangi bir karar biriminin ölçeğe göre değişkenlik durumu, ilgili karar biriminin ölçeğe göre artmayan getiri (ÖGAG) teknik etkinliğinin, ölçeğe göre değişken getiri (ÖGDG) teknik etkinliğine eşit olup olmadığının belirlenmesi ile

21

saptanabilmektedir. Bu iki teknik etkinlik skoru birbirine eşit değilse (Şekil 1.3’teki P noktası örneği gibi), ilgili karar birimi için ölçeğe göre artan getiri söz konusudur. İlgili teknik etkinlik skorları birbirine eşit ise (Şekil 1.3’teki G noktası örneği gibi), ölçeğe göre azalan getiri söz konusudur (Coelli ve diğerleri, 2005, s.174).

Şekil 1.3. Ölçek Etkinliğinin Ölçülmesi

Kaynak: Coelli, T.J., P. Rao, C.J. O’Donnel ve G.E. Battese. (2005). An

Introduction to Efficiency and Productivity Analysis. Second Edition. New York:

Springer.

Ölçeğe göre sabit getiri durumunda P noktasının girdi odaklı teknik etkinsizliği PPC uzaklığına eşitken, ölçeğe göre değişken getiri durumunda yalnızca PPV uzaklığına eşittir. Bu iki teknik etkinsizlik arasındaki fark (PCPV), ölçek etkinsizliğinden kaynaklanmaktadır. Oransal olarak ifade edildiğinde;

Ölçeğe göre sabit getiri teknik etkinliği: TEÖGSG = APC / AP Ölçeğe göre değişken getiri teknik etkinliği: TEÖGDG = APV / AP

ÖGDG Etkin Sınırı ÖGSG Etkin Sınırı ÖGAG Etkin Sınırı Girdi (x) Ç ıkt ı (y) G P R PV PC A 0

22 Ölçek etkinliği: ÖE = APC / APV ’dir. Diğer taraftan;

APC / AP= (APV / AP) × (APC / APV) olduğu için; TEÖGSG = TEÖGDG × ÖE ’dir.

Diğer bir deyişle;

Teknik etkinlik = Saf teknik etkinlik × Ölçek etkinliği

olarak formüle edilebilir (Coelli ve diğerleri, 2005, s.173).

Ölçek etkinsizliğine sahip bir karar biriminin ölçeğe göre getiri türünün (artan veya azalan) belirlenmesi için ilave bir lineer problemin çözülmesi gerekmektedir. Bu lineer problemi BCC modeli probleminden ayıran temel fark, ölçeğe göre değişken getiri yerine, ölçeğe göre artmayan getiri (ÖGAG) varsayımının söz konusu olmasıdır. Bunun için BCC problemindeki konvekslik kısıtı (1.32. no’lu eşitlik) yerine eλ ≤ 1 kısıtı kullanılarak etkinlik skorları bulunmalıdır. Bulunan ÖGAG teknik etkinliği, ÖGDG teknik etkinliği ile karşılaştırılarak, ölçeğe göre getiri türü belirlenir. Buna göre; ÖGAG teknik etkinliği, ÖGDG teknik etkinliğine eşitse ölçeğe göre azalan getiri (örn. Şekil 1.3.’teki G noktası); ÖGAG teknik etkinliği, ÖGDG teknik etkinliğinden farklı ise ölçeğe göre artan getiri (örn. Şekil 1.3.’teki P noktası) söz konusudur (Coelli ve diğerleri, 2005, s.174).