ÇGÇÇ-sistemler için BETK tabanlı kontrol sistemlerinin

=





W_P,obs −W_P,obsP_d

0 W_U,obs

I −P_d



 (2.118)

¸seklinde yazılır. Artık H∞ kontrol yakla¸sımı sisteme uygulanabilir hale gelmi¸stir.

Bu yakla¸sımda amaç a¸sa˘gıdaki fonksiyonu minimum hale getirecek bir K_obs kontrol sistemi sentezlenmesidir.

kFl(G^obs, K_obs)k_∞= max

ω

σ (¯ Fl(G^obs, K_obs)( jω)) < γ_obs. (2.119) Denklem (2.119) ile verilen form iteratif bir biçimde çözülebilir, detaylar [78, 79]’da mevcuttur.

2.3.2.2 ÇGÇÇ-sistemler için BETK tabanlı kontrol sistemlerinin sa˘gladı˘gı gürbüzlük avantajları

Önerilen BETK yapısının kullanımı kontrol sisteminin gürbüz kararlılı˘gı ile ilgili pek çok iyile¸stirme sunmaktadır ve bunlar a¸sa˘gıda verilmi¸stir.

Yorum 8 Herhangi bir gerçek sistem kesinlikle katı-düzgün(strictly proper) ki buda ω → ∞ : ¯σ (L_real( jw)) → 0 ⇒ ¯σ (S_real( jw)) → I. (2.120) anlamına gelir [79]. Burada L_real ifadesi herhangi gerçek bir sistemin açık-çevrim(open-loop) transfer fonksiyon matrisi veS_real ise herhangi bir gerçek sistemin hassaslık fonksiyonunu temsil etmektedir.

Yorum 8vasıtası ile takip eden lemma türetilmi¸stir.

Lemma 8 Denklem (2.80)-(2.81) ile verilen sistem için, öyle bir frekans ω_{h f}⁺ vardır ki P ≈ P_d, ω > ω_{h f}⁺ için . (2.121) ifadesi sa˘glanır.

˙Ispat 14 Denklemler (2.80)-(2.81) ile verilen sistem Yorum 8 gere˘gi katı-düzgün oldu˘gundan dolayı

lim

ω →∞

P_ik( jω) = 0 . (2.122)

P matrisinin her bir elemanı için geçerlidir. Özellikle, üstteki ifade kö¸segen olmayan elemanlar içinde geçerlidir. Buda

∃ ωh f,ik | P_ik( jω) ≈ 0, ω > ω_{h f,ik}, i 6= k için

anlamına gelmektedir. Burada P_ik( jω) ≈ 0, yeterince küçük ε için |P_ik( jω)| < ε . Artık ω_{h f}⁺ := max

i,k ω_{h f,ik} (2.123)

tanımı verilebilir. O zaman

P_ik( jω) ≈ 0, ω > ω_{h f}⁺, i 6= k için

olur ki buda ω > ω_{h f}⁺ içinP ≈ P_difadesini gerektirmektedir. Böylece sadece kö¸segensel terimler hayatta kalır.

Varsayım 4 BETK kontrol sistemi K_obstakip eden ifadeyi sa˘glar.

T^input_obs ( jω) ≈ I, ω ≤ ω_{h f}⁺ için (2.124) Di˘ger bir deyi¸sle, BETK bant geni¸sli˘gi, ω_obs  ω_{h f}⁺ sa˘glanacak ¸sekilde geni¸s seçilebilmektedir.

Teorem 5 Varsayım 4 altında, BETK tabanlı tümle¸sik kontrol sistemi için gürbüz kararlılık kriteri (GK)

W_T,iiT_ii S_obs,ii 1 − |WT,iiT_obs,ii|

∞

< 1, i= 1, 2, 3, 4 için (2.125)

¸seklindedir.

˙Ispat 15 ˆP sistemi için kararlılık analizi iki farklı frekans bölgesinde gerçekle¸stirilecektir:

ω ≤ ω_{h f}⁺ bölgesi için, (2.124) ifadesi geçerlidir. Bu bölgede, Varsayım 4 ve Sonuç 2 kullanılarak, perturbe edilmi¸s sistem çıkı¸sı (y_r) ve nominal sistem çıkı¸sı (y_n), harici giri¸sler r ve d_ed altında ayırt edilemez olmaktadır. Bu sayede perturbe edilmi¸s kapalı çevrim sistemin gürbüz kararlılı˘gı nominal sistemin iç kararlılı˘gına indirgenmektedir.

ω > ω_{h f}⁺ bölgesi için, (2.88) ile verilen perturbe sistem ˆP a¸sa˘gıdaki sistem ailesine indirgenmektedir.

P( jω) = Pˆ _d(I + ∆WT)( jω) (2.126) Bunun sebebi ise Lemma 8 ile vurgulananP = P_de¸sitli˘gidir. Bu durumda,(2.126)’deki bütün matrisler kö¸segenseldir. Bu sayede, ˆP sistemi de kö¸segensel formda olmaktadır

ki perturbe edilmi¸s sistem birçok ayrı¸stırılmı¸s(decoupled) sistem olarak görülebilir. Bu durum a¸sa˘gıda açık formda

Pˆ_ii(s) = P_ii(s)(1 + ∆ii(s)WT,ii(s)), i= 1, .., 4 için . (2.127)

¸seklinde yazılabilmektedir. Artık ¸Sekil 2.6, Lemma 7 ve Teorem 4, P = P_d veK, W_T, P, ∆ ifadelerinin K_ii, W_T,ii, P_ii, ∆_ii ifadeleri ile yer de˘gi¸stirilmesi ile birlikte, herbir ayrı¸smı¸s sisteme özel olarak uygulanabilir. ayrı¸smı¸s olan herbir sistem için ¸Sekil 2.7b yardımı ile

u_tot,i= K_iie_i− ˆu_i (2.128)

yazılabilir. Ayrıca herbir ayrı¸smı¸s sistem için, Teorem 4 takip eden forma dönü¸sür.

ˆ

u_i= T_obs,ii(1 + ∆iiW_T,ii)

1 + T_obs,ii∆_iiW_T,ii d_tot,i (2.129) burada d_tot,i ifadesi

d_tot,i = d_edi+ ¯d_ed

= d_edi+ (1 + T_obs,ii∆_iiW_T,ii)⁻¹∆_iiW_T,iiu_i

= d_edi+ (1 + T_obs,ii∆_iiW_T,ii)⁻¹∆_iiW_T,iiK_iie_i (2.130) haline indirgenir. Denklem(2.130)’in (2.129) içinde kullanılması ve (2.128)’de yerine konması ile

u_tot,i = K_iie_i− T_obs,ii∆iiW_T,ii 1 + T_obs,ii∆iiW_T,iiK_iie_i

−T_obs,ii(1 + ∆iiW_T,ii) 1 + T_obs,ii∆iiW_T,ii d_edi u_tot,i = K_iie_i 1

1 + T_obs,ii∆_iiW_T,ii−T_obs,ii(1 + ∆_iiW_T,ii)

1 + T_obs,ii∆_iiW_T,ii d_edi (2.131) elde edilir. Burada

T_obs,ii:= P_iiK_obs,ii

1 + P_iiK_obs,ii (2.132)

¸seklindedir. ¸Sekil 2.7b’den gözlemlenir ki

y_r,i= ˆP_ii(d_edi+ u_tot,i) , (2.133) (2.128)’in yukarıda yerine konulması ve aynı terimlerin gruplanması ile

y_r,i=



1 −T_obs,ii(1 + ∆iiW_T,ii) 1 + T_obs,ii∆_iiW_T,ii

 Pˆ_iid_ed,i + ˆP_iiK_iie_i 1

1 + T_obs,ii∆_iiW_T,ii (2.134)

elde edilir. S_obs,ii:= 1 − T_obs,iie¸sitli˘gi kullanılarak y_r,i= S_obs,ii

1 + T_obs,ii∆_iiW_T,iiPˆ_iid_ed,i

+ 1

1 + T_obs,ii∆_iiW_T,iiPˆ_iiK_iie_i. (2.135) Tekrar ¸Sekil 2.7b’den, döngü transfer fonksiyonu ˆL_pii, hata e_i’den çıkı¸s y_r,i’ye transfer fonksiyonu olarak a¸sa˘gıdaki gibi yazılabilir.

ˆL_pii = Pˆ_iiK_ii L_p,ii = P_iiK_ii ifadesi perturbe edilmemi¸s döngü transfer fonksiyonunu ifade etsin.

Basitle¸stirme için bu ifadenin kararlı oldu˘gu varsayılmı¸stır. ¸Sekil 2.7a ile verilen kapalı çevrim sistem de bu durumda kararlı olmaktadır çünkü L_p,ii’nin Nyquist grafi˘gi

−1 + j0 noktasını çevrelememektedir. Perturbe edilmi¸s sistem için ise, belirsizlik kümesi içinden herhangi bir ˆL_pii fonksiyonu−1 + j0 noktasını çevrelerse, aynı küme içerisinden ba¸ska bir döngü transfer fonksiyonu bir frekans de˘geri için kesinlikle

−1 + j0 noktasından geçer. Bunun sebebi ise olası tüm sistem ailesinin norm-sınırlı olmasıdır. Gürbüz kararlılık için bahsedilen bu durumdan kaçınılması gerekmektedir.

Bu yüzden a¸sa˘gıdaki ifadeler geçerli olmak zorundadır.

|1 + ˆLp,ii| 6= 0, ∀ω, ˆLp,ii En kötü durum için|∆ii| = 1 ve terimlerin fazlarının ters i¸saretli olması gerekmektedir.

Böylece,

Yukarıda ki ifadenin basitle¸stirilebilmesi için a¸sa˘gıda ki ifadenin dikkate alınması gerekmektedir.

1 = |1 + ∆_iiW_T,iiT_obs,ii− ∆iiW_T,iiT_obs,ii| ≤ |1 + ∆iiW_T,iiT_obs,ii| + |W_T,iiT_obs,ii|, ∀ω 1 − |W_T,iiT_obs,ii| ≤ |1 + ∆iiW_T,iiT_obs,ii|, ∀ω . (2.141) Denklem(2.141)’nin (2.139) içinde kullanılması ile

Bu son e¸sitsizlikten, e˘ger  sa˘glanırsa(2.139) geçerli olur ki buda teoremin önermesidir.

Sonuç 3 Yeni gürbüzlük a˘gırlık fonksiyonu

Wˆ_T(s) =

¸seklinde tanımlanmı¸s olsun. Burada

Wˆ_T,ii:= W_T,iiS_obs,ii

1 − |W_T,iiT_obs,ii| . (2.143) Bu ifade geçerli bir a˘gırlık fonksiyonudur ve bu kullanılarak Teorem 5 a¸sa˘gıdaki gibi yeniden yazılabilir:

k ˆW_TTk_∞< 1 . (2.144)

˙Ispat 16 Gürbüzlük a˘gırlık fonksiyonu için gereksinimler, fonksiyonun kararlı ve katı bir ¸sekilde uygun olmasıdır [78]. ˆW_T,iifonksiyonu ise yukarıda ki gereksinimleri, W_T,ii, S_obs,ii fonksiyonun kararlı-katı düzgün olması ve 1 − |W_T,iiT_obs,ii| ifadesinin skaler olması nedeni ile kar¸sılamaktadır. Denklem (2.143)’nin (2.125) içinde kullanılması ispatı tamamlar.

Teorem 6 Varsayım 4 altında, BETK tabanlı tümle¸sik kontrol sistemi için gürbüz performans (GP) kriteri

˙Ispat 17 Gürbüz performansın amacı harici bozucu etkilerin perturbe sistem çıkı¸sında ki etkilerini en aza indirmek olarak özetlenebilir. [78]. Teorem 5’ye benzer ¸sekilde, analiz iki frekans bölgesine ayrılabilir:

ω ≤ ω_{h f}⁺ için, Varsayım 4 ve Sonuç 2 sistemin nominal olana indirgendi˘gini ima etmektedir. Bunun sebebi ise tüm belirsizlikler, bozucu-etkiler ve P’nin kö¸segen dı¸sı elemanları tahmin edilip etkileri iptal edilmektedir. Bu sebepten ötürü, bu bölgede, GP kolayca sa˘glanmaktdır.

ω > ω_{h f}⁺ bölgesi için, GK’ye benzer ¸sekilde, Lemma 8’nin sonucu olarak (2.127) ifadesi geçerlidir. ¸Sekil 2.7c’den

y_r,i= −P_iiK_iie_i− P_ii(1 +W_T,ii∆ii)d_res,i. (2.146) d_tot,i’dan y_r,i’ye transfer fonksiyonunun belirlenebilmesi için,(2.146)’de r_i= 0 alınır, ki e_i= −y_r,i, böylece ve Tanım 4’in kullanılması ile

|Y_r,i| = | ˆP_iiS_ii(D_tot,i− ˆU_i)| . (2.149)

¸Sekil 2.7c’nin incelenmesi ise frekans bölgesinde, takip eden manipülasyonları mümkün kılar. GK kriterinde ki duruma benzer ¸sekilde,(2.129) ifadesi her bir ayrı¸smı¸s sistem için geçerlidir ki ¸Sekil 2.7c ve (2.149)’den

|Y_r,i| = e¸sitlikleri türetilir. Yeniden düzenleme ve W_Pii fonksiyonu ile a˘gırlıklandırma ile

 ve elde edilen ifadenin bütün frekans de˘gerleri için normun birden küçük olması ¸sartı

e¸sitsizli˘gine yol açar. Denklem(2.141)’in yardımı ile  ki buda teoremin önermesidir.

𝑢_𝑡𝑜𝑡

(a) K kontrol sisteminin dahil oldu˘gu döngü

𝑤 𝑧

(b) K-Sentezi için DKT yapısı

¸Sekil 2.9: ÇGÇÇ-Sistemlerde K sentezlemesi için blok diyagramları.