BÖLÜM 4 OLASILIK
Rasgele Sonuçlu Deney: Sonuçlarının kümesi belli olan, ancak hangi sonucun ortaya çıkacağı önceden söylenemeyen bir işleme Rasgele Sonuçlu Deney veya kısaca Deney denir.
Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine örnek uzay denir. “
S
”ile gösterilir Olay: Örnek uzayın bir alt kümelerine olay denir.Örnek: Bir tavla zarnın birkez atılması ve üste gelen yüzün gözlenmesi deneyi için;
2
nolarak tanımlanır.Olasılık:
S
bir örnek uzay olmak üzereS
örnek uzayındaki herA
olayı için aşağıdaki özellikleri sağlayan birP A( )sayısı atanabiliyorsa P A( )’ya A olayının olasılığı denir. P A( )
0
P S( )=1
A A
1, 2...
A
n olayları ayrık olaylar dizisi ise; Ayrık olay: AiAj 0, i j P(A
1
A
2
...
A
n)= 1 ( i) i P A
(sayılabilir sonsuz) P(A
1
A
2
...
A
n)= 1 ( ) n i i P A
(örnek uzay sonlu elemanlı) *BirA
olayının meydana gelme olasılığı:0
P A( )
1Eğer imkansız bir olay ise; P A( )=0 Eğer kesin bir olay ise; P A( )=1
Olasılığın Sıklık Tanımı: Bir deneme
n
kez yapıldığında bir A olayı f kez gerçekleşirse A ’nın sıklığı ya da frekansı f n/ ’dir.Teorem: Bir deneyde
N
tane sonuç varsa ve her birinin olasılığı birbirine eşit ise, ilgilenilen sonuç sayısı n ise bu olayın olasılığı;( ) P A =
n
N
Olasılık Aksiyomları: 1. P ( ) 0
3. A ise B P A( )P B( ), ( / ) B A B A (A( / )B A ayrık olaylar) ( ) ( ) ( / ) P B P A P B A
0
4.
A
veB
herhangi 2 olay olsun. P A B( / )=P A( )P A( B)’dir.
( / )
A
A
B
A B
(
A
B
( / )
A B
ayrık olaylar)
( )
( / )
P A
P A
B
P A B
( / ) P A B =P A( )P A( B) 5.A
veB
iki olay olsun.( ) ( ) ( ) ( ) P AB P A P B P AB
(
)
A
B
A
B A
(A
(
B A
)
ayrık olaylar)(
)
( )
(
)
P A
B
P A
P B A
P B A
(
)
P B
( )
P A
(
B
)
( ) ( ) ( ) ( ) P AB P A P B P ABn
sayıdaki olay için;1 2 1 1 1 1 1 2 ( ... ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( 1) ( ... ) n n n n i i j i j k i i j n i j k n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A
6. A ve B olayları aynı anda gözlenmesi olanaksız ise bu olaylara ayrık olaylar denir. A ve B ayrık
olaylarsa bu iki olayın ortak noktası olmadığından
A
B
ve P A( B)0.d.
P A
(
B
)
?
(
)
( )
(
)
P A
B
P A
P A
B
0, 4 0, 4 0(
)
( )
( )
(
)
P A
B
P A
P B
P A
B
0, 4 0,3 0, 7 e.P A
(
B
)
?
( ) ( ) P AB P AB(
) 1
(
)
P A
B
P A
B
1 0, 40, 6 f.P A
(
B
)
?
(
)
( )
( )
(
)
P A
B
P A
P B
P A
B
0, 6 0, 7 0,3 1 Koşullu OlasılıkBir olayın gerçekleşmesi için başka bir olayın gerçekleşmesi koşuluna bağlı olan olasılıktır.
B
olayı bilindiğindeA
olayının gerçekleşme olasılığı;(
)
(
)
, ( )
0
( )
P A
B
P A B
P B
P B
Eğer A olayının gerçekleşmesi B olayına bağlı değilse A ve B olayları bağımsız olaydır ve ( ) ( ) ( ) P AB P A P B dir. Bu durumda,
( ). ( )
(
)
( )
( )
P A P B
P A B
P A
P B
Şeklindedir.Örnek: Yapılan bir çalışmada hastaların
%20
’si hem asprin hem de noveljin,%40
’ı sadece asprin ve%30
’u sadece novaljin kulanmaktadır. Rastgele seçilen bir hastanın asprin kullandığı biliniyorsa novaljin de kullanma olasılığı nedir?( ) 0, 60 P A ( ) 0, 20 P AB ( ) 0,50 P B
(
)
0, 20
1
(
)
( )
0, 60
3
P A
B
P B A
P A
e-posta adresi
Cinsiyet
Var Yok Toplam
Kadın 550 250 800
Erkek 400 200 600
Toplam 950 450 1400
a) E-Posta adresi var olduğu bilindiğine göre kadın olması olasılığı nedir?
(
)
550 /1400
11
(
)
( )
950 /1400
19
P K
V
P K V
P V
b) Seçilen kişinin erkek olduğu bilindiğine göre e-posta adresinin olmaması olasılığı nedir?
(
)
200 /1400
1
(
)
( )
600 /1400
3
P Y
E
P Y E
P E
Örnek: Düzgün bir zarın iki kez atılması ve üste gelen sayıların gözlenmesi deneyinde;
1,1 1, 2
1, 6
2,1 2, 2
2, 6
6,1 6, 2
6, 6
S
a) A ={1. Atışta 2 gelmesi} B ={2. Atışta 3 gelmesi} A ve B olayları bağımsız mıdır? ( ) ( ). ( )P AB P A P B ise A ve B olayları bağımsızdır.
2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 2,6
A
1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3
B
2,3
A
B
( ) ( ). ( ) P AB P A P B1
6
.
6
36
36 36
1
1
36
36
olduğundan A ve B olayları bağımsız olaylardır.
C
ve D olayları bağımsız olaylar mıdır?
1,1 ,(1, 2),(1,3),(1, 4),(1,5),(1,6)
C
1,5 ,(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5)(4,6),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)
D
1,5 ,(1,6)
C
D
( ) ( ). ( ) P CD P C P D2
6 12
.
36
36 36
1
1
18
18
Olduğundan
C
ve D olayları bağımsız olaylardır.c) İki atıştan gelen nokta sayısının toplamı 6 olduğu bilinirse zarlardan birinin 2 gelmesi olasılığı nedir?
E
{zarlardan birinin 2 gelmesi}F
{üstteki sayılarının toplamı 6 olması}F
(1,5),(2, 4),(3,3),(4, 2),(5,1)
E
F
(2, 4),(4, 2)
(
)
2 / 36
2
(
)
( )
5 / 36
5
P E
F
P E F
P F
:
Simetrik Fark ( / ) ( ) A B A B AB veyaA B
(
A
B
) (
A
B
)
De morgan kuralı(
)
(
)
P A
B
P A
B
(
)
(
)
P A
B
P A
B
Örnek:
A
veB
olayları olasılık uzayında tanımlanmış iki olay olsun.( ) 0, 4
P A , P B ( ) 0, 7,
P A
(
B
)
0, 4
Olmak üzere aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız.Ödev:
(
)
1
,
10
P A
B
(
)
4
10
P A
B
( ) 6 10 P AB Yukarıdaki bilgileri kullanarak aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız.(
)
?
P A
B
(
)
?
P A
B
(
)
?
P A
B
( ) ? P B ( ) ? P A ( )
?
P A
(
)
?
P A
B
Örnek: İçerisinde 5 kırmızı, 3 siyah top bulunan bir kavanozdan rastgele iki top çekiliyor. a) İadeli
b) İadesiz
çekilmesi durumunda en az bir kırmızı top gelme olasılığı nedir?
KAYNAKLAR
1. Uygulamalı İstatistik (1994)
Ayşen APAYDIN , Alaettin KUTSAL, Cemal ATAKAN 2. Olasılık ve İstatistik Problemler ve Çözümleri ile (2008) Prof. Dr. Semra ERBAŞ
3. Olasılık ve İstatistik (2006) Prof. Dr. Fikri Akdeniz
4. Olasılık ve İstatistiğe Giriş I-II (2011) Prof. Dr. Fikri Öztürk
5. Fikri Öztürk web sitesi
