T.C.
FIRAT ÜN·IVERS·ITES·I FEN B·IL·IMLER·I ENST·ITÜSÜ
FARK D·IZ·ILER·I ·IÇ·IN ·ISTAT·IST·IKSEL YAKINSAKLIK
YÜKSEK L·ISANS TEZ·I Erkan MU¸STU
Anabilim Dal¬ : Matematik
Program¬ : Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi Tez Dan¬¸sman¬: Prof. Dr. Rifat ÇOLAK
T.C.
FIRAT ÜN·IVERS·ITES·I FEN B·IL·IMLER·I ENST·ITÜSÜ
FARK D·IZ·ILER·I ·IÇ·IN ·ISTAT·IST·IKSEL YAKINSAKLIK
YÜKSEK L·ISANS TEZ·I Erkan MU¸STU
(08221103)
Anabilim Dal¬ : Matematik
Program¬ : Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi
Tez Dan¬¸sman¬: Prof. Dr. Rifat ÇOLAK
Tezin Enstitüye Verildi¼gi Tarih: 30.05.2011
T.C.
FIRAT ÜN·IVERS·ITES·I FEN B·IL·IMLER·I ENST·ITÜSÜ
FARK D·IZ·ILER·I ·IÇ·IN ·ISTAT·IST·IKSEL YAKINSAKLIK
YÜKSEK L·ISANS TEZ·I Erkan MU¸STU
(08221103)
Tezin Enstitüye Verildi¼gi Tarih: 30.05.2011 Tezin Savunuldu¼gu Tarih: 17.06.2011
Tez Dan¬¸sman¬: Prof. Dr. Rifat ÇOLAK (F.Ü) Di¼ger Jüri Üyeleri:
Prof. Dr. Mikail ET (F.Ü) Doç. Dr. Ay¸segül GÖKHAN (F.Ü)
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
FARK D·IZ·ILER·I ·IÇ·IN ·ISTAT·IST·IKSEL YAKINSAKLIK
Erkan MU¸STU
F¬rat Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬
2011, Sayfa: 28+V
Bu çal¬¸sma dört bölümden olu¸smaktad¬r. Birinci bölümde temel tan¬m ve teoremler verilmi¸stir. ·Ikinci bölümde istatistiksel yak¬nsakl¬k ve p-Cesàro toplanabilirlikten bahsedilmi¸s, üçüncü bölümde ise fark dizileri, fark dizilerinin istatistiksel yak¬nsakl¬¼g¬ ve fark dizilerinin p-Cesàro toplanabilirli¼gi aras¬ndaki ili¸ski ele al¬nm¬¸st¬r. Dördüncü bölümde ise fark dizilerinin . dereceden istatistiksel yak¬nsakl¬¼g¬ ve . dereceden p-Cesàro toplanabilirli¼gi incelenmi¸stir.
Anahtar Kelimeler: ·Istatistiksel yak¬nsakl¬k, ·Istatistiksel p-Cesàro toplanabilirlik, . Derece-den istatistiksel yak¬nsakl¬k, Fark dizileri, Fark dizileri için istatistiksel yak¬nsakl¬k.
SUMMARY
Master Thesis
THE STATISTICAL CONVERGENCE OF DIFFERENCE SEQUENCES
Erkan MUSTU
Firat University
Institute of Science and Technology Department of Mathematics
2011, Page: 28+V
This study is consist of four chapters. In the …rst chapter, the fundamental de…nitions and the-orems are given. In the second chapter, statistical convergence and statistically Cauchy sequence and strong p-Cesàro summability are examined. In the third chapter , di¤erence sequence spaces and their statistical convergence are examined. In the fourth chapter, statistical convergence of order of di¤erence sequences and strong p-Cesàro summability of order of di¤erence sequences are studied.
KEY WORDS: Satistical convergence, strong p-Cesàro summability, statistical convergence of order , di¤erence sequences, statistical convergence of di¤erence sequences.
TE¸SEKKÜR
Bu çal¬¸sman¬n haz¬rlanmas¬ sürecinde bana yard¬mc¬ olan, bilgi ve tecrübelerinden her zaman yararland¬¼g¬m sayg¬de¼ger hocam Prof. Dr. Rifat ÇOLAK ’a üzerimdeki emeklerinden dolay¬ çok te¸sekkür eder, sayg¬lar sunar¬m.
Erkan MU¸STU ELAZI ¼G-2011
·IÇ·INDEK·ILER
Sayfa No ÖZET . . . I SUMMARY . . . II TE¸SEKKÜR . . . III ·IÇ·INDEK·ILER . . . IV S·IMGELER L·ISTES·I . . . V B·IR·INC·I BÖLÜM 1- TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Giri¸s . . . 1 ·IK·INC·I BÖLÜM 2- ·ISTAT·IST·IKSEL YAKINSAKLIK 2.1. Do¼gal Yo¼gunluk ve ·Istatistiksel Yak¬nsakl¬k . . . 4
2.2. ·Istatistiksel Yak¬nsakl¬k ve Kuvvetli Cesàro Toplanabilirlik . . . 7
ÜÇÜNCÜ BÖLÜM 3- FARK D·IZ·ILER·I 3.1. Fark Dizilerine Giri¸s . . . 10
3.2. Fark Dizilerinin ·Istatistiksel Yak¬nsakl¬¼g¬ . . . 14
DÖRDÜNCÜ BÖLÜM 4- FARK D·IZ·ILER·I ·IÇ·IN . DERECEDEN ·ISTAT·IST·IKSEL YAKINSAKLIK 4.1. Fark Dizilerinde Yo¼gunluk . . . 19
4.2. Temel Sonuçlar . . . 22
Sonuç . . . 26
KAYNAKLAR . . . 27
S·IMGELER L·ISTES·I
N : Do¼gal say¬lar cümlesi C : Kompleks say¬lar cümlesi R : Reel say¬lar cümlesi
: C üzerinde tan¬ml¬ bütün diziler uzay¬ 1 : Kompleks terimli s¬n¬rl¬ diziler uzay¬ : Kompleks terimli yak¬nsak diziler uzay¬ 0 : Kompleks terimli s¬f¬ra yak¬nsak diziler uzay¬
() : E ’n¬n do¼gal yo¼gunlu¼gu
: ·Istatistiksel yak¬nsak diziler uzay¬ 0 : S¬f¬ra istatistiksel yak¬nsak diziler uzay¬
(4) : 4-istatistiksel yak¬nsak diziler uzay¬
(4) : . dereceden 4-istatistiksel yak¬nsak diziler uzay¬
0 (4) : . dereceden s¬f¬ra 4-istatistiksel yak¬nsak diziler uzay¬
: Kuvvetli p-Cesàro toplanabilir diziler uzay¬
(4) : Kuvvetli 4-Cesâro toplanabilir diziler uzay¬
(4) : . dereceden kuvvetli 4-Cesâro toplanabilir diziler uzay¬
1. Bölüm
TEMEL KAVRAMLAR
1.1 Giri¸s
Bu bölümde daha sonraki bölümlerde kullanaca¼g¬m¬z baz¬ temel tan¬m ve teoremleri verece¼giz. Tan¬m 1.1.1 bo¸s olmayan bir cümle ve reel veya kompleks say¬lar cismi olsun.
+ : £ ! ¢ : £ !
fonksiyonlar¬ a¸sa¼g¬daki özellikleri sa¼gl¬yorsa cümlesine cismi üzerinde bir vektör (lineer) uzay¬ ad¬ verilir. Her 2 ve 2 için
1) + = +
2) ( + ) + = + ( + )
3) 8 2 için + = olacak ¸sekilde bir 2 vard¬r.
4) Herbir 2 için + (¡) = olacak ¸sekilde bir ¡ 2 vard¬r. 5) 1 =
6) ( + ) = + 7) ( + ) = + 8) () = () dir.
Tan¬m 1.1.2 cismi üzerinde bir lineer uzay olsun. kk : !
fonksiyonu a¸sa¼g¬daki özellikleri sa¼gl¬yorsa, kk fonksiyonuna üzerinde bir norm ve ( kk) ikil-isine de bir normlu uzay ad¬ verilir.
1) kk ¸ 0 ( 2 )
2) kk = 0 () = ( 2 ) 3) kk = jj kk ( 2 2 ) 4) k + k · kk + kk, ( 2 ) dir.
Bir ( kk) normlu uzay¬ tam ise, yani bu uzaydan al¬nan her Cauchy dizisi bu uzay¬n bir noktas¬na yak¬ns¬yorsa bu normlu uzaya Banach uzay¬ ad¬ verilir.
Kompleks terimli tüm = (), ( = 1 2 3 ) dizilerinin cümlesini ile gösterece¼giz. ,
= () = () ve bir skaler olmak üzere
+ = (+ )
= ()
¸seklinde tan¬mlanan i¸slemler alt¬nda bir lineer uzayd¬r. Bu çal¬¸smada s¬k s¬k kullanaca¼g¬m¬z 1= ½ = () : sup jj 1 ¾ s¬n¬rl¬, = ½ = () : lim mevcut ¾ yak¬nsak ve 0 = ½ = : lim = 0 ¾ s¬f¬r dizileri uzay¬ kk = sup jj (1.1) normu ile birer Banach uzay¬d¬r.
Teorem 1.1.3 Bir Banach uzay¬n¬n bir alt uzay¬n¬n tam olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart ’nin ’de kapal¬ olmas¬d¬r.
Teorem 1.1.4( ) bir metrik uzay, ½ ve M ’nin kapan¬¸s¬n¬ göstersin. Bu durumda 2 olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart ! olacak ¸sekilde ’de bir () dizisinin mevcut
olmas¬d¬r.
Tan¬m 1.1.5 E¼ger = ? veya ’dan, 2 Z+ = f1 2 3 g olmak üzere, f1 2 3 g kümesine birebir örten bir fonksiyonu ve bir 2 Z+ say¬s¬ varsa kümesine sonlu küme denir.
E¼ger birebir örten bir : ! Z+ fonksiyonu varsa kümesine say¬labilir küme denir.
Tan¬m 1.1.6 ( ) bir metrik uzay, 2 ve pozitif bir reel say¬ olsun. merkezli yar¬çapl¬ bir aç¬k yuvar, ’in ’e uzakl¬klar¬ ’den daha küçük olan bütün noktalar¬ndan meydana gelen
( ) = f 2 : ( ) g alt kümesi olarak tan¬mlan¬r.
Tan¬m 1.1.7( ) bir metrik uzay, 2 ve pozitif bir reel say¬ olsun. merkezli yar¬çapl¬ bir kapal¬ yuvar, ’in ’e uzakl¬klar¬ ’den daha küçük ya da e¸sit olan bütün noktalar¬ndan meydana gelen
[ ] = f 2 : ( ) · g alt kümesi olarak tan¬mlan¬r.
Tan¬m 1.1.8Bir metrik uzay¬ ve bunun bir altcümlesini gözönüne alal¬m. E¼ger cüm-lesi her bir noktas¬n¬n etraf¬nda bir yuvar içeriyorsa cümcüm-lesine aç¬kt¬r denir. cümcüm-lesinin bir alt cümlesi olsun. E¼ger, cümlesinin ’deki tümleyeni, yani
= ¡ aç¬k ise cümlesine kapal¬d¬r denir.
Tan¬m 1.1.9 bir metrik uzay ve , ’in bir alt kümesi olsun. ’in ’y¬ içeren kapal¬ kümelerinin en küçü¼güne ’n¬n kapan¬¸s¬ denir ve ile gösterilir.
Tan¬m 1.1.10 Bir metrik uzay¬n¬n bir alt cümlesi verildi¼ginde = ise, cümlesine ’de yo¼gundur denir. E¼ger uzay¬ ’de yo¼gun, say¬labilir bir alt cümleye sahipse ayr¬labilirdir denir.
Tan¬m 1.1.11 Bir ( ) metrik uzay¬nda bir () dizisi göz önüne alal¬m. E¼ger her 0
say¬s¬na kar¸s¬l¬k, her için
( )
2.Bölüm
·ISTAT·IST·IKSEL YAKINSAKLIK
·Istatistiksel yak¬nsakl¬k tan¬m¬ Fast [6] taraf¬ndan k¬sa bir not olarak verildi. Schoenberg [13] istatistiksel yak¬nsakl¬¼g¬ toplanabilme metodu olarak inceledi ve istatistiksel yak¬nsakl¬¼g¬n baz¬ temel özelliklerini verdi. Her iki matematikçi de s¬n¬rl¬, istatistiksel yak¬nsak bir dizinin Cesàro toplanabilir oldu¼gunu ifade ettiler. Daha sonra istatistiksel yak¬nsakl¬k Connor [2], Maddox [11], Fridy [7], Gadjiev ve Orhan [8] taraf¬ndan çal¬¸s¬ld¬. dereceden istatistiksel yak¬nsakl¬k Gadjiev ve Orhan [8], Çolak [4] taraf¬ndan verildi ve çal¬¸s¬ld¬. dereceden kuvvetli p-Cesàro toplanabilirlik Çolak [4] taraf¬ndan verildi ve dereceden istatistiksel yak¬nsakl¬k ile olan ili¸skisi çal¬¸s¬ld¬.
Bu bölümde istatistiksel yak¬nsakl¬k, dereceden istatistiksel yak¬nsakl¬k ve özellikleri ince-lenecektir.
2.1 Do¼gal Yo¼gunluk ve ·Istatistiksel Yak¬nsakl¬k
Bir ½ N cümlesine ait bir say¬s¬na e¸sit ya da ’den daha küçük olan bütün pozitif tamsay¬lar¬n say¬s¬ () ile gösterilsin. Örne¼gin bir cümlesi 2 4 6. . . çift tamsay¬lar¬ndan olu¸suyorsa (1) = 0 (2) = 1 (6) = 3 (7) = 3 (152) = 3 d¬r. Gerçekten ¸ 0 ise () =£2¤ dir. Di¼ger taraftan 2 N olmak üzere = ()1=1 cümlesi için () = ’dir.
Tan¬m 2.1.1 Bir cümlesinin asimptotik yo¼gunlu¼gu 1() = lim inf
!1
()
olarak tan¬mlan¬r. (()) dizisi bir limite sahip ise cümlesinin do¼gal yo¼gunlu¼gu () = lim
!1
()
¸seklinde tan¬mlan¬r. E¼ger () = 0 ise cümlesine s¬f¬r yo¼gunluklu cümle denir [12].
Teorem 2.1.2 Her bir için 2 N ve () ! +1 olmak üzere, = () ise bu taktirde;
1() = lim inf
d¬r. E¼ger () mevcut ise,
() = lim
!1
·Ispat. ³
´
dizisi³() ´dizisinin bir alt dizisidir. Buradan
lim inf ()
· lim inf
elde edilir. E¼ger ¸ 1 olacak ¸sekilde bir tamsay¬ ve , cümlesindeki ’den büyük en
küçük tamsay¬ ise bu taktirde ¡1 · · ve
¡ () = ¡ ¡ 1 ¡ ¡ 1 = 1 elde edilir. Böylece,
¡
()
! 0 ( ! 1 ! 1 için) olur. Bu da isteneni verir.
Tan¬m 2.1.3 E¼ger = () dizisinin terimleri s¬f¬r yo¼gunluklu bir cümle hariç di¼ger bütün
’lar için bir özelli¼gini sa¼gl¬yorsa, () dizisi hemen hemen her için özelli¼gini sa¼gl¬yor denir
ve “” ¸seklinde gösterilir [7].
S¬f¬r yo¼gunluklu cümle tan¬m¬ndan esinlenilerek istatistiksel yak¬nsak dizi tan¬m¬ a¸sa¼g¬daki ¸sekilde verilir.
Tan¬m 2.1.4 = () kompleks say¬lar¬n bir dizisi olsun. E¼ger her 0 için, küme sembolü d¬¸s¬ndaki dikey çizgiler kümenin eleman say¬s¬n¬ göstermek üzere
lim
!1
1
jf · : j¡ j ¸ gj = 0 (2.1)
yani . için j¡ j ise = () dizisi say¬s¬na istatistiksel yak¬nsakt¬r denir. = ()
dizisinin ’ye istatistiksel yak¬nsak olmas¬ halinde ¡ = veya ¡! () yaz¬l¬r [7].
·Istatistiksel yak¬nsak dizilerin uzay¬ ile gösterilir. = 0 olmas¬ halinde 0, yani s¬f¬ra
istatistiksel yak¬nsak dizilerin uzay¬ elde edilir. Buna göre
= 8 < :
= () : lim!1 1jf · : j¡ j ¸ gj = 0
her 0 ve enaz bir için
9 = ;
dir. Aç¬kça görülebilece¼gi gibi yak¬nsak her dizi istatistiksel yak¬nsakt¬r. Bunu göstermek için ! alal¬m. Bu durumda her 0 için 0 iken j¡ j olacak ¸sekilde bir 0 2 N
vard¬r. Demek ki ancak · 0 için j¡ j ¸ olur. Halbuki
lim !1 1 jf · : j¡ j ¸ gj · lim!1 1 0 = 0
d¬r. Fakat bu iddian¬n tersi do¼gru de¼gildir, yani istatistiksel yak¬nsak her dizi yak¬nsak de¼gildir. Gerçekten = 8 > > > < > > > : p = 2 = 1 2 3 1 6= 2
¸seklinde tan¬mlanan = () dizisi için ¡ = 1 d¬r, ancak 2 1ve bu nedenle yak¬nsak
de¼gildir. S¬n¬rl¬ bir dizi de istatistiksel yak¬nsak olmayabilir. Gerçekten = (1 0 1 0 1 0 )
dizisi s¬n¬rl¬d¬r ancak istatistiksel yak¬nsak de¼gildir.
Bir dizi istatistiksel yak¬nsak ise istatistiksel limiti tektir, yani ¡ = 1, ¡ = 2
ise 1= 2 dir.
Teorem 2.1.5 = () = () 2 ve 2 R olsun. Bu durumda
) ¡ = 1 ise ¡ () = 1
) ¡ = 1 ¡ = 2 ise ¡ ( + ) = 1+ 2 dir [13].
() ¡ () den istatistiksel yak¬nsak diziler uzay¬n¬n lineer uzay oldu¼gu anla¸s¬l¬r.
Tan¬m 2.1.6 0 olsun. için j¡ j olacak ¸sekilde bir = () do¼gal say¬s¬
varsa, yani
lim
!1
1
jf · : j¡ j ¸ gj = 0 ise = () dizisine istatistiksel Cauchy dizisi denir [7].
Teorem 2.1.7 Bir = () dizisi istatistiksel yak¬nsak ise ayn¬ zamanda istatistiksel Cauchy
dizisidir [7].
·Ispat. Burada, “yak¬nsak bir dizi Cauchy dizisidir.” teoreminin ispat¬na benzer bir yol takip edilecektir. ¡ = ve 0 olsun. Bu durumda, için j¡ j 2 d¬r.
E¼ger , j¡ j 2 olacak ¸sekilde seçilirse,
j¡ j = j¡ + ¡ j · j¡ j + j ¡ j
2+
2 = (için) elde edilir.
2.2 ·Istatistiksel Yak¬nsakl¬k ve Kuvvetli Cesàro Toplanabilirlik
Bu k¬s¬mda, kuvvetli Cesàro toplanabilme ile istatistiksel yak¬nsakl¬k aras¬ndaki ili¸ski ince-lenecektir.
Tan¬m 2.2.1 = () kompleks say¬lar¬n bir dizisi olsun. E¼ger
lim1 X =1 =
olacak ¸sekilde bir say¬s¬ varsa, dizisi ’ye Cesàro toplanabilirdir denir. Cesàro toplanabilir dizilerin cümlesi 1 ile gösterilecektir. Buna göre
1 = ( = () : lim 1 X =1 (¡ ) = 0 en az bir için )
dir. E¼ger dizisi ’ye Cesàro toplanabilir ise bu 1¡ lim = yaz¬larak gösterilir [13].
Teorem 2.2.2 = () dizisi ’ye yak¬nsak ise () dizisi ’ye 1 yak¬nsakt¬r [13].
·Ispat. = () dizisi ’ye yak¬nsak olsun. Verilen herhangi bir 0 say¬s¬ için 1
olunca j¡ j 2 olacak ¸sekilde pozitif bir 1 tamsay¬s¬ mevcuttur. ¸Simdi;
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 X =1 ¡ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ 1+ + ¡ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ 1+ + ¡ ¯ ¯ ¯ ¯ · ¯ ¯ ¯ ¯ (1¡ ) + + (1 ¡ ) ¯ ¯ ¯ ¯ + ¯ ¯ ¯ ¯ (1+1¡ ) + + (¡ ) ¯ ¯ ¯ ¯ · j1¡ j + + j1 ¡ j + ¯ ¯ ¯1+1¡ ¯ ¯ ¯ + + j¡ j
yaz¬labilir. = fj1¡ j j1¡ jg al¬n¬rsa, 1 için
¯ ¯ ¯ ¯1+ + ¡ ¯ ¯ ¯ ¯ · 1 +( ¡ 21)
elde edilir. 8 2 için 1 21 olacak ¸sekilde 2 bulabiliriz. Bu durumda 2 için
¯ ¯ ¯ ¯ 1+ + ¡ ¯ ¯ ¯ ¯ · 2 + ( ¡ 1) 2 olur. Ayr¬ca ¡1
1 oldu¼gundan = f1 2g al¬n¬rsa her için
¯ ¯
bulunur. Bu da ispat¬ tamamlar.
Bu teoremin tersi do¼gru de¼gildir, yani 1 yak¬nsak bir dizi yak¬nsak olmayabilir. Gerçekten
() = (1 + (¡1)) dizisi için 1¡ lim = 1 dir [13]. Ancak bu dizi yak¬nsak de¼gildir.
Tan¬m 2.2.3 = () kompleks terimli bir dizi ve 0 reel bir say¬ olsun. E¼ger
lim1 X =1 j¡ j= 0
olacak ¸sekilde bir say¬s¬ varsa dizisi ’ye kuvvetli p-Cesàro toplanabilirdir denir. Bu durumda ¡lim = yaz¬l¬r. Kuvvetli -Cesàro yak¬nsak dizilerin cümlesi ile gösterilecektir [11]. Yani
= ( = () : lim 1 X =1 j¡ j = 0 en az bir için ) dir.
Teorem 2.2.4 0 1 olsun. Bu taktirde
) Bir say¬s¬na kuvvetli p-Cesàro yak¬nsak olan bir dizi say¬s¬na ayn¬ zamanda istatis-tiksel yak¬nsakt¬r.
) Bir say¬s¬na istatistiksel yak¬nsak olan s¬n¬rl¬ bir dizi say¬s¬na ayn¬ zamanda kuvvetli p-Cesàro yak¬nsakt¬r [2]. ·Ispat. ) 2 ve lim1 X =1
j¡ j = 0 olsun. Bu takdirde verilen herhangi bir 0 için
1 X =1 j¡ j = 1 X 1·· j¡j j¡ j+ 1 X 1·· j¡j¸ j¡ j ¸ 1jf · : j¡ j ¸ gj
yaz¬labilir. Burada ! 1 için limit al¬n¬rsa lim1 X =1 j¡ j = 0 olmas¬ lim 1 jf · : j¡ j ¸ gj = 0
olmas¬n¬ gerektirir, bir ba¸ska ifadeyle ¡lim = olmas¬ ¡ = oldu¼gu sonucunu verir.
) S¬n¬rl¬ bir = () dizisi say¬s¬na istatistiksel yak¬nsak olsun ve = kk1+ diyelim.
¸ 0 verilsin. say¬s¬n¬ her için
1 ¯ ¯ ¯ ¯ ½ · : j¡ j ¸ ³ 2 ´1 ¾¯¯¯ ¯ 2
olacak ¸sekilde seçelim ve = ½ · : j¡ j ¸ ³ 2 ´1 ¾
olarak tan¬mlayal¬m. Bu taktirde her için
1 X =1 j¡ j = 1 0 B B @ X · 2 j¡ j+ X · 2 j¡ j 1 C C A 1 ³ 2 + 2 ´ · 2+ 2 =
3. Bölüm FARK D·IZ·ILER·I
3.1 Fark Dizilerine Giri¸s
Fark dizileri kavram¬ ilk defa 1981 y¬l¬nda H. K¬zmaz taraf¬ndan [9] verildi. K¬zmaz, 1 0 s¬ras¬ ile s¬n¬rl¬, yak¬nsak, ve s¬f¬r dizileri uzaylar¬n¬ göstermek ve 4 = (4) = (¡ +1),
2 N olmak üzere
1(4) = f = () : 4 2 1g (4) = f = () : 4 2 g
0(4) = f = () : 4 2 0g
fark dizi uzaylar¬n¬ tan¬mlad¬ ve bu uzaylar¬n kk4 = j1j + k4k1
normuyla birer Banach uzay¬ olduklar¬n¬ gösterdi.
Daha sonra R. Çolak [3] bunlar¬ geni¸sleterek, = () kompleks say¬lar¬n s¬f¬rdan farkl¬ bir
dizisi olmak üzere bu uzaylar¬n genelle¸stirilmi¸si olan
4() = f = () : (¡ +1+1) 2 g
uzaylar¬n¬ tan¬mlad¬ ve ile 4() aras¬ndaki ili¸skiyi inceledi.
Teorem 3.1.1 1(4) kk4= j1j + k4k1 normuyla bir Banach uzay¬d¬r [9].
·Ispat. 0 2 1(4) oldu¼gundan 1(4) 6= ? dir. Aç¬kça 1(4) kk4 = j1j + k4k1
normuyla bir normlu uzayd¬r. ¸Simdi 1(4) ’n¬n tam oldu¼gunu gösterelim. = (1 2 3 ) 2 1(4) olmak üzere ()
1(4) ’da bir Cauchy dizisi olsun. Bu takdirde ! 1 için
k¡ k4 = j1 ¡ 1j + k(4 () ¡ 4 ())k4 ! 0
d¬r. Buradan ! 1 için
elde edilir. O halde (1) C ’de bir Cauchy dizisidir. Di¼ger taraftan ¯ ¯ +1¡ +1 ¯ ¯ ¡ j ¡ j · ¯ ¯( ¡ ) ¡ ¡ +1¡ +1¢¯¯ olup ¯ ¯ +1¡ +1 ¯ ¯ · j ¡ j + ¯ ¯( ¡ ) ¡ ¡ +1¡ +1¢¯¯ yaz¬labilir. ! 1 için j1 ¡ 1j ! 0 oldu¼gundan, j2 ¡ 2j ! 0
elde edilir. Buradan 8 2 N ve ! 1 için
j ¡ j ! 0
bulunur. Bu ise herbir için (
) = (1 2 3 ) dizisinin C ’de bir Cauchy dizisi oldu¼gunu
verir. C tam oldu¼gundan ()
, C ’de yak¬nsakt¬r. 8 2 N için lim
=
diyelim. () 1(4) ’da Cauchy dizisi oldu¼gundan her 0 ve için j1 ¡ 1j ve ¯ ¯¡ +1¡ +1 ¢ ¡ ( ¡ ) ¯ ¯
olacak ¸sekilde bir = do¼gal say¬s¬ vard¬r. ! 1 için limit al¬n¬rsa için
lim j 1 ¡ 1j = j1 ¡ 1j · ve lim ¯ ¯¡ +1¡ +1 ¢ ¡ ( ¡ ) ¯ ¯ =¯¯¡ +1¡ +1 ¢ ¡ (¡ ) ¯ ¯ · bulunur. ’dan ba¼g¬ms¬z oldu¼gundan
sup ¯ ¯¡ +1¡ +1 ¢ ¡ (¡ ) ¯ ¯ ·
elde edilir. Böylece = () olmak üzere ¸ için k¡ k · 2 elde ederiz. Bu ise 1(4)
’da
demektir. ¸Simdi = () 2 1(4) oldu¼gunu gösterirsek ispat¬ tamamlam¬¸s olaca¼g¬z. j¡ +1j = ¯ ¯¡ + ¡ +1+ +1¡ +1 ¯ ¯ · ¯¯ ¡ +1 ¯ ¯ +°° ¡ °°4
d¬r. ¡¢ 2 1(4) oldu¼gundan ¯¯ ¡ +1¯¯ · olacak ¸sekilde bir 0 say¬s¬ vard¬r. °
° ¡ °° · olmas¬ nedeniyle j
¡ +1j · + 2 yazabiliriz. Bu ise
sup
j¡ +1j 1
ve 1(4) ’n¬n bir Banach uzay¬ oldu¼gunu verir.
Benzer yolla (4) ve 0(4) ’n¬n da birer Banach uzay¬ oldu¼gu yine H. K¬zmaz [9] taraf¬ndan
verilmi¸stir.
Teorem 3.1.2 (1.1) ’deki norm ile bir Banach uzay¬ ise 4() de
kk4= j11j + k4()k1 (3.1)
normuyla bir Banach uzay¬d¬r [3].
·Ispat. 0 2 4() oldu¼gundan 4() 6= ? dir. Aç¬kça 4() (3.1) ’deki normla bir normlu
uzayd¬r. ¸Simdi 4() ’in tam oldu¼gunu gösterelim. = (1 2 3 ) 2 4() olmak üzere
() 4
() ’de bir Cauchy dizisi olsun. Bu takdirde ! 1 için
k¡ k4 ! 0 yani, ! 1 için
k( ¡ )k4! 0
d¬r. Buradan ! 1 için
j1 ¡ 1j + k(4() ¡ 4())k4 ! 0
elde edilir. Böylece (11 21 31 ) ve (4
¡
1¢ 4
¡
2¢ 4
¡
3¢ ) dizileri C ve ’de Cauchy dizileridir. C ve tam olduklar¬ndan bu diziler s¬ras¬ ile C ve ’de yak¬nsakt¬rlar. C ’de 1 ¡ 1 ( ! 1) ve ’de (4()) ! ( ! 1) diyelim. = ¡¡1 X =1 ¡1 olmak üzere = 4() olsun. Bu takdirde (4()) = (4 ¡ 1 ¢ 4 ¡ 2 ¢ 4 ¡ 3 ¢ ), ’de bir 4()
’ya yak¬nsar. Buradan ! 1 için k¡ k4 ! 0 elde edilir. Demek ki 4() tamd¬r. Bir
ba¸ska ifadeyle 4() bir Banach uzay¬d¬r.
Burada özel olarak = () = (1 1 1 ) al¬n¬r ve benzer yol takip edilirse H. K¬zmaz [9]
Teorem 3.1.3 ½ ise 4() ½ 4( ) ’dir [3].
·Ispat. ·Ispat¬ a¸sikard¬r.
Teorem 3.1.4 bir Banach uzay¬ ve ’in kapal¬ bir alt uzay¬ olsun. Bu takdirde 4()
4() ’¬n kapal¬ bir alt uzay¬d¬r [3].
·Ispat. Teorem 3.1.3 ’den ½ oldu¼gundan 4() ½ 4() ’d¬r. ¸Simdi 2 4() olsun.
Bu takdirde ! 1 iken
k¡ k4 ! 0
olacak ¸sekilde 4() ’da bir () dizisi vard¬r. Böylece 4() ’da ! 1 için
k() ¡ ()k4! 0
elde edilir ve bu da ’da, ! 1 için
j1 ¡ 1j + k(4() ¡ 4())k4! 0
olmas¬ demektir. Böylece 4() 2 ’d¬r. O halde 2 4
¡ ¢ ’d¬r. Tersine 2 4 ¡ ¢ ise 2 4() ’d¬r. Buradan 4() = 4 ¡
¢ elde edilir. kapal¬ oldu¼gundan 4() = 4()
olup, 4() 4() ’de kapal¬d¬r.
Teorem 3.1.5 ayr¬labilir ise 4() uzay¬ da ayr¬labilirdir [3].
·Ispat. ayr¬labilir olsun. Bu takdirde = olacak ¸sekilde ’in say¬labilir bir alt cümlesi vard¬r. = oldu¼gundan 4() = 4
¡
¢= 4() dir. ¸Simdi
: 4() ! () = 4()
dönü¸sümü tan¬mlayal¬m. f birebir ve örten bir dönü¸sümdür. A say¬labilir oldu¼gundan 4() da
say¬labilirdir. Bu yüzden 4() 4() ’in 4() = 4() olacak ¸sekilde say¬labilir bir alt
cümlesidir. Buradan 4() ayr¬labilirdir.
3.2 Fark Dizilerinin ·Istatistiksel Yak¬nsakl¬¼g¬
Bu bölümde 4¡istatistiksel yak¬nsakl¬k, kuvvetli 4-Cesàro toplanabilme kavramlar¬ ve 4¡is
tatistiksel Cauchy dizisi tan¬mlanacak ve bu kavramlar aras¬ndaki ili¸skiler ele al¬nacakt¬r. Tan¬m 3.2.1 = () 2 olsun. E¼ger her 0 için
lim
!1
1
jf · : j4¡ j ¸ gj = 0 olacak ¸sekilde bir say¬s¬ varsa, yani h.h.k için
j4¡ j
ise = () dizisine 4¡istatistiksel yak¬nsakt¬r denir ve bu dizilerin uzay¬ (4) ile gösterilir [1].
Tan¬m 3.2.2 = () 2 ve p pozitif bir reel say¬ olsun. E¼ger
lim !1 1 X =1 j4¡ j = 0
olacak ¸sekilde bir kompleks say¬s¬ varsa = () dizisine kuvvetli 4-Cesàro toplanabilirdir
denir ve bu dizilerin uzay¬ (4) ile gösterilir. Buna göre
(4) = ( = () : lim !1 1 X =1 j4¡ j= 0 en az bir için )
dir. = () 2 (4) olmas¬ durumunda ! ((4)) yaz¬l¬r [1].
Teorem 3.2.3 2 R 0 1 olsun. Bu takdirde, () ! ((4)) ise ! ( (4)) ’d¬r.
() E¼ger = () 2 1(4) ve ! ( (4)) ise ! ((4)) ’d¬r [1].
·Ispat. () 0 verilsin ve ! ((4)) olsun. Bu takdirde X =1 j4¡ j¸ jf · : j4¡ j ¸ gj ve böylece 1 jf · : j4¡ j ¸ gj · 1 X =1 j4¡ j
yaz¬labilir. Bu son e¸sitsizlikte ! 1 için limit al¬n¬rsa ! ((4)) olmas¬ halinde !
() ¸Simdi = () 2 1(4) ve ! ( (4)) olsun. = k4k1+ jj yazal¬m. Bu
durumda her için j4¡ j · j4j + jj · elde edilir. 0 olsun ve say¬s¬n¬ her
için 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ½ · : j4¡ j ¸ ³ 2 ´1 ¾¯¯¯ ¯ · 2
olacak ¸sekilde seçelim ve
= ½ · : j4¡ j ¸ ³ 2 ´1 ¾
diyelim. Bu takdirde her için
1 X =1 j4¡ j = 1 0 @ X 2 j4¡ j+ X 2 j4¡ j 1 A 1 ³ 2 ´ + 1 2 = 2+ 2 = elde edilir. Bu ! ((4)) oldu¼gunu gösterir.
Tan¬m 3.2.4 = () 2 olsun. E¼ger her 0 için
lim
!1
1
jf · : j4¡ 4j ¸ gj = 0 olacak ¸sekilde bir = do¼gal say¬s¬ varsa, yani h.h.k için
j4¡ 4j
ise = () dizisine 4-istatistiksel Cauchy dizisi denir [1].
Teorem 3.2.5 4-istatistiksel yak¬nsak her dizi ayn¬ zamanda 4-istatistiksel Cauchy dizisidir [1].
·Ispat. = () 4-istatistiksel yak¬nsak olsun ve ! ( (4)) diyelim. 0 verilsin. Bu
takdirde h.h.k için
j4¡ j
2 yazabiliriz. say¬s¬n¬ h.h.k için
j4 ¡ j
2 olacak ¸sekilde seçelim. Bu takdirde h.h.k için
j4¡ 4j j4¡ j + j4 ¡ j
2+
2 = olup , 4-istatistiksel Cauchy dizisidir.
·Ispat. h.h.k için 4= 4 ve lim 4= olsun. 0 verilsin. Bu takdirde her için f · : j4¡ j ¸ g µ f · : 4 6= 4g [ f · : j4¡ j ¸ g ve buradan 1 jf · : j4¡ j ¸ gj · 1 jf · : 4 6= 4gj +1 jf · : j4¡ j ¸ gj
yazabiliriz. E¸sitsizli¼gin ikinci yan¬ndaki son cümle sabit say¬da eleman içerir, bunu = () ile gösterelim. Her iki taraf¬n ! 1 için limiti al¬n¬rsa h.h.k için 4= 4 oldu¼gundan
lim 1 jf · : j4¡ j ¸ gj · lim 1 jf · : 4 6= 4gj + lim e¸sitsizli¼ginin sa¼g taraf¬n¬n limiti s¬f¬r olur. Böylece
lim
1
jf · : j4¡ j ¸ gj = 0 yani ! ( (4)) elde edilir.
Teorem 3.2.7
) (4) ½ (4) ve bu kapsama kesindir.
) (4) ve 1(4) birbirlerini kapsamazlar ancak ortak elemanlar¬ vard¬r. ) (4) ve 1birbirlerini kapsamazlar ancak ortak elemanlar¬ vard¬r. ) (4) ve ’nin ortak elemanlar¬ vard¬r, (4) ’yi kapsamaz. ) ve (4) birbirlerini kapsamazlar ancak ortak elemanlar¬ vard¬r. ) ve 0(4) birbirlerini kapsamazlar ancak ortak elemanlar¬ vard¬r.
ispat.
) ½ oldu¼gundan (4) ½ (4) ’d¬r. ¸Simdi = () dizisini
4 = 8 > > > < > > > : p = 2 = 1 2 3 0 6= 2 (3.2)
¸seklinde tan¬mlayal¬m. Bu takdirde 4 2 fakat 4 2 ’dir. ½ (4) ½ (4) ½ 1(4)
½ ½ 1 ve \ 0(4) 6= ? oldu¼gundan (4) ile 1(4) (4) ile 1 (4) ile ile
(4) ile 0(4) ve ile 1(4) ’n¬n ortak elemanlar¬ vard¬r. ¸Simdi bu uzaylar¬n birbirlerini
kapsamad¬klar¬n¬ gösterelim.
) (3.2) ’de tan¬mlanan diziyi göz önüne alal¬m. 2 (4) fakat 2 1(4) ’d¬r. = (1 0 1 0 1 0 1 0 ) seçersek 4 = (¡1)+1 elde edilir. Böylece 2 1(4) fakat 2 (4) elde
edilir.
) (3.2) ’de tan¬mlanan dizi s¬n¬rl¬ de¼gildir, ancak istatistiksel yak¬nsakt¬r. Tersine = (1 0 1 0 1 0 1 0 ) 2 1 ancak 2 (4) ’d¬r.
) = () = () dizisi için 2 (4) ancak 2 ’dir.
) = 8 > > > < > > > : 1 = 2 = 1 2 3 0 6= 2 (3.3)
¸seklinde tan¬mlanan = () dizisi 0 ’a istatistiksel yak¬nsakt¬r, ancak (4) ’n¬n eleman¬ de¼gildir.
) (3.3) ’deki dizi 0 ’a istatistiksel yak¬nsakt¬r, ancak 0(4) ’n¬n eleman¬ de¼gildir.
) = 8 > > > < > > > : p = 2 = 1 2 3 0 6= 2
¸seklinde tan¬mlanan = () dizisini ele alal¬m. 2 ancak 2 1(4) ’d¬r. Tersine = () =
Teorem 3.2.8 (4) lineer uzayd¬r [1]. ·Ispat.
) 2 (4) ve bir skaler olsun. 2 (4) ve 2 (4) oldu¼gundan 4 2 ve 4 2 ’dir. lineer uzay oldu¼gundan 4 + 4 2 4 lineer oldu¼gundan 4 ( + ) 2 yaz¬labilir. Buradan + 2 (4) elde edilir.
) 2 (4) ise 4 2 ’dir. lineer uzay oldu¼gundan 4 2 yaz¬labilir. 4 lineer oldu¼gundan 4 () 2 olup, tan¬mdan 2 (4) elde edilir.
4.Bölüm
FARK D·IZ·ILER·I ·IÇ·IN DERECEDEN ·ISTAT·IST·IKSEL YAKINSAKLIK
4.1 Fark dizileri için yo¼gunluk
Bu bölümde fark dizilerinin dereceden 4¡istatistiksel yak¬nsakl¬k ve dereceden 4
-Cesàro toplanabilirli¼gini inceleyece¼giz.
Tan¬m 4.1.1 0 · 1 olsun. Bir kümesinin yo¼gunlu¼gu () = lim
!1
1
jf · : 2 gj
ile tan¬mlan¬r [4] (limit sonlu ya da sonsuz olabilir). Burada jf · : 2 gj ’nin ’den büyük olmayan elemanlar¬n¬n say¬s¬n¬ göstermektedir.
E¼ger = (), ’ya göre s¬f¬r yo¼gunluklu bir küme hariç di¼ger bütün ’lar için bir ()
özelli¼gini sa¼gl¬yorsa, o zaman bu dizi ’ya göre hemen hemen her için P özelli¼gini sa¼gl¬yor denir ve h.h.k () ¸seklinde gösterilir.
N ’nin sonlu her altkümesinin ¡yo¼gunlu¼gu s¬f¬rd¬r ve () = 1 ¡ () e¸sitli¼gi 0 1
için genelde do¼gru de¼gildir. Bu e¸sitlik sadece = 1 için sa¼glan¬r.
Teorem 4.1.2 µ N herhangi bir küme olsun. Bu durumda e¼ger 0 · · 1 ise () · () dir [4].
·Ispat. 0 · · 1 olsun. Bu durumda
· olaca¼g¬ndan her 2 N için 1 · 1 olur.
Buna göre
1
jf · : 2 gj ·
1
jf · : 2 gj
olup bu e¸sitsizlikte ! 1 için limit al¬n¬rsa () · () elde edilir.
Buna göre 0 · · 1 için e¼ger kümesinin ¡yo¼gunlu¼gu s¬f¬r ise ¡yo¼gunlu¼gu da s¬f¬rd¬r. E¼ger 0 · 1 ¸sart¬n¬ sa¼glayan en az bir için kümesinin ¡yo¼gunlu¼gu s¬f¬r ise, ’nin do¼gal yo¼gunlu¼gu da s¬f¬r olur.
Tan¬m 4.1.3 = () 2 ve 0 · 1 verilsin. E¼ger her 0 için
lim
!1
1
jf · : j4¡ j ¸ gj = 0
bunu (4) ¡ lim = yazarak gösterece¼giz. dereceden 4¡istatistiksel yak¬nsak bütün
dizilerin kümesi (4) ile gösterilecektir.
0 (4), dereceden s¬f¬ra 4¡istatistiksel yak¬nsak dizilerin kümesini gösterecektir.
Her 2 (0 1] için
0 (4) ½ (4) oldu¼gu aç¬kt¬r. dereceden 4¡istatiksel yak¬nsakl¬k =
1 için 4¡istatistiksel yak¬nsakl¬k ile ayn¬d¬r. dereceden 4¡istatistiksel yak¬nsakl¬k 0 · 1 için iyi tan¬ml¬, ancak 1 için iyi tan¬ml¬ de¼gildir. Bunu göstermek için
= 8 < : 1 = 2 0 6= 2 = 1 2 3
¸seklinde tan¬mlanan = () dizisini gözönüne alal¬m. Bu durumda
¢= 8 < : 1 = 2 ¡1 6= 2 = 1 2 3
olur. Buna göre 1 için lim !1 1 jf · : j4¡ 1j ¸ gj · !1lim 2 = 0 lim !1 1 jf · : j4¡ (¡1)j ¸ gj · !1lim 2 = 0
sa¼glanaca¼g¬ndan 4 = (4) dizisi hem 1 ’e ve hem de ¡1 ’e dereceden istatistiksel yak¬nsak,
yani = () dizisi hem 1’e ve hem de ¡1’e dereceden 4¡istatistiksel yak¬nsak olur ki bu
mümkün de¼gildir.
Teorem 4.1.4 0 · 1 ve = (), = () birer kompleks say¬ dizileri olsunlar.
) E¼ger (4) ¡ lim
= 0 ve 2 C ise o zaman (4) ¡ lim = 0 ’d¬r.
) E¼ger (4)¡lim = 0ve (4)¡lim = 0ise o zaman (4)¡lim(+) = 0+0
’d¬r. ·Ispat.
) = 0 için ispat aç¬kt¬r. 6= 0 olsun. O zaman 1 jf · : j4¡ 0j ¸ gj = 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ½ · : j4¡ 0j ¸ jj ¾¯¯¯ ¯ e¸sitsizli¼ginden ) yi ve 1 jf · : j4(+ ) ¡ (0+ 0)j ¸ gj · 1 ¯ ¯ ¯n · : j4¡ 0j ¸ 2 o¯¯¯ + 1 ¯ ¯ ¯n · : j4¡ 0j ¸ 2 o¯¯¯ e¸sitsizli¼ginden ) yi elde ederiz.
Yak¬nsak her dizinin . dereceden 4¡ istatistiksel yak¬nsak oldu¼gunu görmek kolayd¬r. Yani 0 · 1 için ½ (4) ’d¬r. Ancak tersi daima do¼gru de¼gildir. Örne¼gin = () dizisi
= 8 < : 1 = 2 0 6= 2 (4.1)
olacak ¸sekilde tan¬mlans¬n. O zaman
() = (1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 ) ve (4) = (1 0 ¡1 1 0 0 0 ¡1 1 0 0 0 0 0 ¡1 1 ) olur. Buradan 1 jf · : j4¡ 0j ¸ gj · 1 ¡ 2p + 1¢
elde edilir. Bu da 12 · 1 için (4) ¡ lim = 0 ancak = () dizisi yak¬nsak de¼gil,
demektir.
Tan¬m 4.1.5 0 · 1 ve 2 R+ olsun. E¼ger lim !1 1 X =1 j4¡ j = 0
olacak ¸sekilde bir kompleks say¬s¬ varsa, o zaman = () dizisi dereceden kuvvetli 4
-Cesàro toplanabilirdir denir. dereceden kuvvetli 4-Cesàro toplanabilirlik, = 1 için, kuvvetli
4-Cesàro toplanabilirli¼ge indirgenir. . dereceden kuvvetli 4-Cesàro toplanabilir dizilerin uzay¬
(4) ile gösterilir, yani
(4) = ( = () : lim !1 1 X =1 j4¡ j= 0 en az bir için )
4.2 Temel Sonuçlar
Teorem 4.2.1 0 · · 1 olsun. Bu durumda (4) µ (4) ve baz¬ ’lar için
bu kapsama kesindir.
·Ispat. 0 · · 1 ve 2 (4) olsun. O zaman her 0 için
lim !1 1 jf · : j4¡ j ¸ gj · lim!1 1 jf · : j4¡ j ¸ gj
olur ve bu (4) µ (4) oldu¼gunu verir. Kapsaman¬n kesin oldu¼gunu göstermek için
= 8 < : 1 = 3 ise 0 6= 3 ise (4.2)
¸seklinde tan¬mlanan = () dizisini alal¬m. Bu durumda
(4) = (1 0 0 0 0 0 ¡1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ¡1 1 0 ) olur ve buradan, 1 jf · : j4¡ 0j ¸ gj · 1 ¡ 2£p3¤+ 1¢
elde edilir. Bu durumda 13 · 1 için (4) ¡ lim = 0 yani 2 (4) ancak
1 jf · : j4¡ 0j ¸ gj ¸ 1 ¡ 2£p3 ¤¡ 1¢ olmas¬ nedeniyle 0 13 için 1(2 [3
p
] ¡ 1) ! 1 ( ! 1) olur ki, buradan 2 (4) elde edilir. Bu da isteneni verir.
E¼ger Teorem 4.2.1 ’de = 1 al¬rsak, a¸sa¼g¬daki sonucu elde ederiz.
Sonuç 4.2.2 E¼ger 0 · 1 için bir dizi say¬s¬na dereceden 4¡istatistiksel yak¬nsak ise, o zaman bu dizi ’ye 4¡ istatistiksel yak¬nsakt¬r, yani (4) µ (4) ’dir.
Teorem 4.2.1 ’den a¸sa¼g¬daki sonuçlar¬ elde edebiliriz. Sonuç 4.2.3
) (4) = (4) olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart = olmas¬d¬r. ) (4) = (4) olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart = 1 olmas¬d¬r.
Bir sonraki teoremin ispat¬ tan¬mdan aç¬kt¬r.
Teorem 4.2.40 1 ve = () dizisi ’ye dereceden 4¡istatistiksel yak¬nsak olsun.
Teorem 4.2.5 0 · · 1 ve bir pozitif reel say¬ olsun. Bu durumda (4) µ (4)
’dir ve baz¬ ’lar için bu kapsama kesindir. ·Ispat. = () 2
(4) olsun ve 0 · · 1 verilsin. 2 R+ olmak üzere
1 X =1 j4¡ j · 1 X =1 j4¡ j
yazabiliriz. Bu da (4) µ (4) oldu¼gunu verir.
Kapsaman¬n kesin oldu¼gunu göstermek için = () dizisi (4.2) ’deki gibi tan¬mlans¬n. Bu
durumda 1 X =1 j4¡ 0j· 2p3 = 2 ¡13
yaz¬labilir. 13 · 1 için ! 1 iken 1
¡13 ! 0 oldu¼gundan
(4)¡lim = 0 yani 2 (4)
olur, ancak 0 13 için
2p3 ¡ 1 · 1 X =1 j4¡ 0j
ve ! 1 iken 2p3 ! 1 oldu¼gundan 2 (4) elde edilir. Bu da ispat¬ tamamlar.
A¸sa¼g¬daki sonuç Teorem 4.2.5 ’in bir sonucudur.
Sonuç 4.2.6 0 · · 1 ve 2 R+ olsun. Bu durumda )
(4) =
(4) olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart = olmas¬d¬r.
) Her 2 (0 1] ve 0 1 için (4) µ (4) ’dir.
Teorem 4.2.7 0 · 1 ve 0 1 olsun. Bu durumda (4) µ (4) olur. Teorem 4.2.7 de = 1 al¬n¬rsa 0 1 için (4) ½ (4) olur [3].
Teorem 4.2.8 0 · · 1 ve 0 1 olsun. E¼ger bir dizi say¬s¬na . dereceden kuvvetli 4-Cesàro toplanabilir ise bu durumda ’ye . dereceden 4¡istatistiksel yak¬nsakt¬r.
·Ispat. Herhangi bir = () dizisi ve 0 için, X =1 j4¡ j ¸ jf · : j4¡ j ¸ gj ve buradan 1 X =1 j4¡ j ¸ 1 jf · : j4¡ j ¸ gj 1
elde edilir. Bu da ispat¬ tamamlar.
E¼ger Teorem 4.2.8 de = al¬rsak a¸sa¼g¬daki sonucu elde ederiz.
Sonuç 4.2.90 · 1 ve 0 1 olsun. Bir dizi ’ye . dereceden kuvvetli 4-Cesàro
toplanabilir ise bu durumda ’ye . dereceden 4-istatistiksel yak¬nsakt¬r.
Bu sonuçta = 1 al¬n¬rsa bilinen “ ’ye kuvvetli 4-Cesàro toplanabilir olan bir dizi ’ye
4¡istatistiksel yak¬nsakt¬r” sonucu elde edilir. Ayr¬ca biliyoruz ki ’ye 4¡istatistiksel yak¬nsak olan s¬n¬rl¬ bir dizi ’ye kuvvetli 4-Cesàro toplanabilirdir.
Uyar¬
Teorem 4.2.8 ’in tersinin genelde do¼gru olmad¬¼g¬n¬ belirtelim. Bir ba¸ska ifadeyle 0 1 için . dereceden 4¡istatistiksel yak¬nsak s¬n¬rl¬ bir dizinin . dereceden kuvvetli 4-Cesàro
toplanabilir olmas¬ gerekmez.
4= 8 < : 1 p 6= 3 1 = 3
¸seklinde tan¬mlanan = () dizisi iddiam¬z¬ destekleyen bir örnek olur. 2 1(4) olup, 1
3 · 1 ¸sart¬n¬ sa¼glayan her için 2
(4) olaca¼g¬ aç¬kt¬r. Öncelikle her pozitif ¸ 2 için
X =1 1 p p
e¸sitsizli¼gi sa¼glan¬r. =
© · : 6= 3 = 1 2 3 ªtan¬mlayal¬m ve = 1 alal¬m. X =1 j4j = X =1 j4j = X 2 1·· j4j + X 2 1·· j4j = X 2 1·· 1 p + X 2 1·· 1 X =1 1 p p ve buradan 1 X =1 j4j = 1 X =1 j4j 1 X =1 1 p 1 p = 1 ¡12
elde edilir. 0 12 için ! 1 iken 1
¡12 ! 1 olaca¼g¬ndan = 1 olmak üzere 2 (4)
bulunur. Böylece = 1 olmak üzere her 13 12 için 2 (4) ¡ (4) oldu¼gu sonucu ç¬kar. Sonuç 4.2.10 0 · 1 ve 2 R+ olsun. Bu durumda
(4) ½ (4) ’dir. E¼ger 0 1
·Ispat. Sonuç 4.2.9 ve 4.2.2 den
(4) ½ (4) oldu¼gunu biliyoruz. Kapsaman¬n kesin
oldu¼gunu göstermek için = () (4.1) ’deki gibi tan¬mlans¬n.
Bu durumda (4) ¡ lim = 0 2 (4) ancak = 1 ve 0 · 12 için 2 (4) olaca¼g¬
kolayca görülebilir. Gerçekten, 1 X =1 j4¡ 0j = 1 X =1 j4j ¸ p
olup, = 1 ve 0 · 12 için ! 1 iken p
! 1 oldu¼gundan 2 (4) elde edilir. Sonuç
olarak = 1 ve 0 · 12 için 2 (4) ¡
Sonuç
Bu çal¬¸smada, say¬ dizileri için Fast [6] ve Shoenberg [13] taraf¬ndan verilen ve derecesi Çolak [4] taraf¬ndan çal¬¸s¬lan istatistiksel yak¬nsakl¬k ele al¬nm¬¸s, fark dizileri için dereceden istatistiksel yak¬nsakl¬k ile dereceden kuvvetli p-Cesàro toplanabilirlik incelenmi¸stir.
, 2 (0 1] için (4) (4) (4) (4)
(4) s¬n¬‡ar¬ aras¬ndaki kapsama
Kaynaklar
[1] Ba¸sar¬r, M., 1995, On the 4¡Statistical Convergence of sequences, F.Ü. Fen ve Müh. Bilimleri Dergisi, 7(2), 1-6.
[2] Connor, J.S., 1988, "The statistical and strong p-Cesàro convergence of sequences" Analysis, 8, 47-63.
[3] Çolak, R., 1989, “On Some Generalized Sequence Spaces” Common Fac. Sci. Üniv. Ankara., Series A, V. 38, 35-46.
[4] Çolak, R., 2010, "Statistical convergence of order " Modern Methods in Analysis and its Appl. (Editor: M. Mursaleen) Anamaya Publishers, New Delhi. 122-129.
[5] Et, Mikail and Fatih Nuray, 2001, 4¡Statistical Convergence. Indian J. pure appl. Math., 32(6):961-969.
[6] Fast, H., 1951, "Sur la convergence statistique" Colloq. Math., 2, pp. 241-244. [7] Fridy, J.A., 1985, "On the statistical convergence", Analysis, 5, 301-313.
[8] Gadjiev, A.D. and Orhan, C., 2002, “Some Approximation Theorems via Statistical Convergence”, Rocky Mountain j., 32(1), pp. 345-355.
[9] K¬zmaz, H.,1981, On Certain Sequence Spaces, Canad. Math. Bulli Vol. 24(2) 169-176. [10] Kreyszig, E., 1978, Introductory Functional Analysis with Applications, John. Wiley and Sons.,New York.
[11] Maddox, I.J., 1978, "A new type of convergence", Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 83, 61-64.
[12] Niven, I. and Zuckerman, H.S., 1980, “An Introduction to The Theory of Numbers”, Fourth Ed., New York , John Wiley and Sons.
[13] Schoenberg, I.J, 1959, "The integrability of certain functions and related summability methods", Amer. Math. Monthly, 66, pp. 361-375.
Özgeçmi¸s
12.01.1985 y¬l¬nda Tunceli ’nin Pertek ilçesinde do¼gdu. ·Ilk ö¼grenimini Pertek Alpdo¼gan ·Ilkö¼ gre-tim okulunda ve orta ö¼grenimini 2001 y¬l¬nda Pertek Musatafa Kemal Lisesi ’nde okul birin-cisi olarak tamamlad¬. 2002-2003 e¼gitim-ö¼gretim y¬l¬nda Hacettepe Üniversitesi Nükleer En-erji Mühendisli¼gini kazand¬ktan 1 y¬l sonra tekrar ÖSS ile Celal Bayar Üniversitesi Matematik bölümüne kay¬t yapt¬rd¬. 2005 ’de yatay geçi¸sle Dicle Üniversitesi Matematik bölümüne geçti.
2007 y¬l¬nda üniversite ö¼grencilerine yönelik bir kültürel de¼gi¸sim program¬na kat¬larak ·Ingilizce ’yi geli¸stirmek üzere 4 ayl¬¼g¬na ABD ’ye gitti.
2008 y¬l¬nda Dicle Üniversitesi Matematik bölümünden mezun olduktan 1 dönem sonra 2008 ¸
Subat ay¬nda F¬rat Üniversitesi Matematik Bölümü Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi dal¬nda tezli yüksek lisans program¬na ba¸slad¬ ve ¸su anda yüksek lisans¬ devam ediyor.
