(2) Genel Müdür

Tam metin

(1)Milli Eԫitim Bakanlԩԫԩ Talim ve Terbiye Kurulu Baԭkanlԩԫԩ’nԩn 24.08.2011 tarih ve 121 sayԩlԩ kararԩ ile kabul edilen ve 2011-2012 Öԫretim Yԩlԩndan itibaren uygulanacak olan programa göre hazԩrlanmԩԭtԩr..

(2) Genel Müdür. Temel Ateԭ Genel Koordinatör. Akԩn Ateԭ Eԫitim Koordinatörü - Editör. Nevzat Asma Eԫitim Koordinatör Yardԩmcԩsԩ. Halit Bԩyԩk. Dizgi, Grafik, Tasarԩm Esen Dizgi Servisi Görsel Tasarԩm Erol Faruk Yücel Bu kitabԩn tamamԩnԩn ya da bir kԩsmԩnԩn elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayԩt sistemiyle çoԫaltԩlmasԩ, yayԩmlanmasԩ ve depolanmasԩ yasaktԩr. Bu kitabԩn tüm haklarԩ yazarlarԩna ve Esen Basԩn Yayԩn Daԫԩtԩm Limitet Ԭirketine aittir.. Ԩsteme Adresi ESEN BASIN YAYIN DAԪITIM LTD.ԬTԨ. Bayԩndԩr 2. Sokak No.: 34/11–12 Kԩzԩlay/ANKARA tel.: (0312) 417 34 43 – 417 65 87 faks: (0312) 417 15 78. ISBN : 978–975–6913–95–6. Baskԩ. Bahçekapԩ Mah. 2460. Sok. Nu.:7 06370 Ԭaԭmaz / ANKARA Tel: (0312) 278 34 84 (pbx) www.tunamatbaacilik.com.tr Baskԩ Tarihi 2012 – VIII. www.esenyayinlari.com.tr.

(3) Sevgili Öԫrenciler;. Halen yürürlükte olan sԩnav sistemine göre, üniversiteye giriԭ sԩnavlarԩnda sorulan matematik sorularԩnԩn bir kԩsmԩ 11. sԩnԩf konularԩndan oluԭmaktadԩr. Ayrԩca, üniversiteye giriԭ puanԩnԩn hesaplanmasԩnda orta öԫretim baԭarԩ puanԩnԩn etkisi çok fazladԩr ve bunun telafisi de ileriki yԩllarda mümkün deԫildir.. Bu sebepten dolayԩ;. N. Bu kitap, 11. sԩnԩf öԫrencileri için okuldaki derslerine yardԩmcԩ ve üniversiteye giriԭ. sԩnavlarԩna yönelik hazԩrlanmԩԭtԩr.. N. 11. sԩnԩf konularԩ içinde yer alan temel kavram ve bilgiler, gereksiz detaylardan. uzak, açԩk, anlaԭԩlԩr ve özlü bir anlatԩm ԭekli ile verilmiԭtir.. N. Bu kitap, 4 yԩllԩk müfredatta yer alan 5 üniteden oluԭmaktadԩr. Her bir ünitede konu. anlatԩmԩndan sonra; konunun daha iyi anlaԭԩlmasԩ için çok sayԩda çözümlü örnekler, okula yönelik alԩԭtԩrmalar, yazԩlԩya hazԩrlԩk sorularԩ, üniversiteye giriԭ sԩnavlarԩna yönelik testler, konu ile ilgili üniversiteye giriԭ sԩnavlarԩnda çԩkmԩԭ sorular ve çözümleri bulunmaktadԩr.. N. Kitabԩn kontrolünde yardԩmlarԩndan dolayԩ Ayԭen AKGÖNÜL’e teԭekkür ederiz.. Mutlu, saԫlԩklԩ ve baԭarԩlԩ bir hayat geçirmeniz dileԫiyle.... Nevzat ASMA www.nevzatasma.com. Halit BIYIK www.halitbiyik.com.

(4) ԨSTԨKLÂL MARԬI Korkma, sönmez bu ԭafaklarda yüzen al sancak; Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak. O benim milletimin y¾ld¾z¾d¾r, parlayacak; O benimdir, o benim milletimindir ancak.. Bast¾ԫ¾n yerleri “toprak!” diyerek geçme, tan¾: Düԭün alt¾ndaki binlerce kefensiz yatan¾. Sen ԭehit oԫlusun, incitme, yaz¾kt¾r, atan¾: Verme, dünyalar¾ alsan da, bu cennet vatan¾.. Çatma, kurban olay¾m, çehreni ey nazl¾ hilâl! Kahraman ¾rk¾ma bir gül! Ne bu ԭiddet, bu celâl? Sana olmaz dökülen kanlar¾m¾z sonra helâl... Hakk¾d¾r, Hakk’a tapan, milletimin istiklâl!. Kim bu cennet vatan¾n uԫruna olmaz ki fedâ? Ԭühedâ f¾ԭk¾racak topraԫ¾ s¾ksan, ԭühedâ! Cân¾, cânân¾, bütün var¾m¾ als¾n da Huda, Etmesin tek vatan¾mdan beni dünyada cüdâ.. Ben ezelden beridir hür yaԭad¾m, hür yaԭar¾m. Hangi ç¾lg¾n bana zincir vuracakm¾ԭ? Ԭaԭar¾m! Kükremiԭ sel gibiyim, bendimi çiԫner, aԭar¾m. Y¾rtar¾m daԫlar¾, enginlere s¾ԫmam, taԭar¾m. Garb¾n âfâk¾n¾ sarm¾ԭsa çelik z¾rhl¾ duvar, Benim iman dolu göԫsüm gibi serhaddim var. Ulusun, korkma! Nas¾l böyle bir iman¾ boԫar, ‘Medeniyet!’ dediԫin tek diԭi kalm¾ԭ canavar? Arkadaԭ! Yurduma alçaklar¾ uԫratma, sak¾n. Siper et gövdeni, dursun bu hayâs¾zca ak¾n. Doԫacakt¾r sana va’dettiԫi günler Hakk’¾n... Kim bilir, belki yar¾n, belki yar¾ndan da yak¾n.. Ruhumun senden, Ԩlâhi, ԭudur ancak emeli: Deԫmesin mabedimin göԫsüne nâmahrem eli. Bu ezanlar-ki ԭahadetleri dinin temeliEbedî yurdumun üstünde benim inlemeli. O zaman vecd ile bin secde eder -varsa- taԭ¾m, Her cerîhamdan, Ԩlâhi, boԭan¾p kanl¾ yaԭ¾m, F¾ԭk¾r¾r ruh-¾ mücerred gibi yerden na’ԭ¾m; O zaman yükselerek arԭa deԫer belki baԭ¾m. Dalgalan sen de ԭafaklar gibi ey ԭanl¾ hilâl! Olsun art¾k dökülen kanlar¾m¾n hepsi helâl. Ebediyen sana yok, ¾rk¾ma yok izmihlâl: Hakk¾d¾r, hür yaԭam¾ԭ, bayraԫ¾m¾n hürriyet; Hakk¾d¾r, Hakk’a tapan, milletimin istiklâl! Mehmet Âkif ERSOY.

(5) ATATÜRK’ÜN GENÇLԨԪE HԨTABESԨ Ey Türk gençliԫi! Birinci vazifen, Türk istiklâlini, Türk cumhuriyetini, ilelebet, muhafaza ve müdafaa etmektir. Mevcudiyetinin ve istikbalinin yegâne temeli budur. Bu temel, senin, en k¾ymetli hazinendir. Ԩstikbalde dahi, seni, bu hazineden, mahrum etmek isteyecek, dahilî ve haricî, bedhahlar¾n olacakt¾r. Bir gün, istiklâl ve cumhuriyeti müdafaa mecburiyetine düԭersen, vazifeye at¾lmak için, içinde bulunacaԫ¾n vaziyetin imkân ve ԭeraitini düԭünmeyeceksin! Bu imkân ve ԭerait, çok nâmüsait bir mahiyette tezahür edebilir. Ԩstiklâl ve cumhuriyetine kastedecek düԭmanlar, bütün dünyada emsali görülmemiԭ bir galibiyetin mümessili olabilirler. Cebren ve hile ile aziz vatan¾n, bütün kaleleri zapt edilmiԭ, bütün tersanelerine girilmiԭ, bütün ordular¾ daԫ¾t¾lm¾ԭ ve memleketin her köԭesi bilfiil iԭgal edilmiԭ olabilir. Bütün bu ԭeraitten daha elîm ve daha vahim olmak üzere, memleketin dahilinde, iktidara sahip olanlar gaflet ve dalâlet ve hattâ h¾yanet içinde bulunabilirler. Hattâ bu iktidar sahipleri ԭahsî menfaatlerini, müstevlilerin siyasî emelleriyle tevhit edebilirler. Millet, fakr u zaruret içinde harap ve bîtap düԭmüԭ olabilir. Ey Türk istikbalinin evlâd¾! Ԩԭte, bu ahval ve ԭerait içinde dahi, vazifen; Türk istiklâl ve cumhuriyetini kurtarmakt¾r! Muhtaç olduԫun kudret, damarlar¾ndaki asîl kanda, mevcuttur!.

(6) 1. ÜNԨTE. KARMAԬIK SAYILAR. Sanal Sayԩ Birimi ..........................................................................................................................10 Karmaԭԩk Sayԩlar ..........................................................................................................................12 Ԩki Karmaԭԩk Sayԩnԩn Eԭitliԫi .........................................................................................................13 Karmaԭԩk Düzlem .........................................................................................................................13 Bir Karmaԭԩk Sayԩnԩn Eԭleniԫi ......................................................................................................14 2. Dereceden Bir Denklemin Sanal Köklerini Bulmak ..................................................................14 Alԩԭtԩrmalar - 1 .............................................................................................................................16 Karmaԭԩk Sayԩlarda Dört Ԩԭlem ....................................................................................................18 Alԩԭtԩrmalar - 2 .............................................................................................................................22 Bir Karmaԭԩk Sayԩnԩn Mutlak Deԫeri (Modülü) ............................................................................24 Ԩki Karmaԭԩk Sayԩ Arasԩndaki Uzaklԩk .........................................................................................26 Alԩԭtԩrmalar - 3 .............................................................................................................................29 Karmaԭԩk Sayԩlarԩn Kutupsal (Trigonometrik) Biçimi ...................................................................31 Kutupsal Biçimde Ԩԭlemler ...........................................................................................................37 Alԩԭtԩrmalar - 4 .............................................................................................................................41 Bir Karmaԭԩk Sayԩnԩn Kuvveti.......................................................................................................44 Bir Karmaԭԩk Sayԩnԩn Orijin Etrafԩnda Döndürülmesi ...................................................................45 Bir Karmaԭԩk Sayԩnԩn Kökleri .......................................................................................................46 Alԩԭtԩrmalar - 5 .............................................................................................................................49 Yazԩlԩya Hazԩrlԩk Sorularԩ - 1 – 2 .................................................................................................51 Test - 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9........................................................................................55 Üniversiteye Giriԭ Sԩnav Sorularԩ ................................................................................................73 Üniversiteye Giriԭ Sԩnav Sorularԩnԩn Çözümleri ..........................................................................77. 2. ÜNԨTE. LOGARԨTMA. Üstel Fonksiyon ............................................................................................................................82 Logaritma Fonksiyonu .................................................................................................................84 Logaritma Fonksiyonunun En Geniԭ Tanԩm Kümesini Bulma ....................................................86 Onluk Logaritma Fonksiyonu ......................................................................................................87 Doԫal Logaritma Fonksiyonu ......................................................................................................88 Alԩԭtԩrmalar - 1 .............................................................................................................................89 Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri ..........................................................................................91 Alԩԭtԩrmalar - 2 .............................................................................................................................99 Bir Gerçek Sayԩnԩn Logaritmasԩnԩn Hangi Ԩki Ardԩԭԩk Tam Sayԩ Arasԩnda Olduԫunu Bulma ...............................................................................102 Üstel Fonksiyon ve Logaritma Fonksiyonunun Grafiԫi ................................................................106 Üstel Denklemler .........................................................................................................................110 Logaritmalԩ Denklemler ...............................................................................................................110 Logaritmalԩ Eԭitsizlikler ................................................................................................................116 Alԩԭtԩrmalar - 3 .............................................................................................................................118 Yazԩlԩya Hazԩrlԩk Sorularԩ - 1 – 2 .................................................................................................121 Test - 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9........................................................................................125 Üniversiteye Giriԭ Sԩnav Sorularԩ ................................................................................................143 Üniversiteye Giriԭ Sԩnav Sorularԩnԩn Çözümleri ..........................................................................148.

(7) 3. ÜNԨTE. PERMÜTASYON, KOMBԨNASYON BԨNOM, OLASILIK ve ԨSTATԨSTԨK. Sayma Kurallarԩ ............................................................................................................................154 Faktöriyel (Çarpansal) ..................................................................................................................159 Alԩԭtԩrmalar - 1 ..............................................................................................................................161 Permütasyon (Sԩralama) ..............................................................................................................164 Alԩԭtԩrmalar - 2 ..............................................................................................................................170 Kombinasyon (Seçme) .................................................................................................................173 Alԩԭtԩrmalar - 3 ..............................................................................................................................182 Binom Açԩlԩmԩ ...............................................................................................................................185 Alԩԭtԩrmalar - 4 ..............................................................................................................................189 Olasԩlԩk..........................................................................................................................................191 Alԩԭtԩrmalar - 5 ..............................................................................................................................201 Ԩstatistik.........................................................................................................................................204 Alԩԭtԩrmalar - 6 ..............................................................................................................................225 Yazԩlԩya Hazԩrlԩk Sorularԩ - 1 – 2 .................................................................................................227 Test - 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 ..............................................................231 Üniversiteye Giriԭ Sԩnav Sorularԩ ................................................................................................255 Üniversiteye Giriԭ Sԩnav Sorularԩnԩn Çözümleri ..........................................................................260. 4. ÜNԨTE. TÜME VARIM ve DԨZԨLER. TÜME VARIM Tüme Varԩm Yöntemi ...................................................................................................................266 Alԩԭtԩrmalar - 1 ..............................................................................................................................273 Toplam Sembolü ..........................................................................................................................274 Toplam Formülleri ........................................................................................................................276 Alԩԭtԩrmalar - 2 ..............................................................................................................................281 Çarpԩm Sembolü ..........................................................................................................................283 Alԩԭtԩrmalar - 3 ..............................................................................................................................289 Yazԩlԩya Hazԩrlԩk Sorularԩ - 1 – 2 .................................................................................................291 Test - 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 ...................................................................................................295 Üniversiteye Giriԭ Sԩnav Sorularԩ ................................................................................................309 Üniversiteye Giriԭ Sԩnav Sorularԩnԩn Çözümleri ..........................................................................311.

(8) DԨZԨLER Diziler............................................................................................................................................314 Dizilerin Eԭitliԫi .............................................................................................................................320 Dizilerde Ԩԭlemler ..........................................................................................................................321 Monoton Diziler ............................................................................................................................322 Alt Dizi ..........................................................................................................................................324 Alԩԭtԩrmalar - 1 ..............................................................................................................................326 Aritmetik Dizi ................................................................................................................................329 Alԩԭtԩrmalar - 2 ..............................................................................................................................333 Geometrik Dizi ..............................................................................................................................335 Alԩԭtԩrmalar - 3 ..............................................................................................................................341 Yazԩlԩya Hazԩrlԩk Sorularԩ - 1 – 2 .................................................................................................343 Test - 1 – 2 – 3 – 4 – 5 ................................................................................................................347 Üniversiteye Giriԭ Sԩnav Sorularԩ ................................................................................................357 Üniversiteye Giriԭ Sԩnav Sorularԩnԩn Çözümleri ..........................................................................360. 5. ÜNԨTE. MATRԨS, DETERMԨNANT ve DOԪRUSAL DENKLEM SԨSTEMLERԨ. Matris ............................................................................................................................................364 Ԩki Matrisin Çarpԩmԩ ......................................................................................................................370 Kare Matrisin Kuvvetleri ..............................................................................................................373 Bir Matrisin Çarpma Ԩԭlemine Göre Tersi .....................................................................................375 Bir Matrisin Devriԫi (Transpozu)...................................................................................................378 Alԩԭtԩrmalar - 1 ..............................................................................................................................380 Doԫrusal (Lineer) Denklem Sistemleri .........................................................................................383 Gauss Yok Etme Yöntemi ............................................................................................................384 Gauss - Jordan Yok Etme Yöntemi..............................................................................................386 Alԩԭtԩrmalar - 2 ..............................................................................................................................388 Determinant ..................................................................................................................................389 Minör ve Eԭ Çarpan (Kofaktör).....................................................................................................389 Sarrus Kuralԩ ................................................................................................................................390 Determinantԩn Özellikleri ..............................................................................................................391 Ek (Adjoint) Matris ........................................................................................................................394 Cramer Kuralԩ ...............................................................................................................................397 Alԩԭtԩrmalar - 3 ..............................................................................................................................398 Yazԩlԩya Hazԩrlԩk Sorularԩ - 1 – 2 ..................................................................................................401 Test - 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 ....................................................................................................405 Üniversiteye Giriԭ Sԩnav Sorularԩ ................................................................................................419 Üniversiteye Giriԭ Sԩnav Sorularԩnԩn Çözümleri ..........................................................................424.

(9) KARMAԬIK SAYILAR ÜNԨTE. 1. ÜNԨTE. 1. ÜNԨTE. 1. ÜNԨTE. Karmaԭԩk Sayԩlar 1.. Kazanԩm. : Gerçek sayԩlar kümesini geniԭletme gereԫini örneklerle açԩklar.. 2.. Kazanԩm. : Sanal birimi (i sayԩsԩnԩ) belirtir ve bu sayԩnԩn kuvvetlerini hesaplar.. 3.. Kazanԩm. : Karmaԭԩk sayԩyԩ, standart biçimini, gerçek kԩsmԩnԩ, sanal kԩsmԩnԩ açԩklar ve iki karmaԭԩk sayԩnԩn eԭitliԫini ifade eder.. 4.. Kazanԩm. : Karmaԭԩk düzlemi açԩklar ve verilen bir karmaԭԩk sayԩyԩ karmaԭԩk düzlemde gösterir.. 5.. Kazanԩm. : Bir karmaԭԩk sayԩnԩn eԭleniԫini ve modülünü açԩklar, karmaԭԩk düzlemde gösterir.. 6.. Kazanԩm. : Karmaԭԩk sayԩlarda toplama ve çԩkarma iԭlemlerini ve geometrik yorumlarԩnԩ yapar, toplama iԭleminin özelliklerini gösterir.. 7.. Kazanԩm. : Karmaԭԩk sayԩlarda çarpma ve bölme iԭlemlerini yapar, çarpma iԭleminin özelliklerini gösterir.. 8.. Kazanԩm. : Eԭlenik ve modül ile ilgili özellikleri gösterir.. 9.. Kazanԩm. : Karmaԭԩk sayԩlarda ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözer.. 10. Kazanԩm. : Karmaԭԩk düzlemde iki karmaԭԩk sayԩ arasԩndaki uzaklԩԫԩ açԩklar ve karmaԭԩk sayԩ ile çember iliԭkisini belirtir.. Karmaԭԩk Sayԩlarԩn Kutupsal Biçimi 1.. Kazanԩm. : Bir noktanԩn kartezyen koordinatlarԩ ile kutupsal koordinatlarԩ arasԩndaki baԫԩntԩlarԩ bulur, standart biçimde verilen bir karmaԭԩk sayԩnԩn kutupsal koordinatlarԩnԩ belirler ve karmaԭԩk düzlemde gösterir.. 2.. Kazanԩm. : Kutupsal biçimde verilen iki karmaԭԩk sayԩ arasԩnda toplama, çԩkarma, çarpma ve bölme iԭlemleri yapar.. 3.. Kazanԩm. : Bir karmaԭԩk sayԩnԩn orijin etrafԩnda pozitif yönde _ açԩsԩ kadar döndürülmesi ile elde edilen karmaԭԩk sayԩyԩ bulur.. 4.. Kazanԩm. : De Moivre kuralԩnԩ ifade eder ve kutupsal koordinatlarda verilen bir karmaԭԩk sayԩnԩn kuvvetlerini belirler.. 5.. Kazanԩm. : Verilen bir karmaԭԩk sayԩnԩn (n D N) n. dereceden köklerini belirler, karmaԭԩk düzlemde gösterir ve geometrik olarak yorumlar.. 1. ÜNԨT.

(10) KARMAԬIK SAYILAR. SANAL SAYI BԨRԨMԨ x – 2 = 0 , 3x + 1 = 0 , x2 – 4 = 0 , x2 – 5 = 0 denkleminin her birinin çözüm kümelerini bulmayԩ daha önceki yԩllarda öԫrendiniz. Bunlarԩ tekrar hatԩrlayacak olursak; ®. x – 2 = 0 x = 2 Ç = { 2}. ®. 3x + 1 = 0 x = –. ®. x2 – 4 = 0 x2 = 4 x = 2 x = –2 Ç = { –2, 2}. ®. x2 – 5 = 0 x2 = 5 x = – v5 x = v5 Ç = {– v5, v5 }. 1 1 Ç = '– 1 3 3. Yukarԩdaki çözümlerde de görüldüԫü gibi verilen denklemlerin her birinin gerçek sayԩlardaki (gerçek sayԩlar kümesindeki) çözüm kümeleri boԭ kümeden farklԩ birer kümedir. Ԭimdi de x2 + 1 = 0 denkleminin gerçek sayԩlar kümesindeki çözüm kümesini bulmaya çalԩԭalԩm. x2 + 1 = 0 x2 = –1 olur. Gerçek sayԩlar kümesinde karesi –1 e eԭit olan bir sayԩ bulunmadԩԫԩndan x2 + 1 = 0 denkleminin gerçek sayԩlar kümesindeki çözüm kümesi boԭ kümedir. Ünlü matematikçi Euler aԭaԫԩdaki tanԩmԩ yaparak bu tür denklemlerin çözülmesini saԫlamԩԭtԩr. Karesi –1 olan sayμya sanal (imajiner) sayμ birimi denir ve i ile gösterilir. Yani i2 = –1 veya i = c–1 dir. Bu tanԩmdan yararlanarak, x2 + 1 = 0 , x2 + 4 = 0 gibi denklemleri çözebiliriz. ®. x2 + 1 = 0 x2 – (–1) = 0 x2 – i2 = 0 (x – i)(x + i) = 0 x = i x = –i dir.. ®. x2 + 4 = 0 x2 – (– 4) = 0 x2 – 4i2 = 0 (x – 2i)(x + 2i) = 0 x = 2i x = –2i dir.. m pozitif bir gerçek sayԩ olmak üzere, – 4 = 2i ,. – 9 = 3i ,. –12 = 2 3 i ,. i nin (Sanal Birimin) Kuvvetleri i1 = c–1 i2 = –1 i3 = i2.i = –1.i = – i i4 = (i2)2 = (–1)2 = 1 i5 = i4.i = i i6 = i4.i2 = –1 i7 = i4.i3 = – i i8 = (i4)2 = 1 ..................... 10. – m = i m dir. –16 = 4i dir.. Yanda elde ettiԫimiz sonuçlara göre, i nin tam sayԩ kuvvetlerinde i, –1, – i, 1 dörtlüsünün tekrarlandԩԫԩnԩ görürüz. Bu durumu, n D N olmak üzere, Z 1 , k = 4n ] ] ] i , k = 4n + 1 k i = [ ] –1 , k = 4n + 2 ] ] – i , k = 4n + 3 \ biçiminde, ya da kԩsaca m, n D N olmak üzere, i4n+m = im biçiminde gösterebiliriz..

(11) Karmaԭԩk Sayԩlar ÖRNEK 1. ÖRNEK 4. Aԭaԫԩdaki sayԩlarԩn her birinin eԭitini bulunuz.. c–2.c–3.c–6 iԭleminin sonucunu bulunuz.. a. i23. Çözüm. b. i121. c. i2008. d. i–3. e. i– 41. c–2 = v2 i , c–3 = v3 i ve c–6 = v6 i olup. Çözüm. c–2.c–3.c–6 = v2 i.v3i.v6i = c36 i3. a. 23 ün 4 ile bölümünden kalan 3 olduԫundan. = 6i3 = 6(– i) = –6i dir.. i23 = i3 = – i b. 121 in 4 ile bölümünden kalan 1 olduԫundan i121 = i1 = i c. 2008, 4 ile tam bölündüԫünden kalan 0 dԩr.. m ve n D R+ . m . n = sm.n. m ve n D R– . m . n sm.n. i2008 = i0 = 1 ÖRNEK 5. d. i–3 = i–3+4 = i. c–4 . c–9 . s–16 . c–1 iԭleminin sonucunu bulunuz.. e. – 41 in 4 ile bölümünden kalan 3 olduԫundan. Çözüm. i– 41 = i3 = – i. ESEN YAYINLARI. c–4 = 2i , c–9 = 3i ÖRNEK 2. 1 1 ve 3 sayԩlarԩnԩn eԭitlerini bulunuz. i i Çözüm. 1 = i–1 = i–1+4 = i3 = – i i 1 = i–3 = i–3+4 = i1 = i dir. i3. s–16 = 4i , c–1 = i olduԫundan c–4 . c–9 . s–16 . c–1 = 2i.3i.4i.i = 24.i4 = 24.1 = 24 bulunur.. ÖRNEK 6. i6 + i7 + i8 + i9 ifadesinin eԭitini bulunuz. Çözüm. i6 + i7 + i8 + i9 = i2 + i3 + i0 + i1. ÖRNEK 3. = –1 – i + 1 + i = 0 olur.. n D N olmak üzere, aԭaԫԩdaki sayԩlarԩn her birinin eԭitini bulunuz. a. i4n+3. b. i8n+5. c. i8n–1. d. i2–12n. i nin ardԩԭԩk 4 kuvvetinin toplamԩ 0 dԩr.. Çözüm. a. 4n + 3 ün 4 ile bölümünden kalan 3 olup 4n+3. i. 3. = i = –i. b. 8n + 5 in 4 ile bölümünden kalan 1 olup i8n+5 = i1 = i c. i8n–1 = i–1 = i–1+4 = i3 = –i d. i2–12n = i2 = –1 dir.. ÖRNEK 7. i1 + i2 + i3 + ... + i81 + i82 ifadesinin eԭitini bulunuz. Çözüm. i1 + i2 + i3 + i4 + i5 + i6 + i7 + i8 + ... + i77 + i78 + i79 + i80 + i81 + i82.

(12)

(13).

(14) 0 81. =i. 0 82. +i. 1. 0. 2. = i + i = i – 1 bulunur. 11.

(15) Karmaԭԩk Sayԩlar. KARMAԬIK SAYILAR i2 = –1 ve a, b D R olmak üzere, a + bi biçiminde ifade edilen sayԩlara karmaԭԩk (kompleks) sayԩ denir. Karmaԭԩk sayԩlar kümesi C ile gösterilir ve C = {z: z = a + bi , a, b D R} dir. z = a + bi yazԩlԩԭԩna karmaԭԩk sayԩnԩn standart yazԩlԩԭԩ denir. a ya karmaԭԩk sayԩnԩn reel kԩsmԩ denir ve Re(z) = a olarak gösterilir. b ye karmaԭԩk sayԩnԩn sanal (imajiner) kԩsmԩ denir ve Im(z) = b biçiminde gösterilir.. ÖRNEK 8. ÖRNEK 10. Aԭaԫԩdaki tabloda bazԩ karmaԭԩk sayԩlarԩn reel ve. z = c–2.c–8 + c–9 + c–4 ise Re(z) ve Im(z) de-. sanal kԩsԩmlarԩ belirtilmiԭtir. Ԩnceleyiniz.. ԫerlerini bulunuz.. Re(z). Im(z). 3 + 4i. 3. 4. 2 Ð 5i. 2. Ð5. 2Ði. 2. Ð1. v3 + i. v3. 1. 2i. 0. 2. Ð4. Ð4. 0. 0. 0. 0. v2 + 3. v2 + 3. 0. Çözüm. z = c–2.c–8 + c–9 + c–4 = v2i.2v2 i + 3i + 2i = 4i2 + 5i = –4 + 5i olur. ESEN YAYINLARI. z. z = –4 + 5i Re(z) = –4 ve Im(z) = 5 tir.. ÖRNEK 11. z= ÖRNEK 9. z = i2 + i3 + i6 + i7 ise Re(z) ve Im(z) deԫerlerini bulunuz. Çözüm. z = i2 + i3 + i6 + i7 = i2 + i3 + i2 + i3 = –1 – i – 1 – i = –2 – 2i olur.. 1 1 1 ise Re(z) ve Im(z) deԫerlerini bu+ + i i2 i3. lunuz. Çözüm. z=. 1 1 1 + + i i2 i3. = i–1 + i–2 + i–3 = i–1+4 + i–2+4 + i–3+4 = i3 + i2 + i = –i – 1 + i = –1 olur.. z = –2 – 2i ise Re(z) = –2 ve Im(z) = –2 dir.. 12. z = –1 Re(z) = –1 ve Im(z) = 0 dԩr..

(16) Karmaşık Sayılar. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ. KARMAŞIK DÜZLEM. İki karmaşık sayının eşit olabilmesi için reel ve sanal. Karmaşık sayıların, analitik düzlemin noktalarıyla. kısımlarının ayrı ayrı birbirine eşit olması gerekir.. bire bir eşlenmesi ile oluşturulan düzleme karmaşık. z1 = a + bi z2 = c + di. düzlem denir.. } verildiğinde. y sanal eksen. z1 = z2 ⇒ a = c ve b = d dir.. z = a + bi. b. x a. 0. reel eksen. ÖRNEK 12. z1 = m – 3 + 4i , z2 = 5 + (n – 1)i ve z1 = z2 olduğuna göre m ve n değerlerini bu-. x eksenine karmaşık düzlemin reel ekseni, y ekseni-. lunuz.. ne de karmaşık düzlemin sanal ekseni denir.. Çözüm. z1 = z2 ise m = 8 ve n = 5 bulunur.. ÖRNEK 13. a < b < 0 < c olmak üzere, b (c – a) + ab = 3 + 4i ise b.c kaçtır? Çözüm. b < 0 ve c – a > 0 olduğundan,. ESEN YAYINLARI. m – 3 = 5 ve n – 1 = 4 tür.. ÖRNEK 14. Aşağıdaki sayıları karmaşık düzlemde gösteriniz. z1 = 2 + 4i. ,. z2 = – 4 + 2i. z3 = –3 – 5i. ,. z4 = 6 – 2i. z5 = 4. ,. z6 = –1. z7 = 6i. ,. z8 = – 4i. Çözüm y sanal eksen. b(c – a) < 0 olur. Bu durumda, b (c – a) =. 6 z7. –b (a – c) = i b (a – c). olacağından,. z1 = 2 + 4i. 4. b (c – a) + ab = 3 + 4i. z2 = – 4 + 2i. i b (a – c) + ab = 3 + 4i b (a – c) = 4 ve cab = 3. 2 z6. –3 –4. 2. –2. ab – bc = 16 ve ab = 9 ab – bc = 16 ⇒ 9 – bc = 16 ⇒ bc = –7 bulunur.. z5. –1 0. 4. x. 6. reel eksen z4 = 6 – 2i. –4 z8 z3 = – 3 – 5i. –5. 13.

(17) Karmaԭԩk Sayԩlar. BԨR KARMAԬIK SAYININ EԬLENԨԪԨ. ÖRNEK 17. Z = a + bi nin reel eksene göre simetriԫi olan a – bi. (z) = z olduԫunu gösteriniz.. sayԩsԩna Z nin eԭleniԫi denir. – Z = a – bi biçiminde gösterilir.. Çözüm. z = a + bi olsun.. y b. z. 0. a. Ðb. – z = a – bi ve (z) = a + bi olur. Dolayԩsԩyla, x. Bir karmaԭԩk sayԩnԩn eԭleniԫinin eԭleniԫi kendisine eԭittir.. z. ԨKԨNCԨ DERECEDEN BԨR DENKLEMԨN. ÖRNEK 15. SANAL KÖKLERԨNԨ BULMAK. Aԭaԫԩdaki tabloda bazԩ karmaԭԩk sayԩlarla eԭlenikleri. a, b, c D R ve a 0 için ax2 + bx + c = 0 denklemini. verilmiԭtir. Ԩnceliyiniz.. çözerken. z. a + bi. a Ð bi. 2 + 3i. 2 Ð 3i. 4Ði. 4+i. 2i + 3. Ð2i + 3. 4. 4. 2i. Ð2i. 1 + v2. 1 + v2. ¨ = b2 – 4ac ve x1,2 = ESEN YAYINLARI. z. –b ! 3 olmak üzere 2a. ®. ¨ > 0 ise denklemin farkԩ iki gerçel kökünün. ®. ¨ = 0 ise denklemin eԭit iki gerçel kökünün. ®. ¨ < 0 ise denklemin gerçel kökünün bulunmadԩԫԩnԩ biliyoruz. Ԩԭte, ¨ < 0 durumunda denklemin sanal iki kökü vardԩr.. ÖRNEK 18. x2 – 2x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? ÖRNEK 16. Çözüm. z = 1 + 2i karmaԭԩk sayԩsԩ ile eԭleniԫini karmaԭԩk. x2 – 2x + 2 = 0 denkleminde,. düzlemde gösteriniz.. a = 1 , b = –2 ve c = 2 olduԫundan. Çözüm 2. z = 1 + 2i ise – z = 1 – 2i dir.. ¨ = b2 – 4ac = (–2)2 – 4.1.2. y. = 4 – 8 = – 4 tür.. z. ¨ < 0 olduԫundan verilen denklemin sanal kökle0. 1. Ð2. z. x. ri vardԩr. Bu kökler, x1,2 =. – b ! 3 – (–2) ! – 4 = 2a 2.1 =. Grafikte de görüldüԫü gibi, bir karmaԭԩk sayԩ ile eԭleniԫi reel eksene göre simetriktir. 14. 2 ! 2i 2. = 1 ± i olur. Çözüm kümesi, Ç = {1 – i , 1 + i} bulunur..

(18) Karmaԭԩk Sayԩlar ÖRNEK 19. ÖRNEK 22. x2 – 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulup. Toplamlarԩ 4 ve çarpԩmlarԩ 8 olan iki karmaԭԩk sa-. köklerin arasԩndaki iliԭkiyi tespit ediniz.. yԩyԩ bulunuz.. Çözüm. Çözüm. 2. x – 2x + 5 = 0 denkleminde,. Toplamlarԩ 4, çarpԩmlarԩ 8 olan iki sayԩ x1 ve x2. a = 1 , b = –2 ve c = 5 olduԫundan. olsun.. 2. ¨ = b – 4ac = 4 – 4.1.5 = –16 olur.. x1 + x2 = 4 ve x1.x2 = 8 koԭullarԩnԩ saԫlayan. – (–2) ! –16 2 ! 4i x1,2 = – b ! 3 = = = 1 ! 2i 2a 2.1 2. ikinci dereceden denklem. x1 = 1 + 2i ve x2 = 1 – 2i bulunur.. x2 – 4x + 8 = 0 olur.. 1 + 2i ve 1 – 2i karmaԭԩk sayԩlarԩnԩn birbirle-. Bu denklemin kökleri x1 ve x2 sayԩlarԩdԩr.. rinin eԭleniԫi olduԫuna dikkat ediniz.. ¨ = b2 – 4ac = (– 4)2 – 4.1.8. x2 – (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0 ԭeklinde yazԩlԩrsa,. = 16 – 32 Reel kat sayԩlԩ, ikinci dereceden bir denklemde. = –16. ¨ < 0 iken kökler birbirinin eԭleniԫidir.. – (– 4) ! –16 x1,2 = – b ! 3 = 2a 2.1 =. Reel kat sayԩlԩ ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri 3 – 2i ise bu denklemi bulunuz. Çözüm. x1 = 3 – 2i ise x2 = 3 + 2i olacaԫԩndan x1 + x2 = 3 – 2i + 3 + 2i = 6 x1.x2 = (3 – 2i)(3 + 2i) = 9 + 4 = 13 tür. x2 – (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0 x2 – 6x + 13 = 0 olur.. ESEN YAYINLARI. ÖRNEK 20. 4 ! 4i 2. = 2 ± 2i bulunur. Aradԩԫԩmԩz sayԩlar, 2 + 2i ve 2 – 2i dir.. ÖRNEK 23. Köklerinden biri 2, diԫer ikisi 2 + i ve 2 – i kompleks sayԩlarԩ olan üçüncü dereceden reel kat sayԩlԩ denklem nedir? Çözüm. ÖRNEK 21. m ve n reel sayԩlar olmak üzere, x2 + mx + n = 0 denkleminin köklerinden biri x1 = 2 – 3i ise m ve n deԫerlerini bulunuz. Çözüm. Köklerden biri, x1 = 2 – 3i ise diԫeri x2 = 2 + 3i dir. x2 + mx + n = 0 denkleminde; b = – m olduԫundan a 2 – 3i + 2 + 3i = – m m = – 4 olur. c = n olduԫundan x1.x2 = a (2 – 3i)(2 + 3i) = n n = 4 + 9 n = 13 bulunur.. x1 + x2 = –. x1 = 2 + i ve x2 = 2 – i ise x1 + x2 = 2 + i + 2 – i = 4 x1.x2 = (2 + i).(2 – i) = 4 + 1 = 5 x2 – (x1 + x2)x + x1.x2 = 0 x2 – 4x + 5 = 0 denklemi bir çarpan olmalԩdԩr. Köklerinden biri de x = 2 ise x – 2 = 0 denklemi de bir çarpandԩr. O halde, istenen üçüncü dereceden reel kat sayԩlԩ denklem, (x – 2).(x2 – 4x + 5) = 0 x3 – 4x2 + 5x – 2x2 + 8x – 10 = 0 x3 – 6x2 + 13x – 10 = 0 olarak bulunur. 15.

(19) ALIŞTIRMALAR – 1 1.. 2.. 4.. Aԭaԫԩdaki sayԩlarԩn eԭitini i cinsinden bulunuz. a. c–8. b. s–25. c. s–49. d. s–50. a. i5 + i6 + i7 + i8. b. i–2 + i–3 + i–4 + i–5. c. i1 + i2 + i3 + ... + i60. Aԭaԫԩdaki sayԩlarԩn eԭitini bulunuz. a. i27. b. i41. Aԭaԫԩdaki iԭlemleri sonuçlandԩrԩnԩz.. c. i105. d. i2 + i4 + i6 + ... + i80 d. i–4. e. i–17. f. i–341. g. i4n+1. 16n–3. j. i. h. i8n+2. –16n–7. k. i. i. i3–12n. 26–24n. l. i. ESEN YAYINLARI. e. i1 + i3 + i5 + ... + i27. f. i4 + i8 + i12 + ... + i40. 5. 3.. Aԭaԫԩdaki iԭlemleri sonuçlandԩrԩnԩz. a. c–2 . c–4. Aԭaԫԩdaki tabloda bulunan boԭluklarԩ uygun bir ԭekilde doldurunuz. z. Re(z). Im(z). 4. Ð3. 3. 0. 0. Ð1. 2 Ð 3i. b. c–3 . c–6 . c–9. 4Ði 2i. c. c–2 . c–8 . s–10 1 + v2. d. c–1 . c–3 . c–6 . c–8 1. a. 2v2i b. 5i c. 7i d. 5v2i. 2. a. –i b. i c. i d. 1 e. –i f. –i g. i h. –1 i. –i j. i k. i l. –1. 3. a. –2v2 b. –9v2i c. – 4c10i d. 12. 4. a. 0 b. 0 c. 0 d. 0 e. 0 f. 10. 16.

(20) Karmaԭԩk Sayԩlar. 6.. 9.. Aԭaԫԩdaki eԭitliklerden a ve b deԫerlerini bulunuz.. z = 3 – 2i karmaԭԩk sayԩsԩ ile eԭleniԫini karmaԭԩk düzlemde gösteriniz.. a. (a – 1) + (b – 2)i = 4 + 3i. b. 2a – 1 + i = 4 – bi + i. 10. Aԭaԫԩdaki 2. dereceden denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a. x2 – x + 1 = 0. c. 2ai + b = 3. d. 4 + a + 2i – bi = 4i. 7.. b. x2 – 2x + 4 = 0. Aԭaԫԩdaki karmaԭԩk sayԩlarԩ karmaԭԩk düzlemde c. x2 + 4 = 0. a. 3 + 4i. b. 2 – 3i. c. –3 + i. d. –1 – i. e. 3i. f. –2i. ESEN YAYINLARI. gösteriniz.. d. x2 + 4x + 6 = 0. 11. Reel kat sayԩlԩ ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri 2 + i ise bu denklemi bulunuz. g. 4. 8.. h. –3. Aԭaԫԩdaki tabloda bulunan boԭluklarԩ uygun bir ԭekilde doldurunuz. z. 12. a ve b gerçek sayԩlar olmak üzere, x2 + ax + b = 0 denkleminin köklerinden biri. z. x1 = 3 + 4i ise a.b kaçtԩr?. 2Ði 3 + 4i 6Ði 3. 13. Toplamlarԩ –2 ve çarpԩmlarԩ 4 olan iki karmaԭԩk. Ð5i. sayԩyԩ bulunuz.. v3 Ð 1. 6. a. a = 5 , b = 5. b. a =. 5 , b=0 2. c. a = 0 , b = 3 2. 11. x – 4x + 5 = 0. d. a = –4 , b = –2 12. –150. 10. a. ). 1! 3i3 2. b. {1 m v3 i} c. {m2i} d. {–2 m v2 i}. 13. –1 + v3 i , –1 – v3 i. 17.

(21) Karmaԭԩk Sayԩlar. KARMAԬIK SAYILARDA DÖRT ԨԬLEM. Karmaԭԩk Sayԩlarda Çԩkarma Ԩԭlemi. Karmaԭԩk Sayԩlarda Toplama Ԩԭlemi. z1 = (a1, b1) ve z2 = (a2, b2). z1 = a1 + b1i ve z2 = a2 + b2i ise. z1 – z2 = z1 + (– z2) = a1 + b1i + (–a2 – b2i). z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i dir. y z2. = (a1 – a2) + (b1 – b2)i dir.. z = z1 + z 2. ÖRNEK 27. z1 = 2 – 6i ve z2 = 5 + 4i olduԫuna göre, z2 – z1 iԭleminin sonucunu bulunuz.. z1 O. Çözüm. x. z2 – z1 = z2 + (– z1) = (5 + 4i) + (–2 + 6i). z 1 = (a 1, b 1) 4 z = (a1 + a2 , b1 + b2) ve z 2 = (a 2, b 2). = 5 + 4i – 2 + 6i = 3 + 10i bulunur.. Oz1zz2 paralelkenardԩr. ÖRNEK 28. z1 = 5 + 3i ve z2 = 2 – i olduԫuna göre, ÖRNEK 24. ÖRNEK 25. z1 = 3 + pi , z2 = k + 2i ve z1 + z2 = –3 + 4i olduԫuna göre p ve k deԫerlerini bulunuz.. Çözüm. a. z1 + 2z2 = (5 + 3i) + 2(2 – i) = 5 + 3i + 4 – 2i = 9 + i bulunur. b. 3z1 – 4z2 = 3(5 + 3i) – 4(2 – i) = 15 + 9i – 8 + 4i = 7 + 13i bulunur.. Çözüm. z1 + z2 = (3 + k) + (p + 2)i (3 + k) + (p + 2)i = –3 + 4i olduԫundan, 3 + k = –3 k = –6 p + 2 = 4 p = 2 bulunur.. b. 3z1 – 4z2. iԭlemlerini sonuçlandԩrԩnԩz. ESEN YAYINLARI. z 1 = 2 + 5i 3 ise z1 + z2 = 5 + i dir. z 2 = 3 – 4i. a. z1 + 2z2. Karmaԭԩk Sayԩlarda Çarpma Ԩԭlemi z1 = a + bi ve z2 = c + di ise z1.z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + i(ad + bc) – bd = (ac – bd) + (ad + bc)i dir.. z = a + bi karmaԭԩk sayԩsԩnԩn toplama iԭlemine göre tersi, –z = – (a + bi) = – a – bi dir.. ÖRNEK 29. z1 = 4 – 7i ve z2 = 5 + 2i olduԫuna göre, z1.z2 ifadesinin eԭitini bulunuz.. ÖRNEK 26. ®. 3 – 5i nin toplama iԭlemine göre tersi –3 + 5i dir.. ®. 4i nin toplama iԭlemine göre tersi – 4i dir.. ®. 5 in toplama iԭlemine göre tersi –5 tir. 18. Çözüm. z1.z2 = (4 – 7i)(5 + 2i) = 20 + 8i – 35i + 14 = 34 – 27i bulunur..

(22) Karmaԭԩk Sayԩlar ÖRNEK 30. ÖRNEK 32. z1 = 2 + i ve z2 = –3 + i olduԫuna göre,. z = 3 – 2i nin çarpmaya göre tersini bulunuz.. z1.z2 ifadesinin eԭitini bulunuz.. Çözüm. z–1 =. Çözüm. z1.z2 = (2 + i)(–3 + i). 1 3 + 2i 3 + 2i = = 3 – 2i 9 + 4 13 =. = –6 + 2i – 3i + i2 = –7 – i bulunur.. z = a + bi olmak üzere, – z.z = (a + bi)(a – bi) = a2 + b2 dir.. 3 2 + i bulunur. 13 13. ÖRNEK 33. z = – 4 + 3i ise Re(z–1) deԫerini bulunuz. Çözüm. z = – 4 + 3i z–1 =. ÖRNEK 31. – – Aԭaԫԩdaki tabloda z , z ve z. z arasԩndaki iliԭkiler. z–1 = – 4 – 3i = – 4 – 3 i 25 25 25. sonuçlandԩrԩlmԩԭtԩr. Ԩnceleyiniz. z. z. z. a + bi. a Ð bi. a 2 + b2. 3 + 4i. 3 Ð 4i. 32 + 42 = 25. 1Ði. 1+i. 12 + 12 = 2. 2Ði. 2+i. 22 + 12 = 5. i+3. Ði + 3. 12 + 32 = 10. Ð2i. 2i. 02 + 22 = 4. 3. 3. 32 + 02 = 9. v2 Ð 1. v2 Ð 1. (v2 Ð 1)2. ESEN YAYINLARI. Re(z–1) = – z. 1 – 4 + 3i. 4 bulunur. 25. Karmaԭԩk Sayԩlarda Bölme Ԩԭlemi z1 = a + bi ve z2 = c + di , (z2 0) olmak üzere, z1 a + bi = z1.z2–1 = c + di z2. olur. Bu durumda,. (a + bi) (c – di) z z1 = iԭlemi sonuçlandԩrԩlarak 1 (c + di) (c – di) z2 z2 bulunur.. ÖRNEK 34. z1 = 5 + i ve z2 = 3 – 2i ise z = a + bi nin çarpma iԭlemine göre tersi z–1 =. 1 dir. a + bi. 1 nin pay ve paydasԩnԩ a + bi nin eԭlea + bi niԫi olan a – bi ile çarpalԩm. z–1 =. z–1 = z–1 =. 1. (a – bi) a – bi = (a + bi) (a – bi) a 2 + b 2 a b i olur. – a2 + b2 a2 + b2. z1 ifadesinin eԭitini bulunuz. z2 Çözüm. z1 5+i = z 2 3 – 2i pay ve paydayԩ paydanԩn eԭleniԫi ile çarpalԩm. (5 + i) (3 + 2i) (15 – 2) + (10 + 3) i z1 = = z 2 (3 – 2i) (3 + 2i) 9+4 =. 13 13 + i 13 13. = 1 + i bulunur. 19.

(23) Karmaԭԩk Sayԩlar ÖRNEK 35. ÖRNEK 38. z1 = 2 + i ve z2 = 1 + 3i ise. z 21 z2. z=. ifadesinin eԭitini bulunuz.. 2i – x karmaԭԩk sayԩsԩnԩn reel kԩsmԩ 3 ise sanal 2 i–1. kԩsmԩ kaçtԩr?. Çözüm. Çözüm. z 21 (2 + i) 2 4 – 1 + 4i 3 + 4i = = = z2 1 + 3i 1 + 3i 1 + 3i. z=. 2i – x (2i – x) (– i – 1) –2i 2 – 2i + xi + x = = i–1 1+1 2. (– i – 1). (3 + 4i) (1 – 3i) = 1+9. =. 2 + x (–2 + x) + i 2 2. =. (3 + 12) + (– 9 + 4) i 10. 2+x 3 Re(z) = 3 = x = 1 olur. 2 2 2. =. 15 – 5i + 10 10. Im(z) =. =. 3 1 – i bulunur. 2 2. –2+x –2+1 1 = =– bulunur. 2 2 2. (1 + i)2 = 12 + 2.1.i + i2 = 1 + 2i – 1 = 2i dir. Benzer ԭekilde, (1 – i)2 = –2i ve (–1 – i)2 = 2i olur.. ÖRNEK 36. 2–i ise Re(z) ifadesinin eԭitini bulunuz. 3+i. Çözüm. 2 – i (2 – i) (3 – i) = 3+i 9+1 (6 – 1) + (– 3 – 2) i = 10 =. 5 5 – i 10 10. ESEN YAYINLARI. z=. ÖRNEK 39. (1 + i)20 ifadesinin eԭitini bulunuz. Çözüm. (1 + i)20 = [(1 + i)2]10 = (2i)10 = 210.i10. 1 1 = – i olur. 2 2. = 210.i2. Bu durumda Re(z) = 1 bulunur. 2. ÖRNEK 37. 1 karmaԭԩk sayԩsԩnԩn eԭleniԫinin sanal kԩs2–i mԩnԩ bulunuz. z=. 1 2+i 2+i 2 1 = = = + i 2–i 4+1 5 5 5 ( 2 + i). – 2 1 olacaԫԩndan, z = – i dir. 5 5 Bu durumda, – Im( z) = – 1 olur. 5 20. ÖRNEK 40. (1 – i)21 ifadesinin eԭitini bulunuz. Çözüm. (1 – i)21 = (1 – i)20.(1 – i). Çözüm. z=. = –210 bulunur.. = [(1 – i)2]10.(1 – i) = (–2i)10(1 – i) = 210.i10(1 – i) = 210.i2(1 – i) = –210(1 – i) bulunur..

(24) Karmaԭԩk Sayԩlar ÖRNEK 41. ÖRNEK 44. (–2 + 2i)31 ifadesinin eԭitini bulunuz.. – z(2 + i) = 5 + i + z eԭitliԫini saԫlayan z karmaԭԩk. Çözüm. sayԩsԩnԩ bulunuz.. (–2 + 2i). 31. Çözüm. 31. = [2(–1 + i)] 31. =2. – z = a + bi alԩnԩrsa, z = a – bi olur.. 31. (–1 + i). Bu deԫerleri verilen eԭitlikte yerine yazarsak. = 231[(–1 + i)2]15(–1 + i) 31. (a + bi)(2 + i) = 5 + i + a – bi. 15. = 2 (–2i) (–1 + i). 2a + ai + 2bi – b = 5 + i + a – bi. = 231.(–2)15.i15(–1 + i). 2a – b + i(a + 2b) = (5 + a) + i(1 – b) olur. Ԩki karmaԭԩk sayԩnԩn eԭitliԫinden. = –246.i3(–1 + i). 2a – b = 5 + a ve a + 2b = 1 – b. 46. = –2 .(–i)(–1 + i). a – b = 5 ve a + 3b = 1 olur.. = 246(–i + i2) = 246(–i – 1) bulunur.. a–b=5 3 a = 4 ve b = –1 bulunur. a + 3b = 1. ÖRNEK 42. Bu durumda, z = a + bi = 4 – i dir.. (1 + i)40(1 – i)41 ifadesinin eԭitini bulunuz. ÖRNEK 45. (1 + i)40(1 – i)41 = (1 + i)40(1 – i)40(1 – i) = [(1 + i)(1 – i)]40(1 – i) = [1 + 1]40(1 – i) 40. = 2 (1 – i) bulunur.. ESEN YAYINLARI. Çözüm. z3 + z2 + mz + 6 = 0 denkleminin bir kökü 1 + i ise m deԫerini bulunuz. Çözüm. Denklemin bir kökü 1 + i ise bu kök denklemi saԫlar. (1 + i)3 + (1 + i)2 + m(1 + i) + 6 = 0. ÖRNEK 43. (1 + i)2.(1 + i + 1) + m(1 + i) + 6 = 0. (1– i) 18 ifadesinin eԭitini bulunuz. (1 + i) 17. (1 + 2i – 1)(2 + i) + m(1 + i) + 6 = 0. Çözüm. 4i – 2 + m + mi + 6 = 0. (1 – i) 18 (1 – i) 17 = · (1 – i) (1 + i) 17 (1 + i) 17 1 – i 17 =f ( 1 – i) 1+i p ( 1 – i). 17. (1– i) 2 n (1 – i) =d 1+1 =c. –2i 17 m (1 – i) 2. = (–i)17(1 – i) = –i(1 – i) = –i + i2 = –i – 1 bulunur.. 2i(2 + i) + m(1 + i) + 6 = 0. (m + 4) + i(m + 4) = 0 m = – 4 bulunur.. Karmaԭԩk Sayԩnԩn Eԭleniԫi Ԩle Ԩlgili Özellikler ® ^zh = z ® z1 + z2 = z1 + z2 ® z1 – z2 = z1 – z2 ® z1 . z2 = z1 . z2 ® z 1: z 2 = z 1: z 2 21.

(25) ALIŞTIRMALAR – 2 1.. 3.. z1 = 3 + 2i ve z2 = 4 – 3i olmak üzere aԭaԫԩda-. Aԭaԫԩdaki karmaԭԩk sayԩlarԩn çarpma iԭlemine. kilerin eԭitini bulunuz.. göre terslerini bulunuz.. a. z1 + z2. a. 4 – 2i. b. 3 + i b. z1 – z2 c. 2 – i c. 2z1 + 3z2. d. 2i. d. 3z1 – 5z2. 4.. Aԭaԫԩdaki iԭlemleri sonuçlandԩrԩnԩz. a. 2 + i 3–i. e. z1.z2 b. 4 + 2i 3i ESEN YAYINLARI. f. i.z1. g. 2i.z1 + 3z2. c.. 1+i 1– i. d.. ( 1 + i) ( 2 – i ) 3+i. h. (z1 + 1)(z2 – i) e. (1 + i)10. 2.. Aԭaԫԩdaki tablodaki boԭluklarԩ doldurunuz. z. z. f. (2 – 2i)13. z. z. g. (2 + i)10(2 – i)10. 3 + 2i 3Ði 3i. h. (4 – 4i)6(4 + 4i)7. v2i Ð 3 v3 + i. i.. v3 Ð 1. (1– i) 6 ( 1 + i) 7. 1. a. 7 – i b. –1 + 5i c. 18 – 5i d. –11+21i e. 18 – i f. –2 + 3i g. 8 – 3i h. 24 – 8i 4. a.. 22. 1+i 2. b.. 2 – 4i 3. 3. a.. 2+i 10. c. i d. 1 e. 32i f. 219(i–1) g. 510 h. 232(1+i) i.. i–1 2. b.. 3–i 10. c.. 2+i 5. d.. –i 2.

(26) Karmaԭԩk Sayԩlar. 5.. z=. – 3–i ise Im(z) nedir? 2+i. 9.. Aԭaԫԩdaki eԭitlikleri saԫlayan z karmaԭԩk sayԩlarԩnԩ bulunuz. a. z.i + 3z = 2 + i. 6.. 2 sayԩsԩnԩn eԭleniԫinin reel kԩsmԩ kaçtԩr? 1+i b. (1 + i)2.z + z = 2. 7.. z = 3 + 2i ve w = 1 – 2i olmak üzere aԭaԫԩdakilerin eԭitini bulunuz. a. z. w – c. 3z + 3 = z – 2i b. z + 2w. c. i.z – 3w. – d. 1 – 3z = z + 4i ESEN YAYINLARI. d. z.w2. 2 e. w z. – e. 2z – z = 3i5. f. (z + 1)(w + i). 8.. 10. Aԭaԫԩdaki iԭlemleri sonuçlandԩrԩnԩz.. Aԭaԫԩdaki eԭitliklerden doԫru olanlar için boԭ kutuya “D” yanlԩԭ olanlar için “Y” yazԩnԩz.. a. c. – z.z = z2. 1 – 2i 10 2 – i 10 m + ic m 2+i 1 + 2i. ^zh = z b. (1 + i)2 + (1 + i)3 + (1 + i)4 + (1 + i)5. z+w = z – w z.w = z.w. c. (1 + i) (1 + i2) (1 + i3) ...... (1 + i41). z: w = z: w 5. 1. 6. 1 9. a.. 7. a. –1 + 8i b. 5 + 2i c. –5 + 3i d. –1 – 18i e. 7 1 + i 10 10. b.. 2 4 – i 5 5. c. –. 3 1 – i 2 2. d.. 1 – 2i 4. e. i. – 1 – 18i 13. f. 6 – 2i. 8. Y, D, Y, D, D. 10. a. –1 – i b. –10 c. 0. 23.

(27) Karmaԭԩk Sayԩlar. BԨR KARMAԬIK SAYININ MUTLAK DEԪERԨ (MODÜLÜ) Karmaԭԩk düzlemde, bir karmaԭԩk sayԩya karԭԩlԩk gelen noktanԩn baԭlangԩç noktasԩna olan uzaklԩԫԩna bu karmaԭԩk sayԩnԩn mutlak deԫeri veya modülü denir ve |z| biçiminde gösterilir. y. Grafikte görüldüԫü gibi. |z|. |z|2 = a2 + b2. ÖRNEK 46. x. a. 0. a 2 + b 2 dir.. |z| =. z = a + bi. b. ÖRNEK 48. Aԭaԫԩdaki tabloda bazԩ karmaԭԩk sayԩlar ve mutlak. z=. deԫerleri ifade edilmiԭtir. Ԩnceleyiniz.. Çözüm. – z.z = |z|2 olduԫundan,. z. |z|. a + bi. a2 + b2. 3 + 4i. 32 + 42 = 5. 3 – 4i. 32 + (– 4)2 = 5. –3 – 4i. (–3)2 + (– 4)2 = 5. –1 + v3i. (–1)2 + (v3)2 = 2 +. (–2)2. |z| =. =2. 4i. 02 + 42 = 4. –3. (–3)2 + 02 = 3. Yukarԩdaki örneklerde görüldüԫü gibi, – – |z| = | z| = |–z| = |– z| dir.. 3–i 3–i = = 2+i 2+i. 9+1 = 4+1. 10 = 5. 2 olur.. – z.z = |z|2 = ( 2 )2 = 2 bulunur.. ÖRNEK 49. z= ESEN YAYINLARI. –2i. 02. – 3–i ise z.z ifadesinin eԭitini bulunuz. 2+i. 1 1 + 1 + i 1– i. olduԫuna göre |z| nedir?. Çözüm. z=. 1 1 1– i + 1 + i 2 + = = =1 1 + i 1– i 1+1 2. O halde, |z| = 1 bulunur.. ÖRNEK 50. z – i = 5 – |z|.i eԭitliԫini saԫlayan z karmaԭԩk sayԩsԩnԩ bulunuz. Çözüm. ÖRNEK 47. – z.z = |z|2 olduԫunu gösterelim. Çözüm. – z = a + bi alԩnԩrsa z = a – bi olur. – z.z = (a + bi)(a – bi) = a2 + b2 a 2 + b 2 |z|2 = a2 + b2 dir. – O halde, z.z = |z|2 bulunur.. |z| =. 24. z = a + bi alԩnԩrsa |z| =. a2 + b2. z – i = 5 – |z|.i a + bi – i = 5 –. olur. a2 + b2 i. a + i(b – 1) = 5 –. a2 + b2 i. a = 5 ve b – 1 = – a 2 + b 2 b – 1 = – a 2 + b 2 eԭitliԫinde a = 5 yazarsak, b – 1 = – 25 + b 2 b2 – 2b + 1 = 25 +b2 b = –12 olur. z = a + bi z = 5 – 12i bulunur..

(28) Karmaԭԩk Sayԩlar. Mutlak Deԫerlerle Ԩlgili Özellikler – – ® | z | = | z | = | –z | = | – z | – ® | z |2 = z.z. ÖRNEK 54. z = 1 + cose + isine olduԫuna göre |z| deԫerini bulunuz.. | z1.z2 | = | z1 |.| z2 |. ®. z1 z = 1 z2 z2. ®. Çözüm. (1 + cos i) 2 + sin 2 i. |z| =. , (z2 0) n. =. 1 + 2 cos i + cos 2 i + sin 2 i. =. 2 + 2 cos i. =. 2. (1 + cos i). =. 2 c 1 + 2 cos 2. =. 2.2 cos 2. n. ®. n D N olmak üzere, | z | = | z |. ®. ||z1 | – |z2 || |z1 + z2 | | z1 | + | z2 |. ÖRNEK 51. z = 2 + i olduԫuna göre | z4 | nin deԫerini bulunuz.. i – 1m 2. i i = 2.cos bulunur. 2 2. Çözüm. | z | = | 2 + i| =. 2 2 + 1 2 = v5. ÖRNEK 55. | z4 | = | z |4 = (v5)4 = 25 bulunur.. ÖRNEK 52. z1 = 5 – 2i ve z2 = 3 + i olduԫuna göre z1 z2. ifadesinin eԭitini bulunuz.. ESEN YAYINLARI. z=. a + b – i (a – b) a – b + i (a + b). Çözüm. – a + b – i (a – b) | z| = | z| = a – b + i (a + b) =. Çözüm. |z1| =. 5 2 + (– 2) 2 = c29 ve. |z2| =. 3 2 + 1 2 = c10 olacaԫԩndan. z1 z1 = = z2 z2. 29 = 2, 9 10. bulunur.. – ise | z| deԫerini bulunuz.. =. a + b – i (a – b) a – b + i (a + b) (a + b) 2 + (a – b) 2 (a – b) 2 + (a + b) 2. ÖRNEK 56. z=. ( 1 + i) ( 2 – i) (1 – i) (3 + i). ise | z–1 | deԫerini bulunuz.. Çözüm. ÖRNEK 53. z = a2 – b2 + 2abi olduԫuna göre |z| deԫeri kaçtԩr?. |z| =. 1+i 2–i ^1 + i h^2 – i h = 1– i 3 + i ^1 – i h^3 + i h. Çözüm. |z| =. = 1 bulunur.. ^a 2. –. 2 b 2 h + (2ab) 2. =. a 4 – 2a 2 b 2 + b 4 + 4a 2 b 2. =. a 4 + 2a 2 b 2 + b 4. =. (a 2 + b 2) 2. 2. |z–1| = 2. =a +b. bulunur.. 1 = z. =. 1+1 4+1 1+1 9+1. =. 2. 5 1 = 2 . 10 2. 1 = 1 2. olup. 2 bulunur.. 25.

(29) Karmaԭԩk Sayԩlar. ԨKԨ KARMAԬIK SAYI ARASINDAKԨ UZAKLIK. ÖRNEK 59. z1 ve z2 karmaԭԩk sayԩlarԩna karԭԩlԩk gelen noktala-. |z – 1| = |z – i| eԭitliԫine karԭԩlԩk gelen z karmaԭԩk. rԩ birleԭtiren doԫru parçasԩnԩn uzunluԫu bu karmaԭԩk. sayԩlarԩnԩn geometrik yer denklemini bulunuz.. sayԩlar arasԩndaki uzaklԩktԩr.. Çözüm. y. z = x + iy alalԩm.. z2. d. |z – 1| = |z – i| |x + iy – 1| = |x + iy – i| |(x – 1) + iy| = |x + i (y – 1)|. z1. b. c. O. a. x. (x – 1) 2 + y 2 =. x 2 + (y – 1) 2. x2 – 2x + 1 + y2 = x2 + y2 – 2y + 1 –2x = –2y y = x olur.. z1 = a + bi ve z2 = c + di karmaԭԩk sayԩlarԩ arasԩndaki uzaklԩk z1z2 doԫru parçasԩnԩn uzunluԫudur.. O halde, z karmaԭԩk sayԩlarԩnԩn geometrik yer denklemi y = x doԫrusunun denklemidir.. |z1z2| = |z2 – z1| = |(c + di) – (a + bi)| = |(c – a) + i(d – b)| =. (c – a) 2 + (d – b) 2 ÖRNEK 60. |z – a – bi| = r eԭitliԫine karԭԩlԩk gelen z karmaԭԩk. z1 = 4 – 5i ve z2 = 1 – i karmaԭԩk sayԩlarԩ arasԩndaki uzaklԩԫԩ bulunuz. Çözüm. z1 ile z2 arasԩndaki uzaklԩk |z2 – z1| olup. ESEN YAYINLARI. ÖRNEK 57. sayԩlarԩnԩn geometrik yerinin M(a, b) merkezli, r yarԩçaplԩ çember olduԫunu gösteriniz. Çözüm. |z – a – bi| = r |x + iy – a – bi| = r |(x – a) + i(y – b)| = r. |z2 – z1| = |(1 – i) – (4 – 5i)|. . = |1 – 4 – i + 5i| = |–3 + 4i| =. (x – a) 2 + (y – b) 2 = r. (x – a)2 + (y – b)2 = r2 olur.. (–3) 2 + 4 2 = c25 = 5 tir.. Bu denklem M(a, b) merkezli, r yarԩçaplԩ çember denklemidir. ÖRNEK 58. z1 = 1 + xi ve z2 = 4 + 2i olmak üzere z1 ile z2 arasԩndaki uzaklԩk 5 br ise x deԫerini bulunuz.. ® |z – z0| = r eԭitliԫi, merkezi (a, b) ve yarԩçapԩ. Çözüm. z1 ile z2 arasԩndaki uzaklԩk 5 br ise, |z2 – z1| = 5 |(4 + 2i) – (1 + xi)| = 5 |(4 – 1) + i(2 – x)| = 5 |3 + i(2 – x)| = 5 . 3 2 + (2 – x) 2 = 5. 9 + (2 – x)2 = 25 (2 – x)2 = 16 |x – 2| = 4 x – 2 = 4 x – 2 = –4 x = 6 x = –2 dir. 26. z = x + iy , z0 = a + bi olmak üzere, r olan bir çember belirtir. ® |z – z0| < r eԭitsizliԫi, merkezi (a, b) ve yarԩçapԩ r olan çemberin iç bölgesini belirtir. ® |z – z0| > r eԭitsizliԫi, merkezi (a, b) ve yarԩçapԩ r olan çemberin dԩԭ bölgesini belirtir. ® r1 < |z – z0| < r2 eԭitsizliԫi, merkezleri (a, b) ve yarԩçaplarԩ r1 ile r2 olan çemberler arasԩndaki bölgeyi belirtir..

(30) Karmaԭԩk Sayԩlar ÖRNEK 61. ÖRNEK 63. |z – 3 – 2i| = 1. |z – 3| < 2. eԭitliԫini saԫlayan z karmaԭԩk sayԩlarԩnԩn geometrik. eԭitsizliԫine karԭԩlԩk gelen noktalarԩn geometrik yerini. yerinin denklemini bulup karmaԭԩk düzlemde göste-. bulunuz.. relim.. Çözüm. |z – 3| < 2 |z – (3 + 0i)| < 2 eԭitsizliԫini saԫla-. Çözüm. |z – 3 – 2i| = 1 |z – (3 + 2i)| = 1. yan noktalarԩn geometrik yeri M(3, 0). olacaԫԩndan z karmaԭԩk sayԩlarԩnԩn geometrik. ve r = 2 yarԩçaplԩ çemberin iç bölgesidir.. yeri, M(3, 2) merkezli ve r = 1 yarԩçaplԩ çember 2. merkezli. y. 2. olup, denklemi (x – 3) + (y – 2) = 1 dir. M. y. 1. 2. 3. 5. x. M. O. x. ESEN YAYINLARI. 3. ÖRNEK 62. |z + i| 1. ÖRNEK 64. 1 |z| < 2 eԭitsizlik sistemine karԭԩlԩk gelen noktalarԩn geomet-. eԭitsizliԫine karԭԩlԩk gelen noktalarԩn geometrik yerini. rik yerini bulunuz.. bulunuz.. Çözüm. Çözüm. 1 |z| < 2 eԭitsizlik sistemine karԭԩlԩk gelen nok-. |z + i| 1 |z – (0 – i)| 1. talarԩn geometrik yeri (0, 0) merkezli, r1 = 1 ve. eԭitsizliԫini saԫlayan noktalarԩn geometrik yeri. r2 = 2 yarԩçaplԩ çemberler arasԩndaki bölgedir.. M(0, –1) merkezli ve r = 1 yarԩçaplԩ çember ve bu çemberin dԩԭԩdԩr.. (r1 = 1 yarԩçaplԩ çember bölgeye aittir.) y. y. 2 1 O M Ð1 Ð2. x. Ð2. Ð1. O. 1. 2. x. Ð1 Ð2. 27.

(31) Karmaԭԩk Sayԩlar ÖRNEK 65. ÖRNEK 67. ` = { z: z D C, |z – 2| 1, Re(z) 2}. | z | 1 olmak üzere, | z – 3 + 4i| ifadesinin en büyük. biçiminde tanԩmlanan ` baԫԩntԩsԩnԩ karmaԭԩk düz-. ve en küçük deԫerlerini bulunuz.. lemde gösterelim.. Çözüm. Çözüm. |z| 1 koԭulunu saԫlayan z karmaԭԩk sayԩlarԩnԩn. |z – 2| 1 eԭitsizliԫi. görüntüsü O(0, 0) merkezli ve r = 1 br yarԩçaplԩ. (2, 0) merkezli, r = 1 yarԩçaplԩ çember ve içini. çember ile bu çemberin iç bölgesidir.. gösterir. Re(z) 2 x 2 olacaԫԩndan. |z – 3 + 4i| = |z – (3 – 4i)| ifadesi z sayԩlarԩ ile. ` baԫԩntԩsԩ aԭaԫԩdaki gibi olur.. z1 = 3 – 4i sayԩsԩ arasԩndaki uzaklԩԫԩ gösterir.. y. y. Re(z)=2 L 1. O. 2. 1. 3. O. Ð1. x. 3. Ð1. K. 5. z–2 = 1 baԫԩntԩsԩnԩn kompleks düzlemdeki grafiz+i ԫini çiziniz.. Ð4. z1=3 Ð 4i 3. z1 noktasԩndan ve çemberin merkezinden geçen doԫru çemberi K ve L noktasԩnda kessin. z ile z1 arasԩndaki en kԩsa uzaklԩk |KZ1| ve en. Çözüm. uzun uzaklԩk |LZ1| dir. O halde,. z = x + yi olmak üzere,. |z – 3 + 4i| ifadesinin en büyük deԫeri. z–2 z –2 =1 =1 z+i z+i. |OZ1| + |OL| = 5 + 1 = 6. |z – 2| = |z + i|. en küçük deԫeri;. |x + yi – 2| = |x + yi + i| . (x –. 2) 2 + y 2. =. x 2 + (y + 1) 2. x2 – 4x + 4 + y2 = x2 + y2 + 2y + 1 – 4x – 2y + 3 = 0 bulunur. y. c0 ,. 3 2. O. 28. ESEN YAYINLARI. 4. ÖRNEK 66. x. 1. 3 4. x. 3 3 m ve c , 0 m 2 4. noktalarԩndan geçen bir doԫrudur.. |OZ1| – |OK| = 5 – 1 = 4 olur..

(32) ALIŞTIRMALAR – 3 1.. 3.. Aԭaԫԩdaki tabloyu uygun deԫerlerle doldurunuz.. Aԭaԫԩda verilen z1 ve z2 karmaԭԩk sayԩlarԩna karԭԩlԩk gelen noktalar arasԩndaki uzaklԩԫԩ bulunuz.. z. |z|. |z|. z.z. a. z1 = 1 – 2i. ,. z2 = 4 + i. b. z1 = 2. ,. z2 = 3 – i. c. z1 = –2i. ,. z2 = 4i. d. z1 = 1 – i. ,. z2 = 1 + i. e. z1 = –2. ,. z2 = 4. f. z1 = v3 + i. ,. z2 = – v3 – 2i. 4 Ð 3i 1Ði 2+i Ð 4i 2i Ð2 v2 + 3. 2.. Aԭaԫԩdaki karmaԭԩk sayԩlarԩn baԭlangԩç noktasԩna olan uzaklԩklarԩnԩ bulunuz. a. z = (2 + i)(2 – 4i). ESEN YAYINLARI. 1+i 1Ði. b. z = (3 – i)6 4.. Aԭaԫԩdaki kümelere karmaԭԩk düzlemde karԭԩlԩk gelen noktalarԩn geometrik yerini bulunuz. – a. A = {z : 4 z. z 9 , z D C}. c. z =. a – bi b + ai. d. z =. (1 – i) (2 + i) (3 – 2i) (2 + 3i) (1 – 2i) (1 + i). b. A = {z :. e. z =. (1 + 2i) 3 ( 2 – i) 2. c. A = {z : |Im(z)| 2 , z D C}. f. z =. ( 3 + i) 2 (1 – 2i) 4 (2 – 2i) 2. d. A = {z : |Re(z)| > 1 , z D C}. 2. a. 10 b. 103 c. 1 d. 1 e. v5 f.. 25 2. z –1 = 1 , z D C} z + 2i. 3. a. 3v2 b. v2 c. 6 d. 2 e. 6 f. c21. 4. a. 4 x2 + y2 9 b. 2x + 4y + 3 = 0 c. –2 y 2 d. x > 1 veya x < –1. 29.

(33) Karmaԭԩk Sayԩlar. 5.. 7.. z = x + iy olmak üzere,. Aԭaԫԩda karmaԭԩk düzlemde grafikleri verilmiԭ. aԭaԫԩdaki ifadelere karmaԭԩk düzlemde karԭԩlԩk. olan kümeleri bulunuz.. gelen noktalar kümesini gösteriniz.. a.. y. a. Re(z) + Im(z) = 2. b. 2Re(z) – Im(z) < 1. x. 1. 0. c. Re(z) – Im(z) > 0. d. |z| = 2. b.. y. e. |z| 1 1. f. |z + 2| = |z – i|. x. 0. g. |z – 2 + 3i| = 2 ESEN YAYINLARI. c.. h. |z – 1| < 2. i. |z + 2i| 3. y 3. Ð3. 3. 0. x. Ð3. j. |z – 1| |z + i| d.. y. k. 2 |z| < 4. 6.. 2. Aԭaԫԩdaki ifadelerden doԫru olanlar için boԭ kutulara “D” yanlԩԭ olanlar için “Y” yazԩnԩz.. x. 2. 0. – z. z = |z|2 – |z| = |– z|. e.. y. |z 1 | – |z 2 | z 1 + z 2 |z 1 | + |z 2 | z1 + z2 = z1 + z2. 1. 3. x. | –z | = – | z |. 6. D, D, D, Y, Y. 30. 7. a. Re(z) > 1. b. Im(z) 1. c. |z| 3. d. |z – 2 – 2i| < 2. e. 1 |z| < 3.

(34) Karmaԭԩk Sayԩlar. KARMAԬIK SAYILARIN KUTUPSAL (TRԨGONOMETRԨK) BԨÇԨMԨ z = a + bi karmaԭԩk sayԩsԩnԩn karmaԭԩk düzlemdeki görüntüsü a yanda çizilmiԭtir. |OZ| = |z| = r ve m( ZOA) = _ olmak üzere. y z=a+bi. B(0,b). ZOA dik üçgeninde,. |z|=r. OA a a = |z|.cos_ cos_ = = OZ z sin_ =. b. _ O. ZA b = b = |z|.sin_ dԩr. OZ z. a. A(a,0). x. Bu deԫerleri z = a + bi karmaԭԩk sayԩsԩnda yerine yazarsak z = a + bi = |z|.cos_ + i.|z|.sin_ = |z|(cos_ + isin_) eԭitliԫini elde ederiz. Bu yazԩlԩԭa z = a + bi karmaԭԩk sayԩsԩnԩn kutupsal (trigonometrik) gösterimi denir. Bu gösterim kԩsaca, z = r cis_ biçiminde de gösterilebilir. Ayrԩca, k D Z olmak üzere, z = r cis_ = r cis(_ + k.2/) olarak yazԩlabileceԫine de dikkat ediniz.. Bir Karmaԭԩk Sayԩnԩn Kutupsal Koordinatlarԩ Yukarԩdaki ԭekilde OZ doԫrusunun x ekseniyle yaptԩԫԩ pozitif yönlü açԩya z karmaԭԩk sayԩsԩnԩn ARGÜMENTԨ denir. b b a , sin_ = veya tan_ = eԭitliklerini saԫlayan _ gerçek sayԩsԩ, z karmaԭԩk sayԩsԩnԩn argümenti a z z olup arg(z) = _ biçiminde gösterilir.. cos_ =. k D Z olmak üzere ölçüsü, _ + k.2/ olan açԩlar z karmaԭԩk sayԩsԩnԩn argümentleridir. Buradaki _ gerçel sayԩsԩ z nin esas argümentidir. Bir karmaԭԩk sayԩnԩn, mutlak deԫeri ile esas argümentinin oluԭturduԫu sԩralԩ ikiliye bu sayԩnԩn KUTUPSAL KOORDԨNATLARI denir ve (| z |, _) veya (r, _) biçiminde gösterilir. Çözüm. ÖRNEK 68. |OZ| = |z| = r olduԫundan, r = 3 tür. a m( ZOK) = 20° olduԫundan arg(z) = 20° dir.. y. O. Bu durumda. z. 3. z. karmaԭԩk sayԩsԩnԩn kutupsal. biçimi;. 20¡ K. x. a Grafikte, |OZ| = 3 br, m( ZOK) = 20° ise z karmaԭԩk sayԩsԩnԩn kutupsal biçimini bulunuz.. z = r(cos_ + isin_) z = 3(cos20° + isin20°) veya kԩsaca z = 3cis20° dir.. 31.

(35) Karmaԭԩk Sayԩlar ÖRNEK 69. ÖRNEK 71. Aԭaԫԩdaki grafiklerde verilen karmaԭԩk sayԩlarԩn ku-. y. tupsal biçimi altԩna yazԩlmԩԭtԩr. Ԩnceleyiniz.. K. z. 2. y. y 5 z2. 40¡ O. x. L. z1. a Grafikte, |OZ| = 2 br, m( ZOK) = 40° ise z karmaԭԩk. x. 0. Ð3. z1 = 3cis180°. sayԩsԩnԩn kutupsal biçimini bulunuz.. x. 0. z2 = 5cis90°. Çözüm. |OZ| = |z| = r olduԫundan, r = 2 dir. a a m( ZOK) = 40° ise m( ZOL) = 40° + 90° = 130°. y. olacaԫԩndan arg(z) = 130° dir.. y. x. 0 z3 Ð2. z = r(cos_ + isin_) ESEN YAYINLARI. z = 2cis130° dir.. z3 = 2cis270°. x. 30¡ 4. Bu durumda z karmaԭԩk sayԩsԩnԩn kutupsal biçimi;. z = 2(cos130° + isin130°) veya kԩsaca. 0. z4. z4 = 4cis330°. ÖRNEK 72. z = –3i karmaԭԩk sayԩsԩnԩn kutupsal biçimini bulunuz.. ÖRNEK 70. Çözüm. y. y. z O. 4. x. _=270¡ x. Grafikte, |OZ| = 4 br ise z karmaԭԩk sayԩsԩnԩn kutup-. Ð3 z. sal biçimini bulunuz. z = –3i karmaԭԩk sayԩsԩnԩn düzlemdeki gösteriliԭi. Çözüm. r = |OZ| = 4 tür.. yandaki gibidir. Burada görüldüԫü gibi,. OZ doԫrusunun x ekseni ile yaptԩԫԩ pozitif yönlü. |z| = 3 br. açԩ 0° olduԫundan, arg(z) = 0° dir. Bu durumda, z = r(cos_ + isin_) = 4(cos_ + isin_) = 4(cos0° + isin0°) veya z = 4cis0° biçiminde gösterilir. 32. arg(z) = 270° dir. Buna göre, z = r(cos_ + isin_) z = 3(cos270° + isin270°) veya z = 3cis270° dir..

(36) Karmaԭԩk Sayԩlar ÖRNEK 73. ÖRNEK 75. z = 1 + v3i. karmaԭԩk sayԩsԩnԩn kutupsal biçimini. z = 1 – i karmaԭԩk sayԩsԩnԩn kutupsal biçimini bulu-. bulunuz.. nuz.. Çözüm. Çözüm y. y z. v3. _. 1. x. `. _. x. 1. 0. Ð1. 12 + ^ 3 h = 2. r = |z| =. 1+3 = 2. r z = 2cis 3. = –tan`. r r + i sin l veya kԩsaca 3 3 bulunur.. 2. tan_ = tan(2/ – `). = –1 _ = ESEN YAYINLARI. z = 2 b cos. 1 + ^–1 h2 =. r = |z| =. 3 r tan_ = = v3 _ = olacaԫԩndan, 1 3 z = r(cos_ + isin_). z. 7r 4. olacaԫԩndan,. z = r (cos_ + isin_) z=. 2 c cos. 7r 7r + i sin m 4 4. olur.. ÖRNEK 74. z = –1 + v3i karmaԭԩk sayԩsԩnԩn kutupsal biçimini ÖRNEK 76. bulunuz.. Kutupsal koordinatlarԩ c 2 2 ,. Çözüm y. z. sayԩyԩ standart biçimde yazԩnԩz. Çözüm. v3. Kutupsal koordinatlarԩ. r = |z| =. x. 0. (–1) 2 + ( 3 ) 2 =. tan_ = –tan` = –. 1+3 = 2. 3 =– 3 1. 2r olacaԫԩndan, 3 2r z = rcis_ z = 2cis 3. c2 2 ,. 5r m 3. olan kar-. maԭԩk sayԩnԩn mutlak deԫeri (modülü) 2 2 ve. _ ` Ð1. 5r m olan karmaԭԩk 3. _=. olur.. argümenti. 5r tür. Buna göre, 3. z = r (cos_ + i sin_) = 2 2 c cos. 5r 5r + i sin m 3 3. = 2 2d. 1 3 + id – nn 2 2. 2–. 6 i bulunur.. =. 33.

(37) Karmaԭԩk Sayԩlar. z karmaÁ›k say›s›n›n standart biçimi. |z| = r. z karmaÁ›k say›s›n›n düzlemde gösterilmesi. arg(z) = _. z karmaÁ›k say›s›n›n kutupsal biçimi. y. z = a + bi. =. z. b. r = |z|. b tan_ = a. a2 + b2. z = rcis_ _. x. a. 0. y. r= z = v3 + i. (v3)2 + 12. =2. tan_ = _=. 1 v3. z. 1. z = 2cis. 2. / 6. / 6 0. / 6. x. v3. y. z = 2 – 2i. r=. 22 + (–2)2. tan_ = –. 2 = –1 2. 7/ 4. 2. 7/ _= 4. = 2v2. x. 2v2. z = 2v2cis. 7/ 4. z. –2. y. z = –2 + 2v3i. r=. (–2)2 + (2v3)2. =4. 2v3 = – v3 2 2/ _= 3. tan_ = –. z. 2v3 4 2/ 3. –2. z = 4cis x. 2/ 3. y. z = –1 – i. 34. r=. (–1)2. = v2. +. (–1)2. –1 =1 –1 5/ _= 4. tan_ =. 5/ 4. –1. z. v2. –1. x. z = v2cis. 5/ 4.

(38) Karmaԭԩk Sayԩlar y. z0 = a + bi karmaԭԩk sayԩsԩnԩn karmaԭԩk düzlem-. P. deki görüntüsü A(a, b) olmak üzere, 1 z2. y. z0. x. 0. K. r koԭulu saԫlayan z karmaԭԩk 2 sayԩlarԩnԩn görüntüsü z2P yarԩ doԫrusudur. arg(z – i) =. A. e. x. 0. arg(z – z0) = e koԭulunu saԫlayan z karmaԭԩk sayԩlarԩnԩn görüntüsü AK yarԩ doԫrusudur.. y P. K. A ÖRNEK 77. 1 z2 Ð2. r eԭitliԫini saԫlayan z karmaԭԩk sa4 yԩlarԩnԩn karmaԭԩk düzlemdeki görüntüsünü bulunuz. arg(z – 2i) =. z1. arg(z + 2) =. K 2 45¡. z0 x. 0. ESEN YAYINLARI. Çözüm y. 60¡. r 3. x. 0. ve arg(z – i) =. r 2. koԭullarԩnԩ. birlikte saԫlayan z karmaԭԩk sayԩsԩnԩn görüntüsü z1K ve z2P yarԩ doԫrularԩnԩn kesim noktasԩ olan A noktasԩdԩr. AOz1 dik üçgeninde, |Oz1| = 2 |OA| = 2v3 olacaԫԩndan A(0, 2v3) olup z = 0 + 2v3i = 2v3i bulunur.. r olduԫundan z karmaԭԩk sayԩla4 rԩnԩn görüntüsü z0K yarԩ doԫrusudur. arg(z – 2i) =. ÖRNEK 79 ÖRNEK 78. r r ve arg(z – i) = koԭullarԩnԩ saԫ3 2 layan z karmaԭԩk sayԩsԩnԩ bulunuz.. arg(z + 2) =. y. z1. 0. x. r olduԫundan bu ko3 ԭulu saԫlayan z karmaԭԩk sayԩlarԩnԩn görüntüsü arg(z + 2) = arg(z – (–2)) =. z1K yarԩ doԫrusudur.. r r – i l ve cose = sin b – i l olup 2 2. z = sine – icose = cos b. K. 60¡. Çözüm. sine = cos b. Çözüm. Ð2. z = sine – icose ise z nin esas argümentini bulunuz.. r r – i l – isin b – i l 2 2. = cos :– b i – = cos b i – O halde, arg(z) = i –. r r lD – i sin :– b i – lD 2 2. r r l + i sin b i – l olur. 2 2. r dir. 2 35.

(39) Karmaԭԩk Sayԩlar ÖRNEK 80. ÖRNEK 82. 4r arg(z + 1) = 5r ve arg(z – 3) = 3 3 saԫlayan z karmaԭԩk sayԩsԩnԩ bulunuz.. z = sin50° – icos50° ise z nin esas argümentini. eԭitliklerini. bulunuz. Çözüm. Çözüm. z = sin50° – icos50°. z = x + iy olsun.. = cos(90° – 50°) – isin(90° – 50°). z + 1 = (x + 1) + iy ve z – 3 = (x – 3) + iy. = cos40° – isin40°. olacaԫԩndan. = cos(360° – 320°) – isin(360° – 320°). y 5r = tan arg(z + 1) = 5r 3 x+1 3 y =– 3 x+1 y = –v3x – v3. = cos320° + isin320° olacaԫԩndan ..... (I). arg(z) = 320° dir.. y 4r 4r = tan 3 x–3 3 . y = x–3. 3. y = v3x – 3v3. ..... (II). I ve II eԭitliklerinden –v3x – v3 = v3x – 3v3 –v3(x + 1) = v3(x – 3) –(x + 1) = x – 3 –x – 1 = x – 3 x = 1 olur.. ÖRNEK 83. ESEN YAYINLARI. arg(z – 3) =. = cos320° – i(–sin320°). z = 1 + cos40° + isin40° ise |z| deԫerini bulunuz. Çözüm. 1. Yol |z| =. y = –v3x – v3 y = –v3.1 – v3. =. Bu durumda z = x + iy = 1 + i(–2v3) = 1 – 2v3i bulunur.. =. 2 + 2 cos 40°. =. 2 + 2 (2 cos 2 20° – 1). =. 2 + 4 cos 2 20° – 2. =. 4 cos 2 20° = 2 cos20° bulunur.. ÖRNEK 81. r = |4| ve arg(z) = 2r olduԫundan 3 z = r(cos_ + isin_) 1 3 + in 2 2. z = 2(–1 + v3i) bulunur. 36. 2. Yol z = 1 + cos40° + isin40°. Çözüm. z = 4d –. 1 + 2 cos 40° + cos 2 40° + sin 2 40° 14444 244443 1. y = –2v3 olur.. 2r Kutupsal koordinatlarԩ c 4, m olan karmaԭԩk sayԩyԩ 3 standart biçimde yazalԩm.. ^1 + cos 40°h2 + sin 2 40°. z = 1 + 2cos220° – 1 + i2sin20°.cos20° = 2cos220° + 2isin20°.cos20° = 2cos20°(cos20° + isin20°) olur..

(40) |z| Bu durumda, |z| = 2cos20° bulunur..

(41) Karmaԭԩk Sayԩlar. KUTUPSAL BԨÇԨMDE ԨԬLEMLER. ÖRNEK 84. Toplama ve Çԩkarma Ԩԭlemi. z = 1 + i.tan20° karmaԭԩk sayԩsԩnԩn esas argümenti. Kutupsal biçimde verilen iki karmaԭԩk sayԩ toplanԩr. aԭaԫԩdakilerden hangisidir?. veya çԩkarԩlԩrken reel kԩsԩmlarԩ kendi aralarԩnda, sanal. Çözüm. z = 1 + i.tan20° = 1 + i. kԩsԩmlarԩ da kendi aralarԩnda toplanԩr veya çԩkarԩlԩr.. sin 20° cos 20°. z1 = r1(cos_ + isin_). =. cos 20° + i sin 20° cos 20°. z2 = r2(cos` + i sin`) olmak üzere. =. 1 (cos20° + isin20°) dir. cos 20°. z1 + z2 = (r1cos_ + r2cos`) + (r1sin_ + r2sin`)i. Bu durumda, |z| =. 1 cos 20°. ÖRNEK 86. ve arg(z) = 20° bulunur.. z1 = 4(cos45° + i sin45°) z2 = 2(cos60° + i sin60°) ise z1 + z2 sayԩsԩnԩ bulunuz. Çözüm. ÖRNEK 85. z1 = 4cos45° + 4i sin45°. |z + 4| = 2 koԭulunu saԫlayan z karmaԭԩk sayԩlarԩn-. Çözüm. |z + 4| = 2. koԭulunu saԫlayan. z. karmaԭԩk. sayԩlarԩ,. ESEN YAYINLARI. dan esas argümenti en küçük olanԩn esas argümentini bulunuz.. z2 = 2cos60° + 2i sin60° z1 + z2 = 4cos45°+2cos60°+i(4sin45°+2sin60°) =4. 2 1 2 3 + 2 + id 4 +2 n 2 2 2 2. = 2v2 + 1 + i(2v2 + v3) olur.. M(–4, 0) merkezli r = 2 yarԩçaplԩ çember üzerindeki noktalar olduԫundan y. ÖRNEK 87 z1 2 M Ð4. z1 = cos60° + isin60° Ð2. O. x. z2 = cos30° + isin30° ise z1 – z2 sayԩsԩnԩ bulunuz. Çözüm. grafikte de görüldüԫü gibi z karmaԭԩk sayԩlarԩndan argümenti en küçük olan z1 dir. MOz1 dik üçgeninde,. z1 = cos60° + isin60° =. 1 3 + i 2 2. z2 = cos30° + isin30° =. 3 1 + i 2 2. |OM| = 4 br ve |Mz1| = 2 br olduԫundan % m (MOz 1) = 30° olur. Bu durumda arg(z1) = 180° – 30° = 150° bulunur.. z1 – z2 =. 1 3 3 1 + i– – i 2 2 2 2. =d. 1 3 3 1 – – n dir. n + id 2 2 2 2 37.

(2) Genel M&uuml;d&uuml;r

(2) Genel Müdür