Prof.Dr.F.Nejat EKMEKC· I, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.· Ismail GÖK

MAT 114 L· INEER CEB· IR ( · ISTAT· IST· IK, ASTRONOM· I ve UZAY B· IL· IMLER· I) Hafta 14: Özde¼ gerler ve Özvektörler

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKC· I, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.· Ismail GÖK

2017-2018 BAHAR

Kö¸segenle¸stirme

Tan¬m 36: A 2 ^R

matrisi bir kö¸segen matrise benzer ise A matrisine kö¸ segenle¸ stirilebilir matris ad¬verilir. A 2 R

matrisinin kö¸segen matrise benzer olmas¬demek D = P

AP

matrisi bir kö¸segen matris olacal ¸sekilde regüler bir P matrisinin bulunmas¬demektir. Burada P matrisi karakteristik uzaylar¬n baz vektörlerini sütun kabul eden matristir. Burada D matrisine A matrisinin kö¸segen matrisi ad¬verilir.

A 2 R

matrisinin birbirinden farkl¬n tane özde¼ geri varsa bu matris kö¸segenle¸stirilebilirdir.

Uyar¬: A 2 ^R

matrisinin birbirinden farkl¬n tane özde¼ geri yoksa kö¸segenle¸stirilemez denilemez. Ancak A 2 R

matrisi

kö¸segenle¸stirilemeyen matris ise n tane farkl¬karakteristik de¼ geri olamaz.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Örnek 65: A = ^{3 1}

2 2 matrisini kö¸segen hale getiriniz.

Çözüm:

P

( λ ) = det ( A λI

) = det 3 λ 1

2 2 λ

= λ

5λ + 4

P

( λ ) = 0 denkleminden matrisin karakteristik de¼ gerleri λ

= 1 ve

λ

= 4 olur.

λ

= 1 için kar¸s¬l¬k gelen karakteristik vektör AX = X denkleminden

A = ^{3 1} 2 2

x

x

= ^x

x

3x

+ x

= x

2x

+ 2x

= x

x

= 2x

X

= ¹ 2

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

λ

= 4 için kar¸s¬l¬k gelen karakteristik vektör AX = 4X denkleminden

A = ^{3 1} 2 2

x

x

= 4 x

x

3x

+ x

= 4x

2x

+ 2x

= 4x

x

= x

X

= ¹

1

olarak bulunur.

1

1 , 1

2 lineer ba¼ g¬ms¬z oldu¼ gundan A matrisi kö¸segenle¸stirilebilir.

P = ^{1 1}

2 1 , P

= ¹ 3

1 1

2 1

ve

D = P

AP = ¹ 3

1 1

2 1

3 1 2 2

1 1

2 1

= ^{1 0} 0 4 Örnek 66:

A : R

! R

, A ( x, y , z ) = ( 3x, 2x y , x + 2y + z ) lineer dönü¸sümüne kar¸s¬l¬k gelen A 2 ^R

matrisi

kö¸segenle¸stirilebilir bir matris midir? Cevab¬n¬z EVET ise A matrisinin benzer oldu¼ gu D matrisini ve regüler P matrisini bulunuz.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Örnek 67:

A : R

! ^R

^{, A} ( x, y , z ) = ( x 2y + 2z, y 2x 2z, 2x + 2y + 3z )

lineer dönü¸sümü kö¸segenle¸stirilebilir midir? Cevab¬n¬z EVET ise A

matrisinin benzer oldu¼ gu D matrisini ve regüler P matrisini

bulunuz.

Örnek 68:

A : R

! ^R

^{, A} ( x, y , z ) = ( 2x + 2y + 3z, 3x + 3y + 5z, x y z ) lineer dönü¸sümü kö¸segenle¸stirilebilir midir? Cevab¬n¬z EVET ise A matrisinin benzer oldu¼ gu D matrisini ve regüler P matrisini bulunuz.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Örnek 69:

A : R

! ^R

^{, A} ( x, y , z ) = ( 4x 5y 3z, 3x + 4y 2z, 2x 2y )

lineer dönü¸sümü kö¸segenle¸stirilebilir midir? Cevab¬n¬z EVET ise A

matrisinin benzer oldu¼ gu D matrisini ve regüler P matrisini

bulunuz.

Örnek 70:

A : R

! ^R

^{, A} ( x, y , z ) = ( x + 2y , y , 2x 2z )

lineer dönü¸sümü kö¸segenle¸stirilebilir midir? Cevab¬n¬z EVET ise A matrisinin benzer oldu¼ gu D matrisini ve regüler P matrisini bulunuz.

Nejat Ekmekci, Yusuf Yayl¬ve ·Ismail Gök Mat 114 Lineer Cebir

Kaynaklar

1) A. Sabuncuo¼ glu, Mühendislik ve · Istatistik Bölümleri · Için Lineer Cebir, Nobel Akademik Yay¬nc¬l¬k, 2017.

2) B. Kolman and D.R. Hill, Uygulamal¬Lineer Cebir, Çeviri Editörü: Ömer Ak¬n, Palme Yay¬nc¬l¬k, 2011.

3) F. Çall¬alp, Lineer Cebir Problemleri, Birsen Yay¬nevi, 2008.

4) H. Anton, Elementary Linear Algebra, Drexel University, 1984, ISBN:0-471-09890-6.

5) H. H. Hac¬saliho¼ glu, Temel ve Genel Matematik Cilt II, 1985.