ÜÇ BOYUTLU RIEMANN UZAYINDA RICCI VE EINSTEIN TENSÖRLERİNDEN RIEMANN METRİĞİNE GEÇİŞ

(1)

ÜÇ BOYUTLU RIEMANN UZAYINDA RICCI VE EINSTEIN TENSÖRLERİNDEN RIEMANN METRİĞİNE GEÇİŞ

Erhan ATA*

*Dumlupınar Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü 43100, KÜTAHYA

ÖZET

Bu makalede Diferensiyel Geometride çok kullanım alanına sahip olan Ricci Eğriliği, Einstein Eğriliği ve Riemann Metriği kavramları verilerek, zor bir durum olan Ricci ve Einstein tensörleri verildiğinde Riemann metriğinin bulunması gösterildi.

Anahtar Kelimeler: Riemann manifoldu, Riemann metriği, Riemann konneksiyonu, Riemann eğrilik tensörü, Ricci tensörünün bileşenleri, Einstein tensörünün bileşenleri.

1. GİRİŞ

1.1. Riemann Manifoldu

Tanım 1.1.1.

M

bir manifold olmak üzere

<,> : χ ( M ) × χ ( M ) → C

^∞

( M , IR )

dönüşümü aşağıdaki şartları sağlıyorsa bu dönüşüme

M

üzerinde Riemann metriği veya metrik tensör denir.

[ ] 3

i)

<,>

dönüşümü 2-lineerdir.

ii) <,> dönüşümü simetriktir.

iii)

<,>

dönüşümü pozitif tanımlıdır.

Tanım 1.1.2. Üzerinde Riemann metriği tanımlanmış manifolda Riemann manifoldu denir

[ ] 3

Tanım 1.1.3.

M

bir manifold olmak üzere

Y D Y X D Y

X

M M

M D

=

X

→

×

) , ( )

, (

) ( ) ( ) (

: χ χ χ

dönüşümü,

i)

D

_X

( Y + ) Z = D

_X

Y + D

_X

Z

(2)

ii)

D

₍_X_{+ )}_Y

Z = D

_X

Z + D

_Y

Z

iii)

D

_fX

Y = fD

_X

Y

;

∀ f ∈ C

^∞

( M , IR )

iv)

D

_X

( fY ) = X ( f ) Y + fD

_X

Y

özelliklerini sağlıyorsa

D

ye

M

üzerinde bir afin konneksiyon denir

[ ] 3 .

Tanım 1.1.4.

M

bir yarı-Riemann manifoldu ve

M

üzerinde afin konneksiyon D olmak üzere

[ ]

( , ) , , ; ( )

) (

) ( ,

; ,

) (

M Z

Z D Y Z

Y D Z

Y X ii

M Y

X X D Y D Y X i

X X

Y X

χ χ

∈

∀

>

<

+

>

=<

>

<

∈

∀

−

=

özelliklerini sağlıyor ise D ye Riemann konneksiyonu denir

[ ] 3 .

Tanım 1.1.5.

M

n-boyutlu bir Riemann manifoldu ve

M

üzerindeki lokal koordinat fonksiyonları

{ x

₁

, x

₂

,..., x

_n

}

olmak üzere

χ (M )

in bir bazını

⎭ ⎬

⎫

⎩ ⎨

⎧

∂

x

n

x x , , ... ,

2 1

olarak alalım. Ayrıca

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

∂

= ∂

∂ >

∂

=< ∂

j i

j i ij

x G x

x g x

, ,

ve _j

j i

i

x

x = ∂

∂

∂ ∂

∂ =

∂ ,

olmak üzere

n k j i D

_∂_i

∂

_j

= Γ

_ij^k

∂

_k

; 1 ≤ , , ≤

denklemi

n

³ tane

IR

k

M

ij

→

Γ :

C

∞ fonksiyonu tanımlar. Bu fonksiyonlara christoffel fonksiyonları veya christoffel sembolleri denir

[ ] 3 .

Teorem 1.1.1. M bir Riemann manifoldu ise M üzerinde bir tek Riemann konneksiyonu vardır

[ ] 3 .

Tanım 1.1.6.

M

bir Riemann manifoldu ve

M

üzerindeki vektör alanlarının uzayı

)

χ (M

olsun.

M

üzerindeki konneksiyon

D

olmak üzere

biçiminde tanımlı

( 1 , 3 )

tipli tensör alanına Riemann eğrilik tensörü denir

[ ] 3 .

(3)

Tanım 1.1.7 (Ricci curvature).

M

n-boyutlu bir Riemann manifoldu,

T

_M

( p )

,

p ∈ M

noktasındaki tanjant uzay ve

x

_p

∈ T

_M

( p )

olsun.

) ( p

T

_M nin

x

_pyi ihtiva eden bütün 2-boyutlu altuzaylarına göre sectional curvature’larının toplamına M nin p noktasındaki Ricci curvature’ı denir

[ ] 3 .

Tanım 1.1.8 (Scalar curvature).

M

n-boyutlu bir Riemann manifoldu ve

T

_M

( p )

bir

M

p ∈

noktasındaki tanjant uzay olsun.

) ( p

T

_M nin bütün 2-boyutlu altuzaylarına göre olan sectional curvature’larının toplamına scalar curvature denir

[ ] 3 .

Eğer

( X Y ) Z D D Z D D Z D

_[ _]

Z R , =

_X _Y

−

_Y _X

−

_X_,_Y

eşitliğinde

k k j

j i

i

Z x

Y x

X x = ∂

∂

= ∂

∂

∂ =

= ∂

∂

∂ =

= ∂ , ,

alınırsa

(

i j

)

k

D

_i

D

_j k

D

_j

D

_i k

D _[

_i _j

_]

k

R ∂ , ∂ ∂ =

_∂ _∂

∂ −

_∂ _∂

∂ −

_∂_,_∂

∂

bulunur. Ayrıca

[ ] ( )

s s

kij k j i j

i

∂ = R ∂ ∂ ∂ = R ∂

∂ , 0 , ,

olduğundan

( ) ( )

( )

s h js s ik h is s jk j s jk

i s jk

h h js s ik h h is s jk s j s jk s i s jk

h h js s ik s j s jk h h is s jk s i s jk

s s jk s s jk j s s jk s s s jk i

s s ik s

s jk s

kij

x x

D D

R

j i

⎟ ∂

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛ + Γ Γ − Γ Γ

∂ Γ

− ∂

∂ Γ

= ∂

∂ Γ Γ

−

∂ Γ Γ +

∂ ∂ Γ

− ∂

∂ ∂ Γ

= ∂

∂ Γ Γ

−

∂ ∂ Γ

− ∂

∂ Γ Γ +

∂ ∂ Γ + ∂

∂ Γ

−

∂ Γ

∂

−

∂ Γ +

∂

∂ Γ

∂

=

∂ Γ

−

∂ Γ

=

∂

buradan

( i j k h s n )

x

R x

^s_jk _is^h _ik^s _js^h

j s jk

i s s jk

kij

+ Γ Γ − Γ Γ ≤ ≤

∂ Γ

− ∂

∂ Γ

= ∂ ; 1 , , , ,

(1)

elde edilir. Ayrıca

k ijk ji

ij

R R

R = =

(4)

Ricci tensörünün bileşenleri ve

R R

G

_ij _ij

δ

_ij

2 − 1

=

ise Einstein tensörünün bileşenleridir. Burada

ij ij

R g R =

skaler curvature ve

( ) g

ij manifold üzerinde tanımlı Riemann metriğidir

[ ] 3 .

Tanım 1.1.9. Bir hiperküre üzerindeki koordinat sistemi

{ x

₁

, x

₂

,..., x

_n₋₁

}

olsun.

V

₀

hiperküre üzerindeki herhangi bir nokta olmak üzere her bir

( x

₁

, x

₂

,..., x

_n₋₁

)

noktasının

V

0dan başlayan bir geodezik çizgi tarafından birleştirildiğini kabul edelim. Geodezik doğru üzerindeki herhangi bir L noktası

x

_n

= s = V

₀

L

yayının uzunluğu olarak karakterize edilsin. Bu durumda geodezik doğrular boyunca elde edilen

{ x

₁

, x

₂

,..., x

_n₋₁

}

koordinat sistemine semi-geodezik koordinat sistemi denir

[ ] 1 .

2. RICCI ve EINSTEIN TENSÖRLERİNDEN BİR RIEMANN METRİĞİ BULMA Ricci ve Einstein tensörlerine göre bir metrik bulma problemi ilginç problemlerden biridir.

Problem non-lineer kısmi diferensiyel denklemlerin zor bir sisteminin uygun bir probleminin incelenmesine indirgenir.

Üç boyutlu Riemann uzayında Ricci ve Einstein tensörlerine göre bir metrik bulma problemi

C

²

( D )

uzayında bir çözümün tekliği ile ilgilidir. Ricci ve Einstein tensörlerinin bileşenlerinin sayısı

( g

_ij

)

metrik tensörünün bileşenlerinin sayısına eşittir ve bu düşüncede problem iyi şekillenir.

{ = (

₁

,

₂

,

₃

) ∈ 0 < < 1 , = 1 , 2 , 3 }

= x x x x IR x i

D

_i ve

( ^g

ij

⁽ ^x ⁾ ) ∈ ^C

²

⁽ ^D ⁾

metriği semi-geodezik koordinatlarda verilen ve

x

_i

( i = 1 , 2 , 3 )

sabit koordinat eğrilerinin yay uzunluğu

x

₁ olacak biçimde

D

bölgesinde tanımlı Riemann metriği olsun.

k ijk ji

ij

R R

R = =

Ricci tensörünün bileşenleri ve

R

_ijk^k

, ( g

_ij

)

nin eğrilik tensörünün bileşenleridir.

(

_ij ^ij

)

ij ij

ij

R g R R R g

G = − , =

2 1

Einstein tensörünün bileşenleridir, burada ve bundan sonra 1 den 3 e kadar tekrarlı indisler üzerinden toplam anlaşılacaktır.

) ( ),

( g

^ij

g

_ij nin inversidir

[ ] 3 .

(5)

2.1. Ricci Tensörü Verildiğinde Bir Riemann Metriği Bulma

Problem 2.1.1.

D = { x = ⁽ x

1

^, x

2

^, x

3

⁾ ∈ IR ⁰ < x

_i

< ¹ ^, i = ¹ ^, ² ^, ³ }

bölgesinde

{ } R

ij

Ricci tensörünün bileşenleri verildiğinde bir

( ^g

ij

⁽ ^x ⁾ ) ∈ ^C

²

⁽ ^D ⁾

metriğini bulmak için

)

, ( , ) ( ,

)

(

¹ ₂ ₃

1 0 0

0

1 1

x x x x x g

x g g

g

_ij

x ij x ij

ij

= ′ ′ =

∂

′ ∂

=

= = (2)

Koşullarının verilmesi gerekir.

Teorem 2.1.1.

D

bölgesinde

{ } R

ij Ricci tensörünün bileşenleri verilsin. Bu durumda

)

, ( , ) ( ,

)

(

¹ ₂ ₃

1 0 0

0

1 1

x x x x x g

x g g

g

_ij

x ij x ij

ij

= ′ ′ =

∂

′ ∂

=

koşulları altında

C

²

( D )

uzayında yalnızca bir

g = ( g

_ij

)

çözümüne sahiptir.

İspat. Riemann uzayının

g = ( g

_ij

)

metrik tensörü verilirse karşılık gelen eğrilik tensörünün bileşenlerinin (1) den

i pk p qs p qk i ps k i qs

s i i qk

qks

x x

R + Γ Γ − Γ Γ

∂ Γ

− ∂

∂ Γ

= ∂

ve Koszul eşitliğinden

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

∂

− ∂

∂ + ∂

∂

= ∂ Γ

s ij

i js

j is ks k

ij

x

g x g x g g 2

1

(3)

olduğunu biliyoruz.

( g

^ij

)

metriği semi-geodezik koordinatlarda verildiğinden

n j

g

₁₁

= 0 ,

₁_j

= 0 , = 2 , 3 ,...,

dir. (3) de

i = j = 1

alırsak

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂ + ∂

∂

= ∂ Γ

s s s

ks k

x g x g x

g g

¹¹

1 1 1

1

11

2

1

ve buradan

11

= 0 Γ

^k

olur. (1) de

q = k = 1 , s = m

ve

i = k

dersek

k p p m p k pm k m m

k k

m

x x

R

₁₁ ₁ ₁

1 1 11

11

+ Γ Γ − Γ Γ

∂ Γ

− ∂

∂ Γ

= ∂

olduğundan

(6)

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + Γ Γ

∂ Γ

− ∂

=

^k^m ^p_m _p^k

k

m

x

R

₁ ₁

1 1 11

ve bu eşitliğin her iki tarafını

g

_µ_k ile çarparsak

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + Γ Γ

∂ Γ

− ∂

=

_k ^k^m ^p_m _p^k

k m

k

R g x

g

₁ ₁

1 1

11 µ

µ (4)

buluruz. Ayrıca

g

₁_s

= f

₁_s olduğundan (3) de

i = , 1 j = m

alırsak

1 , 1 2 ;

1

₁

1 1

1

⎟⎟ ⎠ ≠ ≠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂ + ∂

∂

= ∂

Γ s m

x g x g x g g

s m ms

m ks s k

m

buradan

1

2

1 x g

^ks

g

^ms

k

m

∂

= ∂ Γ

olur. Bu son eşitliğin her iki tarafının

x

₁ e göre türevini alırsak

2 1 2 1

1

1 1

2 1 2

1 2 1

x g g x

g x g

x g g x x

ms ks ms

ks

ms ks k

m

∂ + ∂

∂

= ∂

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

∂

= ∂

∂ Γ

∂

ve her iki tarafı

g

_µ_k ile çarparsak

2 1 2 1

1 1

1

2 1 2

1 x g g x g

g x g g

g

_k

x

^k_m _k ^ks ^ms _k ^ks ^ms

∂ + ∂

∂

= ∂

∂ Γ

∂

µ µ

µ

olur, burada

g

_µ_k

g

^ks çarpımı

µ = s

için 1, diğer durumlarda 0 olduğundan

2 1 2 1

1 1

1

2 1 2

1 x g x

g x g g

g

_k

x

^k_m _k ^ks ^ms ^ms

∂ + ∂

∂

= ∂

∂ Γ

∂

µ

µ (5)

olur. (3) den

1

1 1 1

1

2 1 2 1

x g g

x g x g x g g

ps ms

s m ms

m ps s p

m

∂

= ∂

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂ + ∂

∂

= ∂ Γ

ve

(7)

1

1 1 1

1

2 1 2 1

x g g

x g x g x g g

lk pl

l pl m p

lk l k

p

∂

= ∂

⎟ ⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎝

⎛

∂

− ∂

∂ + ∂

∂

= ∂ Γ

yazabiliriz. Bu son iki eşitlik taraf tarafa çarpılırsa

1 1 1

1

4

1 x g x g g

g

^ps ^lk ^ms ^pl

k p p

m

∂

= ∂ Γ Γ

buluruz, bunun da her iki yanını

g

_µ_k ile çarpıp düzenlersek

1 1 1

1

4

1 x g x g g g g

g

_k ^p_m ^k_p _k ^ps ^lk ^ms ^pl

∂

= ∂ Γ

Γ

_µ

µ

olur, burada

⎩ ⎨

⎧

≠

= =

l g l

g

_k ^lk

µ µ

µ

0 ,

, 1

olduğundan

1 1 1

1

4

1 x g x g g

g

_k ^p_m ^k_p ^ps ^ms ^p

∂

= ∂ Γ

Γ

^µ

µ (6)

olur. (4) den

k p p m k k

m k k

m

k

g

g x R

g

₁ ₁

1 1

11

− Γ Γ

∂ Γ

− ∂

=

_µ _µ

µ

yazabiliriz. Burada (5) ve (6) eşitliklerini yerlerine yazarsak

1 1 1

1 2

11

4 1 2

1 2

1 x g x g g x

g x g g x

g

_k ^k_m

g

^m _k ^ks ^ms ^ps ^ms ^pm

∂

− ∂

∂

− ∂

∂

− ∂

=

Γ

^µ _µ

µ (7)

elde ederiz. Burada

µ , m = 2 , 3

tür.

Riemann ve Ricci tensörleri arasında

(

m m

)

m m

m

g g g g

g R R g R g R g R

R

_αβγ

=

_αγ _β

−

_α _βγ

+

_β _αγ

−

_βγ _α

+ 1

_α _βγ

−

_αγ _β

(8) şeklinde bir bağıntı vardır, burada

ik ik p

m p

m

g R R g R

R

_αβγ

=

_α _βγ

, =

dır. (8) de

β = γ = 1

alırsak

(

_m _m

)

m m

m

R g g g g

g R g R g R g R

R

₁₁ ₁ ₁ ₁₁ ₁ ₁ ₁₁ ₁₁ ₁ ₁

2

^α ^α

α α

α

= − + − + −

olur. Bu son eşitliğin her iki tarafını

g

_µ_k

g

^α^k ile çarparsak

(8)

[ ]

(

m m

)

m m

m m k

k

m m

m m k

k m k k

g g R g

R R R

R R

g g R g

R R R

R R

g g

g g g R g

g R g R g R g R g g R

g g

1 1 11

1 1 1

1

1 1

11 1 1 1

1 1 1 11

11 1 1 11 1

1 11

2 ))]

2 ( ( [

))]

2 ( ( [

α µ µ

µ α

α

α α

α α α

µ

α α

α α α

µ α α

µ

δ δ

− +

−

=

− +

−

=

− +

−

=

olur. Ayrıca

p m p

m

g R

R

_α₁₁

=

_α ₁₁ olduğundan

( ) ( )

k m k

p m p k m k

R g

R g g R

g

11 11 11

µ α µ α

µ

=

olur. O halde

(

m m

)

m m

m m k

m

k

R g g g

R R

R

g

₁₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁₁ ₁ ₁

2

^µ ^µ

µ µ

µ

= δ − + δ − δ + −

eğer

(

_m _m

)

m m

k

R g g g

R R

R

₁ ₁ ₁ ₁ ₁₁ ₁ ₁

2

^µ ^µ

µ µ

µ

= δ − + δ − δ + −

dersek

k m k

k

g R

R

_µ

=

_µ ₁₁ olup (7) den

1 1 1

1 2

4 1 2

1 2

1 x g x g g x

g x g g x

R g

^ms ^ps ^ms ^p

ks k m

k

∂

− ∂

∂

− ∂

∂

− ∂

=

^µ _µ ^µ

µ

bu eşitliğin her iki tarafını 2 ile çarpıp düzenlersek

3 , 2 ,

; 0 2 2

1

1 1 1

1 2

=

∂ +

∂

∂ + ∂

∂

∂ + ∂

∂

∂ R m

x g x g g x

g x g g x g

m sm p

sm ps ks k

m _µ ^µ _µ

µ

µ (9)

buluruz.

Şimdi

{ } R

ij tensörü verildiğinde (2) şartlarını sağlayan ve

C

²

( D )

uzayına ait olan (9) denklem sisteminin çözümünün tekliğini ispatlayalım. İspatı olmayana ergi yöntemi ile yapacağız.

(9)

Kabul edelim ki (9) denklem sisteminin (2) şartlarını sağlayan çözümü tek olmasın, yani

( ) g

⁽_µ¹m⁾ ve

( ) g

_µ⁽²m⁾ (9) denkleminin (2) şartlarını sağlayan çözümleri olsun. (9) ve (2) de sırasıyla

( g

_µ_m

) , ( g

^µ^m

)

yerlerine

( ) g

_µ⁽²m⁾ ,

( ^g

⁽²⁾^µ^m

)

^{ve sonra}

( ) g

⁽_µ¹m⁾ ,

( ^g

⁽¹⁾^µ^m

)

^yazarsak

0 2 2

1

₍₂₎

1 ) 2 (

1 ) 2 ( ) 2 ( 1

) 2 ( 1

) 2 ) ( 2 ( 2 1 ) 2 ( 2

=

∂ +

∂

∂ + ∂

∂

∂ + ∂

∂

m sm mp

sm ps ks k

m

R

x g x g g

x g x g g x g

µ µ

µ

0 2 2

1

(1)

1 ) 1 ( 1

) 1 ) ( 1 ( 1

) 1 ( 1

) 1 ) ( 1 ( 2 1 ) 1 ( 2

=

∂ +

∂

∂ + ∂

∂

∂ + ∂

∂

m sm mp

sm ps ks k

m

R

x g x g g

x g x g g x g

µ µ µ

bu eşitlikleri taraf tarafa çıkaralım.

( ) ⁰

2 2 1

2 1

) 1 ( ) 2 ( 1

) 1 ( 1

) 1 ) ( 1 (

1 ) 2 ( 1

) 2 ) ( 2 ( 1

) 1 ( 1

) 1 ) ( 1 ( 1

) 2 ( 1

) 2 ) ( 2 ( 2 1

) 1 ( 2 2 1 ) 2 ( 2

=

−

∂ +

∂

− ∂

∂

∂ + ∂

∂

− ∂

∂

∂ + ∂

∂

− ∂

∂

m m sm p

ps

sm p sm ps

ks k sm ks k

m m

R x R

g x g g

x g x g g

x g x g g x g x g g

x g x

g

µ µ µ

µ µ

µ µ µ

Eğer

) 1 ( ) 2

~

(

m m

m

g g

g

_µ

=

_µ

−

_µ ve

m m

m

g g

g

^µ ⁽²⁾^µ ⁽¹⁾^µ

~ = −

dersek

( ) ⁰ ^; ^, ² ^, ³

2 2 1

2 ~ 1

) 1 ( ) 2 ( 1

) 1 ( 1

) 1 ( ) 1 (

1 ) 2 (

1 ) 2 ) ( 2 ( 1

) 1 ( 1 ) 1 ) ( 1 ( 1

) 2 ( 1

) 2 ) ( 2 ( 2 1 2

=

−

∂ +

∂

− ∂

∂

∂ + ∂

∂

− ∂

∂

∂ + ∂

∂

m R

x R g x g g

x g x g g

x g x g g x g x g g x g

m m sm p

ps

sm p sm ps

ks k sm ks k

m

µ

µ µ

(10)

ve

) ( ) ( ) ( 11 )

(

2

1

_i

m sr sr i i

m m

i

m

R R g g R g

R

_µ

= −

_µ

−

_µ

+

_µ

olur. (2) den

) ( )

(

~

0 ) 1 ( 0

) 2 (

0 ) 1 ( 0 ) 2 (

0 1 1

1

x g x g

g g

g

m m

m x m x

m x

− ′

= ′

−

=

= =

=

µ µ

µ

0 ~ ,

~ 0

1 0 0

1 1

∂ =

= ∂

= =

x m

mx

x

g

_µ

g

^µ (11)

koşulları elde edilir. (10) daki

(10)

1 ) 1 ( 1 ) 1 ) ( 1 ( 1

) 2 ( 1

) 2 ) ( 2 (

x g x g g x g x

g g

^sm

ks k sm ks

k

∂

− ∂

∂

µ µ

1 ) 1 ( 1

) 1 ( ) 1 ( 1

) 2 ( 1

) 2 ( ) 2 (

x g x g g

x g x

g

^ps

g

^sm ^p ^ps ^sm ^p

∂

− ∂

∂

_µ _µ

) 1 ( ) 2 (

m

R

_µ

−

_µ ifadelerini şöyle düşünebiliriz.

( )

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂

∂ + ∂

∂

⎟⎟ ∂

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∂ + ∂

∂

− ∂

=

∂

− ∂

∂

∂ + ∂

∂

− ∂

∂

∂ + ∂

∂

− ∂

∂

= ∂

∂

− ∂

∂

1 ) 1 ( 1

) 2 ( 1 ) 1 ) ( 1 (

1 ) 2 ( 1 ) 1 ( 1

) 2 ( ) 1 ( 1

) 2 ( 1

) 2 ( ) 1 ( ) 2 (

1 ) 1 ( 1

) 1 ) ( 1 ( 1

) 2 ( 1 ) 1 ) ( 1 ( 1

) 2 ( 1

) 1 ) ( 1 ( 1

) 2 ( 1

) 2 ) ( 1 (

1 ) 2 ( 1

) 2 ) ( 1 ( 1

) 2 ( 1

) 2 ) ( 2 ( 1

) 1 ( 1 ) 1 ) ( 1 ( 1

) 2 ( 1

) 2 ) ( 2 (

x g x g x g g

x g x g x

g g x g x g g

g

x g x g g x g x g g x g x g g x g x g g

sm sm

ks k

sm ks ks

sm k ks k

k

sm ks k sm ks k sm ks k sm ks k

sm ks k

sm ks k sm ks k

µ

µ µ

µ

µ µ

1 1 ) 1 ) ( 1 ( 1

) 2 ( 1 ) 1 ( 1

) 2 ( 1

) 2

(

~ ~

~

x g x g g x g x g g x g x

g g

^sm

ks k sm ks k sm ks

k

∂

∂ + ∂

∂

∂ + ∂

∂

=

_µ

∂

_µ _µ (12)

Benzer şekilde

1 ) 2 ( 1 ) 1 ( 1

) 2 ( 1

) 1 ( 1

) 1 ( ) 1 ( 1

) 2 ( 1

) 2 ( ) 2

(

~

x g x g g

x g x g g x g x g g

x g x

g

^ps

g

^sm ^p ^ps ^sm ^p ^ps ^sm ^p ^ps ^sm ^p

∂

∂ + ∂

∂

= ∂

∂

− ∂

∂

µ µ µ µ

1 1

) 1 ( ) 1

(

~

x g x g

^ps

g

^sm ^p

∂

+ ∂

^µ (13)

ve

(

⁽²⁾ ⁽¹⁾

) (

⁽²⁾ ⁽¹⁾

) (

⁽²⁾ ⁽¹⁾

)

11

) 1 ( ) 1 ( )

1 ( 11

) 2 ( )

2 ( ) 2 ( 11 )

1 ( ) 2 (

2 1 2 1 2 1

m m sr sr sr

m m

m sr sr m

m

m sr sr m

m m

m

g g R g g

g g R

g R g g

R R

g R g g

R R R

R

µ µ µ

µ

µ µ

µ

µ µ

µ

−

− +

−

=

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − − +

−

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − − +

=

−

sr sr m m

sr sr

m

g R g g R g

g

R

₁₁ ⁽²⁾

~

⁽¹⁾

2 ~ 1 2

~ 1

µ µ

µ

+ +

−

=

(14)