Monte Carlo Metodu, istatistiksel teknikler kullanarak bir deneyi veya olayı bilgisayar ortamında taklit etmektir.

Monte Carlo Metodu, istatistiksel teknikler kullanarak bir deneyi veya olayı bilgisayar

ortamında taklit etmektir.

MONTE CARLO NEDİR?

Temel Örnekleme İlkesi : Temel Örnekleme İlkesi :

Toplam 10 atış

6 3

5 4

4 _{+…………..} 3

gelen değer geliş sayısı

4 5 6

Gelen sayı

Şekil.1

L(x) : Sıklık Fonksiyonu 3

4 0,4

0,3

f(x) : olasılık yoğunluk fonksiyonu Şekil.2

Geliş sayısı/Toplam Atış (10)

4 5 6

f(6) + f(5) + f(4) = 0,3 + 0,4 + 0,3 = 1 q

Geliş sayısı

Gelen sayı

Temel Örnekleme İlkesi :

a x

b L(x)

L

Şekil.1

L(x) : Sıklık Fonksiyonu

Temel Örnekleme İlkesi :

a x

b f(x)



a

max

L(x)dx L

Şekil.2

f(x) : olasılık yoğunluk fonksiyonu

Bir olayın olma olasılığı daima 0 ile 1 arasındadır!!!

a ile b arasındaki herhangi bir olayın olma olasılığı:





a

(x)dx L(X)

L x

f ( )

(a-b) aralığındaki tüm

olasılıkların toplamı 1’ dir!!! ^b f(x)dx 1

a



a < x < b

Değişkenin a ile x arasında

herhangi bir değerde olma olasığı q, 0 ile 1 arasında düzgün bir dağılım gösterir!!



 ^ 





a

a x a

F(x)dx F(x)dx f(x)dx

P(x)

q

Ters Dönüşüm Yöntemi:

q x

P ( )  _P

_{( q )  x}

Reddetme Yöntemi:

Reddedilen Bölge

Kabul Edilen Bölge f(x)

r(x)

a b x Şekil.3

) (

) (

x r

x

q  f X değerinin sıklığının

f(x) olduğu düşünülerek x kabul edilir. Değilse reddedilir ve işlem

tekrarlanır.

Böylece r(x) dağılımlı x

değerlerinden f(x) dağılımlı x değerleri elde edilmeye

çalışılır.

Ortalama Serbest Yol Uzunluğu Etkileşmenin Türü ve

Bir fotonun iki etkileşme arası

gidebildiği ortalama uzaklığa “ortalama

serbest yol” denir. Fotonun serbest

yolu, toplam tesir kesitine dolayısı ile

enerjisine bağlıdır.

x

I Io

μ_T : Ortamın, toplam lineer azalım katsayısı olarak bilinen birim uzunluk başına etkileşme olasılığıdır.

μ_Comp, μ_Ray, μ_Foto : Sırası ile Compton saçılma, Rayleigh saçılma ve Fotoelektrik soğurma için lineer azalım katsayılarıdır.

x o e

I

I  ^{ }

ray foto

comp

T

  

   

I

x’ x^o x

Bu fonksiyonun (0-x’) aralığında herhangi bir değeri alma

olasılığı:

'

0 0 '

0 0

0

1

x

x x

x x

e dx

e I

dx e

I

q

















 

 ) ' ln( q x  

x x ' 

x

x ' 

Etkileşmeden kaçtı

x’: Fotonun ortalama serbest yol uzunluğu







Comp Comp

Ray Ray

Foto Foto

x q x q x q

) ' ln(

) ' ln(

) ' ln(

3 2

1











 Fotonun maddeye girdikten sonra yapacağı ilk etkileşme türü bu denklemlerden elde edilen ortalama serbest yolların en kısa olanı ile belirlenir.

Böylece her fotonun hem

ortalama serbest yolu hem

de yapacağı etkileşmenin

türü örneklenmiş olur.

Ortalama serbest yol uzunluğu ve etkileşmenin türü

Bir fotonun iki etkileşme arası gidebildiği ortalama

uzaklığa “ortalama serbest yol” denir. Fotonun serbest yolu, toplam tesir kesitine dolayısı ile enerjisine bağlıdır. I₀ şiddetindeki bir foton demeti x kalınlığındaki ortamı geçtiğinde şiddeti,

I I 0e^Tx

şeklinde azalır. Burada

T Comp Ray Foto

 ^  ^  ^ 

f(x) x

0

0





 



 0

0

I e I e

e

T

T

T

x x

x

T





 

Olasılık Yoğunluk fonksiyonu

q ^x f x dx e dx

T x

Tx

  ( )   ^

' '

0 0

 ^

Homojen bir ortam içersinde ilerleyen bir fotonun, x^’ kadar yol aldýktan sonra etkileþme yapma olasılığı

 x x’

q  1 e^Tx

x q

T

  ln( )



Foto

Foto

Ray

Ray

Comp

Comp

x q

x q

x q

 

 

 

ln( ) ln( ) ln( )

1

2

3







5 5 ccm kalınlığındaki m kalınlığındaki susu maddesimaddesi üzerine enerjisi üzerine enerjisi 9090 kkeV olan fotonlar geliyor. Bu enerjide eV olan fotonlar geliyor. Bu enerjide

Fotoelektrik = = 0.00420.0042 (1/cm)(1/cm)

_Compton = 0.0068 = 0.0068 (1/cm)  = 0.1770 = 0.1770 (1/cm) (1/cm) _{RayleighRayleigh} = = 0.1661 (1/cm) 0.1661

ise Monte Carlo yöntemini kullanarak

ise Monte Carlo yöntemini kullanarak su su maddesini geçen fotonların sayısını bulunuz.

maddesini geçen fotonların sayısını bulunuz.

1770 4 .

10 0

μ e

I

e

I    



61 . ) 1

) ln(

ln(

72 . ) 60

ln(

) ln(

7 . ) 271

) ln(

ln(

1661 .

0 0 . 7653 0068 .

0 0 . 6617 0042 .

0

3194 .

0

3 2

1





































Comp Comp

Ray Ray

Foto Foto

x q x q x q

q_{1 =} 0.3194 q_{2 =} 0.6617

q_{3 =} 0.7653

< 5

( 1 Foton )

3

MONTE-CARLO METODU İLE FOTON TAKİBİ

H

W MADDE

A x L

NOKTA KAYNAK

DEDEKTÖR

228cm

A

x^’

y^’

z^’

^‘

x

z

y

.B

(5)

z₁

(1)

z₁

z₂ z₃

(3)

B

1

2

3

C D

.

M

L

N

B

z₁

(4)

B (2)

Kaynak y

x

z

0

g

W F

0

4

5

1) Etkileşme yapmadan Kaçtı 2) Foto Elektrik Olay

3) Compton & Rayleigh 4) Geri Kaçtı

5) Kenarlardan Kaçtı

Etkileşme tipini belirle Fotoelektrik olay

Koherant Saçılma Compton Saçılması

Fotoelektrik olayın olduğu

yerde bütün enerjiyi biriktir

Bir sonraki fotonu

izle

Compton saçılma fonksiyonu ile

düzeltilmiş Klein-Nishina denkleminden, saçılma açısını

örnekle Etkileşme yerinde

e^- enerjisini biriktir.

Fotonu izle. Veya Foton enerjisi < 5 kev

ise enerjiyi biriktir ve bir sonraki fotonu izle Form faktör ile

düzeltilmiş Thomson denkleminden saçılma açısını

örnekle Gelecek etkileşme yerini

belirle

Etkileşme noktası maddenin içinde ise???

1. Fotoelektrik olay

2. Compton Saçılması

3. Rayleigh Saçılması

Foton ilk etkileşme noktasında soğuruldu.

Fotoelektrik Olay

N N N

1.fotoelektron

Karakteristik

radyasyon Pozitif iyon

b

k h E

E   

Fotoelektronun enerjisi etkileşme noktasında depolanırken etkileşen foton sayısı bir

arttırılır ve foton takibine son verilir!!

Compton Saçılması

N N



Geri tepen elektron

Saçılan

foton Pozitif iyon

) cos

1 (

1

0 '









c m

E

E E

sapma açısı arasındaki bağıntı

' E E

E _e  

) ( )

cos 1 '

( ' ') )(

sin(

) ,

( ²₀ ^{2 2} S v

E E E

E E

r E d

E d

C  ^com       _m



 

) ,

( )

(

1n S v Z

S v i ⁱ

N

i i

m  



 cos 1

) (

1433 .

29

0



 m c

v E

Compton Saçılması

Geri tepen elektron enerjisi etkileşme yerinde soğuruldu

Saçılan foton için saçılma açısı ve enerjisi, Compton saçılma fonksiyonu ile düzeltilmiş Klein-Nishina denkleminden

örneklenir.

Rayleigh Saçılması

atom atom atom

uyarılmış

’

’

Rayleigh Saçılması

) , ( )

cos 1

( sin )

,

( ^{E d} _d ^r

F

^{v Z}

F

  



    

2

1

F ^{( , ) v Z n}

N

F

 

Su için

2 2 2

F ^{( , ) v Z } 2 F

^{( , ) v Z } F

^{( , ) v Z}

1. Fotoelektrik Olay

Foton ilk etkileşme noktasında soğuruldu.

2. Rayleigh Saçılması

F E d

d ^Koh r v Z

( , )^{  }_ ^{  02}sin (1 cos ) ( , )^{  2}

F

2

1

F

N

F

 

2 2 2

F

F

F

Su İçin 3. Compton Saçılması

F E d

d r E

E E E

E

E S v

Com

( , ) sin( )( )( cos ) ( )m

' '

  '

   

  0    

2 2

1

'

(1 cos )

E E

E m c



 

1

0

2 

m i

i N

i i

S v( )   n S v Z( , )

1

v E

 29 1433 m c 1

0

. ( 2) cos

Saçıcı ortamın bir molekülü için Compton Saçılma Fonksiyonu

A⁰

Compton Saçılması

Etkileşmeden geçen foton Rayleigh Saçılması Fotoelektrik Soğurma

Enerji

rad) 100(erg/g.

(erg/keV) 1.6x10

= E D

9 -

T

Göz

M

E

, M, D

fantom girişinde havadaki

doz, D_DGHD

MC = D

/ D

ÖN - ARKA

Çizelge(1):

Monte Carlo yöntemi ile 25 x 25 cm² demet alanında deri giriş dozuna göre elde edilen DGHO değerleriDGHO

Tüp Voltajı (kVp)

20 x 20 (cm²)

Sol Sağ

25 x 25 (cm²)

Sol Sağ 70 1.4020.092 0.2030.063 1.4380.093 0.2080.064 75 1.4010.088 0.2080.050 1.4440.094 0.2180.063 80 1.4040.098 0.2580.068 1.4720.170 0.2390.068 85 1.3170.142 0.1910.073 1.3420.190 0.1430.073 90 1.3130.125 0.2200.055 1.2710.266 0.1820.056 100 1.3210.111 0.2290.051 1.3790.196 0.1980.100

Çizelge (2):

Çizelge (2):

Monte Carlo Analizi ile ön-arka pozisyon için Monte Carlo Analizi ile ön-arka pozisyon için

havada giriş dozuna göre elde edilen DGHO havada giriş dozuna göre elde edilen DGHO

değerleri değerleri

Tüp Voltajı

(kVp)

20 x 20 (cm²)

Sol Sağ

25 x 25 (cm²)

Sol Sağ

70 0.0120.003 0.0140.004 0.0180.004 0.0150.003 75 0.0160.004 0.0160.005 0.0170.007 0.0160.006 80 0.0230.007 0.0210.007 0.0270.005 0.0270.005 85 0.0230.006 0.0240.008 0.0260.008 0.0270.007 90 0.0230.010 0.0230.010 0.0250.010 0.0240.009 100 0.0190.012 0.0200.011 0.0260.011 0.0260.010

Hava Dozu (mGray)

Sol-sağ Ön-arka

DSA/frame 0.660.01 2.0620.011

Skopi/dakika 5.900.14 17.220.16 Çizelge(3):

Ön-arka (focal nokta-fantom mesafesi 65 cm) ve sol- sağ (focal nokta - fantom mesafesi 76 cm)

pozisyonda, bir dakikalık skopi ve DSA görüntüsü başına fantom girişinde havadaki doz

SORU:

SORU:

Bir göz hastasına 1.5 dakika sol-sağ skopisi Bir göz hastasına 1.5 dakika sol-sağ skopisi yapılmış, 26 tane ön-arka ve 24 tane de sol- yapılmış, 26 tane ön-arka ve 24 tane de sol- sağ DSA görüntüsü çekilmiştir. Bu sağ DSA görüntüsü çekilmiştir. Bu koşullarda bu hastanın göz merceklerinin koşullarda bu hastanın göz merceklerinin

aldığı Doz hesaplayınız.

aldığı Doz hesaplayınız.

Cevap:

Bu koşullarda x-ışınlarının sol-sağ ve ön-arka durumlarda hasta kafasının olduğu yerde havada oluşturduğu doz

değerleri Çizelge(3) kullanılarak aşağıdaki gibi hesaplanır:

Ön-arka:

Bu durumda bir DSA görüntüsü çekildiğinde havada oluşacak doz 2.0620.011 mGray dir. 26 tane DSA görüntüsü alındığına göre havadaki doz

DSA: 26 x (2.0620.011) = 53.610.29 mGray olur.

Sol-sağ:

Bu durumda 1.5 dakika skopi, 24 tane de DSA

görüntüsü alınmıştır. Bir dakikalık skopi yapıldığında havadaki doz değeri 5.900.14 mGray, bir DSA görüntüsü çekildiğinde ise havadaki doz değeri 0.660.01 mGray dir. Bu durumda, skopi ve DSA çekimleri sonucunda havadaki doz

skopi: 1.5 x (5.900.14) = 8.850.21 mGray

DSA: 24 x (0.660.01) = 15.840.24 mGray dır.

Sol göz Sol göz : :

Sol-sağ pozisyonda sol göz için 80 ve 85 kVp tüp Sol-sağ pozisyonda sol göz için 80 ve 85 kVp tüp voltajına karşılık gelen DGHO değerleri sırasıyla

voltajına karşılık gelen DGHO değerleri sırasıyla 1.472

1.4720.170 ve 1.3420.170 ve 1.3420.190 (Çizelge 2), ön-arka 0.190 (Çizelge 2), ön-arka durumunda 85 kVp deki DGHO değeri ise 0.026

durumunda 85 kVp deki DGHO değeri ise 0.0260.008 0.008 (Çizelge 2) dir. Sol gözde hem sol-sağ durumunda

(Çizelge 2) dir. Sol gözde hem sol-sağ durumunda yapılan skopi ve DSA çekimleri hem de ön-arka yapılan skopi ve DSA çekimleri hem de ön-arka

pozisyonda yapılan DSA çekimiyle doz pozisyonda yapılan DSA çekimiyle doz

soğurulmaktadır. Sol-sağ pozisyonda skopi ve DSA’dan soğurulmaktadır. Sol-sağ pozisyonda skopi ve DSA’dan

dolayı havada soğurulan doz miktarları sırasıyla dolayı havada soğurulan doz miktarları sırasıyla 8.858.850.21 mGay ve 15.840.21 mGay ve 15.840.24 mGray, ön-arka 0.24 mGray, ön-arka

pozisyonda ise 53.61

pozisyonda ise 53.610.29 mGray dir. O halde sol 0.29 mGray dir. O halde sol gözde soğurulan toplam doz:

gözde soğurulan toplam doz:

skopi:

skopi: (1.472 (1.4720.170)x(8.850.170)x(8.850.21) = 13.030.21) = 13.031.81 mGray 1.81 mGray DSA:DSA:

(1.342

(1.3420.190)x(15.840.190)x(15.840.24)+(0.0260.24)+(0.0260.008)x(53.610.008)x(53.610.29)=22.650.29)=22.65

3.77 mGray3.77 mGray

ToplamToplam:(:(13.0313.031.81)+(22.651.81)+(22.653.77) = 35.683.77) = 35.685.58 mGray 5.58 mGray olarak bulunur.

olarak bulunur.

Sağ göz:

Sol-sağ pozisyonda sağ göz için 80 ve 85 kVp tüp voltajlarına karşılık gelen DGHO değerleri sırasıyla 0.2390.068 ve 0.1430.073 (Çizelge 1), ön-arka

pozisyonda 85 kVp deki DGHO değeri ise 0.0270.002 (Çizelge 2) dir. Sol göz için verilen havadaki doz

değerleri kullanılarak sağ gözde soğurulan doz miktarı

skopi: (0.2390.068) x (8.850.21) = 2.12  0.65 mGray

DSA: (0.1430.073)x(15.840.24)+(0.0270.007)x(53.610.29) = 3.661.63 mGray

Toplam: (2.120.65) + (3.661.63) = 5.772.28 mGray olarak bulunur.

Çizelge 4. Yetişkinlerde göz merceğinde deterministik etkiler için beklenen eşik değerleri

Etki Eşdeğer doz (tek bir ışınlanma

sonucu) (mSv)

Toplam eşdeğer doz (Uzayan Işınlamalar

sonucu) (mSv)

Yıllık Doz Hızı (yüksek fraksiyonlu

veya uzayan ışınlamalar sonucu)

(mSv / yıl)

Opasiteler 500 - 2000 5000 100

Katarakt 5000 8000 150