Ortalamalar. 1.Aritmetik ortalama 2.Geometrik ortalama 3.Harmonik ortalama 4.Karekök ortalamadır.

Ortalamalar

Aynı olaya ait ölçümler farklı değerler veriyorsa olayı temsil edecek bir ortalama değerin bilinmesi gerekir. Farklı ortalama değer tanımları vardır bunlar:

1.Aritmetik ortalama 2.Geometrik ortalama 3.Harmonik ortalama 4.Karekök ortalamadır.

2

1. Aritmetik Ortalama

 Gözlem verileri toplamının gözlem sayısına bölümüdür.





1 i

i

A

x

N X 1

Burada , N : Gözlem sayısı, x_i : Gözlem değerleridir.

3

Örnek 1

Bir kayaca ait tabaka eğimleri 39, 12, 43, 81, 30, 9, 86, 20 şeklinde ölçülmüştür. Ortalama tabaka eğimini hesaplayınız.

= 320/8 = 40

X

4

Aritmetik Ortalamanın Özellikleri:

5

Örnek 2.

 Aşağıdaki veri setinin aritmetik ortalamasını bulunuz.

54, 58, 63, 54, 65, 58, 54, 58, 67, 54

6

Cevap:

5 .

 58 X A

7

5. Gözlem değerleri önemlerine uygun olarak belirli ağırlık katsayıları ile çarpılırsa ağırlıklı ortalama elde edilir.

N 2

1

N N

2 2

1 1

A w w ... w

x w

...

x w

x X w











 

Burada w_i değerleri ağırlık katsayılarıdır.

8

 Bir öğrencinin ödev değerlendirmesi 68, ara sınav 36 ve finali ise 48 dir. Sınıf geçmeye etki eden ağırlık katsayıları ise w

= 2, w

= 3, w

= 5 dir. Öğrencinin sınıf notunun

aritmetik ortalamasını bulunuz.

Örnek 3.

9

Cevap:

4 . 10 48

484 5

3 2

48 .

5 36

. 3 68

.

X _A 2  







 

10

6. Aritmetik ortalama en büyük ve en küçük değerlerden büyük ölçüde etkilenir. Bu nedenle başka ortalamalar kullanılabildiği gibi iki uç değer atılabilir.

11

Örnek. 1’de bir kayaca ait tabaka eğimleri 39, 12, 43, 81, 30, 9, 86, 20 idi. En büyük ve en küçük değerleri atarak aritmetik ortalamayı yeniden hesaplayınız.

Örnek 4.

12

Cevap:

9 ve 86 veriden çıkarılarak;

5 . 6 37

X _A  225 

13

2. Geometrik Ortalama

N 1 2 N

G x . x ... x

X 

N N

1 i

i

G

x

X 





Seriyi oluşturan verilerin çarpımının, veri sayısına eşit dereceden köküdür.

14

 2, 4, 9, 20, 36 serisinin geometrik ortalamasını hesaplayınız.

Örnek 5.

15

Cevap:

X G ^{= 5} 2 . 4 . 9 . 20 . 36  ⁵ 51840  8 . 77

16

Veri sayısının aşırı artması geometrik ortalamanın hesaplanmasını zorlaştırır. Bu durumda her iki tarafın logaritması alınır;





1 i

i

G

log x

N X 1

log

Ters logaritma alınarak geometrik ortalama bulunur.

17

Örnek 5’deki verilerin geometrik ortalamasını logaritma alarak hesaplayınız.

Örnek 6.

(2, 4, 9, 20, 36 )

18

Cevap:

19

Geometrik Ortalamanın Özellikleri:

1. X

tüm gözlem değerleri kullanılarak hesaplanır.

2. Seriyi oluşturan değerler içinde sıfır veya negatif değerin bulunması durumunda geometrik ortalama hesaplanamaz.

3. Geometrik ortalama her zaman aritmetik ortalamadan küçüktür.

4. Geometrik ortalama uç değerlerden aritmetik ortalama kadar etkilenmez.

20

3. Harmonik Ortalama

 

 _N

1

i i

H

x 1 X N

Seriyi oluşturan verilerin terslerinin aritmetik ortalamasının tersidir.

21

 2, 4, 7, 8, 9 serisinin harmonik ortalamasını bulunuz.

Örnek 7.

22

Cevap:

23

Harmonik Ortalamanın Özellikleri:



 











 

i i

i

N N 2

2 1

1

N 2

1 H

x f 1

f x f

... 1 x f

f 1 x

1

f ...

f X f

1. Frekans dağılımlarında harmonik ortalama aşağıdaki gibi hesaplanır:

2. Seriyi oluşturan değerlerden biri sıfır ise harmonik ortalama sıfıra eşit olur.

3. Eğer seride farklı işaretli değerler varsa harmonik ortalama anlamsız sonuçlar verir.

24

4. Karekök (Root Mean Square) Ortalama

N X x

2 i

K

_ 

Seriyi oluşturan değerlerin karelerinin ortalamasının kareköküdür.

25

3, 5, 5, 7, 13 serisinin karekök (RMS) ortalamasını bulunuz.

Örnek 8.

26

Cevap:

27

Karekök Ortalamanın Özellikleri:



 

 









 

i N

i

i i

N

N N

K f

x f f

f f

x f x

f x

X f ¹

2

2 1

2 2

2 2 2

1 1

...

...

1. Frekans dağılımlarında karekök ortalama aşağıdaki formülle Hesaplanır:

2. Karekök ortalama en çok fiziksel uygulamalarda kullanılır.

28

Diğer Parametreler

 Dağılımın merkezini tanımlamakta serinin tüm değerlerini içermeyen parametreler de kullanılır. En çok kullanılanları “tepe değeri (mod)” ve “orta değer

(medyan)”dır.

30

Tepe Değeri (Mod)

 Bir örnek yada toplumda en çok rastlanan değere (en büyük frekansa sahip sınıf değerine) “tepe değeri (mod)” denir. M₀ ile gösterilir.

31

Örnek 9

1,1,2,2,2,6,6,7,8,9,10 serisinin tepe değeri (modu) nedir?

M ₀ = 2

32

Örnek 10

 1,1,2,2,2,6,7,7,7,10 serisinin tepe değeri (modu) nedir?

M

= 2 ve M

= 7 dir, gözlem grubu iki tepelidir.

33

Örnek 11

3,5,5,5,6,6,6,7,9,9,9 serisinin tepe değeri (modu) nedir?

En çok tekrarlanan değerler yan yana olduğunda bu değerlerin aritmetik ortalaması tepe değer olarak alınır.

(5+6)/2= 5.5

Serinin tepe değerleri 5.5 ve 9 dur.

34

Orta Değer (Medyan)



 







ise çift 2 N

x x

ise tek N

x

M

Düzenli ve eleman sayısı tek olan serilerde gözlemlerin ortasındaki, çift sayılı düzenli serilerde ortada kalan iki gözlem değerinin aritmetik ortalamasıdır. Çok sayılı verilerde orta değer hesaplaması zorlaşır. Bu durumda frekans analiz çizelgesi düzenlenerek orta değer hesaplanır. Orta değer M

ile gösterilir.

Matematiksel olarak, x

, x

, x

, ……, x

gözlem değerleri büyüklüklerine göre artan sırada düzenlenmişlerse M

;

35

Örnek 12

 2, 3, 8, 12, 20, 18, 5, 9, 7 serisinin orta değeri (medyanı) nedir?



 



 







 4 4

20

18,

12,

9, 8, , 7 5, 3, 2,

Md=8

36

Ödev 13

 Aşağıdaki veri setinin aritmetik, geometrik ve harmonik ortalamalarını, mod ve medyan değerlerini bulunuz.

 2, 7, 21, 14, 5, 9, 9

37

Ortalama Değer Etrafındaki Saçılmalar

Bir veri kümesini en iyi temsil edebilecek büyüklük olan ortalama değer, dağılımı karakterize etmek için yeterli değildir. Bu

nedenle frekans dağılımlarını ortaya koymada ortalama değer yanında, bu dağılımların

ortalama değer etrafındaki saçılmalarının derecesi de önemlidir. Bu saçılmaları

açıklayabilmek için bazı tanımların yapılması gereklidir.

38

 Aralık (Range)

 Ortalama Sapma

 Değişinti (varyans) 1. Durağanlık Sınırı

2. Değişinti ve Standart Sapmanın Özellikleri 3. Ortak değişinti (Kovaryans)

4. İlişki Katsayısı (Korelasyon) 5. Standart Yanılgı

6. Normalleştirme (Standartlaştırma) İşlemi

 Frekans Dağılımları ve Histogramlar  4. Hafta

Ortalama Değer Etrafındaki Saçılmalar

39

1. Aralık (Range)

Bir serideki en büyük ile en küçük değer arasındaki farktır. AR ile gösterilir.

AR = x

– x

40

Örnek 14

 a) 6, 5, 4, 3, 8, 2, 30, 15 b) 4, 35, 17, 19, 28, 41, 6

 Yukarıda verilen iki serinin aralıklarını bulunuz.

a) AR = 30 - 2 = 28 b) AR = 41 – 4 = 37

41

N

x x

. S . O

N 1 i

A

 i







N

M x

. S . O

N

1 i

d









2. Ortalama Sapma

Verilen ortalama veya orta değerden sapmaların mutlak değerlerinin ortalama ortalamaya göre hesaplanırsa;

(15) olarak verilir. Orta değere göre hesaplanırsa;

42

Örnek 15

1, 1, 2, 4, 6, 7, 10, 17 serisinin ortalama sapmasını a) aritmetik ortalama ve

b) orta değere göre hesaplayınız.

43

Cevap

44

Frekans serilerinde ortalama sapma;

x ₁ , x ₂ , x ₃ , ……, x _N verilerinin yenilenme sayıları (frekansları) f ₁ , f ₂ , f ₃ , ……, f _N ise ortalama

sapma,













1 i

i N

1 i

i A i

f

f x x

. S . O













1 i

i N

1 i

i d i

f

f M x

. S . O

Olarak hesaplanır.

45

Ödev 16

x_i=10, 11, 13, 14, 17, 20 ve f_i = 2, 8, 6, 4, 4, 1 serisinin ortalama sapmalarını

x

46

Değişinti (Varyans)

 Gözlemsel veriler az ya da çok saçılma gösterirler. Verilerin ortalama değer çevresinde saçılmalarını sayısal olarak göstermek için değişintiden yararlanılır.

Ortalama sapma veya saçılmaların bir ölçüdür. Gözlemsel verilerin her birinin ortalama değerden olan farklarının karelerinin aritmetik ortalamasıdır. Aşağıdaki bağıntı ile verilir:

 Ortalama değer çevresindeki saçılmayı sayısal olarak belirtmek için değişinti yerine standart sapma kullanılır ve değişintinin karekökü olarak ifade edilir.

 

1

2 1





 ^N

i

i x

N x



 

N 1 i

i x

N x 1











Pratikte sayısal hesaplamaları kolaylaştırmak için standart sapma aşağıdaki bağıntı ile hesaplanır.

2 A N

1 i

2 i

N x x











47

Örnek 17

 2, 5, 6, 8, 9 verisinin standart sapmasını bulunuz.

6

x



2 2 1 2

2 2

2  



 



         





48

Durağanlık Sınırı

 Bir veri grubu içinde ortalama değerden olan farkların standart sapmanın 2, 3 katı veya daha büyük olan veriler veri grubundan çıkartılarak işlemler yinelenebilir.

Bu durumda veri kümesinin sınırları daraltılarak yanılgılar içerenler atılarak veri iyileştirilmiş olur. Bu sınır durağanlık sınırı olarak adlandırılır ve aşağıdaki bağıntı ile verilir:

 0 < n < 3 (x_i x_A)  n

49

Örnek 18

2, 5, 6, 8, 9 verisinin n =  2 olarak seçildiğinde

durağanlık sınırlarını saptayınız ve bu sınırlar içine girmeyen verileri bulunuz.

5 6

9 8 6 5

x_A 2    

 2.45

5

) 6 9 ( ) 6 8 ( ) 6 6 ( ) 6 5 ( ) 6 2

( ^{2 2 2 2 2 1/2} 







         





9 . 4 45 . 2 x 2 .

2  (26) 4 (5-6) 1

4 < 4.9 1< 4.9

0 ) 6 6

(   (86) 2 (96) 3

0 < 4.9 2 < 4.9 3 < 4.9

Tüm veriler durağanlık sınırı içindedir.

50

Değişinti ve Standart Sapmanın Özellikleri

51

Ortak değişinti (Kovaryans)

52

İlişki Katsayısı (Korelasyon)

53

İlişki Katsayısı (Korelasyon)

54

Standart Yanılgı

55

Normalleştirme (Standartlaştırma) İşlemi

56