MONTE CARLO

MONTE CARLO

Prof. Dr. Niyazi MERİÇ

Ankara Üniversitesi Nükleer Bilimler Enstitüsü

Monte Carlo Metodu

, istatistiksel teknikler

kullanarak bir deneyi veya olayı bilgisayar

ortamında taklit etmektir.

MONTE CARLO NEDİR?

Temel Örnekleme İlkesi :

Toplam 10 atış

6

₃

5

₄

4

_{+…………..}

3

gelen değer

x

geliş sayısı

L(x)

Temel Örnekleme İlkesi :

a x

o

b

L(x)

L

max Şekil.1

L(x) : Sıklık Fonksiyonu

Temel Örnekleme İlkesi :

a x

o

b

f(x)



b a max

L(x)dx

L

Şekil.2

f(x) : olasılık yoğunluk fonksiyonu

4 5 6 Gelen sayı Şekil.1 L(x) : Sıklık Fonksiyonu 3 4 0,4 0,3

f(x) : olasılık yoğunluk fonksiyonu Şekil.2

Geliş sayısı/Toplam Atış (10)

4 5 6

f(6) + f(5) + f(4) = 0,3 + 0,4 + 0,3 = 1

q

Geliş sayısı Gelen sayı

Bir olayın olma olasılığı daima 0 ile 1

arasındadır!!!

a ile b arasındaki herhangi bir olayın olma olasılığı:





_b a

(x)dx

L(X)

L

x

f

(

)

(a-b) aralığındaki tüm

olasılıkların toplamı 1’ dir!!!

f(x)dx

1

b

a





a < x < b

Değişkenin a ile x arasında

herhangi bir değerde olma olasığı q, 0 ile 1

arasında düzgün bir dağılım gösterir!!













_b a

a

x

a

F(x)dx

F(x)dx

f(x)dx

x

P(x)

q

Ters Dönüşüm Yöntemi:

q

x

P

(

)



_P

1

₍

_q

₎



_x

Reddetme Yöntemi:

Reddedilen Bölge Kabul Edilen Bölge

f(x) r(x)

x a b

Şekil.3_{Prof. Dr. Niyazi MERİÇ}

)

(

)

(

x

r

x

f

q



X değerinin sıklığının

_{f(x) olduğu düşünülerek}

x kabul edilir. Değilse

reddedilir ve işlem

tekrarlanır.

Böylece r(x) dağılımlı x

değerlerinden f(x) dağılımlı x

değerleri elde edilmeye

çalışılır.

Ortalama Serbest Yol Uzunluğu

ve

Etkileşmenin Türü

Bir

fotonun

iki

etkileşme

arası

gidebildiği ortalama uzaklığa

“ortalama

serbest yol”

denir. Fotonun serbest

yolu, toplam tesir kesitine dolayısı ile

enerjisine bağlıdır.

x

I

Io

μ_T : Ortamın, toplam lineer azalım katsayısı olarak bilinen birim uzunluk başına etkileşme olasılığıdır.

μ_Comp, μ_Ray, μ_Foto : Sırası ile Compton saçılma, Rayleigh saçılma ve Fotoelektrik soğurma için lineer azalım katsayılarıdır.

x

o

T

e

I

I







ray foto comp T















Ortalama serbest yol uzunluğu ve etkileşmenin türü

Bir fotonun iki etkileşme arası gidebildiği ortalama uzaklığa “ortalama serbest yol” denir. Fotonun serbest yolu, toplam tesir kesitine dolayısı ile enerjisine bağlıdır. I₀ şiddetindeki bir foton demeti x kalınlığındaki ortamı geçtiğinde şiddeti,

I  _I0  Tx

e 

şeklinde azalır. Burada

T Comp Ray Foto

       f(x) x 0 0       0 0 I e I e e T T T x x x T    

Olasılık Yoğunluk fonksiyonu

q f x dx _e dx x T x Tx   _{( )}    ' ' 0 0  

Homojen bir ortam içersinde ilerleyen bir fotonun, x’

kadar yol aldýktan sonra etkileþme yapma olasılığı

 x x’ q   _e Tx 1  x q T   ln( )  Foto Foto Ray Ray Comp Comp x q x q x q       ln( ) ln( ) ln( ) 1 2 3   

I

x x’ xo

Bu fonksiyonun (0-x’) aralığında herhangi bir değeri alma

olasılığı:



)

ln(

'

q

x





x

x

'



x

x

'



Etkileşti Etkileşmeden kaçtı

x’: Fotonun ortalama serbest yol uzunluğu







Comp Comp Ray Ray Foto Foto

q

x

q

x

q

x

)

ln(

'

)

ln(

'

)

ln(

'

3 2 1













Fotonun maddeye girdikten

sonra yapacağı ilk etkileşme

türü bu denklemlerden elde

edilen

ortalama

serbest

yolların en kısa olanı ile

belirlenir.

Böylece her fotonun hem

ortalama serbest yolu hem

de yapacağı etkileşmenin

türü örneklenmiş olur.

5 cm kalınlığındaki su maddesi üzerine enerjisi 90 keV olan fotonlar geliyor. Bu enerjide

_Fotoelektrik = 0.0042 (1/cm)

_Compton = 0.0068 (1/cm)  = 0.1770 (1/cm)

_Rayleigh = 0.1661 (1/cm)

ise Monte Carlo yöntemini kullanarak su maddesini geçen fotonların sayısını bulunuz.

4

1770

.

0

10

μ

e

e

I

0 x 5 T

I









x



61 . 1 ) l n( ) l n( 72 . 60 ) l n( ) l n( 7 . 271 ) l n( ) l n(

1661

.

0

7653

.

0

0068

.

0

6617

.

0

0042

.

0

3194

.

0

3 2 1               







Comp Comp Ray Ray Foto Foto

q

x

q

x

q

x

q_{1 =} 0.3194 q_{2 =} 0.6617 q_{3 =} 0.7653

< 5

( 1 Foton )

3

MONTE-CARLO METODU İLE

FOTON TAKİBİ

H W MADDE A x L NOKTA KAYNAK DEDEKTÖR 228cm A x’ y’ z’ ‘ x z y

. B (5) z₁ (1) z₁ z₂ z₃ (3) B ₁ ₂ ₃ C D E

.

M L N B z₁ (4) B (2) Kaynak y x z ₀ _g W F 0 ₄ ₅

1) Etkileşme yapmadan Kaçtı 2) Foto Elektrik Olay

3) Compton & Rayleigh 4) Geri Kaçtı

Etkileşme noktası maddenin içinde ise???

1. Fotoelektrik olay

2. Compton Saçılması

3. Rayleigh Saçılması

Foton ilk etkileşme noktasında soğuruldu.

Fotoelektrik Olay

N N N

1.fotoelektron

Karakteristik

radyasyon Pozitif iyon

b

k

h

E

E







Fotoelektronun enerjisi etkileşme noktasında

depolanırken etkileşen foton sayısı bir

Compton Saçılması

N N  Geri tepen elektron Saçılan

foton Pozitif iyon

)

cos

1

(

1

₂ 0 '









c

m

E

E

E

Saçılan Fotonun Enerji ile _{sapma açısı arasındaki}

bağıntı

'

E

E

E

_e





Geri tepen elektronun enerjisi

) ( ) 1 cos ' ' ( ) ' )( sin( ) , ( 2₀ 2 2 _S v E E E E E E r d d E C  com       _m    ) , ( ) ( 1 Z v S n v S i i N i i m   



cos

1

)

(

1433

.

29

2 0





c

m

E

v

Compton Saçılması

Geri tepen elektron enerjisi

etkileşme yerinde soğuruldu

Saçılan foton için saçılma açısı ve enerjisi, Compton saçılma fonksiyonu ile düzeltilmiş Klein-Nishina denkleminden

örneklenir.

Rayleigh Saçılması

atom atom atom

uyarılmış

’

’

Rayleigh Saçılması

)

,

(

)

cos

1

(

sin

)

,

(

_r

2₀ 2

F

2

v

Z

d

d

E

F

Koh



















2 1 2

F

( , )

v Z

_n

i i N i

F

 

 Su için 2 2 2

2

1. Fotoelektrik Olay

Foton ilk etkileşme noktasında soğuruldu.

2. Rayleigh Saçılması F E d d r v Z Koh ( , )  sin (1 cos )

_F

( , )       0  2 2 2 2 1 2

F

( , )v Z _ni i N i

F

   2 2 2 2

F

( , )v Z 

F

H( , )v Z 

F

O( , )v Z Su İçin 3. Compton Saçılması F E d d r E E E E E E S v Com m ( , ) sin( )( )( _cos ) ( ) ' ' '         0     2 2 1 ' (1 cos ) E E E m c    1 0 2  m i i N i i S v( )   n S v Z( , ) 1 v E m c  29 1433 1 0 2 . ( ) cos

Saçıcı ortamın bir molekülü için Compton Saçılma Fonksiyonu

Etkileşme tipini belirle Fotoelektrik olay K oh era nt S açılm a Co m pto n S aç ıl m ası Fotoelektrik olayın olduğu yerde bütün enerjiyi biriktir Bir sonraki fotonu izle Compton saçılma fonksiyonu ile düzeltilmiş Klein-Nishina denkleminden, saçılma açısını örnekle Etkileşme yerinde e-_{enerjisini biriktir.}

Fotonu izle. Veya Foton enerjisi < 5 kev

ise enerjiyi biriktir ve bir sonraki fotonu izle Form faktör ile

düzeltilmiş Thomson denkleminden saçılma açısını örnekle Gelecek etkileşme yerini belirle

Compton Saçılması

Etkileşmeden geçen foton

Rayleigh Saçılması

Fotoelektrik Soğurma

Enerji

rad)

100(erg/g.

(erg/keV)

1.6x10

E

=

D

9 -T Göz

M

E

_T

, M, D

_Göz fantom girişinde havadaki doz, D_DGHD

MC = D

_Göz

/ D

_DGHD ÖN - ARKA

Çizelge(1):

Monte Carlo yöntemi ile 25 x 25 cm2 _{demet alanında}

deri giriş dozuna göre elde edilen DGHO değerleri

Tüp Voltajı (kVp) 20 x 20 (cm2₎ Sol Sağ 25 x 25 (cm2₎ Sol Sağ 70 1.4020.092 0.2030.063 1.4380.093 0.2080.064 75 1.4010.088 0.2080.050 1.4440.094 0.2180.063 80 1.4040.098 0.2580.068 1.4720.170 0.2390.068 85 1.3170.142 0.1910.073 1.3420.190 0.1430.073 90 1.3130.125 0.2200.055 1.2710.266 0.1820.056 100 1.3210.111 0.2290.051 1.3790.196 0.1980.100

Çizelge (2):

Monte Carlo Analizi ile ön-arka pozisyon için havada giriş dozuna göre elde edilen DGHO değerleri Tüp Voltajı (kVp) 20 x 20 (cm2) Sol Sağ 25 x 25 (cm2) Sol Sağ 70 0.0120.003 0.0140.004 0.0180.004 0.0150.003 75 0.0160.004 0.0160.005 0.0170.007 0.0160.006 80 0.0230.007 0.0210.007 0.0270.005 0.0270.005 85 0.0230.006 0.0240.008 0.0260.008 0.0270.007 90 0.0230.010 0.0230.010 0.0250.010 0.0240.009 100 0.0190.012 0.020_{Prof. Dr. Niyazi MERİÇ}0.011 0.0260.011 0.0260.010₃₀

Hava Dozu (mGray)

Sol-sağ Ön-arka

DSA/frame 0.660.01 2.0620.011

Skopi/dakika 5.900.14 17.220.16

Çizelge(3):

Ön-arka (focal nokta-fantom mesafesi 65 cm) ve sol-sağ (focal nokta - fantom mesafesi 76 cm)

pozisyonda, bir dakikalık skopi ve DSA görüntüsü başına fantom girişinde havadaki doz

SORU:

Bir göz hastasına 1.5 dakika sol-sağ skopisi

yapılmış, 26 tane ön-arka ve 24 tane de

sol-sağ

DSA

görüntüsü

çekilmiştir.

Bu

koşullarda bu hastanın göz merceklerinin

aldığı Doz hesaplayınız.

Cevap:

Bu koşullarda x-ışınlarının sol-sağ ve ön-arka durumlarda hasta kafasının olduğu yerde havada oluşturduğu doz değerleri Çizelge(3) kullanılarak aşağıdaki gibi hesaplanır:

Ön-arka:

Bu durumda bir DSA görüntüsü çekildiğinde havada oluşacak doz 2.0620.011 mGray dir. 26 tane DSA görüntüsü alındığına göre havadaki doz

DSA: 26 x (2.0620.011) = 53.610.29 mGray olur.

Sol-sağ:

Bu durumda 1.5 dakika skopi, 24 tane de DSA görüntüsü alınmıştır. Bir dakikalık skopi yapıldığında havadaki doz değeri 5.900.14 mGray, bir DSA

görüntüsü çekildiğinde ise havadaki doz değeri 0.660.01 mGray dir. Bu durumda, skopi ve DSA çekimleri sonucunda havadaki doz

skopi: 1.5 x (5.900.14) = 8.850.21 mGray

Sol göz:

Sol-sağ pozisyonda sol göz için 80 ve 85 kVp tüp voltajına karşılık gelen DGHO değerleri sırasıyla 1.4720.170 ve 1.3420.190 (Çizelge 2), ön-arka durumunda 85 kVp deki DGHO değeri ise

0.0260.008 (Çizelge 2) dir. Sol gözde hem sol-sağ durumunda yapılan skopi ve DSA çekimleri hem de ön-arka pozisyonda yapılan DSA

çekimiyle doz soğurulmaktadır. Sol-sağ pozisyonda skopi ve DSA’dan dolayı havada soğurulan doz miktarları sırasıyla 8.850.21 mGay ve 15.840.24 mGray, ön-arka pozisyonda ise 53.610.29 mGray dir. O halde sol gözde soğurulan toplam doz:

skopi: (1.4720.170)x(8.850.21) = 13.031.81 mGray

DSA: (1.3420.190)x(15.840.24)+(0.0260.008)x(53.610.29)=22.653.77 mGray Toplam:(13.031.81)+(22.653.77) = 35.685.58 mGray olarak bulunur.

Sağ göz:

Sol-sağ pozisyonda sağ göz için 80 ve 85 kVp tüp voltajlarına karşılık gelen DGHO değerleri sırasıyla 0.2390.068 ve 0.1430.073 (Çizelge 1), ön-arka pozisyonda 85 kVp deki DGHO değeri ise 0.0270.002 (Çizelge 2) dir. Sol göz için verilen havadaki doz değerleri kullanılarak sağ gözde soğurulan doz miktarı

skopi: (0.2390.068) x (8.850.21) = 2.12  0.65 mGray

DSA: (0.1430.073)x(15.840.24)+(0.0270.007)x(53.610.29) = 3.661.63 mGray Toplam: (2.120.65) + (3.661.63) = 5.772.28 mGray olarak bulunur.

Çizelge 4. Yetişkinlerde göz merceğinde deterministik etkiler için beklenen eşik değerleri

Etki Eşdeğer doz (tek bir ışınlanma

sonucu) (mSv)

Toplam eşdeğer doz (Uzayan Işınlamalar sonucu) (mSv) Yıllık Doz Hızı (yüksek fraksiyonlu veya uzayan ışınlamalar sonucu) (mSv / yıl) Opasiteler _{500 - 2000 5000 100} Katarakt 5000 8000 150

DOZUN DOLAYLI HESABI

Deri yüzeyinden daha derinlerde ve X-ışını demetinin merkezi ekseni üzerinde bulunan organlarda soğurulan dozlar, hastanın fiziksel özellikleri ve ışınlama koşulları (kVp, mAs, alan büyüklüğü, kaynak-fantom mesafesi) biliniyorsa doku-hava oranı (Tissue Air Ratio (TAR)) kullanılarak, eksen dışında kalanlar ise izodoz eğrileri yardımıyla elde edilebilir.

SU Hava Y’ X’ Y X W_o d_m d F W_d W_m F_a TAR(d,Wd, kVp) = D_X / D_X’ d d _{ab su} doku

D



D TAR d W E

_x

'

( ,

, )(

 

/ )

Gerisaçılma faktörü ( B )

 Şekil ’de d_m derinliğindeki Y noktası dozun maksimum olduğu yeri gösterir. Maksimum doz derinliği foton enerjisine bağlıdır ve enerji arttıkca artar. Teşhis radyolojisinde kullanılan enerji bölgesinde genellikle d_m sıfıra eşit kabul edilir.

 Geri saçılma faktörü, doku hava oranının d = 0 daki özel bir durumudur ve

B(W₀ ,kVp) = TAR(d = 0,W₀,kVp) = D_Y / D_Y’

şeklinde ifade edilir.

 Gerisaçılma faktörü, fantomdan yüzeye geri saçılan fotonları ifade eder. Bu fotonlar yüzeyde doz artışına sebeb olur. Bu faktör

genellikle hastada deri dozunun hesaplanmasında kullanılır.

SORU :

 Suyun 0 ve 2 cm derinliği için TAR değerleri hesaplanmak isteniyor. Bunun için focal noktadan 100 cm uzaklığa bir su fantomu yerleştiriliyor. Su fantomunun uzerindeki demet çapı 10x10 cm2 ye ayarlandıktan sonra şutlama yapılıyor ve su fantomunun 0 ve 2 cm derinliklerine yerleştirilen TLD’lerden sırası ile 229.41 nc ve 179.62 nc sonuçları okunuyor. Daha sonra su fantomu kaldırılıyor ve tekrar şutlama yapılıyor. Bu durumda 0 ve 2 cm derinliğe karşılık gelen aynı noktalarda fakat havadaki TLD’lerden sırasıyla 180.92 nc ve 172.33 nc sonuçları okunuyor. Deney yapılan X-ışını tüpü için 100 kVp de HVL değeri 3.5 mm Al, f faktörü 0.896 ve TLD için kalibrasyon faktörüde 5.66 (mRad) olarak bulunduğuna göre suyun 0 ve 2 cm derinliklerine karşılık gelen TAR değerleri nedir?

R= 100 cm A = 10 x 10 cm2 K x-ışını Kaynağı XH_TLD = 172.33 nc YH_TLD = 180.92 nc R= 100 cm A = 10 x 10 cm2 K x-ışını Kaynağı XS_TLD = 179.62 nc YS_TLD = 229.41 nc f_TLD = 5.66 f_su = 0.896 f_hava = 0.873

D_Su,0 = 229.41*5.66*0.896=1163.41 mRad DSu,2= 179.62*5.66*0.896=910.93 mRad D_Hava,0 = 180.92*5.66*0.873 = 893.95mRad DHava,2= 172.33*5.66*0.873 = 851.49mRad

30 . 1 95 . 893 41 . 1163

D

D

TAR

Hava,0 su,0 0    _851.49 1.07 910.93

D

D

TAR

Hava,2 su,2 2    CEVAP :

cm Sudaki doz

(mRad)

Havadaki

ışınlama

(mR)

Havadaki

Doz

(mRad)

TAR

0 1163.41 1024.00 893.95 1.30 2 910.93 975.36 851.49 1.07

cm Sudaki doz (mRad) Havadaki Doz (mRad) TAR 0 1163.41 893.95 1.301 2 910.93 851.49 1.070 4 612.40 812.07 0.754 6 403.82 775.24 0.521 8 255.65 740.91 0.345 10 178.76 708.81 0.252 12 104.27 678.78 0.154 14 77.82 650.53 0.120 16 58.04 624.07 0.093 18 29.32 599.22 0.049

Doku - Hava oranı. HVL = 3.5 mmAl, 100 kVp, A = 10x10 cm2



SORU



Fokal noktadan 100 cm uzaklıktaki bir su

fantomunun giriş noktasında demet çapı

10x10

cm

2

_olarak

_{ölçülüyor.}

_Su

fantomunun giriş yüzeyinden 16 cm

derinlikte bir noktada soğurulan doz Rad

cinsinden nedir?

(NOT: Bu noktada Havadaki doz 624.07

mRad olarak bulunuyor)

CEVAP

D = 0.093 * 624.07= 58.04 mRad

D = 58.04*10

-3

_{Rad = 0.058 Rad}

Ödev

 Fokal noktadan 100 cm uzaklıktaki bir su fantomunun giriş noktasında demet çapı 10x10 cm2 _{olarak ölçülüyor. Su fantomunun giriş}

yüzeyinden 16 cm derinlikte 1 cm kalınlığındaki bir dilimde soğurulan doz 0.058 Rad olduğuna

göre bu noktada soğurulan enerji kaç keV dir?