Öncelikle iki bilinmeyenli problemler ve gra…k yöntemi ile çözümleri ince- lenmekte ve ard¬ndan Simpleks yöntemi tan¬t¬larak çok bilinmeyenli problem Rus matematikçi ve ekonomist, Nobel Ekonomi ödülü, 1975

(1)

B ¨ol ¨um 3

Lineer Optimizasyon

3.1 Giri¸s

Optimizasyon mevcut s¬n¬rlamalar içerinde kalmak ¸sart¬yla optimum(en iyi) çözümü belirleme i¸slemidir. En iyi çözüm, bir …rma için maksimum kâr veya minimum maliyet anlam¬na gelebilir. Bazen de en iyi çözüm kaç¬n¬lmak iste- nen bir yan ürünün en az¬veya istenilen ürünün en fazlas¬anlam¬n¬ta¸s¬r. An- lam¬probleme ba¼gl¬olarak de¼gi¸smekle beraber optimizasyon problemlerinin ortak yönü, maksimize veya minimize edilecek olan ve objektif fonksiyon ad¬

verilen bir fonksiyon ile k¬s¬tlamalar kümesi olarak adland¬r¬lan sonlu say¬da e¸sitlik veya e¸sitsizlik sisteminden olu¸smas¬d¬r.

Optimizasyon teorisinini geli¸simine çok say¬da bilim insan¬katk¬da bulun- mu¸stur, ancak akla gelen ilk üç isim: Leonid Kantorovich¹, George Danzig² ve John von Neuman³d¬r.

Optimizasyon teorsinde amaç, sonsuz say¬da çözüme sahip olan k¬s¬tlamalar kümesinin objektif fonksiyonu optimize eden çözümünü belirlemektir.

Günlük hayat¬m¬zda da esasen bir çok durumda optimizasyon problemleri ile kar¸s¬la¸s¬r ve kendimize göre optimal çözümü uygulayarak takip ederiz.

Bu bölümde tipik baz¬alanlarda kar¸s¬la¸s¬lan problemlerin matematiksel for- mülasyonu ve çözümünü inceleyece¼giz.

Öncelikle iki bilinmeyenli problemler ve gra…k yöntemi ile çözümleri ince- lenmekte ve ard¬ndan Simpleks yöntemi tan¬t¬larak çok bilinmeyenli problem-

11912-1986, Rus matematikçi ve ekonomist, Nobel Ekonomi ödülü, 1975.

21914-2005, Amerikal¬matematiksel bilimci.

31903-1957, Macar-Amerikan matematiksel bilimci.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .t r

(2)

lerin çözümü elde edilmektedir. Bu çal¬¸smada çizilen gra…kler bu döküman¬n haz¬rland¬¼g¬Scienti…c WorkPlace ortam¬nda haz¬rlanm¬¸st¬r ve Simpleks yön- tem uygulamalar¬ise bölüm sonunda verilen simpleks kodu ile haz¬rlanm¬¸st¬r.

Simpleks yöntemi ile ilgili di¼ger uygulama örnekleri için [1] ve daha güncel bir yöntem olan Karmarkar yöntemi için [3] ü öneriyoruz.

3.2 Tipik Problemler ve modelleri

ÖRNEK 3.1. Üretim Planlama: Bir elbise dikim …rmas¬, fabrika i¸sçileri için i¸s elbisesi(üniforma) spari¸si almaktad¬r ve bu spari¸s için 240m kuma¸s¬

mevcuttur. Üniformalar A ve B modelinde haz¬rlanacakt¬r.

Her bir A tip model 25 T L ve B tip model ise 20 T L kâr pay¬ ile sat¬lmaktad¬r.

Her bir A tip model yakla¸s¬k 2 saat, B tip model ise 1 saat i¸slem gerektirmekte ve bu üretim için günlük toplam 320 saatlik bir i¸sgücü mevcut bulunmaktad¬r.

Ayr¬ca A ve B tip her bir modelin gerektirdi¼gi kuma¸s miktarlar¬ ise s¬ras¬yla 1:2m ve 1m kadard¬r.

Günlük üretimden elde edilecek olan kâr¬n maksimum olmas¬için hangi modelden ne kadar üretilmelidir?

Çözüm.

Probleme ait bilinmeyenler s¬ras¬yla üretilmesi gereken A ve B model say¬lar¬d¬r ki bunlar¬s¬ras¬yla x ve y ile gösterelim. Bu durumda maximize etmek istedi¼gimiz fonksiyon 25x + 20y dir.

Kaynak k¬s¬tlamas¬: 1:2x + y 240 I¸·sgücü k¬s¬tlamas¬2x + y 320

Ayr¬ca üretilecek miktalar negatif olamayaca¼g¬için x 0; y 0olmal¬d¬r.

O halde optimizasyon modelimiz a¸sa¼g¬daki gibi olmal¬d¬r:

max 25x + 20y 1:2x + y 240

2x + y 320 x; y 0

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k tu .e d u .tr

(3)

3.2 Tipik Problemler ve modelleri 3

ÖRNEK 3.2. (S¬nav için zaman planlama) Final s¬navlar¬na haz¬r- lanan bir ö¼grencinin

A ve B dersleri s¬nav haz¬rl¬¼g¬için toplam 40 saat zaman¬mevcuttur.

Ö¼grenci önceki deneyimlerine göre, bir saatlik çal¬¸sman¬n A dersi için yakla¸s¬k yüz üzerinden 3, B için ise 5 puan getirisi olaca¼g¬n¬ tahmin etmektedir.

Ayr¬ca ö¼grenci, A dersi için gerekli çal¬¸sma zaman¬n¬n B için gerekli olandan en az üç kat daha fazla olmas¬gerekti¼gini tahmin ediyor.

Buna göre ö¼grenci yakla¸s¬k olarak hangi ders için en az kaç saat çal¬¸s- mal¬d¬r?

Çözüm.

Probleme ait bilinmeyenler s¬ras¬yla A ve B dersleri için gerekli çal¬¸sma süreleridir ki bunlar¬s¬ras¬yla x ve y ile gösterelim. Bu durumda maximize etmek istedi¼gimiz fonksiyon 3x + 5y dir.

Zaman k¬s¬tlamas¬: x + y 40

Dersler için gerekli zaman da¼g¬l¬m¬ x 3y 0:Ayr¬ca çal¬¸sma zaman süreleri negatif olamayaca¼g¬için x 0; y 0 olmal¬d¬r. O halde optimizasyon modelimiz a¸sa¼g¬daki gibi olmal¬d¬r:

max 3x + 5y x + y 40

x 3y 0

x; y 0

ÖRNEK 3.3. Bir fabrikada yaz, k¬¸s ve mevsimlik olmak üzere üç farkl¬

otomobil lasti¼gi üretilmektedir. Her bir lastik fabrikadaki üç farkl¬ bölümde a¸sa¼g¬da belirtilen sürelerde i¸slem görmektedirler ve üretilen her bir lastik- ten elde edilmesi dü¸sünülen tahmini kâr a¸sa¼g¬da verilmektedir. Ayr¬ca fabrikadaki her bir bölümün seçilen lastik boyutu için planlanan üretim i¸sgücü tabloda verilmektedir.

Yaz K¬¸s Mevsimlik Toplam Zaman

Birinci Bölüm 1:5 1 2 90

·Ikinci Bölüm 1 2 2 70

Üçüncü Bölüm 2 1 1 80

Kâr 20 16 15

(4)

Fabrika seçilen boyuttaki lastik üretiminden maksimum kâr elde edebilmek için hangi tipten ne kadar üretmelidir?

Çözüm.

x,y, ve z ile s¬ras¬yla üretilmesi planlanan yazl¬k, k¬¸sl¬k ve mevsimlik lastik say¬lar¬n¬gösterelim. O halde maksimize edilecek olan fonksiyon

20x + 16y + 15z dir. Ayr¬ca k¬s¬tlamalar¬m¬z

Birinci Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: 1:5x + y + 2z 90 Ikinci Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: x + 2y + 2z· 70 Üçüncü Bölüm kaynakl¬k¬s¬tlama: 2x + y + z 80

Ayr¬ca üretilecek lastik say¬lar¬negatif olamayaca¼g¬için x 0; y 0; z 0olmal¬d¬r. O halde optimizasyon modelimiz a¸sa¼g¬daki gibi olmal¬d¬r:

max 20x + 16y + 15z 1:5x + y + 2z 90

x + 2y + 2z 70 2x + y + z 80

x; y; z 0

3.3 Iki De¼· gi¸skenli E¸sitsizlikler sisteminin çözümü

·Iki de¼gi¸skenli lineer optimizasyon problemlerinin çözümü gra…k yöntemi ad¬

verilen bir yöntemle elde edilebilir. Bunun için öncelikle verilen e¸sitsizlik sisteminin çözüm kümesinin bulunmas¬gerekir.

ÖRNEK 3.4.A¸sa¼g¬da verilen e¸sitsizlik sisteminin çözüm kümesinin gra…¼gini çiziniz ve kö¸se noktalar¬n¬n koordinatlar¬n¬belirleyiniz.

x + y 250;

x + 4y 400;

x; y 0 Çözüm.

(5)

3.3 ·Iki De¼gi¸skenli E¸sitsizlikler sisteminin çözümü 5

E¸sitsizlik sistemin çözüm kümesini belirlemek için öncelikle her e¸sitsizli¼ge kar¸s¬l¬k gelen e¸sitlik veya denklem ile belirlenen do¼grunun gra…¼gini çizeriz.

Örne¼gin birinci e¸sitsizliye kar¸s¬gelen denklem x + y = 250

denklemidir. Daha sonra denklem ile belirlenen do¼gru üzerinde yer alamayan bir test noktas¬ seçerek, test noktas¬n¬n denkleme kar¸s¬l¬k gelen e¸sitsizli¼gi (x + y 250) sa¼glay¬p sa¼glamad¬¼g¬n¬kontrol ederiz. Örne¼gin (0; 0) noktas¬n¬

test noktas¬olarak seçelim. Bu nokta e¸sitsizli¼gimizi sa¼glar, o halde x + y 250

e¸sitsizli¼ginin çözüm kümesi üstten

x + y = 250

do¼grusu ile s¬n¬rlanan ve (0; 0)noktas¬n¬içeren yar¬düzlemdir. Benzer i¸slemleri x + 4y = 400 do¼grusu ile tekrarlayarak

x + 4y 400 e¸sitsizli¼ginin çözüm kümesinin yukar¬dan

x + 4y = 400

do¼grusu ile s¬n¬rlanan yar¬ düzlem oldu¼gunu belirleriz. Son iki e¸sitsizlik ise çözüm bölgesinin kartezyen koordinat sisteminin I. bölgesinde olmas¬n¬gerek- tirir. Verilen problemdeki e¸sitsizlikler sisteminin çözüm kümesi ise, elde edilen yar¬ düzlemlerin arakesiti olarak ¸Sekil 3.1 de gösterilen taral¬ alan olarak elde edilir.

Kö¸se noktalar¬n¬n koordinatlar¬ise

(0; 0); (250; 0); (0; 100) ve

x + y = 250 x + 4y = 400

denklem sistemlerinin arakesit noktas¬olan (200; 50) noktas¬d¬r.

K a ra d e n iz Te k n ik M a t e m a t ik , e rh a n @ k t u .e d u .tr

(6)

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 20

40 60 80 100 120 140

x y

¸

Sekil 3.1: Örnek 3.4 için uygun çözüm kümesi.

x + y 65 x + y 40

x 0

x 60

y 0

Çözüm.

x + y = 65 ve x + y = 40 do¼grular¬n¬n gra…¼gini çizdikten sonra, ilgili e¸sit- sizliklere kar¸s¬l¬k gelen bölgenin ¸Sekil 3.2 de taral¬bölge oldu¼gunu belirleriz.

x + 2y 60 2x + y 75

x; y 0 Çözüm.

(7)

3.3 ·Iki De¼gi¸skenli E¸sitsizlikler sisteminin çözümü 7

10 20 30 40 50 60 70

x y

¸

Sekil 3.2: Örnek 3.5 için uygun çözüm kümesi.

Son iki e¸sitsizlikten, bölgenin koordinat sisteminin I. bölgesinde yer ald¬¼g¬n¬

biliyoruz. Daha sonra s¬ras¬yla

x + 2y = 60 ve

2x + y = 75

do¼grular¬n¬n gra…¼gini çizip, kar¸s¬l¬k gelen e¸sitsizlikler taraf¬ndan sa¼glanan yar¬

düzlemleri belirler ve arakesitlerini al¬r¬z. Elde edilen bölge ¸Sekil 3.3 de gösterilmektedir. Kö¸se noktalar¬n¬n koordinatlar¬ise s¬ras¬yla

(0; 0); (75=2; 0); (30; 15); (0; 30) dur.

ÖRNEK 3.7. A¸sa¼g¬da verilen e¸sitsizlik sisteminin çözüm kümesinin gra…¼gini çiziniz ve kö¸se noktalar¬n¬n koordinatlar¬n¬belirleyiniz.

x + 3y 4 2x + y 5

x y 0

x; y 0

(8)

10 20 30 40 50 10

20 30 40 50

x y

¸

Sekil 3.3: Örnek 3.6 için uygun çözüm bölgesi.

Çözüm.

Her bir e¸sitsizli¼ge kar¸s¬l¬k gelen ve e¸sitliklerle belirlenen do¼gru gra…klerini çizerek, e¸sitsizlikler ile belirlenen yar¬ düzlemlerin arakesitini ¸Sekil 3.4 te verildi¼gi gibi belirleriz.

Verilen e¸sitsizlik sisteminin gra…¼gi ¸Sekil 3.4 de verilmektedir. ¸Sekil 3.4 de belirtilen bölge s¬n¬rlar¬na ait do¼grular¬n denklemlerini belirleyebilir misiniz?.Orjinden ba¸slamak üzere kö¸se noktalar¬n¬n koordinatlar¬

A(0; 0); B(5=2; 0); C(11=5; 3=5); D(1; 1) dir.

3.4 Iki de¼· gi¸skenli Problemler için Gra…k Yön- temi

Bu bölümde X = [x y]^T; C = [c₁ c₂], A2 2 matris ve b = [b1 b₂]^T olmak üzere

(9)

3.4 ·Iki de¼gi¸skenli Problemler için Gra…k Yöntemi 9

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-1 1 2

x y

¸

Sekil 3.4: Örnek 3.7 e ait uygun çözüm kümesi.

max CX

AX b

X 0

veya

min CX

AX b

X 0

veya baz¬e¸sitsizlikleri 0 ⁰ di¼gerleri ise ⁰ ⁰ biçiminde olan ve lineer optimizasyon (veya lineer programlama) problemi ad¬ verilen endüstriyel problemleri inceliyoruz. Burada maksimize veya minimize edilecek olan

CX = c₁x + c₂y

fonksiyonuna objektif veya hedef fonksiyon ad¬verilir. Problemde verilen e¸sitsizlikler sisteminin çözüm kümesine ise problemin uygun çözüm kümesi ad¬verilir. E¼ger bu küme bo¸s ise o zaman verilen problemin çözümü mevcut de¼gildir. Uygun çözüm kümesi içerisinden verilen problemi maksimize(veya minimize) eden çözüme optimum çözüm ad¬verilir.

TEOREM 3.1. Bir lineer optimizasyon probleminin çözümü mevcutsa, bu çözüm uygun çözüm kümesinin kö¸se noktalar¬ndan birine kar¸s¬l¬k gelir. E¼ger herhangi iki kom¸su kö¸se noktada objektif fonksiyon ayn¬ de¼gere sahipse, bu iki noktay¬birle¸stiren do¼gru üzerindeki her nokta da problemin bir çözümdür ve bu durumda problem sonsuz say¬da çözüme sahiptir.

(10)

ÖRNEK 3.8. A¸sa¼g¬da verilen optimizasyon probleminin çözümünü belirleyiniz.

max 3x + y x + 3y 4 2x + y 5

x y 0

x; y 0 Çözüm.

Örnek 3.7 den e¸sitsizlik sisteminin kö¸se noktalar¬n¬n koordinatlar¬n¬biliyoruz. Teorem 3.1 den de çözümün kö¸se noktalar¬üzerinde olmas¬gerekti¼gini biliyoruz. O halde yapmam¬z gereken, kö¸se noktalar¬nda hedef fonksiyonunun de¼gerini hesaplay¬p en büyük de¼gere sahip olan noktay¬belirlemektir.

(x; y) 3x + y

(0; 0) 0

(5=2; 0) 15=2 (11=5; 3=5) 36=5

(1; 1) 4

O halde optimum çözüm (5=2; 0) d¬r.

ÖRNEK 3.9. A¸sa¼g¬da verilen optimizasyon probleminin çözümünü belirleyiniz.

min 3x + 4y x + y 4 x + 3y 2

x; y 0 Çözüm.

Gra…k yöntemiyle problemi çözmek için öncelikle verilen e¸sitsizlik sisteminin çözüm kümesini belirlemeliyiz. ¸Sekil 3.5 deki taral¬ alan söz konusu e¸sitsizlik sisteminin çözüm kümesidir.

Çözüm kümesinin kö¸se noktalar¬n¬n koordinatlar¬ ve bu noktalardaki objektif fonksiyonun de¼gerleri a¸sa¼g¬da verilmektedir.

(11)

-1 1 2 3 4 5

x y

¸

Sekil 3.5: Örnek 3.9 için uygun çözüm bölgesi.

(x; y) 3x + 4y (0; 2=3) 8=3

(2; 0) 6 (4; 0) 12 (0; 4) 16

O halde hedef fonksiyonun minimumuna kar¸s¬l¬k gelen (x; y) = (0; 2=3) noktas¬optimal çözümdür.

Al¬¸st¬rmalar 3.1.

1. A¸sa¼g¬da verilen problemlerin çözümünü gra…k yöntemi yard¬m¬yla belirleyiniz.

(a)

max x + y x + 2y 11 3x + y 13

x; y 0

(12)

(b)

max 2x + 3y 5x + 2y 10 4x + 3y 12

x; y 0

(c)

max 1:5x + y x + 2y 2 4x + 3y 12

x; y 0

(d)

min 4x + y 3x + y 3 x + 2y 4

x y 1

x; y 0

(e)

max x + 3y 3x + y 10

x + 2y 4

x y 1

x; y 0

(f )

max ve min x + 2y x + 2y 4 4x + 5y 20

x + y 1 x; y 0

2. E¼ger hedef fonksiyonu uygun çözüm kümesinin iki farkl¬kö¸se noktas¬nda ayn¬ de¼gere sahipse, bu iki noktay¬ birle¸stiren do¼gru parças¬ üzerinde de ayn¬ de¼gere sahiptir ve bu durumda optimizasyon problemi sonsuz say¬da çözüme sahiptir. Bu durum ax + by hedef fonksiyonu olmak üzere ax + by = c do¼grusunun uygun çözüm kümesinin herhangi bir s¬n¬r¬na paralel olmas¬ durumunda olu¸sur. A¸sa¼g¬daki problemleri çöz- erek sonsuz say¬da çözüme sahip olduklar¬n¬gözlemleyiniz.

(a)

max 12x + 9y x + 6y 6 4x + 3y 12

x; y 0

(13)

(b)

min 2x + 10y x + 5y 5 3x + 2y 5

x; y 0

3. E¼ger uygun çözüm kümesi bo¸s ise bu durumda ilgili optimizasyon probleminin çözümünden bahsedemeyiz. A¸sa¼g¬da verilen problemlerin çözümü olmad¬¼g¬n¬gözlemleyiniz.

(a)

max 12x + 9y 2x + y 2 3x + 4y 12

x; y 0

(b)

min 2x + 10y 2x + 2y 4 2x + 3y 2

x; y 0

4. Bir otomotiv üretim …rmas¬ A ve B tip ekonomik otomobil modelleri üretmektedir ve …rman¬n bir sezonluk üretim için toplam 14750 saatlik i¸sgücü ve bu üretim için 725000 TL …nansman kayna¼g¬ mevcuttur. A ve B tip modellerin her biri s¬ras¬yla 400 ve 350 saatlik i¸sgücü kayna¼g¬

gerektirmekte ve üretici bu modellerin herbirinden 3500 ve 3400 TL kâr elde edece¼gini tahmin etmektedir. A ve B tipli her bir modelin maliyeti s¬ras¬yla 15000 TL ve 20000 TL dir. Bir sezonluk üretimden maksimum kâr elde edebilmek için hangi modelden ne kadar üretilmelidir?

5. Bir çiftçi 10 dönümlük arazisinin bir k¬sm¬na ¸seker pancar¬ve di¼ger bir k¬sm¬na ise patates ekmeyi planlamaktad¬r. Her bir dönümlük pancar ve patates ekiminin maliyeti s¬ras¬yla 12000 T L ve 7000 T L dir ve çiftçinin bu ekim için 90000 T L kayna¼g¬ mevcuttur. Çiftçi patatesin dönümünden 1000 T L, pancardan ise 900 T L kâr elde edece¼gini dü¸sün- mektedir. Çiftçi bu üretimden elde edece¼gi kâr¬ maksimize etmek için hangi ürün türünden ne kadar ekim yapmal¬d¬r?

6. Bir diyetisyen iki ürünün( •U r•un_I; •U r•un_II) uygun miktardaki kar¬¸s¬m¬

ile bir bitkisel ilaç haz¬rlamak istemektedir. •U r•un_I in her bir gram¬

3mg demir, 4mg C vitamini ve 2mg da kolestrol içermektedir. •U r•un_II

(14)

nin her bir gram¬ise 6mg demir, 2mg C vitamini ve 3mg da kolestrol içermektedir. Haz¬rlanacak olan ilac¬n en az 1500 mg demir ve 800 mg da C vitamini içermesi istenmektedir. Minimum kolestrol içeren bitkisel ilaç hangi tip üründen ne kadar içermelidir?

7. Bir pastahane kilogram¬s¬ras¬yla 3:5 T L ve 4.5 T L olan portakal ve kivi kar¬¸s¬m¬ndan bir içecek haz¬rlamak istemektedir. Her bir meyve çe¸si- dinin her bir 100 gram¬ndaki kalori ve karbonhidrat miktarlar¬a¸sa¼g¬daki tabloda verilmektedir. Ayr¬ca kar¬¸s¬m¬n sahip olmas¬ gereken minimal besin de¼gerleri de yine tablonun son sat¬r¬nda verilmektedir.

100 gramda Kalori(kcal) Karbonhidrat(gr)

portakal 39 12

kivi 62 15

Minimal Gereksinim 62900 16500

Bu veriler ¬¸s¬¼g¬alt¬nda minimum maliyetli kar¬¸s¬m, hangi meyve türün- den kaç gram içermelidir?

3.5 Simplex Yöntemi

(A)tipli problem olarak adland¬raca¼g¬m¬z

(A)

max CX AX <= b

X 0; b 0

(3.1)

probleminde de¼gi¸sken say¬s¬ikiden fazla oldu¼gu zaman problemin çözümü için gra…k yöntemi uygun de¼gildir. Bu durumda Simplex yöntemi ad¬verilen ve George Danzig taraf¬ndan geli¸stirilen yöntem do¼grudan uygulanabilir.

Yöntemi a¸sa¼g¬daki örnek üzerinde inceleyelim:

ÖRNEK 3.10.

max 4x + 3y x + y 4 3x + y 10

x; y 0

(15)

3.5 Simplex Yöntemi 15

Gra…k yöntemiyle elde edilen uygun çözüm kümesi ¸Sekil 3.6 de verildi¼gi gibidir.

-1 1 2 3 4 5

x y

¸

Uygun çözüm kümesinin kö¸se noktalar¬n¬n koordinatlar¬n¬n (0; 0); (10=3; 0); (3; 1); (0; 4)

oldu¼guna dikkat edelim. Ayr¬ca optimum çözüm ise x = 3; y = 1 dir. Ayn¬

problemi ¸simdi de Simpleks yöntemi yard¬m¬yla inceleyelim:

Simpleks yönteminin uygulanabilmesi için öncelikle verilen problemin standart form ad¬verilen

min CX AX = b

X 0

¸seklinde yaz¬lmas¬gerekmektedir. Bunun için 2x + 3y fonksiyonunu maksimum yapan x ve y de¼gerlerini bulma probleminin 2x 3y problemini minimize etme problemine denk oldu¼guna dikkkat edelim. Ayr¬ca problemdeki

(16)

0 0k¬s¬tlamalar¬n¬⁰ =⁰ k¬s¬tlamas¬na dönü¸stürmeliyiz. Bu amaçla e¸sitsizlik- lerin sol taraf¬na negatif olmayan u ve v yapay de¼gi¸skenlerini ilave etmeliyiz. Böylece verilen probleme kar¸s¬l¬k gelen standart problemi

min 4x 3y

x + y + u = 4 3x + y + v = 10

x; y; u; v 0

olarak yazabiliriz. Çözüm için ilk ad¬m, ba¸slang¬ç Simpleks tablosunun olu¸s- turulmas¬d¬r:

Ba¸slang¬ç Simpleks tablosu

Probleme ait verilerin a¸sa¼g¬da görüldü¼gü biçimde yaz¬ld¬¼g¬ ilk tabloya ba¸slang¬ç Simpleks tablosu ad¬verilmektedir.Tabloda son sat¬r hedef fonksiyonunun katsay¬lar¬n¬içermektedir.

1. Ad¬m:

pivot sütunu oranlar

x y u v sabitler

1 1 1 0 4 4=1

pivot sat¬r¬ 3 1 0 1 10 10=3(küçük oran)

4 3 0 0 0

Sütunlar¬nda birim vektörler olan de¼gi¸skenler esas de¼gi¸skenlerve di¼gerleri ise esas olmayan de¼gi¸skenlerolarak adland¬r¬l¬rlar. Buna göre yukar¬- daki tabloda u ve v esas de¼gi¸skenler ve x; y ise esas olmayan de¼gi¸skenlerdir.

Esas olmayan de¼gi¸skenleri s¬f¬r kabul ederek elde edilen çözüm (x; y; u; v) = (0; 0; 4; 10)

esas uygun çözümolarak adland¬r¬l¬r ve bu çözüm ¸Sekil 3.6 da görüldü¼gü üzere uygun çözüm kümesinin kö¸se noktalar¬ndan birine kar¸s¬l¬k gelir. Esas uygun çözüm toplam de¼gi¸sken say¬s¬ndan(örnekte dört) denklem say¬s¬kadar olan de¼gi¸sken de¼gerinin s¬f¬ra e¸sitlenmesiyle elde edilir. Ba¸slang¬ç esas uygun çözümde hedef fonksiyonun de¼geri s¬f¬ra e¸sittir ve bu de¼ger tablonun en sa¼g alt kö¸sesinde yer almaktad¬r.

(17)

Not: Dört de¼gi¸skenli ve iki denklemden olu¸san sistemin en fazla C(4; 2) = 4!

2!2! = 6

adet esas uygun çözüme sahip olabilece¼gine dikkat edelim.

Yöntem

Simpleks yöntemi bir esas uygun çözümden di¼ger bir esas uygun çözümü elde etme yöntemidir. Yöntem bir sonraki esas uygun çözümü belirlerken bu çözümde hedef fonksiyonun ald¬¼g¬de¼gerin bir önceki esas uygun çözümde ald¬¼g¬de¼gerden daha küçük olmas¬prensibini esas al¬r.

O halde yöntem, uygun çözüm kümesinin bir kö¸se noktas¬ndan hedef fonksiyon de¼gerini daha küçük yapacak olan di¼ger bir kö¸se noktas¬na s¬çrama i¸slemini gerçekle¸stirir⁴. Son sat¬rda negatif eleman oldu¼gu sürece bu i¸sleme devam edilir.

Pivot sütun ve sat¬r¬n¬n belirlenmesi

Yöntem söz konusu ¸s¬çrama i¸slemini her ad¬mda esas de¼gi¸skenlerden birini esas olmayan bir de¼gi¸skenle yer de¼gi¸stirmek suretiyle gerçekle¸stirir. Esas olmayan de¼gi¸skenlerden hangisinin esas de¼gi¸sken olaca¼g¬na karar vermek için, hangi esas olmayan de¼gi¸skenin de¼gerinin s¬f¬rdan bir birim kadar art¬r¬l- mas¬yla hedef fonksiyon de¼gerinin daha fazla azalaca¼g¬n¬ kontrol eder. Bu de¼gi¸sken simpleks tablosunun son sat¬r¬nda mutlak de¼gerce en büyük olan negatif say¬n¬n yer ald¬¼g¬ sütuna kar¸s¬k gelen de¼gi¸skendir ve örnekte 4 say¬s¬n¬n yer ald¬¼g¬sütuna kar¸s¬l¬k gelen x de¼gi¸skenidir.

Son sat¬rda mutlak de¼gerce en büyük olan negatif say¬n¬n yer ald¬¼g¬sütuna pivot sütunu ad¬verilir.

O halde u ve v nin esas de¼gi¸sken ve x ve y nin ise esas olmayan de¼gi¸s- ken oldu¼gu (x; y; u; v) kümesinden x in esas de¼gi¸sken oldu¼gu bir esas uygun çözüme yani bir di¼ger kö¸se noktas¬na s¬çramalay¬z. Bunun için kö¸se noktas¬nda n m = 4 2 = 2de¼gi¸skenin s¬f¬r olmas¬gerekti¼gi için u ve v den herhangi biri esas olmayan de¼gi¸skene dönü¸smek durumundad¬r. Bu de¼gi¸skenin umu yoksa v mi olaca¼g¬na karar vermek için pratik olarak yap¬lmas¬gereken i¸slem ¸sudur:

Son sat¬r hariç sabitler sütununda yer alan sabitlerin pivot sütununda yer alan ve pozitif sabitlere bölümü ile elde edilen oranlar hesaplan¬r ve en küçük nonnegatif orana kar¸s¬l¬k gelen sat¬r pivot sat¬r¬olarak belirlenir.

4Simpleks yöntemini çocuklar¬n seksek oyunu gibi dü¸sünebilirsiz. Yöntemin her bir ad¬m¬, oyunda bir s¬çray¬¸sa kar¸s¬l¬k gelir.

(18)

Örnekte 4=1 ve 10=3 oranlar¬içerisinden 10=3 oran¬na kar¸s¬l¬k gelen sat¬r pivot sat¬r¬olarak belirlenmektedir.

Pivot sat¬r ve sütununda yer alan elaman ise pivot eleman¬olarak adland¬r¬l¬r. Örnekte pivot sütunu ve sat¬r¬ üzerinde yer alan pivot eleman 3 dür. Bir sonraki i¸slem ise, pivot eleman¬n¬ 1 yap¬p ve o sütünda bulunan di¼ger elemanlar¬ elamanter sat¬r i¸slemleri yard¬m¬yla s¬f¬r yapmakt¬r. Ele- manter sat¬r i¸slemlerinin hat¬rlayal¬m:

herhangi iki sat¬r yer de¼gi¸stirebilir,

herhangi bir sat¬r s¬f¬rdan farkl¬bir sabitle çarp¬labilir ve

herhangi bir sat¬r¬n s¬f¬rdan farkl¬bir kat¬ba¸ska bir sat¬ra ilave edilebilir.

x y u v

1 1 1 0 4

S₂=3! 1 1=3 0 1=3 10=3

4 3 0 0 0

O halde yukar¬daki tabloya, a¸sa¼g¬daki tablonun sol sütununda yer alan elemanter sat¬r i¸slemlerini uygulayarak

x y u v sabitler

( 1) S₂+ S₁ ! 0 2=3 1 1=3 2=3

1 1=3 0 1=3 10=3

4 S₂+ S₃ ! 0 5=3 0 4=3 40=3

elde ederiz. Bu tabloda birim vektörlerin sütununda yer alan x ve u de¼gi¸skenleri esas de¼gi¸skenler ve y ile v ise esas olmayan de¼gi¸skendir. Esas olmayan de¼gi¸sken de¼gerleri s¬f¬ra e¸sitlenerek, tabloya kar¸s¬l¬k gelen

0x + 2=3y + u 1=3v = 2=3 x + 1=3y + 1=3v = 10=3 denklem sistemi çözülerek

(x; y; u; v) = (10=3; 0; 2=3; 0)

(19)

esas uygun çözümünü elde ederiz. Bu çözüm de objectif fonksiyonun ald¬¼g¬

de¼ger ise 40=3(son sat¬r ve sütunda yer alan eleman¬n ters i¸saretlisi) dir ve bu de¼ger ilk esas uygun çözüme kar¸s¬l¬k gelen de¼gerden küçüktür. Elde edilen bu esas uygun çözümün ¸Sekil 3.6 daki uygun çözüm kümesinin sa¼g alt kö¸sesine kar¸s¬l¬k geldi¼gine dikkat edelim.

Son sat¬rda 5=3 negatif say¬s¬yer ald¬¼g¬için i¸sleme ikinci sütunla yani yeni pivot sütunuyla devam edilmesi gerekir. Oranlar hesaplanmak suretiyle a¸sa¼g¬daki tabloda belirtildi¼gi üzere elde edilen en küçük orana kar¸s¬l¬k gelen sat¬r ise birinci sat¬rd¬r. O halde pivot eleman 2=3 tür.

2. Ad¬m, Pivot sat¬r¬= 1 sütunu= 2, pivot eleman 2/3

x y u v sabitler

pivot sat¬r¬ 0 2/3 1 1=3 2=3 (2=3)=(2=3) = 1

1 1=3 0 1=3 10=3 (10=3)=(1=3) = 10

0 5=3 0 4=3 40=3

Öncelikle pivot eleman 1 e e¸sit yap¬lacak biçimde elemanter sat¬r operasy- onu uygulayal¬m:

x y u v sabitler

(3=2) S₁ ! 0 1 3=2 -1=2 1

1 1=3 0 1=3 10=3

0 5=3 0 4=3 40=3

Daha sonra ise a¸sa¼g¬daki tabloda belirtilen sat¬r operasyonlar¬ile göster- ilen tablo de¼gerlerini elde ederiz:

x y u v sabitler

0 1 3=2 1=2 1

( 1=3) S₁+ S₂ ! 1 0 1=2 1=2 3 (5=3) S₁+ S₃ ! 0 0 5=2 1=2 15

Son sat¬rda negatif eleman kalmad¬¼g¬ için i¸slem burada son- land¬r¬l¬r. Esas de¼gi¸skenler x ve y ve esas olmayan de¼gi¸skenler ise sütun- lar¬nda birim vektör olmayan u ve v dir. Tabloya kar¸s¬l¬k gelen denklem sistemi u ve v nin s¬f¬ra e¸sitlenmesiyle çözülmek suretiyle x = 3 ve y = 1

(20)

de¼gerleri ve bu noktada standart problemin objektif fonksiyonunun de¼geri ise

4x 3y = 15

olarak elde edilir. Orjinal problemin objektif fonksiyonunun de¼geri ise 15 dir.

Elde edilen çözümün ¸Sekil 3.6 da eksenler üzerinde bulunmayan esas uygun çözüm kümesinin bir kö¸se noktas¬na kar¸s¬l¬k geldi¼gine dikkat edelim.

Simpleks yönteminin her bir ad¬m¬n¬n esas uygun çözüm kümesinin bir kö¸se noktas¬ndan objektif fonksiyonun de¼gerini daha küçük yapan di¼ger bir kom¸su noktaya hareket etti¼gine dikkat edelim.

Son sat¬rda negatif eleman bulunmamas¬, di¼ger bir kö¸se noktas¬na daha hareket etmek suretiyle objektif fonksiyon de¼gerinin daha fazla küçültüle- meyece¼gi anlam¬n¬ta¸s¬r.

ÖRNEK 3.11. A¸sa¼g¬da verilen lineer optimizasyon probleminin çözümünü belirleyiniz.

max 5x + 3y + 6z 3x + y + 3z 20

x + 4y + z 30 x + y + 2z 15

x; y; z 0 Çözüm.

Öncelikle verilen probleme kar¸s¬l¬k gelen standart problemi ifade edelim:

min 5x 3y 6z 3x + y + 3z + u = 20

x + 4y + z + v = 30 x + y + 2z + w = 15 x; y; z; u; v; w 0

·Ilk Simpleks tablosu

(21)

1. Ad¬m:

pivot # oranlar

x y z u v w sabitler

pivot! 3 1 3 1 0 0 20 20=3

1 4 1 0 1 0 30 30=1

1 1 2 0 0 1 15 15=2

5 3 6 0 0 0 0 0

Son sat¬rda en büyük negatif say¬ 6 olup, bu sütun pivot sütunudur.

Sabitler sütunundaki her bir eleman¬n bu sütunda yer alan elemanlara oran¬

hesapland¬¼g¬nda en küçük pozitif oran olan 20=3 e kar¸s¬l¬k gelen sat¬r pivot sat¬r¬d¬r ve dolay¬s¬yla pivot eleman 3 dür.

(1=3) S₁ ! 1 1=3 1 1=3 0 0 20=3

1 4 1 0 1 0 30

1 1 2 0 0 1 15

5 3 6 0 0 0 0

¸

Simdi elemanter sat¬r operasyonlar¬yard¬m¬yla pivot eleman¬n bulundu¼gu sütunu birim vektöre dönü¸stürelim

x y z u v w sabitler oranlar

1 1=3 1 1=3 0 0 20=3 20

( 1) S₁+ S₂ ! 0 11=3 0 1=3 1 0 70=3 70=11

( 2) S₁+ S₃ ! 1 1/3 0 2=3 0 1 5=3 5

6 S₁+ S₄ ! 1 1 0 2 0 0 40

2. Ad¬m:

Son sat¬rda negatif eleman oldu¼gu için i¸sleme devam etmeliyiz: O halde y de¼gi¸skeninin bulundu¼gu sütun pivot sütunudur ve oranlar hesapland¬¼g¬nda en küçük oran¬n üçüncü sat¬ra kar¸s¬l¬k geldi¼gini görürüz. O halde pivot eleman 1=3 tür. Bu eleman¬bir yapmak için üçüncü sat¬r¬3 ile çarpar¬z:

(22)

pivot#

1 1=3 1 1=3 0 0 20=3 20

0 11=3 0 1=3 1 0 70=3 70=11

3 S₃ ! 3 1 0 2 0 3 5 15

1 1 0 2 0 0 40

Pivot eleman¬n bulundu¼gu sütundaki di¼ger elemanlar¬n s¬f¬rland¬¼g¬ elemanter sat¬r i¸slemleri a¸sa¼g¬daki tabloda verilmektedir:

( 1=3) S₃+ S₁ ! 2 0 1 1 0 1 5 5=2

( 11=3) S₃+ S₂ ! 11 0 0 7 1 11 5 5=11

3 1 0 2 0 3 5

1 S₃+ S₄ ! 2 0 0 0 0 3 45

3. Ad¬m:

En son sat¬rda 2 nin bulundu¼gu birinci sütun pivot sütunu ve negatif olmayan 5=11 oran¬na kar¸s¬l¬k gelen ikinci sat¬r pivot sat¬r¬d¬r. O halde birinci sütun ve ikinci sat¬rda yer alan 11 eleman¬pivot elemand¬r. Bu sat¬r¬n 11 e bölünmesiyle

pivot#

2 0 1 1 0 1 5

(1=11) S₂ ! 1 0 0 7=11 1=11 1 5=11

3 1 0 2 0 3 5

2 0 0 0 0 3 45

elde ederiz. Pivot eleman¬n bulundu¼gu sütundaki di¼ger elemanlar¬n s¬f¬r- land¬¼g¬i¸slemler a¸sa¼g¬daki tabloda verilmektedir:

(23)

pivot#

(2) S₂+ S₁ ! 0 0 1 3=11 2=11 1 45=11

1 0 0 7=11 1=11 1 5=11

3 S₂+ S₃ ! 0 1 0 1=11 3=11 0 70=11

2 S₂+ S₄ ! 0 0 0 14=11 2=11 1 505=11

Son sat¬rda negatif eleman kalmad¬¼g¬için i¸slem burada bitmi¸stir. Sütun- lar¬nda birim vektörler yer alan x; y ve z de¼gi¸skeni esas de¼gi¸sken, u; v ve w ise esas olmayan de¼gi¸skenlerdir. Esas olmayan de¼gi¸skenleri s¬f¬ra e¸sitleyerek, tablodaki katsay¬lara kar¸s¬l¬k gelen denklemler çözüldü¼günde

x = 5=11; y = 70=11; z = 45=11 optimum çözümünü elde ederiz.

Al¬¸st¬rmalar 3.2.

1. Simpleks yöntemi yard¬m¬yla a¸sa¼g¬daki problemlerin çözümlerini belirleyiniz

(a)

max 2x + 3y 4x + 2y 8 3x + 5y 15

x; y 0

(b)

min x y

5x + y 5 3x + 2y 6

x; y 0

(c)

max x + y 4x + y 1 2x + 3y 6

x; y 0

(d)

min x 2y z

x + y + z 15 2x + 4y + z 24

x + 3y + z 32 x; y; z 0

(24)

(e)

max x + y + 2z 3x + y + 2z 10

x + 4y + z 8 x + 2y + 4z 16

x; y; z 0

(f )

max x + 2y + z 3x + y + 2z 10

x + 4y + z 8 x; y; z 0

2. Bir …rma A; B ve C model farkl¬ cep telefonlar¬ üretmektedir. Her bir model üretim sürecinde I; II ve III ile gösterilen üç farkl¬ a¸samadan geçmektedir. Her bir modelin her bir a¸samada gerektirdi¼gi zaman ve her bir a¸sama için …rman¬n tahsis edebilece¼gi maksimum i¸s gücü a¸sa¼g¬daki tabloda verilmektedir. Tablonun son sat¬r¬nda ise her bir telefonun sat¬¸s¬ndan elde edilmesi beklenen tahmini kâr verilmektedir.

A¸sama A B C Mevcut ·I¸s Gücü(dakika)

I 2 1 3 300

II 1 3 1 400

III 1 2 3 500

Tahmini kâr 10 20 10

Firma bu üretimden elde edece¼gi kâr¬ maksimize edebilmek için hangi modelden kaç adet üretmelidir?

3. Bir çiftçi sulama imkanlar¬na göre kurak, yar¬-kurak ve sulu arazi olarak adland¬r¬lan ve s¬ras¬yla 5; 4 ve 2 dönümlük üç farkl¬arazi tipine sahiptir. Her bir arazi türüne uygun yap¬lacak ürünün dönüm ba¸s¬na ekim maliyeti s¬ras¬yla 500; 600 ve 1000 T L dir ve çiftçinin ekim a¸samas¬için maksimum 5000 T L kayna¼g¬ mevcuttur. Ayr¬ca her bir arazi türünün dönümünden elde edilecek hasat¬n sat¬¸s¬ndan 1200; 1700 ve 2800 T L kâr elde edilmesi beklenmektedir. Çiftçi ürün has¬lat¬ndan elde edece¼gi kâr¬

maksimize etmek için hangi arazinin ne kadar¬n¬ekmelidir?

3.6 Dual Problem

·Ikinci olarak (B) tipli problem olarak adland¬raca¼g¬m¬z

(25)

3.6 Dual Problem 25

(B)

min CX

AX b

X 0; b 0; C 0

(3.2)

¸seklinde tan¬ml¬problemleri göz önüne alal¬m. Bu problemi bir önceki bölüm- lerde oldu¼gu gibi standart hale dönü¸stürerek ba¸slang¬ç esas uygun çözümü kolaycak bulamayaca¼g¬m¬z için Simpleks yöntemini do¼grudan uygulayamay¬z.

Bu durumu bir örnek üzerinde inceleyelim ÖRNEK 3.12.

A¸sa¼g¬da verilen optimizasyon probleminin çözümünü belirleyiniz 2

66 4

min 3x + 4y x + y 2 2x + 3y 5

x; y 0 3 77 5

Çözüm.

Öncelikle gra…k yöntemiyle ¸Sekil 3.7 de gösterilen problemin uygun çözüm kümesine göz atal¬m.

Önceki bölümde oldu¼gu gibi problemi standart hale dönü¸stürelim:

2 66 4

min 3x + 4y x + y u = 2 2x + 3y v = 5

x; y; u; v 0 3 77 5

E¸sitlik sisteminin her iki yan¬ ( 1) ile çarp¬larak, u ve v yi içeren sü- tunlar birim vektöre dönü¸stürülebilir, yani u ve v esas de¼gi¸sken olur. Bu durumda x ve y ise esas olmayan de¼gi¸skenlerdir. Esas olmayan de¼gi¸skenlerin s¬f¬ra e¸sitlenmesiyle elde edilen (0; 0; 2; 5) ba¸slang¬ç çözümü ise bir esas uygun çözüm de¼gildir, çünkü bile¸senler nonnegati‡ik k¬s¬tlamalar¬n¬sa¼glama- zlar. Bu durumda bu ba¸slang¬ç çözüm ile Simpleks yöntemini ba¸slatamay¬z.

Çünkü Simpleks yöntemi verilen bir esas uygun çözümden di¼gerini elde eder.

Bu durumda alternatif bir yakla¸s¬m ise Von Neuman taraf¬ndan geli¸stirilen ve verilen problemin duali(arkada¸s¬) ad¬verilen yeni bir problemi formüle etmektir. Peki dual problem nas¬l elde edilir?

(26)

-1 1 2 3 4

x y

¸

Bunun için verilen problemdeki de¼gi¸sken katsay¬lar¬ a¸sa¼g¬da gösterildi¼gi gibi bir tabloda yaz¬larak, tabolonun transpozu al¬n¬r:

(Orjinal Problem) (Dual

Problem) 2

66 4

min 3x + 4y x + y 2 2x + 3y 5

x; y 0 3 77 5 99K

x y sabit

1 1 2

2 3 5

3 4

99K

u v sabit

1 2 3

1 3 4

2 5

99K 2 66 4

max 2u + 5v u + 2v 3 u + 3v 4 u; v 0

3 77 5

Theorem 1. (Duallik Teoremi) Dual problemin çözüme sahip olmas¬ için gerek ve yeter ¸sart orjinal problemin çözüme sahip olmas¬d¬r.Orjinal problemin çözümü, dual problemin son simpleks tablosunda orjinal de¼gi¸skenlerin bulundu¼gu sütundaki son sat¬r elemanlar¬d¬r. Ayr¬ca optimal çözümde, dual problemin objektif fonksiyonunun ald¬¼g¬ de¼ger ile orjinal problemin objektif fonksiyonunun ald¬¼g¬de¼gerler birbirine e¸sittirler.

Dual problemi çözmek için, problem öncelikle orjinal problemin de¼gi¸sken- lerinin yapay de¼gi¸skenler oldu¼gu standart probleme dönü¸stürülür:

(27)

3.6 Dual Problem 27

min 2u 5v

u + 2v + x = 3 u + 3v + y = 4 u; v; x; y 0 Daha sonra standart Simpleks yöntemi uygulan¬r:

1. Ad¬m:

u v x y sabitler

1 2 1 0 3 3=2

pivot sat¬r¬ 1 3 0 1 4 4=3(pozitif küçük oran)

2 5 0 0 0

Pivot eleman¬n de¼gerini 1 yapmak için ikinci sat¬r¬3 ile böleriz

u v x y sabitler

1 2 1 0 3

S2/3! 1=3 1 0 1=3 4=3

2 5 0 0 0

Bir sonraki i¸slem pivot eleman sütununu birim vektöre dönü¸stürmektir:

u v x y sabitler

( 2) S₂+ S₁ ! 1=3 0 1 2=3 1=3

1=3 1 0 1=3 4=3

5 S₂+ S₃ ! 1=3 0 0 5=3 20=3

Son sat¬rda negatif eleman oldu¼gu için Simpleks ad¬m¬n¬tekrarlamal¬y¬z:

2. Ad¬m:

(28)

pivot sütunu

u v x y sabitler oranlar

pivot sat¬r¬ 1/3 0 1 2=3 1=3 (1=3)=(1=3) = 1(pozitif küçük oran)

1=3 1 0 1=3 4=3 (4=3)=(1=3) = 4

1=3 0 0 5=3 20=3

Pivot sat¬r¬3 ile çarparak pivot eleman¬n 1 de¼gerini almas¬n¬sa¼glayal¬m:

u v x y sabitler

3 S₁+ S₁ ! 1 0 3 2 1

1=3 1 0 1=3 4=3

1=3 0 0 5=3 20=3 Son olarak pivot sütununu birim vektöre dönü¸stürelim:

u v x y sabitler

1 0 3 2 1

( 1=3) S₁+ S₂ ! 0 1 1 1 1

(1=3) S₁+ S₃ ! 0 0 1 1 7

Son sat¬rda negatif eleman kalmad¬¼g¬ için Simpleks i¸slemi tamamlan- m¬¸st¬r. Dual probleme ait bu tablodaki sonuçlar¬nas¬l okumal¬y¬z?

Duallik teoreminde de belirtildi¼gi üzere orjinal probleme ait de¼gi¸skenlerin de¼gerleri de¼gi¸skenlerin bulundu¼gu sütundaki son sat¬r elemanlar¬d¬r. O halde x = 1, y = 1 orjinal problemin çözümüdür.

x = 1 ve y = 1 için orjinal problemin hedef fonksiyonu 3x + 4y nin ald¬¼g¬de¼ger 7 dir.

Herhangi bir orjinal problemle ili¸skili olmad¬¼g¬n¬dü¸sünseydik, son tablo- dan u = 1; v = 1 de¼gerini elde ederdik ve bu noktada dual problemin hedef fonksiyonu olan 2u + 5v nin ald¬¼g¬de¼ger 7 dir.

Duallik teoreminde belirtildi¼gi üzere optimal çözümde orjinal ve dual problemin hedef fonksiyonlar¬ayn¬de¼ger sahiptirler.