Latin Karesi ve Greko-Latin Karesi Tasarmlar

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Latin Karesi ve Greko-Latin Karesi Tasarmlar

statistiksel Deney Tasarm

Birdal “eno§lu

“ükrü Acta³

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

çindekiler

1

Latin Karesi Tasarm

2

Greko-Latin Karesi Tasarm

3

Beklenen Kareler Ortalamas

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Giri³

Fisher (1925, 1926) tarafndan önerilen Latin karesi tasarmnn (Latin square design-LSD) kullanm, iki-yönlü ANOVA da oldu§u gibi bloklama ilkesine dayanr.

Ancak, iki-yönlü ANOVA dan farkl olarak satr (row) ve sütun (column) ad verilen iki tane bloklama de§i³keni vardr.

Deney birimleri arasndaki heterojenlik bir tane bloklama de§i³keni kullanlarak giderilemeyecek kadar fazla ise, iki farkl

bloklama de§i³keni kullanlarak homojenlik sa§lanmaya çal³lr.

Böylelikle, deneysel hata azaltlm³ olur.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Giri³

Latin karesi tasarmnda, birincil derecede öneme sahip olan faktör says, bir-yönlü ve iki-yönlü ANOVA da oldu§u gibi "bir"

dir.

Latin karesi, satr saysnn (r), sütün saysnn (c) ve deneme saysnn (a) birbirine e³it oldu§u bir tasarmdr.

Satr ve sütunlarn düzeylerinin kesi³ti§i her hücrede bir tane deney birimi vardr.

Her deneme (Latin hareri) , her satr ve her sütunda yalnz bir kez gözlenir.

r = c = a oldu§u için toplam gözlem says r

dir.

Latin karesinin boyutlarn ifade etmek amacyla, r × r Latin karesi ifadesi de kullanlmaktadr.

Latin karesi tasarm; satr-sütun tasarmlar içerisinde en kolay, ayn zamanda da en popüler olandr.

Bununla beraber, bahsedilen kstlardan dolay, uygulamada

yaygn olarak kullanld§ söylenemez.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Giri³

Üç farkl denemenin (D1, D2, D3) etkisinin ara³trld§ bir 3 × 3 Latin karesi tasarmnda, her denemenin her satr ve her sütunda yalnz bir kez bulunmas ko³ulunu sa§layan birden fazla Latin karesi vardr. Olas iki farkl Latin karesi a³a§da verilmi³tir.

Sütunlar Sütunlar

A B C A C B

Satrlar B C A Satrlar B A C

C A B C B A

Soldaki Latin karesinde, dikkat edilirse, birinci satr ve birinci

sütundaki Latin hareri alfabetik sraya göre dizilmi³tir. Bu Latin

karesi, indirgenmi³ Latin karesi (reduced Latin square) olarak

adlandrlr.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Giri³

ndirgenmi³ Latin karesi, Latin Karesi tasarmnda rasgelele³tirme yaplrken kullanlan önemli bir kavramdr.

Dikkat edilmelidir ki, Latin karesinin boyutuna ba§l olarak indirgenmi³ Latin karesi says da birden fazla olabilir.

Örne§in, r = 2 veya r = 3 iken indirgenmi³ Latin karesi says

"bir", r = 4 iken ise "dört" tür.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Giri³

r × r Latin karesi tasarmnda rasgelele³tirme i³lemi yaplrken, indirgenmi³ Latin kareleri elde edildikten sonra içlerinden bir tanesi rasgele olarak seçilir.

3×3, 4×4 ve 5×5 Latin Kareleri için, indirgenmi³ Latin karesinin

bütün sütunlarnn ve birinci satr d³ndaki bütün satrlarnn

veya bütün satrlarnn ve birinci sütun d³ndaki bütün

sütunlarnn yerleri/sralar rasgele olarak de§i³tirilir ve

denemeler rasgele olarak Latin harerine atanr/uygulanr.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Giri³

6×6 Latin karesi için, bütün satr ve sütunlarn yerleri/sralar

rasgele olarak de§i³tirilir ve denemeler Latin harerine rasgele olarak atanr/uygulanr.

Daha büyük kareler için, herhangi bir Latin karesinin satrlarnn,

sütunlarnn ve denemelerinin yerleri/sralar rasgele olarak

de§i³tirilir, bkz Yates (1933), Fisher & Yates (1957), Lee (1975)

ve Hinkelmann & Kempthorne (1994).

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Matematiksel Model

Latin karesi tasarm için matematiksel model

y

= µ + τ

+ γ

+ δ

+ ε

, i, j, k = 1, 2, · · · , r (1)

³eklinde ifade edilir. Burada,

y

, j − inci satr, k−nc sütundaki i−inci denemeye ait gözlem de§erini,

µ , genel ortalamay,

τ

, i−inci denemenin etkisini, γ

, j−inci satrn etkisini, δ

, k−nc, sütunun etkisini ve ε

, rasgele hata terimlerini

gösterir.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Matematiksel Model

(1) modeli sabit etkili bir modeldir. Bir ba³ka deyi³le, (1) modelinde

r

X

i=1

τ

= 0, X

j=1

γ

= 0, X

k=1

δ

= 0 (2)

oldu§u varsaylr.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Parametre Tahmini

(1) modelinde parametrelerin LS tahmin edicileri,

˜

µ = ¯ y

(3)

˜

τ

= ¯ y

− ¯ y

(4)

˜

γ

= ¯ y

− ¯ y

(5)

δ ˜

= ¯ y

− ¯ y

(6)

dir.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Parametre Tahmini

Burada,

y ¯

=

r

X

j=1 r

X

k=1

y

r , ¯ y

=

r

X

i=1 r

X

k=1

y

r , ¯ y

=

r

X

i=1 r

X

j=1

y

r ;

i, j, k = 1, 2, · · · , r

(7)

dir. Ayrca, N = r

toplam gözlem saysn göstermek üzere

¯ y

=

r

X

i=1 r

X

j=1 r

X

k=1

y

N (8)

tüm gözlemlerin ortalamasdr.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Parametre Tahmini

Hatann varyans σ

nin (yan düzeltmesi yaplm³) LS tahmin edicisi,

˜ σ

=

X

X

X

( y

− ˜ µ − ˜ τ

− ˜ γ

− ˜ δ

)

( r − 1)(r − 2) (9)

=

r

X

i=1 r

X

j=1 r

X

k=1

( y

− ¯ y

− ¯ y

− ¯ y

+ 2¯y

)

( r − 1)(r − 2) (10)

dir.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Hipotez Testi

(1) modelinde, deneme, satr ve sütun etkilerinin istatistiksel olarak anlaml

olup olmad§ snanr. Her bir durum için hipotezler, srasyla

H

: τ

= τ

= · · · = τ

= 0 (11) H

: γ

= γ

= · · · = γ

= 0 (12) ve

H

: δ

= δ

= · · · = δ

= 0 (13)

dir.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Hipotez Testi: Genel Kareler Toplamnn Parçalan³

(1) modelinde, genel kareler toplam

SS

=

r

X

i=1 r

X

j=1 r

X

k=1

( y

− ¯ y

)

(14)

olarak ifade edilir ve

SS

= SS

+ SS

+ SS

+ SS

(15)

³eklinde bile³enlerine ayrlr. Burada,

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Hipotez Testi: Genel Kareler Toplamnn Parçalan³

SS

= r

r

X

i=1

(¯ y

− ¯ y

)

SS

= r

r

X

j=1

(¯ y

− ¯ y

)

SS

= r

r

X

k=1

(¯ y

− ¯ y

)

SS

=

r

X

i=1 r

X

j=1 r

X

k=1

( y

− ¯ y

− ¯ y

− ¯ y

+ 2¯y

)

(16)

dir.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Hipotez Testi: Test statistikleri

(1) modelinde, (11) hipotezini snamak için

F

=

SS

 ( r − 1) SS

( r − 1)(r − 2)

= MS

MS

(17)

(12) hipotezini snamak için

F

=

SS

 ( r − 1) SS

( r − 1)(r − 2)

= MS

MS

(18)

ve (13) hipotezini snamak için

F

=

SS

 (r − 1) SS

( r − 1)(r − 2)

= MS

MS

(19)

test istatistikleri kullanlr.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Hipotez Testi: Test statistikleri

Teorem

(1) modelinde, H

hipotezi altnda, F

, F

ve F

test

istatistiklerinin her biri r − 1 ve (r − 1)(r − 2) serbestlik dereceli merkezi F

da§lmna sahiptir.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Hipotez Testi: KARAR

F

, F

ve F

test istatistiklerinin de§eri, α anlam düzeyinde, r − 1 ve (r − 1)(r − 2) serbestlik dereceli F tablo de§erinden daha büyükse, sfr hipotezi reddedilir. Bir ba³ka deyi³le,

F

> F

F

> F

F

> F

ise srasyla

"Denemeler arasnda anlaml bir farkllk vardr"

"Satrlar arasnda anlaml bir farkllk vardr"

ve

"Sütunlar arasnda anlaml bir farkllk vardr"

denir. ♣

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

ANOVA Tablosu

Yukarda elde edilen bilgiler ³§nda, Latin karesi tasarm için ANOVA tablosu, a³a§da gösterildi§i gibi olu³turulur.

Kaynak df SS MS F

Denemeler r − 1 SS

MS

F

Satrlar r − 1 SS

MS

F

Sütunlar r − 1 SS

MS

F

Hata (r − 1)(r − 2) SS

MS

Genel N − 1 SS

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Giri³

Greko-Latin karesi (Graeco-Latin square) tasarmnda satr, sütun ve Yunan (Greek) hareri olarak adlandrlan "üç" farkl

bloklama de§i³keni ile birincil derecede öneme sahip "bir" tane faktör vardr.

Greko-Latin karesi tasarmnda, bloklama de§i³kenleri ile faktöre ait düzey saysnn birbirine e³it oldu§u kst vardr.

Bir ba³ka kst ise faktör düzeylerini gösteren Latin harerinin (A, B, C, D,. . .) her satr, her sütun ve her Yunan harnde yalnz bir kez denenmesidir.

Bu kstlardan dolay, gerçek hayat problemlerinde oldukça nadiren kullanlan bir tasarm ³eklidir.

smini, tasarmda kullanlan Yunan ve Latin harerinden alr. Bu

bölümde, bloklama de§i³kenleri ile faktöre ait düzey saysnn

(Latin karesi tasarmnda oldu§u gibi) "r" oldu§u varsaylacaktr.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Giri³

A, B, C, D denemelerinin etkilerini kar³la³trmak istedi§imiz bir deneyde, deney birimleri arasndaki heterojenli§i kontrol altna almak için her biri dört düzeye sahip üç farkl bloklama de§i³keninin oldu§unu varsayalm. Bu deneme için kullanlabilecek olas 4×4 Greko-Latin kare tasarm a³a§daki gibidir.

A,α B,γ C,δ D,β

C,γ D,α A,β B,δ

D,δ C,β B,α A,γ

B,β A,δ D,γ C,α

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Giri³

Burada dikkat edilmesi gereken husus, Latin harerinin ve Yunan harerinin ayr ayr Latin kare olma özelli§ini sa§lamasdr.

Latin harerinden ve Yunan harerinden olu³an iki ayr Latin karesi a³a§daki gibidir.

A B C D α γ δ β

C D A B γ α β δ

D C B A δ β α γ

B A D C β δ γ α

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Giri³

Dikkat edilirse, iki Latin karesi birle³tirildi§inde düzeylerin hiçbir kombinasyonu birlikte birden fazla bulunamaz, bkz. Lee (1975).

Bu özelli§i sa§layan Latin kareleri dik (orthogonal) olarak adlandrlr.

Bu nedenle, Greko-Latin karesi, dik Latin karelerinin birle³imi olarak da tanmlanabilir.

E§er deneyde heterojenli§i kontrol altna almak için bir tane daha bloklama de§i³keni kullanmak gerekiyorsa, birbirine dik üç ayr Latin karesi olu³turulur.

Daha sonra bu Latin kareleri birle³tirilerek olu³turulan tasarm kullanlr.

stenilen her boyutta Greko-Latin karesi olu³turmak her zaman

mümkün olmayabilir. Örne§in, r = 2 ve 6 için Greko-Latin karesi

olu³turulamaz, bkz. Kempthorne (1952).

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Matematiksel Model

Greko-Latin karesi tasarm için matematiksel model

y

= µ + τ

+ γ

+ δ

+ λ

+ ε

, i, j, k, ` = 1, 2, · · · , r (20)

³eklinde ifade edilir. Burada,

y

, j−inci satr, k−nc sütun, `−inci Yunan harndeki, i−inci denemeye ait gözlem de§erini,

µ , genel ortalamay,

τ

, i−inci denemenin etkisini, γ

, j−inci satrn etkisini, δ

, k−nc sütunun etkisini,

λ

, `− inci Yunan harnin etkisini ve ε

, rasgele hata terimlerini

gösterir.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Matematiksel Model

(20) modeli sabit etkili bir modeldir. Bir ba³ka deyi³le (20) modelinde

r

X

i=1

τ

= 0, X

j=1

γ

= 0, X

k=1

δ

= 0, X

`=1

λ

= 0 (21)

e³itlikleri geçerlidir.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Parametre Tahmini

(20) modelinde parametrelerin LS tahmin edicileri

˜

µ = y ¯

(22)

˜

τ

= y ¯

− ¯ y

(23)

˜

γ

= y ¯

− ¯ y

(24)

δ ˜

= y ¯

− ¯ y

(25)

λ ˜

= y ¯

− ¯ y

(26)

dir.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Parametre Tahmini

Burada,

y ¯

X

X

X

`=1

y

r , y ¯

= X

i=1

X

X

`=1

y

r

¯ y

r

X

i=1 r

X

j=1 r

X

`=1

y

r , ¯ y

=

r

X

i=1 r

X

j=1 r

X

k=1

y

r

(27)

dr. Ayrca, N = r

toplam gözlem saysn göstermek üzere

y ¯

=

r

X

i=1 r

X

j=1 r

X

k=1 r

X

`=1

y

N (28)

tüm gözlemlerin ortalamasdr.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Parametre Tahmini

Hatann varyans σ

nin (yan düzeltmesi yaplm³) LS tahmin edicisi,

˜ σ

=

X

X

X

X

`=1

( y

− ˜ µ − ˜ τ

− ˜ γ

− ˜ δ

− ˜ λ

)

( r − 1)(r − 3) (29)

=

r

X

i=1 r

X

j=1 r

X

k=1 r

X

`=1

( y

− ¯ y

− ¯ y

− ¯ y

− ¯ y

+ 3¯y

)

( r − 1)(r − 3) (30)

dir.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Hipotez Testi

(20) modelinde, deneme, satr, sütun ve Yunan harerinin istatistiksel olarak anlaml olup olmad§ snanr. Her bir durum için hipotezler srasyla,

H

: τ

= τ

= · · · = τ

= 0 (31) H

: γ

= γ

= · · · = γ

= 0 (32) H

: δ

= δ

= · · · = δ

= 0 (33)

ve H

: λ

= λ

= · · · = λ

= 0 (34)

dir.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Hipotez Testi: Genel Kareler Toplamnn Parçalan³

(20) modelinde, genel kareler toplam

S =

r

X

i=1 r

X

j=1 r

X

k=1 r

X

`=1

( y

− ¯ y

)

(35)

olarak ifade edilir ve

SS

= SS

+ SS

+ SS

+ SS

+ SS

(36)

³eklinde bile³enlerine ayrlr.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Hipotez Testi: Genel Kareler Toplamnn Parçalan³

Burada,

SS

= r X

i=1

(¯ y

− ¯ y

)

SS

= r

r

X

j=1

(¯ y

− ¯ y

)

SS

= r X

k=1

(¯ y

− ¯ y

)

SS

= r X

`=1

(¯ y

− ¯ y

)

SS

=

r

X

i=1 r

X

j=1 r

X

k=1 r

X

`=1

( y

− ¯ y

− ¯ y

− ¯ y

− ¯ y

+ 3¯y

)

(37)

dir.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Hipotez Testi: Test statistikleri

(20) modelinde, (31) hipotezini snamak için

F_Deneme=

SSDeneme

 (r − 1) SS_Hata

(r − 1)(r − 3)

=MSDeneme

MSHata (38)

(32) hipotezini snamak için

F_Satir=

SS_Satir

 (r − 1) SS_Hata

(r − 1)(r − 3)

=MS_Satir

MSHata (39)

(33) hipotezini snamak için

F_Sutun=

SSSutun

 (r − 1) SS_Hata

(r − 1)(r − 3)

=MSSutun

MSHata (40)

ve (34) hipotezini snamak için

FYunan=

SSYunan

 (r − 1) SS_Hata

(r − 1)(r − 3)

=MSYunan

MSHata (41)

test istatistikleri kullanlr.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Hipotez Testi: Test statistikleri

Teorem

(20) modelinde, H

hipotezi altnda, F

, F

, F

ve F

test

istatistiklerinin her biri, r − 1 ve (r − 1)(r − 3) serbestlik dereceli merkezi F

da§lmna sahiptir.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Hipotez Testi: KARAR

F

, F

, F

ve F

test istatistiklerinin de§eri, α anlam düzeyinde, r − 1 ve (r − 1)(r − 3) serbestlik dereceli F tablo de§erinden daha büyükse sfr hipotezi reddedilir. Bir ba³ka deyi³le,

F

> F

F

> F

F

> F

F

> F

ise srasyla

"Denemeler arasnda anlaml bir farkllk vardr"

"Satrlar arasnda anlaml bir farkllk vardr"

"Sütunlar arasnda anlaml bir farkllk vardr"

ve

"Yunan hareri arasnda anlaml bir farkllk vardr"

denir. ♣

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Yukarda elde edilen bilgiler ³§nda, Greko-Latin karesi tasarm için ANOVA tablosu, a³a§da gösterildi§i gibi olu³turulur.

Kaynak df SS MS F

Denemeler r − 1 SS

MS

F

Satrlar r − 1 SS

MS

F

Sütunlar r − 1 SS

MS

F

Yunan r − 1 SS

MS

F

Hata ( r − 1)(r − 3) SS

MS

Genel N − 1 SS

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Ön Bilgi

Bu bölümde sadece Latin Karesi tasarm içn beklenen kareler ortalamas verilmi³tir.

Greko-Latin Karesi tasarm için beklenen kareler ortalamalar benzer

³ekilde elde edilir.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Beklenen Deneme Kareler Ortalamas

(1) modelinde,

E(MS

) = σ

+ r r − 1

r

X

i=1

τ

(42)

elde edilir.

(42) e³itli§inden görülmektedir ki, MS

, sfr hipotezinin do§ru

olmas durumunda σ

nin yansz bir tahmin edicisidir.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Beklenen Satr Kareler Ortalamas

(1) modelinde,

E(MS

) = σ

+ r r − 1

r

X

j=1

γ

(43)

dir.

(43) denkleminden görülmektedir ki, MS

, sfr hipotezinin do§ru

olmas durumunda σ

nin yansz bir tahmin edicisidir.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Beklenen Sütun Kareler Ortalamas

(1) modelinde,

E(MS

) = σ

+ r r − 1

r

X

k=1

δ

(44)

dir.

(44) denkleminden görülmektedir ki, MS

, sfr hipotezinin do§ru

olmas durumunda σ

nin yansz bir tahmin edicisidir.

Acta³

statistiksel Deney Tasarm

Latin Karesi Tasarm

Greko-Latin Karesi Tasarm

Beklenen Kareler Ortalamas

Beklenen Hata Kareler Ortalamas

(1) modelinde,

E(MS

) = σ

(45)

dir.

(45) denkleminden görülmektedir ki, MS

, her zaman σ

nin

yansz bir tahmin edicisidir.