1. Faktöriyel Kavramı (Sıralama)
1'den n'ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n!
biçiminde gösterilir.
1 · 2 · 3 · … · (n – 2) · (n – 1) · n = n!'dir.
Örnek: 1! = 1
2! = 2 · 1 = 2 3! = 3 · 2 · 1 = 6 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 Uyarı: 0! = 1 olarak kabul edilir.
Faktöriyelin tanımı gereği n! şu şekillerde de yazılabilir;
( –1)!
! = ( – 1) ( – 2) ( – 3) ... 3 2 1 = ( – 1)!
n
n n· n · n · n · · · · n· n
( –2 )!
! = ( – 1) ( – 2) ( – 3) ... 3 2 1 = ( – 1) ( – 2)!
n
n n· n · n · n · · · · n · n · n
Örnek: 8! = 8 · 7!
8! = 8 · 7 · 6!
8! = 8 · 7 · 6 · 5!
Faktöriyel sıralamadır.
Örnek: 4 kişi düz bir sıraya 4 · 3 · 2 · 1 = 24 değişik şekilde sıralanabilir.
( + 1)! – ! = ( + 1) ! – !
= ! ( + 1– 1)
= !
n n n n n
n n
n n Örnek : ·
·
·
Örnek: 1 1! + 2 2! + 3 3! + ... + ( – 1) ( – 1)! +· · · n · n n n· ! ifadesinin en sade halini bulunurken 1 1! + 2 2! + 3 3! + ... + ( – 1) ( – 1)! +· · · n · n n n· ! ifadesine (n + 1)! terimi çıkarılıp eklenir.
1 1! + 2 2! + 3 3! + ... + ( – 1) ( – 1)! + !
= 1 1! + 2 2! + ... + (
– ( + 1)! ( + 1)!
– ( + 1) ! + ( + 1) – 1) ( – 1)! + !
= 1 1! + 2 2! + ... + ( – 1) ( –
! – ( + 1) (
1)! + ![ ] + 1)!
· · · ·
·
·
· · · ·
· · ·
n n n n
n n
n n
n n n
n n
n n
n n n n
Aynı şekilde n! de n · (n – 1)! olarak yazılıp sondan başa doğru gidilir.
– ! ( + 1)!
– · ( – 1)! + ( + 1)!
( – 1)!
= 1 1! + 2 2! + ... + ( – 1) ( – 1)!
= 1 1! + 2 2! + ... + ( – 1) ( – 1)!
= 1 1! + 2 2! + ... + [( – 1) – + ( + 1)!
– ( – 1)! ( + 1)!
]
= 1 1! + 2 2! + ...
. .
– 2! + (
= 1 1!
= 1 1!
= 1!
+ 1)!
– 2 · 1! + ( + 1)!
– 2 + ( + 1
(1 )
= ( + 1
)!
)
· · ·
· · ·
· ·
· ·
·
·
n n
n n n
n n n
n n
n n
n n
n n
n
n n
! – 1
Örnek:
10! + 11! 10 9! + 11 10 9!
9! = 9!
9!(10 + 11 10)
= 9!
= 9!
· · ·
·
120 9!
·
= 120
2. Kombinasyon
Kombinasyon Kavramı (Gruplama, Seçme)
r, n N ve 0 ≤ r ≤ n olmak üzere n tane eleman içinden yazılabilecek r tane elemanlı alt kümelerin her birine n'nin r'li kombinasyonu denir ve C(n, r) ya da n
r
biçiminde
gösterilir. !
C( , ) = = ' dir.
( – )! !
n n
n r r n r r
·
Örnek: 8 8! 8 7 6!
C(8, 6) = = =
6 (8 – 6)! 6!
· ·
· 2!· 6!
= 28
Kombinasyonda aslında bir kümenin alt kümeleri yazılır ve küme içindeki elemanların yer değiştirmesinin bir önemi olmadığından sıralamanın önemi yoktur, sadece seçme
Kombinasyon Özellikleri
=
n n
a b ise a = b veya a + b = n’dir.
Örnek: 8 8! 8! 8
= = =
(8 – 3)! 3! 5! 3!
3 5
· ·
= = 1
0
n n
n
Örnek: 7 7! 7! 7
= = = = 1
7 (7 – 7)! 7! 0! 7! 0
· ·
+ + + ... + = 2
0 1 2 – 1
n n n n n n
n n
Örnek: 4 elemanlı bir kümenin 4 elemanlı alt kümeleri 4 4
ile , 3 elamanlı alt kümeleri 4
3
ile, 2 elemanlı alt kümeleri 4 2
ile, 1 elemanlı alt kümeleri 4 1
ile ve elemansız alt kümeleri 4
0
ile bulunur. Tüm bu alt kümeleri topladığımızda 4 elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerini buluruz, bu da 2 e eşittir. 4
Yani; 4 0
+ 4 1
+ 4 2
+ 4 3
+ 4 4
= 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 =2 4
+ 1
+ =
+ 1 + 1
n n n
r r r
Örnek: 4 2
+ 4 3
= 5 3
= 10
Örnek:
9 10
6 7
8 8 9 10 9 9 10
+ + + = + +
5 6 7 8 6 7 8
10 10
= +
7 8
= 11 8
11· 10 C(11, 8) = 11! =
3! · 8!
5
· 9
3
· 8!
1· 2 · 3 · 8!
= 165
3. Permütasyon
Permütasyon Kavramı (Seçme ve Sıralama)
r, n N ve 0 ≤ r ≤ n olmak üzere n tane eleman içinden yazılabilecek r tane elemanlı tekrarsız sıralamalarının her birine n'nin r'li permütasyonu ve P(n, r) biçiminde gösterilir. P( , ) = ' dir.
( – )!
n r n!
n r
Örnek: A = {1, 5, 9} kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilecek rakamları farklı 2 basamaklı sayılar 15, 19, 51, 59, 91 ve 95 olmak üzere 6 tanedir. Bu sayı permütasyon kullanılarak da bulunabilir.
3! 3!
P(3, 2) = = = 6
(3 – 2)! 1!
Permütasyonda sıralılar yazılır, sıralılar içerisinde elemanların yer değiştirmesi önemli olduğundan permütasyonda sıralamanın önemi vardır ve seçme ile sıralama birlikte yapılır.
Örnek: A = {1, 5, 9} kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilecek rakamları farklı 2 basamaklı sayılar bulunurken ilk olarak yazılacak sayılarda kullanılacak rakamlar {1, 5}, {1, 9} ve {5, 9} olmak üzere 3 farklı şekilde seçilebilir. Her bir kümedeki elemanlar kendi aralarında 2! şekilde yer değitirebileceğinden A kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilecek rakamları farklı 2 basamaklı
Permütasyon Özellikleri
P(n, r) = n(n – 1)(n – 2) … (n – r + 1)
! · ( – 1)· ...· ( – 1)!· ( – )!
P( , ) = =
( – )! ( – )!
n n n r n r
n r n
n r n r
= · ( – 1)· ...· ( –n n n r 1)!· ( – )!n r şeklinde gösterilebilir.
P(n, r) = C(n, r) · r!
n elemanlı bir küme içinden r elemanın tekrarsız sıralamaları bulunurken ilk olarak n elemandan r eleman C(n, r) şeklinde seçilir. Daha sonra her bir alt kümedeki elemanlar kendi içinde r! şekilde yer değiştirebileceği için
P(n, r) = C(n, r) · r! olur.
P(n, n) = n!
! ! !
P( , ) = = = = !
( – )! 0! 1
n n n
n n n
n n şeklinde gösterilebilir.
P(n, 1) = n ve P(n, 0) = 1
· ( – 1)!
P( , 1) = ! = =
( – 1)! ( – 1)!
n n
n n n
n n ve ! !
P( , 0 ) = = = 1
( – 0)! !
n n
n n n
şeklinde gösterilebilirler.
Örnek: A = {1,2,3,4} kümesinin üç elemanlı alt kümeleri ile A kümesinin elemanları ile yazılabilecek rakamları farklı üç basamaklı sayıları bulunuz ve arasındaki bağıntıyı inceleyiniz.
{1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları ile yazılabilecek rakamları farklı
üç basamakllı sayılar 123 132 213 231 321 312 234 243 342 324 423 432 314 341 413 431 143 134 124 142 241 214 412 421
{1, 2, 3, 4} kümesinin üç elemanlı alt kümeleri
{1, 2, 3}
{2, 3, 4}
{1, 3, 4}
{1, 2, 4}
1. grupta verilen kümenin elemanlarının üç basamaklı sayılar hâlinde farklı dizilişleri yapılmıştır. 2. grupta ise verilen kümenin üç elemanlı alt kümeleri bulunmuştur.
2. gruptaki alt kümelerin her birinin farklı dizilişleri kullanılarak 1. gruptaki sayılar elde edilmiştir. 2. gruptaki her bir alt kümenin dizilişlerinin sayısı 3! Kadardır. 4 alt kümenin bütün dizilişlerinin sayısı 4 · 3! kadardır. Bu da 1. gruptaki dizilişlerinin sayısı olan P(4, 3) sayısına eşittir. Buradan 4 · 3! =P(4, 3) ise P( 4, 3 )
4 = 3!
denilebilir. Yani; P( 4, 3) C( 4, 3) =
3! ’dir.
