Lineer olmayan dalga denkleminin çözümlerinin düzgün kararlılığı

LİNEER OLMAYAN DALGA DENKLEMİNİN

ÇÖZÜMLERİNİN DÜZGÜN KARARLILIĞI

YÜKSEK LİSANS TEZİ

Ramazan İŞBİLİR

Enstitü Anabilim Dalı : MATEMATİK

Tez Danışmanı : Yrd. Doç. Dr. Metin YAMAN

Haziran 2012

ii

TEŞEKKÜR

Bu tezin hazırlanması ve çalışmaların yapılması sırasında her türlü destek ve yardımlarını esirgemeyen tez yöneticisi değerli Yrd. Doç. Dr. Metin YAMAN hocama teşekkürlerimi sunarım.

iii

İÇİNDEKİLER

TEŞEKKÜR... ii

İÇİNDEKİLER ... iii

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ... iv

ÖZET... v

SUMMARY... vi

BÖLÜM 1. GİRİŞ... 1

1.1. Notasyonlar... 1

1.2. Temel Eşitsizlikler…... 3

1.3. Lineer Olmayan İntegral Eşitsizliği……... 5

BÖLÜM 2. DALGA DENKLEMİNİN DÜZGÜN KARARLILIĞI………...…. 13

BÖLÜM 3. LİNEER OLMAYAN DALGA DENKLEMİNİN ÇÖZÜMLERİNİN DÜZGÜN KARARLILIĞI………..……….. 27

BÖLÜM 4. SONUÇLAR VE ÖNERİLER………... 43

KAYNAKLAR……….. 44

ÖZGEÇMİŞ……….……….. 45

iv

SİMGELER VE KISALTMALAR LİSTESİ

α ^{: Alfa}

β ^{: Beta}

ε ^{: Epsilon}

η : Eta

ξ ^{: Ksi}

φ ^{: Phi}

ψ : Psi

∆ : Laplasyen

∇ : Nabla operatörü

R₊ :

[

^0,∞

)

v

ÖZET

Anahtar kelimeler: Lineer Olmayan İntegral Eşitsizliği, Lineer Olmayan Dalga Denklemi.

Bu tez 4 bölümden oluşmaktadır.

Birinci bölümde tezde kullanılan notasyonlar ve temel eşitsizlikler verilmiştir. Ayrıca lineer olmayan integral eşitsizliği verilmiş ve ispatlanmıştır.

İkinci bölümde dalga denkleminin düzgün kararlılığı incelenmiştir.

Üçüncü bölümde lineer olmayan dalga denkleminin çözümlerinin düzgün kararlılığı incelenmiştir.

Dördüncü bölümde ise tez çalışmasından elde edilen sonuçlar belirtilmiştir.

vi

UNIFORM STABILIZATION OF THE SOLUTION TO

NONLINEAR WAVE EQUATION

SUMMARY

Key Words: Nonlinear Integral Inequality, Nonlinear Wave Equation.

This thesis consists of four chapters.

In the first chapter, notations and main inequlities used in the thesis are given.

Furthermore, nonlinear integral inequality is given and proved.

In the second chapter, uniform stabilization of the wave equation is examined.

In the third chapter, uniform stabilization of the solution to nonlinear wave equation is examined.

Finally in the fourth chapter, the results are stated gained through the study of thesis.

BÖLÜM 1. GİRİŞ

1.1. Notasyonlar

Bu bölümde işaretler ve semboller tanıtılacaktır.

R , n boyutlu Öklit uzayıdır. n

(

^{1, 2,..., n}

)

x= x x x R de bir noktadır. ⁿ Ω R de sınırlı bir bölgedir. ⁿ

∂Ω Ω bölgesinin düzgün sınırıdır.

u ve x u sembolleri, _t du

dx ve du

dt türevleridir.

( )

Lp Ω ^,

(

^p≥1

)

^Ω üzerinde ölçülebilir fonksiyonları içeren Banach uzayıdır ve

1

,

p p

u p_Ω u dx

Ω

 

= 



∫

 (1.1) sonlu norma sahiptir.

Genel olarak ^L2

( )

^Ω deki norm . şeklinde gösterilmiştir.u ve v nin skaler çarpımı

( )

^{u v,} _Ω ⁼

∫

_Ω^uvdx (1.2) şeklinde gösterilir.

(

²

)

^{1 2}

u 2 u dx

=

∫

Ω (1.3)

(

²

)

^{1 2}

u 2 u dx

∇ =

∫

Ω∇ (1.4)

Green Formülü: Kısmi integrasyonun genelleştirilmiş hali olan Green formülü v n

∂

∂ , n dış normaline göre türevi göstermek üzere

u vdx u vdx u vdx

Ω Ω ∂Ω n

∆ = − ∇ ⋅∇ + ∂

∫ ∫ ∫

∂ (1.5) şeklindedir.

1.2. Temel Eşitsizlikler

1) Cauchy Eşitsizliği:

,

a b sabit reel sayıları için

2 2

2 2

a b

ab≤ + (1.6) dir.

2) ε- Young Eşitsizliği:

, ,

a b ε pozitif reel sayılar ve ,p q>1 için 1 1

p+ =q 1 olmak üzere

p p 1 q

q

a b

ab p q

ε

≤ + ε (1.7) şeklindedir.

3) Hölder Eşitsizliği:

1≤ p q, ≤ ∞ ve 1 1

p+ =q 1 için ^u∈Lp

( )

^{Ω , v∈Lq}

( )

^Ω ise bölge üzerinde

p q

uv dx u v

Ω

∫

≤ (1.8) dir. Özel olarak p= =q 2 alınırsa Cauchy-Schwarz eşitsizliği elde edilir.

4) Poincare – Friedrichs Eşitsizliği:

( )

²

( )

2 1

1 , 0

u dx c u dx u H

Ω Ω

≤ Ω ∇ ∈ Ω

∫ ∫

(1.9) Ω, R uzayında sınırlı bir bölgedir ve ^{n c1}

( )

^{Ω sabiti Ω} bölgesine bağlıdır.

5) Gronwall Eşitsizliği (Türev Formu) :

( )

^.

η ^,

[ ]

^0,T de negatif olmayan sürekli bir fonksiyon olsun. Ayrıca hemen hemen her t için ,

( ) ( ) ( )

^{t t t}

( )

^t

η^′ ≤φ η +ψ (1.10)

eşitsizliği sağlansın. Burada ^φ

( )

^{t ve ψ}

( )

^t negatif olmayan ve

[ ]

^0,T de integre edilebilen fonksiyonlardır. Buradan her 0≤ ≤t T için,

( )

^{0 ( )}

( ) ( )

0

0

t

s ds t

t e s ds

η ≤ ^∫φ ^η + ψ ^



∫

 (1.11) dir.

6) Gronwall Eşitsizliği (İntegral Formu) :

( )

^t

ξ ^,

[ ]

^0,T de negatif olmayan integrallenebilir bir fonksiyon olsun. Ayrıca hemen hemen her t ve c c₁, ₂ ≥0 için,

( )

¹

( )

²

0 t

t c s ds c

ξ ≤

∫

ξ + (1.12) eşitsizliği sağlansın. Bu durumda hemen hemen her 0≤ ≤t T için,

( )

^{t c2}

(

^{1 c te1 c t1}

)

ξ ≤ + (1.13) dir.

1.3. Lineer Olmayan İntegral Eşitsizliği

Lemma 1.1.

:

E R₊ →R₊ artmayan fonksiyon, α >0 ve T >0 sabitler olsun. Eğer

1( ) (0) ( ),

t^∞E^α+ s ds≤TE ^αE t ∀ ∈t R₊

∫

(1.14)

eşitsizliği sağlanırsa

1

( ) (0) T t ,

E t E t T

T T

α α

α + −

 

≤  +  ∀ ≥ (1.15)

eşitsizliği geçerlidir.

İspat.

Eğer (0)E =0 ise E=0 olduğundan ispat aşikardır.

Eğer (0) 1E = ise,

1

( ) T t ,

E t t T

T T

α α

α + −

 

≤ +  ∀ ≥

eşitsizliğinin ispatlanması gerekir.

: , ( ) 1( )

F R₊ →R₊ F t =

∫

t^∞E^α+ s ds (1.16) şeklinde artmayan bir fonksiyon tanımlansın. Buradan türev alınarak

1 1

( ) ( ) ( )

t

F t d E s ds E t

dt

α α

∞ + +

′ =

∫

= − (1.17)

elde edilir. (1.14) ve (1.16) dan

( ) (0) ( )

F t ≤TE ^αE t

eşitsizliği elde edilir. (0) 1E = olduğu için

( ) ( )

F t ≤TE t (1.18)

veya

( ) F t( ) E t ≥ T

yazılabilir. Üstteki eşitsizliğin her iki tarafının α+1 kuvveti alınırsa

1

1 ( )

( ) F t

E t

T

α

α +

+ ≥ 

 

bulunur. Üstteki eşitsizlik düzenlenirse

1 1 1

( ) ( )

E^α+ t ≥T^{− −α} F^α+ t (1.19)

elde edilir. (1.17) ve (1.19) dan

1 1

( ) ( )

F t′ T^{− −α} F^α+ t

− ≥ (1.20)

yazılabilir. Üstteki eşitsizliğin her iki tarafı F^{− −α 1}( )t ile çarpılırsa

1 1

( ) ( )

F t F′ ^{− −α} t T^{− −α}

− ≥

bulunur. Üstteki eşitsizliğin her iki tarafı α ile çarpılırsa

1 1

( ) ( )

F t F ^α t T ^α α ^{′ − −} α ^{− −}

− ≥

elde edilir. Üstteki eşitsizliğin sol tarafındaki ifade ^{−αF t F′( ) − −α 1( )t =}

( )

^{F−α ′}

olduğundan dolayı

( )

^{F−α ′ ≥αT− −α 1}

şeklinde yazılır. Üstteki eşitsizliğin her iki tarafının

( )

^{0, s} aralığında integrali alınırsa

( )

¹

0 0

s s

F^{−α ′}ds≥α T^{− −α} ds

∫ ∫

( ) (0) 1

F^−α s −F^−α ≥αT^{− −α} s

elde edilir. Üstteki eşitsizlik düzenlenirse

( ) (0) 1

F^−α s ≥F^−α +αT^{− −α} s

bulunur. Üstteki eşitsizliğin her iki tarafının −1α kuvveti alınırsa

(

¹

)

¹

( ) (0)

F s ≤ F^−α +αT^{− −α} s ^{− α} (1.21)

elde edilir. (1.18) den F t( )≤TE t( ) olduğundan dolayı t=0 için

(0) (0)

F ≤TE ifadesinde (0)E =1 olduğundan dolayı

(0)

F ≤T elde edilir. F artmayan fonksiyon olduğundan dolayı F(0)=T bulunur.

(1.21) den ^{F s( )≤}

(

^{F−α(0)+αT− −α 1s}

)

^−1α eşitsizliğinde F(0)=T yazılırsa

(

¹

)

¹

( )

F s ≤ T^−α +αT^{− −α} s ^{− α}

elde edilir. Üstteki eşitsizliğinin sağ tarafındaki parantezin içerisi T^{− −α 1} ortak çarpan parantezine alınırsa

( )

¹

( ) 1

F s ≤^T^{− −α} T+αs ^^{− α}

elde edilir. Üstteki eşitsizliğin sağ tarafı düzenlendiğinde

( ¹)

( )

¹

( )

F s ≤T ^{α+ α} T +αs ^{− α} (1.22)

bulunur. Üstteki eşitsizliğin sol tarafı düzenlendiğinde

(1 )

1 1 1

(1 )

( ) ( ) ^{T s} ( ) ( )

s s T s

F s E^α t dt ^α E^α t dt E^α t dt

α

∞ + + + + ∞ +

=

∫

=

∫

+

∫

+ +

elde edilir. ¹

(1 ) ( ) 0

T sE^α t dt

α

∞ +

+ + ≥

∫

olduğundan dolayı

(1 ) (1 )

1 1 1

(1 )

( ) ( ) ( )

T s T s

s ^α E^α t dt T sE^α t dt s ^α E^α t dt

α

+ + + ∞ + + + +

+ + + ≥

∫ ∫ ∫

yazılabilir. Üstteki eşitsizliğin sol tarafı F s( ) ‘ye eşit olduğundan dolayı

(1 )

( ) ^{T s} 1( )

F s ≥

∫

s^{+ +α} E^α+ t dt (1.23)

yazılabilir. Üstteki eşitsizliğin sağ tarafına integraller için ortalama değer teoremi uygulanırsa

( ) ( ) ( )

(1 ) 1 1

( ) 1 , 1

T s

s^{+ +α} E^α+ t dt=T+ +α s−s E ^α+ ξ s< < + +ξ T α s

∫

elde edilir. (1.23) deki eşitsizliğin sağ tarafına bu ifade yazılırsa

( )

¹

( )

( ) 1

F s ≥T+ +α s−s E ^α+ ξ

elde edilir. Üstteki eşitsizliğin sağ tarafı düzenlenirse

( )

¹

( ( ) )

( ) 1

F s ≥ T+αs E^α+ T+ +α s (1.24)

bulunur. (1.22) ve (1.24) den

(

^{T+αs E}

)

^α+1

(

^{T+ +}

(

^{1 α}

)

^s

)

^≤T(α+1)α

⁽

^T+αs

⁾

^−1α

yazılabilir. Üstteki eşitsizliğin her iki tarafı

(

^T+αs

)

ile bölünürse

( )

( )

^{( 1)}

⁽ ₍ ⁾ ₎

¹

1 1 T s

E T s T

T s

α

α α

α α α

α

−

+ + +

+ + ≤

+

elde edilir. Üstteki eşitsizliğin sağ tarafı düzenlenirse

( )

( )

^{( 1)}

^{( )}

^{( 1)}

1 1

E^α+ T+ +α s ≤T ^{α+ α} T+αs ^{− −α α}

yazılabilir. Üstteki eşitsizliğin her iki tarafının ¹

(

^α+1

)

kuvveti alınırsa

( )

(

¹

)

¹

^{( )}

¹

E T + +α s ≤T ^α T+αs ^{− α}

elde edilir. Üstteki eşitsizliğin sağ tarafı düzenlenirse

( )

(

¹

)

¹

^{( )}

¹

E T + +α s ≤^T⁻ T+αs ^{− α}

( )

(

¹

)

^{1 s 1}

E T s

T α α

α ^{ −}

+ + ≤ + 

elde edilir.

(

¹

)

1 T α s t s t T

α

+ + = ⇒ = −

+ dönüşümü yapılırsa

1

( ) 1 1

t T

E t T

α

α α

  − −

 

  + 

 

≤ + 

 

 

bulunur. Üstteki eşitsizlik tekrar yazılırsa

1

( ) 1

t T T

E t T

α α α

α

− −

 + 

 + 

≤ 

 

 

veya

1

( ) 1

T T t T

E t T

α α α α

α + + − −

 

 + 

≤ 

 

 

veya

1

( ) T t

E t T T

α α

α + −

 

≤ + 

elde edilir ve ispat tamamlanır.

BÖLÜM 2. DALGA DENKLEMİNİN DÜZGÜN KARARLILIĞI

Bu bölümde dalga denkleminin düzgün kararlılığı incelenecektir. Aşağıdaki dalga denklemi ele alınırsa,

^utt− ∆ =^{u 0}

( ) (

^{x t,} ∈ Ω×^R+

)

(2.1) ^u=⁰

( ) (

^{x t,} ∈ Γ ×^{0 R}+

)

(2.2)

( ) ( )

_t 0

( ) (

, 1

)

u m ν g u x t R

ν ⁺

∂ + ⋅ = ∈ Γ ×

∂ (2.3)

( )

^{0 0}

u =u ^{ve ut}

( )

^{0 =u1} x∈Ω (2.4) ve g R: →R fonksiyonu azalmayan, sürekli bir fonksiyon olsun.

( )

^{0 0}

g = ^ve

( )

^{0, n}

m x = −x x x∈R

( )

^{0 sup}

{

^{0 :}

}

R=R x = x−x x∈Ω

( )

dΓ =m m⋅ν dΓ

olmak üzere aşağıdaki şartların sağlandığını kabul edelim.

n≥3 (2.5) Γ ≠ ∅₀ ve Γ ∩ Γ = ∅_{0 1} (2.6) Γ0 üzerinde m⋅ ≤ν 0 ve Γ₁ üzerinde m⋅ ≥ν 0 (2.7) Sistemin enerjisi ise

( )

¹₂

(

^{t 2 2}

)

E t u u dx

=

∫

Ω + ∇ (2.8) şeklinde tanımlanır.

Teorem 2.1.

(2.5) – (2.7) sağlansın. p>1 ve c c c c₁, ₂, ,_{3 4} >0 olmak üzere, 1

x ≤ ise ^{c x1 p ≤ g x}

( )

^{≤c x2 1p} (2.9) ve

1

x > ise ^{c x3 ≤ g x}

( )

^{≤c x4} (2.10)

dir. Her

( )

0

( ) ( )

1 2

0, 1

u u ∈H_Γ Ω ×L Ω için (2.1) – (2.4) problemi

( )

^{12p, 0}

E t ≤ct ⁻ ∀ >t (2.11) kestirimini sağlar. Burada c sabiti sadece ^E

( )

⁰ değerine bağlıdır.

Lemma 2.1.

:

E R₊ →R₊ fonksiyonu artmayan, mutlak sürekli bir fonksiyon ve

( ) ( )

1

1

t t

E′ = −

∫

_Γ m⋅ν u g u dΓ (2.12) dir.

İspat.

(2.1) denklemi u ile çarpılır _t ^Ω×

(

^{S T,}

)

bölgesinde integre edilirse

( )

0 ^T _{t tt}

S u u u dxdt

=

∫ ∫

Ω − ∆

elde edilir. Green formülü uygulanırsa

( )

0 ^T _{t tt t} ^T _t

S S

u u u u dxdt u u d dt ν

Ω Γ

= + ∇ ∇ − ∂ Γ

∫ ∫ ∫ ∫

∂

( ) ( ) ( )

0 1

0 1

0 ^T _{t tt t} ^T _t ^T _{t t}

S S S

u u u u dxdt u u d dt u m ν g u d dt ν

Ω Γ Γ

= + ∇ ∇ − ∂ Γ + ⋅ Γ

∫ ∫ ∫ ∫

∂

∫ ∫

bulunur. (2.2) den dolayı

0

0 0

T S t

u u d dt ν

Γ

∂ Γ =

∫ ∫

∂ dır. O halde

( ) ( ) ( )

1

0 ^T _{t tt t} ^T _{t t} 1

S _Ω u u u u dxdt S _Γ u m ν g u d dt

=

∫ ∫

+ ∇ ⋅∇ +

∫ ∫

⋅ Γ

( ) ^{( )}

1

^{( ) ( )}

2 2

2

1

0 1 2

T T

t t t

S S

d u u dxdt u m g u d dt

dt _Ω^{ } _Γ ν

=  + ∇  + ⋅ Γ

 

∫ ∫ ∫ ∫

eşitliği yazılabilir. (2.8) de ^{E t}

( )

=¹₂

∫

Ω

(

^{ut 2}+ ∇^u2

)

^dx olduğundan dolayı

( ) ( ) ( )

1

0 ^{T T} _{t t} 1

S E t dt S u m ν g u d dt

′ Γ

=

∫

+

∫ ∫

⋅ Γ

elde edilir. Buradan

( ) ( ) ( )

1

1

t t

E t m ν u g u d dt

′ = −

∫

Γ ⋅ Γ (2.13) ve

( ) ( ) ( ) ( )

1

1 T

t t

E S −E T =

∫ ∫

S _Γ m⋅ν u g u dΓdt (2.14) bulunur. m⋅ ≥ν 0 ve ^{xg x}

( )

^≥0 olduğundan dolayı (2.14) eşitliğinin sağ tarafı sıfırdan büyük ya da eşittir. O halde E artmayan bir fonksiyondur.

Lemma 2.2.

( )

2 1

Mu= m⋅∇ + −u n u (2.15) ve 0≤ < < ∞S T için

( ) ( )

(

( )

( ) ( )

( )

0

1

2

1 2 1 2 1 2

2 2

3 2 1 2

2 1 2

S

T p T p p

m t

S S

T

T p T p

t t t m

S S

E dt E u d dt E u Mudx

p E E u Mudxdt E u u g u Mu d dt

ν

+ − −

Γ Ω

− −

Ω Γ

∂

 

− ∂  Γ =

− ′  

+ +  − ∇ −  Γ

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

(2.16)

eşitliği sağlanır.

İspat.

(2.1) denklemi MuE^{(p−1 2)} ile çarpılıp ^Ω×

(

^{S T,}

)

bölgesinde integre edilirse

( ^{1 2})

( )

0 ^{T p} _tt

S E ⁻ Mu u u dxdt

=

∫ ∫

Ω − ∆

( ^{1 2})

( ) ( )

0 ^{T p} _{t t t t}

S E ⁻ u Mu u Mu Mu u dxdt

Ω 

=

∫ ∫

 − − ∆ 

( ^{1 2})

( )

^{( 1 2)}

( )

0 ^{T p} _t ^{T p} _{t t}

S S

E d u Mu dxdt E u Mu Mu u dxdt

dt

− −

Ω Ω

=

∫ ∫

−

∫ ∫

 + ∆ 

elde edilir. Kısmi integrasyon uygulanırsa

( )

(

^{( )}

( )

( )

1 2 3 2

1 2

0 1

2

T

p T p

t S t

S

T p

t t

S

E u Mu p E E u Mudxdt

E u Mu Mu u dxdt

− −

Ω Ω

− Ω

− ′

= −

−  + ∆ 

∫ ∫ ∫

∫ ∫

(2.17)

bulunur. (2.17) nin sağ tarafındaki

∫

_Ω^^{u Mut t +Mu}

( )

^{∆u dxdt} ifadesinde (2.15) den

( )

2 1

Mu= m⋅∇ + −u n u yazılıp Green formülü uygulanırsa

( ) ( ( ) ) ( )

( )

2 1

t t t t t

u Mu Mu u dxdt u m u n u u Mu dx

Mu ud ν

Ω Ω

Γ

 

+ ∆ = ⋅∇ + − − ∇ ⋅∇

 

   

+ ∂ Γ

∂

∫ ∫

∫

(

^{n 1}

)

^{ut2 m}

( )

^{ut2 u}

^{( )}

^{Mu dx}

^{( )}

^Mu _ν^{u d}

Ω Γ

  ∂

=

∫

 − + ⋅∇ − ∇ ⋅∇  +

∫

∂ Γ

(

^{n 1}

)

^{ut2 m}

( )

^{ut2 u}

(

^{2m u}

⁽

^{n 1}

⁾

^u

)

^dx

( )

^Mu _ν^{u d}

Ω Γ

  ∂

=

∫

 − + ⋅∇ − ∇ ⋅∇ ⋅∇ + −  +

∫

∂ Γ

( )

^t2

⁽

¹

⁾

^t2

⁽

¹

⁾

^{2 2 2}

( )

²

^{( )}

^u

m u n u n u u m u dx Mu d

ν

Ω Γ

 ∂

=

∫

 ⋅∇ + − − − ∇ − ∇ − ⋅∇ ∇  +

∫

∂ Γ

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2 2

2 2 2

1 2

t t t

u m dx m u d n u dx n u dx u dx

u dx m u dx m u d Mu ud

ν

ν ν

Ω Γ Ω Ω Ω

Ω Ω Γ Γ

= − ∇⋅ + ⋅ Γ + − − ∇ + ∇

− ∇ + ∇ ⋅ ∇ − ⋅ ∇ Γ + ∂ Γ

∂

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

bulunur. ∇ ⋅ =m n olduğundan dolayı üstteki eşitlikte yerine yazılırsa

( )

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

t t t t

u ndx m u d n u dx u n u dx u dx

u dx n u dx m u d Mu ud

ν

ν ν

Ω Γ Ω Ω Ω Ω

Ω Ω Γ Γ

= − + ⋅ Γ + − − ∇ + ∇

− ∇ + ∇ − ⋅ ∇ Γ + ∂ Γ

∂

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

elde edilir. Üstteki eşitlik düzenlenirse

( )

2 2

2 2

t t

u dx u dx m νu d m ν u d Mu u d

ν

Ω Ω Γ Γ Γ

= − − ∇ + ⋅ Γ − ⋅ ∇ Γ + ∂ Γ

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∂

yazılabilir. Γ sınırı, Γ₀ ve Γ₁ den oluştuğu için

( ) ^{( )}

( )

0 0 0

1 1 1

2 2

2 2

2 2

t t

t

u dx u dx m u d m u d Mu u d

m u d m u d Mu u d

ν ν

ν

ν ν

ν

Ω Γ Γ Γ

Γ Γ Γ

= − + ∇ + ⋅ Γ − ⋅ ∇ Γ + ∂ Γ

∂

+ ⋅ Γ − ⋅ ∇ Γ + ∂ Γ

∂

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

yazılabilir. Üstteki eşitlikte; (2.8) den ^{E t}

( )

=¹₂

∫

Ω

(

^ut2 + ∇^u2

)

^dx, (2.2) den

0

2 0

m νu dt

Γ ⋅ Γ =

∫

^{, (2.15) den Mu=2m⋅∇ + −u}

(

^{n 1}

)

^{u ve (2.3) den}

( ) ( )

^{t 0}

( ) ( )

^t

u u

m ν g u m ν g u

ν ν

∂ + ⋅ = ⇒ ∂ = − ⋅

∂ ∂ ifadeleri yerlerine yazılırsa

( ) ( ) ( ( ) )

( )( ) ( )

0

1

2

2 2

2 2 1

t t

E t m u m u n u u d

m u m u Mu m g u d

ν ν

ν ν ν

Γ

Γ

∂

 

= − − − ⋅ ∇ + ⋅∇ + − ∂  Γ

 

+  ⋅ − ⋅ ∇ + − ⋅  Γ

∫

∫

bulunur. (2.2) den

( )

0

1 u 0

n u d

ν

Γ

− ∂ Γ =

∫

∂ olduğundan dolayı üstteki eşitlikte yerine

yazılırsa

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

0

1

2

2 2

2 2

t t

E t m u m u u d

m u m u Mu m g u d

ν ν

ν ν ν

Γ

Γ

∂

 

= − − − ⋅ ∇ + ⋅∇ ∂  Γ

 

+  ⋅ − ⋅ ∇ − ⋅  Γ

∫

∫

elde edilir. ^{dΓ =m}

(

^m⋅ν

)

^dΓ olduğu için üstteki eşitliği

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

0 1

2 2 2

2 2 u _{t t m}

E t m ν u m u d u u Mu g u d

ν

Γ Γ

∂

   

= − −

∫

− ⋅ ∇ + ⋅∇ ∂  Γ +

∫

 − ∇ −  Γ

şeklinde yazabiliriz. (2.2) den Γ₀ üzerinde u u ν

ν

∇ = ∂

∂ olduğundan dolayı

( ) ( )

( ) ( )

0

1

2

2 2

t t 2 m

t t m

u Mu Mu u dxdt E t u d

u u Mu g u d

ν

Ω Γ

Γ

∂

 

+ ∆ = − − Γ

   

  ∂ 

 

+  − ∇ −  Γ

∫ ∫

∫

elde edilir. Bu elde ettiğimiz son eşitlik (2.17) de yerine yazılırsa

( )

(

^{( )}

( )

( ) ( ) ( )

0 1

1 2 3 2

2

1 2 2 2

0 1

2 2

T

p T p

t S t

S

T p

m t t m

S

E u Mu p E E u Mudxdt

E E t u d u u Mu g u d dt

ν

− −

Ω Ω

−

Γ Γ

− ′

= −

 ∂    

− − − ∂  Γ +  − ∇ −  Γ 

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

yazılabilir. Üstteki eşitlik düzenlenirse

( ) ( )

(

( )

( ) ( )

( ) ( )

0

1

2

1 2 1 2 1 2

3 2 1 2 2 2

2 1 2

S

T p T p p

m t

S S

T

T p T p

t t t m

S S

E dt E u d dt E u Mu

p E E u Mudxdt E u u Mu g u d dt

ν

+ − −

Γ Ω

− −

Ω Γ

∂

 

− ∂  Γ =

− ′  

+ +  − ∇ −  Γ

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

(2.18)

elde edilerek (2.16) eşitliği sağlanır. Böylece ispat tamamlanır.

Lemma 2.3.

( )

u Mudxt cE t

Ω ≤

∫

(2.19)

eşitsizliği geçerlidir.

İspat.

(2.15) den ^{Mu=2m⋅∇ + −u}

(

^{n 1}

)

^u olduğundan dolayı

( )

(

^{2 1}

)

t t

u Mudx u m u n u dx

Ω ≤ Ω ⋅∇ + −

∫ ∫

yazılabilir. Üstteki eşitsizlik düzenlenirse

( )

2 1

t t t

u Mudx u m udx n u udx

Ω ≤ Ω ⋅∇ + − Ω

∫ ∫ ∫

( )

2 1

t t t

u Mudx u m udx n u udx

Ω ≤ Ω ⋅∇ + − Ω

∫ ∫ ∫

elde edilir. Üstteki eşitsizliğin sağ tarafındaki ifadelere Cauchy eşitsizliği uygulanır ve m <R ^alınırsa

( )

²

2

2 2 2 1 2

1 1

2 2 2 2 2

t t t

R n

u Mudx u dx u dx u dx u dx

Ω Ω Ω Ω Ω

−

 

≤  + ∇ + +

 

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

bulunur. Üstteki eşitsizliğin sağ tarafındaki

(

¹

)

^{2 2}

2

n u dx

Ω

−

∫

ifadesine Poincare – Friedrichs eşitsizliği uygulanırsa

( ) ( )

^{2 2}

2 2

0

3 1

2 2

t t

u Mudx u dx R n c u dx

Ω Ω Ω

 − 

≤ + + Ω  ∇

 

 

∫ ∫ ∫

elde edilir. Üstteki eşitsizliğin sağ tarafı düzenlenirse

( ) ( )

²

(

²

)

2 2

0

3 1

max ,

2 2

t t

u Mudx R n c u dx u dx

Ω Ω Ω

 − 

 

≤  + Ω  + ∇

 

 

∫ ∫ ∫

yazılabilir. Üstteki eşitsizliğin sağ tarafında ^{1 max 3, 2}

(

¹

) ( )

^{2 0}

2 2

c R n c

 − 

 

=  + Ω 

 

 

yazılırsa

(

^{2 2}

)

1

t t

u Mudx c u dx u dx

Ω ≤ Ω + ∇Ω

∫ ∫ ∫

( )

(

^{2 2}

)

1

t t

u Mudx c u u dx

Ω ≤ Ω + ∇

∫ ∫

bulunur. (2.8) den ^{E t}

( )

=¹₂

∫

Ω

(

^{ut 2}+ ∇^u2

)

^dx olduğundan dolayı üstteki eşitsizliğin sağ tarafı düzenlenirse

( )

12 u Mudxt c E t

Ω ≤

∫

yazılabilir. Üstteki eşitsizlikte c=2c₁ yazılırsa

( )

u Mudxt cE t

Ω ≤

∫

elde edilir ve ispat tamamlanır.

İspat (Teorem 2.1.)

Teorem (2.1) in ispatı; Lemma 2.1. , Lemma 2.2. ve Lemma 2.3.’ün sonuçları kullanılarak yapılır. (2.18) in sağ tarafındaki birinci terim için

(^{p 1 2}) (^{p 1 2})

t t

E ⁻ u Mudx E ⁻ u Mudx

Ω ≤ Ω

∫ ∫

yazılabilir. (2.19) dan dolayı

(^{p 1 2}) (^{p 1 2})

E ⁻ u Mudxt E ⁻ cE

Ω ≤

∫

(^{p 1 2}) (^{p 1 2})

E ⁻ u Mudxt cE ⁺

Ω ≤

∫

elde edilir ve E artmayan bir fonksiyon olduğu için

(^{p 1 2})

E ⁻ u Mudxt cE

Ω ≤

∫

(2.20)

bulunur. (2.18) in sağ tarafındaki ikinci terim için

(^{p 3 2}) (^{p 3 2})

t t

E ⁻ E u Mudx′ ≤ E ⁻ E u Mudx′

yazılabilir. (2.19) dan dolayı

(^{p 3 2}) (^{p 3 2})

E ⁻ E u Mudx′ t ≤ −cE ⁻ EE′

yazılabilir. Üstteki eşitsizlik düzenlenirse

(^{p 3 2}) (^{p 1 2})

E ⁻ E u Mudx′ t ≤ −cE ⁻ E′

(^{p 3 2}) ^{t 2c}₁

(

(^{p 1 2})

)

E E u Mudx E

p

− ′ ≤ − + ′

+

elde edilir. 2 1 1 p <

+ olduğundan dolayı

(^{p 3 2}) ^t

(

(^{p 1 2})

)

E ⁻ E u Mudx′ ≤ −c E ⁺ ′ (2.21)

elde edilir. (2.20) den dolayı

( )

(

^{p 1 2 t S S}

^{( ( ) ( ) ) ( )}

T T

E ⁻ u Mu cE c E S E T cE S

Ω ≤ = − ≤

∫

(2.22)

bulunur. (2.21) den dolayı

( ^{3 2})

(

( ^{1 2})

) (

^{( 1 2)}

^{( )}

^{( 1 2)}

^{( )} )

T p T p p p

S E ⁻ E u Mudx dt′ t ≤ −c S E ⁺ ′dt=c E ⁺ S −E ⁺ T

∫ ∫

yazılabilir. E artmayan bir fonksiyon olduğu için

( ^{3 2}) ( ^{1 2})

( )

T p p

S E ⁻ E u Mudx dt′ t ≤cE ⁺ S

∫

( ^{3 2})

( )

T p

S E ⁻ E u Mudx dt′ t ≤cE S

∫

(2.23)

elde edilir. Böylece (2.18) in sağ tarafındaki ilk iki terim ^{cE S}

( )

ile sınırlanmış olur.

(2.18) in sol tarafındaki ikinci integral, (2.7) den dolayı pozitif olur ve eşitsizlikten atılabilir. Böylece

( )

( )

^{( )}

( ) ( )

1

1 2 1 2 2 2

2 ^{T p T p} _{t t m}

S E ⁺ dt cE S S E ⁻ u u Mu g u d dt

Γ

 

≤ +  − ∇ −  Γ

∫ ∫ ∫

(2.24)

eşitsizliği elde edilir. (2.15) den ^{Mu=2m⋅∇ + −u}

(

^{n 1}

)

^{u, m <R ve ε >0 için}

( )

( )

^{( )}

( ( ) ) ( )

1

1 2 1 2 2 2

2 ^{T p T p} _t 2 1 _{t m}

S E ⁺ dt cE S S E ⁻ u u m u n u g u d dt

Γ

 

≤ +  − ∇ − ⋅∇ + −  Γ

∫ ∫ ∫

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

1

1 2

1 2 2 2

2

2 1

T p

S

T p

t t t m

S

E dt cE S

E u u m ug u n ug u d dt

+

− Γ

≤

 

+  − ∇ − ⋅∇ + −  Γ

∫

∫ ∫

(2.25)

eşitsizliği elde edilir. (2.25) in sağ tarafındaki ikinci integral içindeki

(

ⁿ⁻¹

) ( )

^{ug ut}

ifadesine ε- Cauchy eşitsizliği uygulanırsa

(

¹

) ( )

²

(

¹

)

^{2 2}

( )

t 4 t

n ug u εu n g u

ε

− ≤ + − (2.26)

eşitsizliği elde edilir. (2.25) in sağ tarafındaki ikinci integral içindeki ^{2m⋅∇ug u}

( )

^t

ifadesine Cauchy eşitsizliği uygulanırsa

( ) ( )

2m⋅∇ug u_t ≤2R ug u∇ _t

( ) (

²

)

²

(

^{2 2 2}

^{( )} )

²

2 2 2

t t

u R g u

m ug u ∇

⋅∇ ≤ +

( )

^{2 2 2}

( )

2m⋅∇ug u_t ≤ ∇ +u R g u_t (2.27)

eşitsizliği elde edilir. (2.26) ve (2.27) eşitsizlikleri (2.25) de yerlerine yazılırsa

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

1

1 2

2

2 2

1 2 2 2 2 2 2

2

1 4

T p

S

T p

t t t m

S

E dt cE S

E u u u R g u εu n g u d dt

ε

+

− Γ

≤

 − 

+  − ∇ + ∇ + + +  Γ

 

 

∫

∫ ∫

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

1

1 2

2

1 2 2 2 2 2 2

2

1 4

T p

S

T p

t t t m

S

E dt cE S

E u R g u εu n g u d dt

ε

+

− Γ

≤

 − 

+  + + +  Γ

 

 

∫

∫ ∫

eşitsizliği elde edilir. ^{ε ε= Ω}

( )

1

( )

2 1 2

m 2

u d u dx E

ε

∫

Γ Γ ≤

∫

Ω ∇ ≤

olacak şekilde seçilirse

( )

( )

^{( )}

( )

1

1 2 1 2 2 2

2 ^{T p T p} _{t t m}

S E ⁺ dt cE S S E ⁻ u g u d dt

Γ  

≤ +  +  Γ

∫ ∫ ∫

(2.28)

eşitsizliği elde edilir.

{ ( ) }

2 x 1:u x′ 1

Γ = ∈Γ ≤ ve ^{Γ = ∈Γ3}

{

^{x 1:u x′}

( )

^>1

}

(2.29) tanımlanırsa (2.28) ifadesi