Şimdi sürtünmesiz yatay düzlemde bir doğru boyunca titreşim hareketi yapan kütle-yay sistemine yakından bakacağız (Şekil-3.1).

1

BÖLÜM-3

3.1 FİZİKSEL SİSTEMLERİN SERBEST SALINIMLARI

Bu bölümde periyodik titreşim hareketi yapan fiziksel sistemler incelenecektir.

Periyodik titreşim hareketi, denge konumu etrafında eşit zaman aralıklarında kendini tekrarlayan harekettir. Titreşim hareketlerinin fiziksel temellerinin iyi anlaşılması gerekir. İleriki konularda ele alacağımız dalga olaylarının temelinde titreşim hareketi yapan fiziksel nicelikler olduğunu göreceğiz.

3.2 BASİT HARMONİK HAREKET (BHH)

En basit salınım hareketi, geri çağırıcı kuvvetin (𝐹) yer değiştirme (x) ile doğru orantılı olduğu durumda görülür. Serbest uzunluğundan itibaren bir yayı x kadar uzatıp (veya sıkıştırdığımızda) yay uzama (veya sıkışma) miktarı ile orantılı bir kuvvet uygular. Bu kuvvet her zaman yayın uzamasına (veya sıkışmasına) zıt yöndedir. Kuvvet-yer değiştirme ilişkisi Robert Hooke tarafından basit bir şekilde ifade edilmiştir:

𝐹 = −𝑘𝑥 (3.1)

Bu ilişki ideal bir yay için geçerlidir ve Hook Yasası olarak adlandırılır. Eksi işareti yayın uyguladığı kuvvetin geri çağırıcı olduğunu temsil eder. Burada k orantı sabitine yay sabiti (veya kuvvet sabiti) denir. Yay sabiti her zaman pozitiftir ve birimi SI-birim sisteminde N/m ile tanımlıdır.

Şimdi sürtünmesiz yatay düzlemde bir doğru boyunca titreşim hareketi yapan kütle-yay sistemine yakından bakacağız (Şekil-3.1).

Şekil-3.1 Hava rayı üzerinde BHH yapan kütle-yay sistemi.

2

3.2.1 Yatay doğrultuda kütle-yay sistemi

Şekil-3.2’deki kütle x kadar sağa doğru çekilip serbest bırakılısa, kütle denge konumu etrafında salınım hareketi yapmaya başlar. Bu olayın sürtünmesiz hava rayı üzerinde olduğunu kabul edelim.

Şekil-3.2.Yatay düzlemde kütle-yay sisteminin hareketi.

Şekildeki yayın Hook yasasına uyan bir yay olduğunu kabul edeceğiz. Bu durumda geri çağırıcı kuvvet için

𝐹 = −𝑘𝑥 (3.2a)

yazabiliriz. 2. Newton yasasından

𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚^𝑑2𝑥

𝑑𝑡² (3.2b)

olacağını biliyoruz. Bu iki bağıntı kullanılarak

𝑚^𝑑_𝑑𝑡^2𝑥₂ + 𝑘𝑥 = 0 (3.3a)

veya

𝑑²𝑥

𝑑𝑡² +_𝑚^𝑘 𝑥 = 0 (3.3b)

yazabiliriz. Burada ^𝑘

𝑚’nin değeri her zaman pozitif olduğu için 𝜔₀² = 𝑘/𝑚 olacak şekilde bir 𝜔₀ niceliği tanımlayabiliriz. Bu durumda (3.3b) denklemi

𝑑²𝑥

𝑑𝑡² + 𝜔₀²𝑥 = 0 (3.4)

olur. Bu, sürtünmesiz yatay düzlemde bir doğru boyunca titreşim hareketi yapan kütle-yay sisteminin hareket denklemidir.

3

3.2.2 Düşey doğrultuda kütle-yay sistemi

Şekil-3.3a’daki kuvvet sabiti k olan yayın ucuna kütlesi m olan bir cisim bağlayalım.

Şekil-3.3 Düşey konumda kütle-yay sistemi.

Şekil-3.3b’de cisim denge konumundadır, bu konumda yay ∆𝑙 kadar uzamıştır.

Yayın cisim üzerinde yukarı doğru uyguladığı 𝑘∆𝑙 kuvveti, cismin ağırlığını (𝑚𝑔) dengeleyecek kadardır yani

𝑘∆𝑙 = 𝑚𝑔

Denge noktasını 𝑥 = 0 ve pozitif x yönünü de yukarı doğru seçelim. Cisim denge noktasının x kadar yukarısında olduğu zaman (Şekil-3.3c) yayın uzaması

∆𝑙 − 𝑥 kadardır. Yayın cisme uyguladığı yukarı doğru kuvvet 𝑘(∆𝑙 − 𝑥 )’dir.

Cisme etkiyen net (bileşke) kuvvet,

𝐹_𝑛𝑒𝑡= 𝑘(∆𝑙 − 𝑥 ) + (−𝑚𝑔) = −𝑘𝑥 olacaktır. 2.Newton yasasından

𝑚𝑑²𝑥

𝑑𝑡² + 𝑘𝑥 = 0 yazabiliriz. Bu denklem, 𝜔₀² = 𝑘/𝑚 seçilerek,

𝑑²𝑥

𝑑𝑡² + 𝜔₀²𝑥 = 0 (3.5)

formunda yazılabilir. Bu sonuç Eşitlik-3.4 ile aynıdır. Dolaysıyla sürtünmesiz yatay doğrultudaki kütle-yay sistemi ile düşey doğrultudaki kütle-yay sisteminin hareket denklemlerinin aynı olduğuna dikkat ediniz. Bu hareket denklemi sabit katsayılı ikinci dereceden homojen bir diferansiyel denklemdir. Bu denklemin

4

çözümü için

𝑥 = 𝐶₁𝑐𝑜𝑠𝜔₀𝑡 + 𝐶₂𝑠𝑖𝑛𝜔₀𝑡 (3.6a) yazabiliriz. Burada 𝐶₁ ve 𝐶₂ sabitler olup, başlangıç koşullarından tayin edilir.

Bu denklemin çözümü için çoğu kez

𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔₀𝑡 + φ ) (3.6b)

ifadesi kullanılır. Burada x uzanım, A genlik, 𝜔₀ = √𝑘/𝑚 açısal frekans ve 𝜑 faz sabitidir. Sonuç olarak her iki durumda da sistemin basit harmonik hareket (BHH) yaptığı anlaşılır. Bu nedenle

𝑑²𝑥

𝑑𝑡² + 𝜔₀²𝑥 = 0

denklemi basit harmonik hareketi tanımlayan hareket denklemidir. İleride bu denklem ve çözümü ile sık karşılaşacaksınız.

Şekil-3.4’de uzanımın (x), hızın (v) ve ivmenin (a) zamana bağlı değişimi 𝜑 = 0 özel durumu için verilmiştir.

Şekil-3.4.Uzanımın (𝑥), hızın(𝑣 = 𝑥̇) ve ivmenin (𝑎 = 𝑥̈) zamana (𝑡) bağlı değişimi.

5

3.2.3 Yayların bağlanması

Mekanik sistemlerde yaylar sisteme paralel ve seri bağlanabilmektedir veya bunların karışımı bağlantılar da yapmak mümkündür. Burada sadece iki yayın paralel ve seri bağlanması verilecektir.

3.2.3.1 Paralel bağlı yaylar

Şekil-3.5 Paralel bağlı yaylar.

Şekil-3.5’deki paralel bağlı yaylar F kuvvetinin etkisinde eşit miktarda uzarlar yani 𝑥₁ = 𝑥₂ = 𝑥 olacaktır. Bu durumda F kuvveti için

𝐹 = 𝑘₁𝑥₁ + 𝑘₂𝑥₂ = (𝑘₁+ 𝑘₂)𝑥 (3.7) yazabiliriz. Aynı zamanda F kuvveti için

𝐹 = 𝑘_𝑒ş𝑥 yazılabileceğinden

𝑘_𝑒ş𝑥 = (𝑘₁+ 𝑘₂)𝑥 yazabiliriz. Buradan

𝑘_𝑒ş = (𝑘₁+ 𝑘₂) (3.8a)

sonucunu elde ederiz. Benzer şekilde n tane yay paralel bağlanırsa eşdeğer yay için

𝑘_𝑒ş = ∑^𝑛_𝑖=1𝑘_𝑖 (3.8b)

ifadesini yazabiliriz. Yaylar paralel bağlandığında eşdeğer yay sabiti, yayların her birinin yay sabitinden büyük olacağı açıktır.

6

3.2.3.2 Seri bağlı yaylar

Şekil-3.6 Seri bağlı yaylar.

Yayları uç uca eklediğimizde seri bağlamış oluruz (Şekil-3.6). Seri bağlı yaylardaki toplam uzama miktarı, yayların tek tek uzamalarının toplamına eşit olacaktır. Bu durumda toplam uzama için

𝑥 = 𝑥₁ + 𝑥₂ (3.9)

yazabiliriz. Tüm yaylara aynı F kuvveti etkidiği için 𝐹 = 𝑘₁𝑥₁ = 𝑘₂𝑥₂ olacaktır. Buradan

𝑥₁ = _𝑘^𝐹

1 ve 𝑥₂ = _𝑘^𝐹

2

yazabiliriz. Eşdeğer yay için ise 𝑘_𝑒ş =^𝐹

𝑥 veya 𝑥 = ^𝐹

𝑘𝑒ş

yazılabilir. Bu değerler Eşitlik-9’da kullanırsa

1 𝑘⁄ _𝑒ş = 1 𝑘⁄ ₁+ 1 𝑘⁄ ₂ (3.10a) Sonucunu elde ederiz. Eğer n tane yay seri bağlanırsa eşdeğer yay sabiti için

1 𝑘⁄ _𝑒ş = ∑ ¹

𝑘_𝑖

𝑛𝑖=1 (3.10b)

ifadesinin yazılacağı açıktır.

Sonuç olarak yayların bağlanmasının analizi kondansatörlerin bağlanmasındaki analize benzediğine dikkat ediniz.

3.2.4 Basit harmonik harekette enerji

BHH yapan bir kütle yay sisteminin potansiyel ve kinetik enerjisi için

U = ¹₂𝑘𝑥² = ¹₂𝑘𝐴²𝑐𝑜𝑠²(𝜔₀𝑡 + φ ) (3.11a) K = ¹

2𝑚𝑣² = ¹

2𝑚𝜔₀²𝐴²𝑠𝑖𝑛²(𝜔₀𝑡 + φ) =¹

2𝑘𝐴²𝑠𝑖𝑛²(𝜔₀𝑡 + φ) (3.11b)

7

yazabiliriz. Bu ifadeler kullanılarak BHH yapan bir kütle yay sisteminin toplam enerjisi (mekanik enerji) için

𝐸 = 𝑈 + 𝐾 = ¹

2𝑘𝑥²+¹

2𝑚𝑣² (3.11c)

𝐸 = ¹

2𝑘𝐴²𝑐𝑜𝑠²(𝜔₀𝑡 + φ ) +¹

2𝑘𝐴²𝑠𝑖𝑛²(𝜔₀𝑡 + φ ) = ¹

2𝑘𝐴² (3.11d) ifadesini elde ederiz. Mekanik enerjinin sabit olduğuna dikkat ediniz.

Eşitlik-3.11c ve 3.11d kullanılarak 1

2𝑘𝑥²+1

2𝑚𝑣² =1 2𝑘𝐴² yazılabilir. Buradan herhangi bir t anındaki hız için,

𝑣 = ∓𝜔₀√𝐴² − 𝑥² (3.12)

yazabiliriz. Cisim denge durumundan geçerken (x=0) en büyük hıza, dolayısıyla en büyük kinetik enerjiye sahip olur. Cisim dönme noktalarında geçerken (xmax

= ± A) ise en büyük potansiyel enerjiye sahip olur. Kinetik enerjinin maksimum değeri potansiyel enerjinin maksimum değerine eşittir ve bu değer herhangi bir andaki toplam enerjiye eşittir.

Cisim denge durumundan geçerken x = 0 olacağından, 𝑣_𝑚𝑎𝑥 = 𝜔₀𝐴 elde edilir.

Bu durumda kinetik enerji de en büyük olacağından,

𝐾_𝑚𝑎𝑥 =¹₂𝑚𝑣_𝑚𝑎𝑥² = ¹₂𝑚𝜔₀²𝐴² =¹₂𝑘𝐴² (3.13) yazabiliriz. Sonuç olarak

𝐾_𝑚𝑎𝑥 = 𝑈_𝑚𝑎𝑥 = 𝐸 = ¹₂𝑘𝐴² = ¹₂𝑚𝜔₀²𝐴² = 2𝜋²𝑚𝑓²𝐴² (3.14) yazabiliriz. Burada f normal frekanstır.

Yukarıda anlatılanları özetlemesi bakımından Şekil-3.7’da BHH’in kinetik (K) ve potansiyel (U) enerjilerinin zamana ve konuma bağlı değişimi ortak eksende gösterilmiştir. Cismin herhangi bir andaki kinetik ve potansiyel enerjilerinin toplamı, maksimum kinetik enerjiye ve aynı zamanda maksimum potansiyel enerjiye eşit olacaktır.

8

Şekil-3.7 Kinetik (K) ve potansiyel (U) enerjinin (a) zamana ve (b) yer değiştirmeye bağlı değişimi.

3.2.5 Basit sarkaç

Bir ucundan tespit edilmiş ℓ uzunluğundaki hafif iplikle taşınan m kütleli noktasal bir cismin oluşturduğu düzeneğe basit sarkaç denir (Şekil-3.8).

Şekil-3.8 Basit sarkaç.

Basit sarkaç denge konumundan küçük bir θ açısı kadar uzaklaştırılıp serbest bırakılırsa düşey düzlemde periyodik salınımlar yapar. Kütleye etki eden geri çağırıcı kuvvet

𝐹 = −𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 (3.15)

ifadesi ile verilir. Sinüs fonksiyonunun seriye açılımı

sinθ = θ −^θ_3!³ +^θ_5!⁵ −^θ_7!⁷ + ⋯ (3.16) dir. θ açısının küçük değerleri için sinθ ≅ θ alınabilir (Şekil-3.9).

9

Şekil-3.9 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 fonksiyonunun küçük 𝜃 değerlerinde 𝑦 = 𝜃’ye yaklaşımı.

Bu durumda F kuvveti için

𝐹 = −𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 ≅ −𝑚𝑔𝜃 (3.17a)

yazabiliriz. 2. Newton yasasından

𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚^𝑑_𝑑𝑡²₂^𝑠 = 𝑚_𝑑𝑡^𝑑2₂(𝑙𝜃) = 𝑚𝑙^𝑑2𝜃

𝑑𝑡² (3.17b)

ve buradan

𝑚𝑙^𝑑2𝜃

𝑑𝑡² = −𝑚𝑔𝜃 (3.17c)

veya

𝑑²𝜃

𝑑𝑡² +^𝑔_𝑙 𝜃 = 0 (3.17d)

yazabiliriz. Burada 𝜔₀² = ^𝑔

𝑙 alınarak,

𝑑²𝜃

𝑑𝑡² + 𝜔₀²𝜃 = 0 (3.17e)

ifadesini elde ederiz. Bu ifade, matematiksel olarak, kütle-yay sistemi için elde ettiğimiz BHH denklemi ile aynı formdadır. Bu denklemin çözümü için

𝜃 = 𝜃₀cos (𝜔₀𝑡 + φ ) (3.18a)

yazabiliriz. Burada  açısal uzanım, 0 açısal genlik, 𝜑 faz sabiti ve ^𝜔0 açısal frekans’dır.

Hareketin periyodu ve frekansı için :

𝜔₀ = √𝑔/𝑙 , 𝑓 = _2𝜋¹ √𝑔/𝑙 𝑣𝑒 𝑇 = 2𝜋√𝑙/𝑔 (3.18b) ifadelerini yazabiliriz. Burada periyodun (veya frekans) kütleden bağımsız

olduğuna dikkat ediniz.

10

3.2.6 Basit Sarkacın Enerjisi

Şekil-3.10 Basit sarkaçta 𝜃 açısına karşı sarkaç kütlesinin yükselmesi.

Şekil-3.10’daki dik üçgenden 𝑠𝑖𝑛𝜃 = ^𝑥

𝑙 veya, 𝑥 = 𝑙𝑠𝑖𝑛𝜃, θ açısının küçük olması halinde, Sinθ≈θ olup, 𝑥 ≅ 𝑙𝜃

𝑙² = (𝑙 − 𝑦)² + 𝑥² = 𝑙²− 2𝑙𝑦 + 𝑦² + 𝑥² 2𝑙𝑦 = 𝑦²+ 𝑥²

yazabiliriz. Küçük açılı salınımlar için 𝑦 ≪ 𝑙 olacağından 2𝑙𝑦 ≅ 𝑥² veya 𝑦 =^𝑥_2𝑙² alınabilir. Bu durumda:

Potansiyel enerji 𝑈 = 𝑚𝑔𝑦 = 𝑚𝑔^𝑥_2𝑙² (3.19a)

Kinetik enerji 𝐾 =¹₂𝑚𝑣² (3.19b)

Mekanik enerji 𝐸 = 𝑈 + 𝐾 = ¹₂𝑚𝑔^𝑥_𝑙²+¹₂𝑚𝑣² (3.19c) Mekanik enerjiyi maksimum potansiyel enerji cinsinden ifade edersek

𝑈_𝑚𝑎𝑥 =¹

2𝑚𝑔^𝐴2

𝑙 (3.19d)

𝐸 = 𝑈_𝑚𝑎𝑥 = ¹

2𝑚𝑔^𝐴2

𝑙 =¹

2𝑚𝑔^𝑥2

𝑙 +¹

2𝑚𝑣² (3.19e)

yazılabilir.

11

3.2.7 Burulma sarkacı

Şekil-3.11 Burulma sarkacı.

Küçük açılı burulmalarda geri çağırıcı tork için

𝜏 = −𝐾𝜃 (3.20a)

yazılabilir. Burada K, telin burulma sabitidir. Tork için 𝜏 = 𝐼𝛼 ifadesini kullanırsak

𝜏 = 𝐼𝛼 = 𝐼^𝑑2𝜃

𝑑𝑡² = −𝐾𝜃 (3.20b)

𝐼^𝑑2𝜃

𝑑𝑡² + 𝐾𝜃 = 0 (3.20c)

𝑑²𝜃

𝑑𝑡² + 𝜔₀² 𝜃 = 0 (3.20d)

Burada 𝜔₀² = 𝐾/𝐼 dir. Daha önce yaptığımız gibi bu denklemin çözümü için de

𝜃 = 𝜃_𝑚cos (ω₀𝑡 + 𝜑) (3.21)

ifadesini yazabiliriz. Hareketin frekansı ve periyodu için

𝑓 =_2𝜋¹ √𝐾/𝐼 ve 𝑇 = 2𝜋√𝐼/𝐾 (3.22) ifadelerinin yazılacağı açıktır. Burada I, diskin eylemsizlik momentidir. Disk

düzlemine dik ve kütle merkezinden geçen eksene göre eylemsizlik momentinin Ikm = (MR²)/2) ifadesi ile verildiğini biliyoruz. Burada M diskin kütlesi, R ise yarıçapıdır.

12

3.2.8 Fiziksel sarkaç

Şekil-3.12 Fiziksel sarkaç.

Sarkaca etkiyen tork için

𝜏 = −(𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃)𝑙/2 ifadesi yazılabilir. Aynı zamanda tork için

𝜏 = 𝐼𝛼 = 𝐼𝑑²𝜃 𝑑𝑡²

yazabiliriz. Bu ikisinden

𝐼𝑑²𝜃

𝑑𝑡² + (𝑚𝑔𝑙/2)𝑠𝑖𝑛𝜃 = 0

ifadesi yazılır. Küçük açılı salınımlarda 𝑠𝑖𝑛𝜃 ≅ 𝜃 alınabileceği için sarkacın hareket denklemi için

𝐼𝑑²𝜃

𝑑𝑡² + (𝑚𝑔𝑙/2)𝜃 = 0 veya 𝜔₀² = 𝑚𝑔𝑙/(2𝐼) alınarak

𝑑²𝜃

𝑑𝑡² + 𝜔₀² 𝜃 = 0 (3.23)

elde edilir. Bu denklemin çözüm ise

𝜃 = 𝜃_𝑚cos (ω₀𝑡 + φ) (3.24)

13

ifadesi ile verilebilir. Paralel eksen teoremini kullanarak sistemin eylemsizlik momenti için

𝐼 = 𝐼_𝑘𝑚 + 𝑚(𝑙 2⁄ )² =𝑚𝑙²

12 + 𝑚(𝑙 2⁄ )² = 𝑚𝑙²/3

ifadesini yazabiliriz. Bu değer 𝜔₀² = 𝑚𝑔𝑙/(2𝐼) ifadesinde kullanılarak sarkacın frekansı ve periyodu için

𝑓 = ¹

2𝜋√^𝑚𝑔𝑙

2𝐼 , 𝑇 = 2𝜋√_𝑚𝑔𝑙^2𝐼 veya 𝑓 = ¹

2𝜋√^3𝑔

2𝑙, 𝑇 = 2𝜋√_3𝑔^2𝑙 (3.25) yazılır. Burada frekans ve periyodun kütleden bağımsız olduğuna dikkat ediniz.

3.2.9 Yüzen cisimlerin basit harmonik hareketi

Sıvıya daldırılmış bir cisim serbest bırakıldığında titreşim hareketi yapar (Şekil- 3.13).

Şekil-3.13 Sıvıya daldırılmış cisim. (a) Cisim yüzüyor. (b) Yüzen cisim üsten hafifçe y kadar bastırılıyor.

m: yüzen cismin kütlesi A: kesit alanı

 : sıvının yoğunluğu

Ws : g (A.y) (yer değiştiren sıvının ağırlığı) 𝐹 = −𝜌𝑔(𝐴. 𝑦)

𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚𝑑²𝑦

𝑑𝑡² = −𝜌𝑔(𝐴𝑦) 𝑚𝑑²𝑦

𝑑𝑡² + (𝜌𝑔𝐴)𝑦 = 0

14

veya 𝜔₀² = ^𝜌𝑔𝐴

𝑚 yazarak hareket denklemi için

𝑑²𝑦

𝑑𝑡² + 𝜔₀² 𝑦 = 0 (3.26)

elde ederiz. Buradan periyot ve frekans için 𝑇 = 2𝜋√_𝜌𝑔𝐴^𝑚 ve 𝑓 = ¹

2𝜋√^𝜌𝑔𝐴

𝑚

ifadelerini yazabiliriz. Şekil-3.13a’da batan kısım h olduğundan Archimed ilkesi gereği gAh = mg veya m=Ah yazabiliriz. Bu değeri periyot (veya frekans) ifadesinde yerine yazarak;

𝑇 = 2𝜋√_𝑔^ℎ ve 𝑓 =_2𝜋¹ √^𝑔_ℎ (3.27) elde ederiz. Burada frekans ve periyodun yüzen cismin kütlesinden bağımsız

olduğuna dikkat ediniz.

3.2.10 Elektrik Devrelerinde Osilasyonlar

İndüktans (L) ve kapasitans (C) içeren bir devre BHH salınım özellikleri gösterir (Şekil-3.14). Bu tür devreleri deneysel olarak laboratuvar derslerinde de inceleyeceksiniz.

Şekil-3.14 LC-devresi.

Bu kapalı devreye Kirchoff’un ilmek kuralını uygulayarak devre denklemi için

𝑞

𝐶 + 𝐿_𝑑𝑡^𝑑𝑖 = 0 (3.28)

yazabiliriz.Akım için 𝑖 = ^𝑑𝑞_𝑑𝑡 yazarak devre denklemini

15 𝑑²𝑞

𝑑𝑡² + ¹

𝐿𝐶𝑞 = 0 (3.29)

şeklinde veya 𝜔₀² = ¹

𝐿𝐶 alınarak

𝑑²𝑞

𝑑𝑡² + 𝜔₀² 𝑞 = 0 (3.30)

şeklinde yazabiliriz.

Bu denklem ile kütle-yay sisteminin hareket denkleminin matematik olarak aynı olduğuna dikkat ediniz. Bu benzerlikten faydalanarak (3.30) denkleminin çözümü için

𝑞 = 𝑞₀𝐶𝑜𝑠(ω₀𝑡 + φ) (3.31)

ifadesini yazabiliriz. Bu çözüm kondansatör üzerindeki q yükünün periyodik olarak salındığını söyler. Salınımın frekansı ve periyodu için ise

ω₀ = ¹

√𝐿𝐶  𝑓 = ¹

2𝜋 1

√𝐿𝐶 ve 𝑇 = 2𝜋√𝐿𝐶 (3.32)

ifadelerinin yazılabileceği açıktır.

3.2.11 LC devresi ile kütle-yay sistemi arasındaki benzerlikler

Yukarıdaki eşitliklerden hareketle elektriksel LC devresi ile kütle-yay sisteminin benzerlikleri aşağıda özetlenmiştir. Bu benzerlikleri Fizik Laboratuvarı-IV dersinde çok kullanacaksınız. Bu nedenle buradaki analizlerin iyi anlaşılması gerekir.

 x  q

 k  ¹

𝐶

 m  L

 𝜔₀ = √^𝑘

𝑚  𝜔₀ = ¹

√𝐿𝐶

 𝐸 = ¹₂𝑚𝑣² + ¹₂𝑘𝑥²  𝐸 =¹₂𝐿𝑖²+ ¹₂ ^𝑞_𝐶²

16

3.3. SÖNÜMLÜ HARMONİK HAREKET

Harmonik hareket yapan bir sistemin üzerine bir sürtünme kuvveti etki ederse salınım genliği, sürtünme nedeniyle, küçülerek sıfır olur. Bu cins salınımlara sönümlü harmonik hareket denir.

Şimdi sürtünme kuvveti gibi korunumsuz kuvvetlerin işe girmesiyle serbest titreşim ifadelerinin nasıl değişikliğe uğradığını tartışacağız. Genellikle sürtünme hava direncinden veya iç kuvvetlerden kaynaklanır. Salınan sistemlerde sürtünme kuvveti çoğu kez hız ile orantılı olup, harekete zıt olarak yönelmiştir.

Kütle-yay sistemini yeniden ele alalım. Şekil-3.15’de görüldüğü gibi yaya asılı olan bir kütlenin salınım yaparken sıvı dolu bir kap içine batırıldığını düşünelim. Bu kütle viskoz sıvı içinde hareket ederken enerjisini kaybetmeye başlayacaktır, başka bir deyişle kütle sönümlü harmonik hareket yapacaktır.

Şekil-3.15 Viskoz ortamda kütle-yay sistemi.

Kabullenmelerimiz:

 Potansiyel enerjinin tümünün, kütlesiz ve hiçbir sürtünme kuvvetinin etkimediği ideal yayda toplandığı,

 Kinetik enerjinin tümünün salınan m kütlesinde toplandığı,

 Tüm ısı şeklindeki iç enerjinin, kabı dolduran viskoz sıvıda ortaya çıktığı kabul edilecektir.

17

Sönümlü hareketin denklemi 2. Newton yasasından (𝑭 = 𝑚𝒂) elde edilir.

Kütleye etki eden F kuvveti, geri çağırıcı – 𝑘𝑥 şeklindeki kuvvet ile −𝑏^𝑑𝑥_𝑑𝑡 şeklindeki sürtünme kuvvetlerinin toplamıdır (Hareket tek boyutlu olduğundan vektör gösterimi kullanılmadı). Burada b bir sabit olup sönüm kuvvetinin büyüklüğünün bir ölçüsüdür.

Bu durumda hareket denklemini

𝑚𝑎 = −𝑘𝑥 − 𝑏^𝑑𝑥_𝑑𝑡 (3.33)

veya

𝑚^𝑑2𝑥

𝑑𝑡² + 𝑏^𝑑𝑥

𝑑𝑡 + 𝑘𝑥 = 0 (3.34)

şeklinde yazabiliriz. Bu denklem yeniden

𝑑²𝑥

𝑑𝑡² +_𝑚^{𝑏 𝑑𝑥}_𝑑𝑡 +_𝑚^𝑘 𝑥 = 0 (3.35) şeklinde düzenlenebilir. Bu denklem çoğu kez

γ = ^𝑏

𝑚 ve ω₀² = ^𝑘

𝑚 (3.36)

kısaltmaları yapılarak

𝑑²𝑥

𝑑𝑡² + γ^𝑑𝑥_𝑑𝑡 + ω₀²𝑥 = 0 (3.37) şeklinde verilmektedir. Buradaki 𝛾 ve 𝜔₀² nicelikleri gerçek ve pozitif sabit

sayılardır. Bu denklem sabit katsayılı, ikinci dereceden, homojen bir diferansiyel denklemdir. Bu denklemin çözümü için

𝑥 = 𝑒^𝑟𝑡 (3.38)

formunda bir çözüm arayabiliriz (Bu türden denklemlerin çözümü için Calculus and analytic geometry; George B. Thomas, Jr.” kitabına bakabilirsiniz.).

Burada r bir sabittir. Bu fonksiyonun t’ye göre birinci ve ikici türevleri alınarak Eşitlik-3.37’de yerine yazılırsa

𝑑𝑥

𝑑𝑡 = 𝑟𝑒^𝑟𝑡 ve ^𝑑

2𝑥

𝑑𝑡² = 𝑟²𝑒^𝑟𝑡

18

(𝑟² + γ𝑟 + ω₀²)𝑒^𝑟𝑡 = 0 (3.39) elde edilir. 𝑒^𝑟𝑡 ≠ 0 olduğu için,

(𝑟²+ γ𝑟 + ω₀²) = 0 (3.40)

olmak zorundadır. Bu denkleme karakteristik (veya yardımcı) denklem adı verilir.

Bu karakteristik denklemin iki kökü vardır. Bu kökler, 𝑟₁ =¹

2(−γ + √γ² − 4ω₀²) (3.41)

𝑟₂ = ¹₂(−γ − √γ²− 4ω₀²) (3.42) dir. Burada Δ =γ²− 4ω₀² değerine diskriminant dendiğini biliyoruz.

Diskriminantın değerine göre bu denklemin çözümünde üç farklı durum söz konusudur:

1. Δ = γ² − 4ω₀² > 0 (3.43a)

2. Δ = γ² − 4ω₀² = 0 (3.43b)

3. Δ = γ² − 4ω₀² < 0 (3.43c) Şimdi bu üç duruma daha yakından bakalım.

1. Durum :Δ =γ² − 4ω₀² > 0,

Bu özel durum kritik üstü sönüm (over-damped) olarak adlandırılır. Bu durumda 𝑟₁ ve 𝑟₂ gibi iki gerçek (reel) kök vardır. Bu nedenle (3.37) denkleminin

𝑥₁ = 𝐶₁𝑒^{𝑟 1𝑡} ve 𝑥₂ = 𝐶₂𝑒^{𝑟 2𝑡} (3.44) gibi iki farklı çözümü olacaktır. Çizgisel denklemlerin iki kökünün toplamı da

bir çözüm olduğundan

𝑥 = 𝐶₁𝑒^{𝑟 1𝑡} + 𝐶₂𝑒^{𝑟 2𝑡} (3.45) şeklindeki kombinasyonun da bir çözüm olacağı açıktır. Burada

19

√𝛾²− 4𝜔₀² = 𝛼 diyelim. Bu durumda 𝑟₁ ve 𝑟₂ kökleri için 𝑟₁ = −¹

2𝛾 +¹

2α ve 𝑟₂ = −¹

2𝛾 −¹

2α (3.46)

yazabiliriz. Bu durumda (3.45) ile verilen çözüm

𝑥 = 𝑒^{− 12𝛾𝑡}[𝐶₁𝑒^12α𝑡 + 𝐶₂𝑒^{− 12α𝑡}] (3.47) şeklini alır. Buradaki 𝐶₁ ve 𝐶₂ katsayıları hareketin başlangıç koşullarından

belirlenebilir. Bu koşulda (𝛾²− 4𝜔₀² > 0 𝑣𝑒𝑦𝑎 𝑏² > 4𝑘𝑚) hareket zamanla üstel olarak söner ve cisim denge konumunda durur. Bu durumda hareketin salınımlı olmadığına dikkat ediniz.

2. Durum Δ = γ²− 4ω₀² = 0

Bu özel durum kritik sönüm (critical-damped) olarak adlandırılır. Bu durumda gerçek (reel) eşit iki kök vardır:

𝑟₁ = 𝑟₂ = 𝑟 = −¹

2𝛾 (3.48)

Köklerin eşit olması durumunda (3.37) denkleminin çözümü için 𝑥 = 𝐶₁𝑒^𝑟𝑡 + 𝐶₂𝑡𝑒^𝑟𝑡 = (𝐶₁+ 𝐶₂𝑡)𝑒^𝑟𝑡

𝑥 = (𝐶₁+ 𝐶₂𝑡)𝑒^{− 𝛾2𝑡} (3.49)

yazabiliriz. Buradaki 𝐶₁ ve 𝐶₂ sabitleri başlangıç koşullarından elde edilir.

Zaman ilerledikçe 𝑥 ’in değeri sıfıra yaklaşır. Bu özel durumda da hareket salınımlı değildir. En çabuk sönüm bu durumda elde edilir.

3. Durum : Δ =γ² − 4ω₀² < 0

Bu durum kritik altı sönümlü harmonik hareket olarak adlandırılır. Bu durumda sanal iki kök vardır. Bu kökler, 𝜆 =¹₂√4𝜔₀²− 𝛾² = √𝜔₀²−^𝛾₄² olmak üzere

𝑟₁ = −¹

2γ + 𝑖𝜆 (3.50)

𝑟₂ = −¹₂γ − 𝑖𝜆 (3.51)

20

şeklinde ifade edilebilir. Burada 𝑟₁ ve 𝑟₂ birbirinin kompleks eşleniği olduğuna dikkat ediniz. Bu durumda (3.37) denkleminin çözümü için

𝑥 = 𝑒^{− 12𝛾𝑡}[𝑐₁𝑒^iλ𝑡 + 𝑐₂𝑒^{− iλ𝑡}] yazılabilir. Burada

𝑒^iλ𝑡 = 𝑐𝑜𝑠λ𝑡 + 𝑖𝑠𝑖𝑛λ𝑡 𝑒^−iλ𝑡 = 𝑐𝑜𝑠λ𝑡 − 𝑖𝑠𝑖𝑛λ𝑡 olduğu hatırlanırsa

𝑥 = 𝑒^{− 12𝛾𝑡}[(𝑐₁+ 𝑐₂) 𝑐𝑜𝑠λ𝑡 + i(𝑐₁− 𝑐₂)𝑠𝑖𝑛λ𝑡]

yazılabilir. Son olarak

𝐶₁ = (𝑐₁+ 𝑐₂) ve 𝐶₂ = 𝑖(𝑐₁ − 𝑐₂) alırsak çözüm için

𝑥 = 𝑒^{− γ2𝑡}(𝐶₁𝑐𝑜𝑠𝜆𝑡 + 𝐶₂𝑠𝑖𝑛𝜆𝑡) (3.52) yazabiliriz. Buradaki 𝐶₁ ve 𝐶₂ sabitleri 𝑐₁ ve 𝑐₂ sabitlerinin

𝑐₁ =¹₂(𝐶₁ − 𝑖𝐶₂) ve 𝑐₂ =¹₂(𝐶₁ + 𝑖𝐶₂)

şeklinde birbirlerinin kompleks (karmaşık) eşleniği olması koşuluyla gerçeldirler (Burada küçük harf c’ler ile Büyük harf C’lerin farklı olduğuna dikkat ediniz). Sonuç olarak (3.52) ile verilen çözümü, karakteristik denklemin köklerinin birbirinin karmaşık eşleniği olduğu problemleri çözmek için kullanabiliriz.

Bu ifadeyi sadece kosinüs veya sinüs fonksiyonu şeklinde yazmak sonuçları daha kolay yorumlamamızı sağlayacaktır. Bunun için,

𝐶₁ = 𝐴₀𝑠𝑖𝑛ϕ ve 𝐶₂ = 𝐴₀𝑐𝑜𝑠ϕ (3.53) şeklinde bir seçim yapabiliriz. Buradaki 𝐴₀ ve ϕ de birer sabittir. Buradan

𝐶₁²+ 𝐶₂² = 𝐴₀²𝑠𝑖𝑛²ϕ + 𝐴₀²𝑐𝑜𝑠²ϕ = 𝐴₀²(𝑠𝑖𝑛²ϕ + 𝑐𝑜𝑠²ϕ) = 𝐴₀² (3.54) ve aynı zamanda

𝐶₁

𝐶₂ = ^{𝐴0𝑠𝑖𝑛ϕ}

𝐴₀𝑐𝑜𝑠ϕ = 𝑡𝑎𝑛ϕ (3.55)

21

yazabiliriz. Bu durumda (3.52) eşitliği ile verilen çözümdeki 𝐶₁ ve 𝐶₂ sabitlerinden 𝐴₀ ve 𝜙 sabitlerine geçebiliriz:

𝑥 = 𝑒^{− γ2𝑡}(𝐶₁𝑠𝑖𝑛𝜆𝑡 + 𝐶₂𝑐𝑜𝑠𝜆𝑡) = 𝐴₀𝑒^{− γ2𝑡}(𝑠𝑖𝑛ϕ𝑠𝑖𝑛𝜆𝑡 + 𝑐𝑜𝑠ϕ𝑐𝑜𝑠𝜆𝑡)

𝑥 = 𝐴₀𝑒^{− γ2𝑡}cos (𝜆𝑡 − ϕ) (3.56)

Elde edilir. Burada 𝜆 = √𝜔₀²−^𝛾2

4 değeri kullanılarak 𝑥 = 𝐴₀𝑒^{− γ2𝑡}cos (√𝜔₀²−^𝛾2

4 t − ϕ) (3.57)

sonucunu yazabiliriz. Bu çözümden, cismin harmonik titreşim hareketi yaptığı, fakat genliğin zaman içinde üstel olarak azaldığı görülür. Başka bir deyişle yitirici kuvvetler nedeniyle hareketin enerjisi korunmaz.

Bu çözümden hareketin periyodu (T) ve frekansı (f) için 𝑇 = ^4π𝑚

√4𝑘𝑚−𝑏² ve 𝑓 = ^{√4𝑘𝑚−𝑏}_4π𝑚 ² (3.58a) ifadelerini yazmak zor değildir. Eğer b=0 olursa (sönüm kuvveti yoksa) (3.58a)

ifadesi ile verilen periyot ve frekans değerleri

𝑇 = 2𝜋√^𝑚_𝑘 ve 𝑓 =_2𝜋¹ √^𝑘

𝑚 (3.58b)

olur. Bu özel durumun daha önce incelediğimiz BHH örneğine denk geldiğine dikkat ediniz.

Bu tartışmaların ışığında aşağıdaki özetlemeyi yapabiliriz:

 𝛾 = _𝑚^𝑏 niceliği salınım genliğinin zamanla ne kadar çabuk sönüme gittiğinin bir ölçüsüdür.

 𝑡_𝐿 = ^2𝑚_𝑏 niceliği salınımın başlangıç genliğinin 1/𝑒 ’sine düşmesi için geçen süredir. Bu 𝑡_𝐿 süresi salınımların ortalama ömrü olarak adlandırılır.

22

 Eşitlik-3.57’de verilen 𝑥 = 𝐴₀𝑒^{− 𝛾2𝑡}cos (√𝜔₀²−^𝛾2

4 t − ϕ) fonksiyonun grafiği aşağıda verilmiştir (Şekil-3.16)

Şekil-3.16 Sönümlü harmonik hareket (Grafik 𝜙 = 0 seçilerek çizilmiştir.).

Bu şekilde 𝐴_𝑛 ve 𝐴_𝑛+1 ardışık iki genliği göstermektedir. Buralarda çözüm fonksiyonundaki kosinüs çarpanı 1’e eşit olur. Bu durumda ardışık iki genliğin oranı

𝐴_𝑛

𝐴_𝑛+1 = ^{𝐴0𝑒− 𝛾 2𝑡𝑛}

𝐴₀𝑒^{− 𝛾2𝑡𝑛+1} = 𝑒^{𝛾2(𝑡𝑛+1−𝑡𝑛)} = 𝑒^𝛾𝑇2 (3.59a) olur. Her iki tarafın doğal logaritmasını alalınarak

𝐿𝑛(_𝐴^𝐴𝑛

𝑛+1) = ^γT₂ (3.59b)

yazılabilir. Bu değere logaritmik azalma (decrement) denir ve genellikle 𝛿 sembolü ile gösterilir. Logaritmik azalma, genliğin azalmasının bir ölçüsüdür.

𝛿 = 𝐿𝑛(_𝐴^𝐴𝑛

𝑛+1) = ^𝛾𝑇₂ =_2𝑚^𝑏𝑇 (3.60)

Yukarıda tanımlanan üç farklı sönümlü hareket aşağıdaki grafikte (Şekil-3.17) bir arada gösterilmiştir.

23

Şekil-3.17 Kiritik, kritik üstü ve kritik altı sönümlü hareket.

Eşitlik-3.57 ile verilen çözüme tekrar dönelim ve

√𝜔₀²− ^𝑏2

4𝑚² = ω (3.61a)

diyelim. Bu durumda çözüm için

𝑥(𝑡) = 𝐴₀𝑒^{− 2𝑚𝑏𝑡} 𝑐𝑜𝑠√𝜔₀²− ^𝑏2

4𝑚²𝑡 = 𝐴₀𝑒^{− 2𝑚𝑏𝑡}𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 (3.61b) ifadesini yazabiliriz (Burada işlemlerin basitliği açısından 𝜙 = 0 seçilmiştir).

Sönüm sabiti b arttıkça  değeri azalır, dolayısıyla hareketin periyodu artar.

 Eğer 𝑏² = 4𝑚𝑘 = 4𝑚²𝜔₀² olursa,  = 0 olur. Bu durumda sönüm sabiti bk

ile gösterilir. 𝑏_𝑘 = √4𝑚𝑘 olduğunda sistem kritik sönümlüdür.

 b>bk olduğunda ise sönümün şiddeti, herhangi bir salınım olmaksızın sistemi denge durumuna döndürecek kadar büyüktür. İlk yer değiştirmenin ardından kütle denge noktasından en fazla bir kez geçer.

 b<bk olduğunda genlik azalmakla birlikte, sistem salınım hareketi yapar.

Buna kritik altı sönüm denir.

Birçok sistemdeki salınım hareketi dikkate alındığında (saatlerde olduğu gibi), sönümün çok küçük hale getirilmesine ihtiyaç vardır. Araba yaylarında olduğu gibi yeterli miktarda bir sönüm (kritik sönüm) tercih edilir. Amerika’da ve bazı diğer ülkelerde yeni yapılan büyük binalar, deprem hasarını azaltmak için, devasa boyutlu sönüm sistemlerinin üzerine yapılmaya başlanılmıştır.

24

3.3.1. Sönümlü harmonik harekette enerji kayıp oranı

Sönümlü harmonik hareketin enerjisi sürtünme gibi yitirici kuvvetler nedeniyle azalır. Enerjinin azalması genliğin azalmasına neden olur. Sistemin toplam mekanik enerjisi E,

𝐸 = 𝐾 + 𝑈 = ¹

2𝑚𝑣²+¹

2𝑘𝑥² (3.63)

dir. Kritik altı sönümlü sönümlü harmonik hareketin uzanımının 𝑥(𝑡) = 𝐴₀𝑒^{− 2𝑚𝑏𝑡} 𝑐𝑜𝑠√𝜔₀²− 𝛾²⁄ 𝑡 = 𝐴4 ₀𝑒^{− 𝛾 𝑡2} 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 ifadesi ile verildiğini hatırlayınız.

Burada 𝛾² ≪ 4𝜔₀² özel durumunu ele alalım. Bu durumda ω² = ω₀²−^γ₄²

eşitliğinden yaklaşık 𝜔 ≅ 𝜔₀ yazılabilir. Bu durumda 𝑥(𝑡) için

𝑥(𝑡) = 𝐴₀𝑒^{− 𝛾𝑡2} 𝑐𝑜𝑠𝜔₀𝑡 (3.64) yazabiliriz. Buradan 𝑣 hızı için

𝑣(𝑡) = ^𝑑𝑥

𝑑𝑡 = −𝐴₀^𝛾

2𝑒^{− 𝛾𝑡2} 𝑐𝑜𝑠 𝜔₀𝑡 − 𝐴₀𝜔₀𝑒^{− 𝛾𝑡2} 𝑠𝑖𝑛 𝜔₀𝑡 (3.65) elde ederiz. 𝛾 ≪ 𝜔₀ olduğu kabul edildiğine göre, hız ifadesindeki ilk terim

ihmal edilerek,

𝑣(𝑡) = −𝐴₀ω₀𝑒^{− γ𝑡2} sin 𝜔₀𝑡 (3.66) yazılabilir. Bu hız değeri toplam enerji ifadesinde (Eşitlik-3.63) yerine

konulursa,

𝐸 = ¹

2𝑚 (−𝐴₀ω₀𝑒^{− γ𝑡2} sin 𝜔₀𝑡)²+¹

2𝑘 (𝐴₀e^{− γt2}cos𝜔₀𝑡)² = ¹₂𝑚𝐴₀²ω₀²𝑒^−γ𝑡sin²𝜔₀𝑡 +¹₂𝑘𝐴₀²𝑒^−γ𝑡cos²𝜔₀𝑡

=¹₂𝐴₀²𝑒^−γ𝑡[𝑚ω₀²sin²𝜔₀𝑡 + 𝑘 cos²𝜔₀𝑡]

elde edilir.

25 ω₀² =_𝑚^𝑘 olduğuna göre, mekanik enerji için

𝐸 = 1

2𝐴₀²𝑒^−γ𝑡[𝑚 𝑘

𝑚sin²(ω₀𝑡) + 𝑘 cos²(ω₀𝑡)] = 1

2𝑘𝐴₀²𝑒^−γ𝑡[sin²(ω₀𝑡) + cos²(ω₀𝑡)] = 1

2𝑘𝐴₀²𝑒^−γ𝑡 veya

𝐸 = 𝐸₀𝑒^−γ𝑡 (3.67)

sonucunu elde ederiz. Burada E₀ =¹₂𝑘𝐴²₀, t = 0 anındaki mekanik enerjidir.

Enerjinin ilk değerinin 1/e değerine düşmesi için geçen zamana sönüm zamanı (decay time) veya zaman sabiti (time constant) denir ve  ile gösterilir:

τ =¹_γ = _𝑏/𝑚¹ =^𝑚_𝑏 (3.68)

Bu durumda enerji ifadesi

𝐸 = 𝐸₀𝑒^{− 𝑡/τ} (3.69)

şeklinde yazılabilir. Mekanik enerjinin zamanla değişimi Şekil-3.19’de verilen grafikte verilmiştir.

Şekil-3.19 Sönümlü harekette enerjinin zamana bağlı değişimi.

Sönümü

𝑄 = ^ω_𝛾⁰ (3.62)

ifadesiyle tanımlı Q parametresi ile de yorumlayabiliriz. Q’nin büyük değerleri yavaş sönümlere karşı gelir. Q’ye kalite faktörü denmektedir. Q>1 olduğunda kritik altı sönümlü harmonik hareket koşulu geçerlidir. Çeşitli Q değerleri için uzanımın (x) zamanla (t) değişimi Şekil-3.18’de verilmiştir.

26

Şekil-3.18 Sönümlü harmonik hareketin Q kalite faktörüne bağlı değişimi.

Aşağıdaki çizelgede çeşitli sönümlü salınıcı sistemlere ait Q değerlerinin yaklaşık değerleri verilmiştir.

Sönümlü salınıcı sistem Q değeri

Saat sarkacı 75

Elektriksel RLC devreleri 200 Titreşen piyano teli 10³ Mikrodalga kavite osilatörü 10⁴

Kuartz kristali 10⁶

3.3.2 Enerjinin değişim hızı

Enerjinin değişim hızı, enerjinin zamana göre türevi ile tanımlanır. Mekanik enerjin zamana türevi alınarak

𝑑𝐸

𝑑𝑡 =_𝑑𝑡^𝑑 (¹₂𝑚𝑣²+¹₂𝑘𝑥²) = 𝑚𝑣^𝑑𝑣_𝑑𝑡 + 𝑘𝑥^𝑑𝑥_𝑑𝑡 = 𝑚𝑣^𝑑𝑣_𝑑𝑡 + 𝑘𝑥𝑣 = (𝑚𝑎 + 𝑘𝑥)𝑣 (3.70) yazılabilir. Hareket denkleminin

𝑚𝑎 + 𝑏𝑣 + 𝑘𝑥 = 0 ifadesi ile verildiğini hatırlarsak

𝑚𝑎 + 𝑘𝑥 = −𝑏𝑣 yazabiliriz. Bu ifade (3.70) eşitliğinde kullanılırsa

𝑑𝐸(𝑡)

𝑑𝑡 = (𝑚𝑎 + 𝑘𝑥)𝑣 = −𝑏𝑣² < 0 (3.71) elde edilir. Bu bağıntı da, ^{𝑑𝐸(𝑡)}

𝑑𝑡 < 0 olduğundan, enerjin sürekli azaldığını

27

gösterir. Eşitlik-3.69 ile verilen

𝐸(𝑡) = 𝐸₀𝑒^−γ𝑡

ifadesini yeniden ele alalım. Bu enerjinin 𝑡₁ ve t2=t1+T anındaki (yani bir periyot sonra) değerleri için

𝐸₁ = 𝐸₀𝑒^−γ𝑡1 (3.72a)

𝐸₂ = 𝐸₀𝑒^{−γ(𝑡1+𝑇)} (3.72b)

ifadelerini yazabiliriz. Burada

𝑒^𝑥 = 1 + 𝑥 +𝑥² 2! +𝑥³

3! + ⋯ serisinden faydalanarak 𝑥 ≪ 1 durumunda 𝑒^𝑥 değeri için

𝑒^𝑥 ≅ 1 + 𝑥

yazabiliriz. Buradan hareketle t2 ve t1 anındaki enerjilerin oranı için

𝐸₂

𝐸₁ =^{𝑒−γ(𝑡1+𝑇)}

𝑒^−γ𝑡1 = 𝑒^−γ𝑇 ≅ 1 − γ𝑇 (γ𝑇 ≪ 1) (3.73) sonucunu elde ederiz. Buradan enerji farkları için

𝐸₁ − 𝐸₂ = 𝐸₁ − 𝐸₁(1 − γ𝑇) = γ𝑇 𝐸₁ (3.74) ifadesini yazabiliriz. Enerji değişiminin ilk enerjiye oranı için ise

𝐸₁−𝐸₂

𝐸₁ = γ𝑇 = γ^2𝜋

ω₀ = ^2𝜋

ω₀⁄γ= ^2𝜋

ω₀⁄(𝑏/𝑚) = ^2𝜋

𝑚ω₀⁄𝑏 =^2𝜋

𝑄

ifadesi yazılabilir (𝑄 = 𝑚𝜔₀⁄ ). Buradan Q kalite faktörü için 𝑏

𝑄 = ^𝐸1

(𝐸1−𝐸2)/(2𝜋) = 𝑜𝑠𝑖𝑙𝑎𝑡ö𝑟𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑙𝑎𝑛𝑎𝑛 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑗𝑖

𝑟𝑎𝑑𝑦𝑎𝑛 𝑏𝑎ş𝚤𝑛𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑗𝑖𝑑𝑒𝑘𝑖 𝑘𝑎𝑦𝚤𝑝 (3.75) ifadesini yazılabilir. Bu ifadenin Q kalite faktörü için yeni bir tanımlama verir.

Şimdi

𝜔² = 𝜔₀²−𝛾² 4 ifadesini yeniden

𝜔² = 𝜔₀² −𝛾²

4 = 𝜔₀²−(𝑏 𝑚)

2

4 = 𝜔₀²−1 4(𝜔₀

𝑄 )² = 𝜔₀²(1 − 1 4𝑄²)

28

veya

ω = ω₀(1 −_4𝑄¹₂)^1/2 (3.76)

şeklinde ifade edebiliriz. Bu ifade Q’nun büyük değerlerinde 𝜔 ≅ 𝜔₀ almamızı haklı kılar. Örneğin,

Q=2 için,

ω = ω₀(1 −_4×2¹ ₂)^1/2 = ω₀(1 −₁₆¹)^1/2 = ω₀(1 − 0.01)^1/2 ≅ 0.968ω₀ Q=10 için,

ω = ω₀(1 − ¹

4×10²)^1/2 = ω₀(1 − ¹

400)^1/2 ≅ 0.999ω₀

dir. Q büyüdükçe 𝜔 değeri 𝜔₀ değerine yaklaşmaktadır. Başka bir deyişle b sönüm faktörü azaldıkça Q’nin değeri artar ve sönümlü harmonik hareketin frekansı BHH’in 𝜔₀ frekansına yaklaşır (Şekil-3.20).

Şekil-3.20 Sönümlü harmonik hareketin  frekansının Q kalite faktörüne bağlı değişimi.

3.4 SÖNÜMLÜ ELEKTRİKSEL OSİLASYONLAR

Daha önce bir LC devresindeki osilasyonları incelemiştik. Bu devrenin BHH salınımı yaptığını görmüştük. Şimdi devreye bir R direnci ekleyeceğiz (Şekil- 3.21).

29

Şekil-3.21 LRC devresi.

Devredeki C kondansatörü V_C voltajı ile yüklendiğinde, kondansatör üzerinde q yükü depolanacaktır. Kondansatörün levhaları arasındaki potasiyel fark için

𝑉_𝐶 = ^𝑞

𝐶 (3.77)

yazılacağını biliyorsunuz. Daha sonra S anahtarı kapatılırsa, devreden i akımı geçmeye başlayacaktır. Kirchoff’un ilmek kuralını kullanarak devre denklemi için

𝐿^𝑑𝑖_𝑑𝑡+ 𝑅𝑖 +^𝑞_𝐶 = 0 (3.78)

ifadesini yazabiliriz. Burada

𝑖 = ^𝑑𝑞

𝑑𝑡 𝑣𝑒 ^𝑑𝑖

𝑑𝑡 = ^𝑑2𝑞

𝑑𝑡² (3.79)

eşitlikleri yerine konulursa,

𝐿^𝑑2𝑞

𝑑𝑡² + 𝑅^𝑑𝑞

𝑑𝑡 +^𝑞

𝐶 = 0 (3.80)

denklemi elde edilir. Bu denklem sönümlü harmonik hareketin 𝑚^𝑑_𝑑𝑡^2𝑥₂ + 𝑏^𝑑𝑥_𝑑𝑡 + 𝑘𝑥 = 0

denklemi ile aynıdır. Bu iki denklem karşılaştırıldığında, mekanik sistemdeki büyüklükler ile RLC elektrik devresindeki büyüklükler arasında benzerlikler aşağıda verilmiştir.

30

Mekanik sistemi

Elektrik Sistemi

x q

m L

k 1/C

b R

 = b/m  = R/L

Bu benzetişimden yararlanarak devre denkleminin çözümü için 𝑞 = 𝑞₀𝑒^{− 𝑅𝑡/2𝐿}𝑐𝑜𝑠 [(¹

𝐿𝐶 − ^𝑅2

4𝐿²)^1/2𝑡] (3.81)

yazabiliriz. Burada q₀, kondansatörün başlangıçtaki yüküdür. Elektrik devresinde kritik altı çözüm koşulunun 𝑅² < ^4𝐿_𝐶 ile verileceği açıktır. Bu durum kütle-yay sisteminde sönümlü harmonik hareketi incelerken yazdığımız 𝑏² < 4𝑘𝑚 koşuluna karşı gelmektedir. 𝑉_𝐶 = 𝑞/𝐶 olduğu için

𝑉_𝐶 =^𝑞_𝐶⁰𝑒^{− 2𝐿𝑅𝑡}cos [(_𝐿𝐶¹ −_4𝐿^𝑅2₂)

1

2𝑡] = 𝑉₀𝑒^{− 2𝐿𝑅𝑡} cos [(_𝐿𝐶¹ −_4𝐿^𝑅2₂)^1/2𝑡] (3.82)

yazabiliriz. Burada 𝑉₀ , t=0 anındaki voltaj değeridir. Bu sistemin açısal frekansı 𝜔² = 1

𝐿𝐶 − 𝑅² 4𝐿² olacaktır.

 ^𝑅2

4𝐿² < ¹

𝐿𝐶 koşulu sağlandığında sistem kritik altı sönüm durumunda olacaktır yani sistem sönümlü harmonik hareket yapacaktır. _4𝐿^𝑅2₂ ≪ _𝐿𝐶¹ durumunda sistemin açısal frekansı için 𝜔 ≅ √_𝐿𝐶¹ alınabilir.

 ^𝑅2

4𝐿² > ¹

𝐿𝐶 koşulu sağlandığında sistem kritik üstü sönüm durumunda olacaktır.

 _4𝐿^𝑅2₂ =_𝐿𝐶¹ koşulu sağlandığında sistem kritik sönüm durumunda olacaktır.

31

Mekanik sistemde tanımladığımız Q kalite faktörünün karşılığının ise 𝑄 = ^ω0

γ = ¹

𝑅√^𝐿

𝐶 (3.83)

olacağı açıktır. Q kalite faktörü kullanılarak mekanik ve elektrik sistemlerinde sönümlü harmonik hareketin denklemi yeniden yazalım:

𝑑²𝑥

𝑑𝑡² +^ω_𝑄^0𝑑𝑥_𝑑𝑡 + ω₀²𝑥 = 0 (3.84a)

𝑑²𝑞 𝑑𝑡² +^ω0

𝑄 𝑑𝑞

𝑑𝑡 + ω₀²𝑞 = 0 (3.84b)

Bu benzerliği Fizik Laboratuvarı-IV dersinde yapacağınız deneylerde sık sık kullanacaksınız.

32

Aşağıda konuyla ilgili bazı çözümlü problemler verilmiştir. Bu örnekleri dikkatlice incelemenizi öneririz.

ÖRNEK-1

a) Kütlesi m olan bir cisim kuvvet sabiti k olan homojen bir yaya asılmıştır (Şekil-a). Yay denge konumundan itibaren hafifçe (y kadar) aşağı doğru çekilip serbest bırakılıyor. Sistemin titreşim periyodu nedir?

b) Kütlesi m olan cisim özdeş iki yaya Şekil-b’deki gibi bağlanmıştır. Bu durumda titreşim periyodu nedir?

c) Kütlesi m olan cisim özdeş iki yaya Şekil-c’deki gibi bağlanmıştır. Bu durumda titreşim periyodu nedir? (French-p3.1)

Çözüm:

a) Sisteme yaydan dolayı etki eden kuvvet F=-ky’e eşittir. Bu durumda hareket denkleminin

𝑚𝑑²𝑦

𝑑𝑡² = −𝑘𝑦 veya

𝑑²𝑦 𝑑𝑡² + 𝑘

𝑚𝑦 = 0 veya

𝑑²𝑦

𝑑𝑡² + 𝜔₀²𝑦 = 0

şeklinde yazılabileceğini biliyorsunuz. Burada 𝜔₀² = 𝑘/𝑚 dir.

Buradan periyot için 𝜔₀ =^2𝜋

𝑇 = √𝑘/𝑚 ⇒ 𝑇 = 2𝜋√𝑚/𝑘 yazılabilir.