Matrisler. Amaglar. Bu uniteyi gali tiktan sonrci; matris kavrammi taniyacak ve bir tablonun bir m de gosterilisini.

Matrisler

Amaglar

Bu

uniteyigali§tiktan sonrci;

<Jg>matriskavrammitaniyacak vebirtablonunbir

m

degosterilisi- ni yazabileceksiniz,

<3D>birmatrisinboyutunutaniyip, matrislei ismi ogreneceksiniz, uygunmatrislerarasinda loplama,garpmave bir sayiHegarpmaislemleri

<gj>^tersmatriskavraminitaniyip,ilk. tersmatrisin

<jg>dogrusal denklem sistemlerinin gozilmlerini matris yontemiyle bulabileceksiniz,

<jg>^gesitlie; hilecekve go-

ziimlerinimatris yonlr ileceksiniz :

ifindekiler

•MatrisTanimi,Bir MatrisinBoyutuveOzelTun/enMalrisler

•Matrists,

•Matris islemlerininOzellikleri

•TersMatris

" Costerilisi

•Tanimlar ve yeni

kavramlar

uzerindeiyidu§unulmeli ve

dogru

algila-

maya

cah§ilmahdir.

•Ornekleriyiincelenmelidir.

•Ogrenciye birakilansorulardaverilenlerinvebulunmasiistenilenlerin nelerolduguiyiayirt edilmelidir.

•(^ah§irkenmutlaka kagit ve

kalem

kullanilmahdir ve ah§tirma sonuqla- ricoziilerekbulunmahdir.

Giri§

Bu

unitenin islercebiriveuygulamalandir.

Daha

agik ifade edecek olursak;buit tipiya daboyutu, matrislerarasinda mleri gibiko-

nulareleahnacaktir.Uygulamada onemliyeriolanten, iigivehesap- lanmasinailiskinbaziyontemleruzerindedn Uililnbugereklikav- ramlarin verilmesinden sonra, matrislerinuyg iuigusteren tiirdenorneklerverilecektir.

Bu

tiiro uklemsistem- lerininmatris gosterimleriyle ifadeedilislerivecozumlerininirdelenmesigelir.

Matris gosterimleriyle verilen birdogrusaldenklemsisteminingozumil yapilma- dan,coziimunvarhgi,varsa lebilir;coziimvarsa,gozumiin hulun masinikolayla§tiranmatrisyontemlerverilebilir.Birgokekonomikiliskilerbir

'inmatema- tikselolarak. rislerinonemli bir yerivardir.Ueride verecegi- mizorneklerbituiieinidahaiyiagiklayacaktir.

MATRIS TANIMI, BIR MATRISIN BOYUTU VE OZEL TURDEN MATRiSLER

Bu

kesimde amaqlanan, tablolannrnatrisolarakgosterili§i,mat- risterminolojisinin tanitilmasi; kare,satir,siitun,birimmatrisler, birmatrisindevrigi,matrisesitligikavramlartnin agiklanmasidir.

Once

"matris nedir?"sorusunayamtarayahm.Giinliikyasantimizda sayilann, degiskenlerinveyaparametrelerin olus.turdugucesitlitablolaryapmayaihtiyacdu- yanz.Ornegin,birfabrikanmtirettigi,diyelimkibe§tur

malm

ilkaltiayhkiiretim miktarlannin aylaragoredokumiinunverilmesiistenirse,bunugostermeninbir yolubegsatirvealtisiitundanolu§anbirtablo hazirlamaktir. Satirlann kar§isina malcegitlerini,siitunlanntepesinedeaylar yazihrsa,bir satirilebir siitun kesisti- giyerede o ay icindetiretileno malinmiktanyazilabilir.

Bu

tabloyafabrikanm ilk altaylik iiretimtablosu denildigigibiiiretimmatrisidedenir.A§agidaki orne- giinceleyiniz.

Birgiyim atolyesindetiretilenmallarmyilinilkayiicindekiiiretimmiktarlan asagidaki tabloileverilmistir.

Ocak

§ubat Mart Nisan Mayis Haziran

Ceket

/ 250 200 150 300 200 100 \

Pantolon 300 250 175 300 250 200

Yelek 100 75 75 50 25

Gomlek 350 400 350 300 325 350

Kravat \ 500 450 400 375 250 150 '

Be§satir,altisiitundanolusanbutablo,hangi

malm

hangi aynemiktardaiire- tildiginigostermektedir.Kisabirifadeyle,atolyeninilkaltaylikuretim tablosu veya iiretim matrisidir.

Sayilann,degi§kenlerinveyaparametrelerinolugturdugu dikdortgenbu birtabloyabirmatrisdenir.

Bir matrisiolusmrannesnelereomatrisinelemanlariyadaogeleri adi ve- rilir.Yataycizgileriizerindeyer alan matriselemanlarmamatrisinsattrlari,diigey cizgileruzerinde yer alan matriselemanlarmamatrisinsiitunlaridenir.Birmat- ris,satirsayisivesiitun sayisiileifadeedilir.

m

sayidasatin,nsayida stitunuolan birmatrisicin

mxn

yematrisinboyutuya damertebesidenir.Birmatrisinbo- yutu yazihrkendaima oncesatirsayisisonradasiitun sayisi yazilir.Egersatirsa- yisisiitunsayisinae§itise,butiirbirmatrisekare matrisdenir.Boyutu nxn olanbirmatris,kisacan-yinci

mertebeden

kare matrisdiyede ifadeedilebilir.

Birmatrisin

m

sayidasatinvebirteksiitunavarsa,yani matrisinboyutumxlise, boylebirmatrisesiitunmatrisya dabirsiitunvektordenir.Birteksatinve n sayida stitunu, yani mertebesi lxnolanbirmatrisedesatirmatrisya dabir satirvektordenir.

Birmatrisinsatirlanvesiitunlarinormalparantez()veya ko§eli parantez[]

bicimindecizgilerarasinayazilirve matrisinboyutuda parantezin sagaltkosesi- neyazilarakgosterilir.

Bu

kitapta matrislericin( )gosterimini kullanacagiz.

Asagidacegitliboyutlardaki matrislericinbirerornekverilmistir.

1-3

7 4

\0,5 V2 -8 1

2a?4

boyutunda

^birmatris

imertebeden kare matris

Satirmatris(satirvektor)

Siitunmatris(siitunvektor)

Matrisler,A,B,C,...,X,

Y

gibibuyukharflerileonlarmogeleride kiicuk harfler ilegosterilirler.Boyutu

mxn

olan genel birmatrisin /-yincisatinile j-yinci siitunun kesi§tigi yerdekielemam <%olarakyazilir.Boylece

A

matrisi

A

= (<%) mx^„biciminde temsiledilebilir(Butiiryazihglarda,yanibirmatrisinbo- yutununyazilismdaolsunveyabirelemamn

konumunun

gosterilismde olsun, da- imasatirsayisiyada numarasisiitunsayismdanya danumarasmdan onceyazi- lir).G6sterili§i

A

= (a^)mxn olan

m

satir,n siitundan olujan genelbir

A

matrisi, elamanlannmkonumlanacikgosterilecek gekildeajagidakibicimdeyazilabilir:

amnI

<r-i-inci satir

T t t

Ikimatrisinboyutlanveaynikonumdakitiimelemanlanesitisebuikimatri- se e§itmatrislerdenir.

O

halde,

A

⁼(fl,y)mxn^ve

B

= (b

ij) rxsmatrislerinine§itol- masiicingerekliveyeterlikosul

m

=r, n =sve heri,jicina;= b

{,olmasidir.

matrisineesit

eolmahdir?

A

matrisile

B

r

y

⁼3, z= 8 olmahdir

boyutlan

aym

oldugundan,

A

=

B

olmasiicin x=_5,

i

n m

ⁱ

D

={2 3 O-l).

E-{-A)

matrisleri veriliyor.

Bu

matrislerinboyutlartni,elenian sayilartnivea₂₄

,

b 32^>csi'^14>e

n

elemanlarinibulunuz.

Herbir sitek ekeleall dsor

dan

yamtlayahm.

A

mat linb lyu u3xi

w

dur; oze1bir riligiyoktur,Elemanlan ayisi 3x4= 12 cir«24> ikiidsa tirdordinctisiitundibulunan lnoldugiindan a2 4= 8 d

iboyu u 3x3di -aniuciinctimertebtdenb kai insiyisi 3x

3-9

dur.b

i2 ^-1dir.

lcn sa

C

matr

=6 c

boyutu iir.

3x1cir.BunatrisbirfiitunmatrStir;(. irl VI Sl 3 ve c₃₁

lx^ dtirBi natris birsatirmatrstir;tlen yisi i

D

matr boyutt. isa

E

matrisiboyutu 1j:1 olu

hem

& atir

hem

d;siitun

ma

tristir I lineeel

tdiir

n-yincimertebedenbir

A

⁼(_a tJ

-)kare matrisinde a

n

^,a22^,

a^

,...,ann elemanlannakisacamatrisinko§egen elemanlaridenir.

Egerbirkare matrisinkosegenelemanlannin hepsi 1 ve diger turn eleman- lari ise,boylebirmatrisebirbirim matrisdenir.n-yincimertebenbirbirim

;icin

«,-(

' l=

J

|

^7

[i,j-l,2,...,n)

dir.Her mertebedenbirim matris vardirve mertebesi nelolarak,In simgesiylegosterilir.

V 1 /

matrislerindenbirincisi2cimertebeden,ikinciside3ciimertebedenbirim matrislerdir.

Bir

A

= (aij)nmn matrisi icin

A

nindevrigi(transpozesi) diye adlandinlan ve

A

T =(a'

ij)nxm ^{ile gosterilenmatris,}boyutu

nxm

olanvefl',y=fly,-olarak tammlananmatristir.Birba§kaifadeile,

A

ninsatirlanni stitun,siitunlarimdasatir yaparak elde edilen matrise

A

nin devrigi denirvebuyeni matris

A

^Tilegos- terilir.Ornegin,

«31 «32 «33 «34

devrigi,boyutu 4x3 ola tirlanmsiitunkabuleden

51 a32 a33

\«'41 «'42 a'iAI

«21 «31 1

«22 «32

«23 «33

hut _-13

2 5

.V2/

3

-5

1

matrislerinin devriklerinibulunuz.

-1 2 _\

A

^T= ir V

° Z VZ

'lx3 '

%

1 . 5

C

^r=

() 5 ⁼

c

() l /

lllillliL

IV3 1 -3/2I

sonucunubulunuz.

Dgeleri icin 2fl13^-3a₂₁²-4a 25igleminin

2.,4=

I

J

^{2- '}

neolmalidir?

matrislerinine§itolmalanicin x, j,zdegerleri

3.Ogeleri,

olan karer

11

x

y

-2 1z

3 4

5/

bulunuzve

A

matrisiniyenidenyaziniz.

iicin

A

=

A

^Tise,

A

matrisinin bilinmeyen ogelerini

MATRIS l§LEMLERI

Bu kesimdematristoplamasi, cikarmasi,sayiilecarpimive matris carpimi i§lem-

lerinitaniyacakvebu igreneceksiniz.

Matris Toplami A

= {a

ij)mxn^ve

B

= (b

i

p

mxn

aym

tipten ikimatrisolsunlar.Ogeleri c« =a,:/+b,;

7 (i=1,2, ...m;j =1,2,...,«) olan

C

= (cij)mxn ^matrisine

Ave B

matrislerinintop- lamidenirvebumatris

C

⁼

A

+

B

§eklindegosterilir.Bu durumda

A

ve

B

mat- rislerinetoplanabilir matrisler adiverilir.

Aciktir ki,

/an ai2 ... aln\ (bn bn ... bln\

1 bl2 &2k

A

+

B

⁼

J u

/ flll+foll «12 +fol2

«21 +^21 a2 2+b22 2n+b2n

\ aml+bml am2+bm2 ... a mn+bmn/

trislerinin

A

-

B

farkida benzer §ekilde tammlanir.

-17

4

\Q 4 5^' bulunuz.

matrisleri iqin

A

+

B

,

A

^-

B

matrislerini

w

A

+

-1

+(-l) 2+ 7

)

-1+ 2 \

- (-2 ₅ j

A '"I

3-(-1) 2 7 -1

:h.

4 -5

3-3

4-( 2) 3 5 )

Sayilie

Carpma

Birmatrisinbirsayiilecarpimi,o matrisinelemanlarimn

konumlanm

boz- madan,tiimelemanlannverilensayiilecarpimiyla olu§turulanmatristir.Yani k birsayive

A

=(fl,y)mx„verilenbirmatrisise,kile

A mn

fe4ilegosterilensayi ilecarpimi fe4= (ka

ij)mxn^{olaraktanimlananmatristir.}

igin

kA

tnatrisinibulunuz.

JJHU

1

1 4 "2

&4=5

3 o

\ 1 e

=

5.4 5.(-2)

5.3 5.0

20 -10\

15

HE

^/

^Ocak

1999 tarihinde peynir,et,§ekerfiyatlarimilyonTL/kg olarak

F

matrisiyle veriliyor.

Enflasyonun her ytl

%30

oranindaartacagini varsayarak, 3ytl sonra 1

Ocak 2002

tarihindeki peynir,et,§eker fiyatlanni temsil eden sutun matrisi bulunuz.

1.yilsonunda

F

1=

F

+ 0,30

F

= 1,30

F

2.yilsonunda

F

2=

F

1+ 0,30

F

x= 1,30

F

₁=_1,30(1,30 F) =(1,30)²

F

3.yilsonunda

F

i=

F

₂+ 0,30

F

₂= 1,30

F

2=1,30 (1,30)²

F

=_(1,30)3

F

olur.Boylece aramlann

1,5

F

5=(l,30)³

F=

2,197 2,5

yani 3^yilsonrakifly;

2,197.1,5_\ 2,197.2,5 2,197.0,4/

olarakbulunur.

/3,2Sb5

= 5,4925

Bir ^4 matrisi igin (-1)

A

=-

A

olarakgosterilir.Sozgelisi,6.Ornekteki

A

matrisi igin

mm

matrislerivek=-1saytsi veriliyor.

A

+

kB

matrisini bulunuz.

*

(

A

^+-

kB= A

+(-1 )

3 -4 2 5 |

"I 7 +\--U

1 3 '

i

7

|-

(

-2 5 \

3 ^' dir.

c

^{•( 13 2}

^4-5

^\=

^{A- B}

r.

O

halde,/

n

5 =.4-L

7-3

Turnelemanlansifirolanbir matris vardirve genel olaraksifir matrisi icin

A

-

A

⁼

O

dir.

sifirmatrisdenir.Her mertebedensifir

O

simgesiylegosterilir.Aciktirki,her

A

Bir

A

matrisiiqin

A

^=-

A

ise,

A

nin sifirmatrisoldugunugosteriniz.

A bir latrisolsun.

A

^-

A

ise,bu tliginherikivarmi/ matrisiile

w

Luj

A O

2A=

A-

A

⁼

O

ohir.

O

halee,4 Sifirmatristir.L hirada O,

A

ileaynimertebedenolansifir

ma

iki

Vektoriin

I5

Carpimi

A

bir satirvektor,

B

debir siitunvektor olsun.Eger

A

ile

B

ninelemanlansa- yisiesit ise, ^4

mn

herbir

elemanmm B

ninkar§ilikgelenelemaniilecarpiliptop- lanmasiyla elde edilen sayiya

A

satirvektoriiyle

mi

denirvebusayi

A

.

B

ilegosterilir.Kisaca

1vektoriiniini£^arpi-

.

B=

a

n

^b

n

^+a

u

^b2l+...+aln bnl

vektdrleri iqin A. Biqqarpiminihesaplaymiz.

- 1

7

w

( 2 5 -4 )

l-

¹)T

^'

^T

|-t|^

=-2+ 21-2C=-1 tulu ir

Matris £arpimi

§imdiikimatrisincarpiminitammlamakistiyoruz. ikimatrisintoplamimn veyafar- kinintanimlanabilmesiicinbunlannboyutlannine§itolmasi gerektiginibiliyoruz.

Ikimatrisincarpimimntanimlanabilmesiicindebunlannboyutlan arasindabir iliskiolmasi gerekmektedir.

Bu

iliskisudur: Matrislerinbirincisinin siitun sayisi

ikincisinin satirsayisinae§itolmahdir.Buko§ulaltmdaikimatrisincarpimmia§a- gidaki §ekilde tammlayabiliriz:

A

= («y) mx „ ^matrisiile

B

= (b

{

p„

xrmatrisinin

AB

ilegosterilencarpimi oyle bir

C

=(Cjj) matrisidirki,Cnin boyutu mxrdirvecfelemani

A

ninz'-yinci satir vektortiile

B

ninj-yinci stitunvektoriiniiniccarpimidir;yaniher i=_1,2,...,

w

ve7=1,2,...ricin

c</=( a,i a,2

/M

U,,/

r.

/IB =

C

carpimimndahaiyianla§ilmasiicintanimi birazgorselle§tirelim:

matrisleriigintanimliolangarpimlaribelirleyinizi bulunuz.

garpim

matrisleri

%

e

^

carpimlantanimhdi

sadece At*v .(Nedeninisizaciklayimz)

|

2 4 7

1 8

I 1

•8

4

1

2.1 'i +

74

2(-2) +4 |-l) +

72

^\

.i

\ 1A ' +9.4 (-lJ(-2)+5(-1J+9.2 j

|

"

6 +( 6 j

1

1-f

³

2

| [

2 4 7

| '

(

v 5 -1 5 9

-I

3'2*2.( ) 3.4- 2.9 \

lo.2+ 5.( 1 7 +5.9 )

-(.

5 25

7

₄₅ '2x3

lilMUl

B/rkonfeksiyon atolyesindesati§ahazirlanan dort partigiyim egyastnin miktarlari

E

^matrisi,

bu

e§yanin birimfiyatlart

da

milyonTL olarak

F

matrisiileveriliyor.

Her

birparti

malm

degerinigosterensiitunmatris

D

yi bulunuz.

CeketPantolon

Gomlek

Kravat

100 150 250 200

\ 1

.

parti 2.parti

3-parti

4.parti

/ 80\ Ceket

20 Pantolon

15

Gomlek

' 10/ Kravat

Herbir partimalin degerini gosteren matris

D

⁼

EF

dir.

O

halde,

/100 150 250 200\180^]

75 100 175 175

125 125 100 100

'140 160 300 250

'

10^'

/ 8000+ 3000 +3750⁺2000 6000 + 2000 + 2625 + 1750 10000 + 2500 + 1500 + 1000

\11200 + 3200 +4500+ 2500

16750 12375

15000

\ 21400^/

1.partimalin degeri

2.parti "

"

3.parti " "

4.parti "

"

AUi bgrencinin

devam

ettigibirdersinikiara sinav ve birgenel sinavnot- lartnindokilmii Smatrisiileveriliyor.

Ara

sinavlar

%20

vegenel sinav

%60

agirlikholdugunagore,dbnetn

sonunda

buogrencilerinba§arinot- lari listesini (matrisini)bulunuz.

l.ara Genel

sinav sinav sinav

/ 42 65 70

\

1.ogrenci

55 40 65 2.ogrenci

30 50 60 3.ogrenci

76 82 85 4.ogrenci

30 40 43

1

5.ogrenci

\ 70 83 92 6.ogrenci

*

A

rasina^lannreoeiel iilavii agirliklir ntisini

A

ilegosterec 5k olursak,

A

20 \

1 1

-0

'

'60 /

slitunmatrisiolarakalabiliriz.(Ayinedensatirmatrisdegildet

aldigimizisizdii§iinunuz).

O

zaman,ogrencilerinbagannodan cek olursak,

B

=SAolur.Boylece

30 40 43

8,4413 42

11 +8 + 39

6 + + 36

\0,60 J

\

+ 16,4 4 51 8 4 25,8

h16,6 4 55,2

isolarak

B

diye-

/63,4

\

58

52

82.6

39,8

/ \35,8

EDEH1

r

³

\05^l

PI

\24'

latrisleriicin ^4-

25

4

AB

2.

A

=(237) satirvektoriiile ,

bulunuz.

2 siitunvektoriiniinigcarprmiolansayiyi

V1-2I \2 1^/

^02'

a)

AB

b)

A4

c)

U^ ^C

&)

A

²

e)A(B+C)

matrislerinibulunuz.

MATRiS i§LEMLERiNIN OZELLJKLERi

Matrisi§lemlerininsagladigikitniozelliklerin tanitilmasi.

Matristoplamasi, cikarmasi,sayiilecarpimive matriscarpimmailiskinkimi ozel- likleragagida dortgrupolaraksiralanmistir.

Bu

gruplarda geeenislemlerifinve- rilenmatrislerinuyumluolduklan,yaniikimatrisintoplami sozkonusuisebu matrislerin toplanabilirolduklan,carpimlan sozkonusuisecarpilabilirolduklan kabuledilmistir.Ozelliklerinkamtlannagirilmeyecek,bazilannmorneklerledog- njlanmasiylayetinilecektir.

I. i)

A

+

B

⁼

B

+

A

Matristoplamasmm degismeozelligivardir.

ii) (A + B) +

C

=

A

+(B+C) Matristoplamasmmbirlesmeveyaparan- tezkaydirmaozelligivardir.

iii)

A+ 0=

+

A

=

A

Sifirmatris,matristoplamasmmetkisizele- manidir.

iv)

A

+(-A)=

O

-

A

,

A

matrisinintoplamsaltersidir.

II.k,kY,k₂ sayilar

i) kA=

Ak

ii) (&j+ k₂)

A

=ky

A

+k₂

A

ii)

k(A

+ B) =

kA+

kB

iii)k

x(k₂A) =_C&ik2)

A

iv)k(AB) = (kA)

B

⁼

A

(kB)

III.i)

A

(BC)= (AB)

C

Matriscarpiminin birlesmeveyaparantez kaydirmaozelligivardir.

ii)

A

(B+C)=

AB

+

AC

Matriscarpiminintoplamaiizerinedagilma ozelligi vardir.

iii)IA =AI=

A

(Burada

A

kare matris degilse, soldaki birim matrisilesagdaki birim matrisinmer- tebeleri farkhdir.)

IV.i) (A + B) T

=A

^T

+B

^T

ii) (A T)T

=A

iii)(kA) T =kA^T iv)(AB) T =

B

^T

A

^T

§imdi yukandakikimi ozellikleri orneklerledogrulayahm ve onemlerine deginelim.

mar

HE

matrisleri veriliyor.

Bu

matrisleriqinmatristoplam ligiI(ii)yi dogrulayiniz.

\

A

+

B)

⁼I

2 3x\ I

y

2 + y 2x\

+

1

1 4 / ' 3 8 *'

J

( ')+(

-A

1+ v 2x\ ! 2v -4

"- _|

2+3

y

^-2x

1

A+1

\ 8 3 / \ \ 9 ¹

-4x^

1 3)

1 V ^-x\ | 2j -5T

I"

\ 3 7 1 / \ /

/4+(#⁺C)⁼

1

2 +J,V ^-2.v

1 9 3

O

halde,{A + B) +

C

⁼

A

⁺

Matristoplamasimnbirlegme ozelligininonemisudur:Sonlu sayida toplanabilir matrisicinparantezkullanmadanbunlar arasina +isaretikonularaktoplamlan ya- zilabilir.Ornegin,

A

+

B

+C, ^4+

5

+

C

+

D

yazilishnanlamlidir.£unku butop- lamlarikilinasilgruplamrsa gruplansinsonugdegismeyecektir.

Genelolarak,matriscarpiminindegismeozelligiyoktur;yani

AB± BA

dir.£unku

AB

carpimitammli iken

BA

tanimliolmayabilirveyatersi(sozgeli-

§i,

A

ninboyutu 2x3 ve

B

ninboyutu 3x4 ise

AB

carpimi tanimli

BA

garpimi tammlidegildir).Ashnda

AB

ve

BA

carpimlannmherikisidetanimli olsabile, geneldeesMikyoktur.Asagidakiornekbu durumuaciklamaktadir.

matrislerigin

AB

*

BA

oldugunugdriinuz.

oldugundan

AB

^

BA

dir.

-1+ 4 5+ 14

-3+ 815 +28^I

D iy

5 43'

1i

23 32/

A

ve

B

carpilabilirmatrislervebumatrislerdenbirisifirmatrisise

AB

carpi- mininsifirmatrisolacagiaciktir.Fakatbununtersidogrudegildir;yani

A

*

O

ve

B

=A

O

olduguhalde

AB

=

O

olabilir.A§agidaki ornegiinceleyiniz.

matrisleri veriliyor.

AB

carpimininsifirmatrisoldugunugosteriniz.

-9+ 9 27-27

9-9

Willi

Bu

orneksunugostermektedir:

A

ve

B

gibi ikimatrisicin ^4_B=

O

ise

A

=

O

veya

B

=

O

olmak zorundadegildir.Oysa a,bgercel sayilanicin ab= _ise a= veya b = olmak zorunda oldugunu ammsaymiz. Yine a,fo,csayilanicin ab=ac(a*0)ise, fc=c dir.Gercelsayilar icincarpmanmkisaltmaozelligiola- rak bilinenbuozellikde matris carpimiicingenel olarakgecerli degildir.A§agidaki ornegiinceleyiniz.

matrisleri veriliyor.

Bu

matrislericinkisaltmakurahningecerli olmadigir, gosteriniz.

umm

, , ,

,

AB

⁼

3-2

I"

|

*-9 2 +6

r

h 9

M

3 7 I+ //

6+

18'

h

;,4

I 3 \ I 1 1

I"^[

2 3 \ / 5 1

AC

^{= -}

\ 6 9

M

1 2 I6 9 6 + 81 I 15 24 ¹

,

AB

=^4Cdir;fak at kis altn laknraligeceridegildir.£ ^kii/-'/r

O

halde ir.

Matriscarpiminin birlesmeozelligiIII(i)nedeniylecarpilabilirmatrislericin ABC,

ABCD

gibiyazilistananlamliolur.A§agidaki ornek, matris carpimininbirle§-

me

ozelliginidogrulayanbirornektir.

IMlilll

matrisleri icin(AB)

C

=

A

(BC)=

ABC

esitliginidogrulayimz.

1 I

4 1

]_

( 4 1

2

-3''o

1 2 / \ 8

-1-6

^45

C

/ISC

(^4J5)

C

= ¹

1

BC ABC a(bc)

⁼

BoylececarpilabilirA,

Bve

Cmatrisleriicin(AB)

C= A

(BC)=^fiCegitligidog- rulanmi§olur.

Matris c arpiminbirle§me ozelligi, kare bir matrisinpozitif birkuwetinin tammlanmasmidasaglar.

A

birkare matrisve ndepozitif bir tarnsayi ise,

A

nin n- yincikuweti

A

=

A.A.A

....A

olaraktanimlamr.Ozel olarak,

A

birkosegenmatris

/

«„

...

\

/

<

^o \

ko§egen matrisininbe§incikuvvetinibulunuz.

JUiiU

w

(-If ⁼ -1

A

⁵=

3^{5 V} 243/

mmiEi

matrisleriigin

(A*

B) T=

A

^r+

B

¹ve(AB) T=

B*A

T e§itliklerinidogrulayiniz

P

A

^T

A

^{5 5}

)

*

^"I

:i

=

I

\-

(

{a + b)^t

1 l

1 1

-5 2

I

1 s -•i

(ab) - " i

-8 4 ⁾ \ 2 *

'

C \

A

^T+

B

^{T 1}

1

> A j

B A

= \ )

olduguncai

U

^+H'

-^

+ I^" \e (/B)> =/"_A1 egitlikleri >lai

m

IS(ilur.

Si

-3

matrisleri veriliyor.Asagidakimatrislerihesaplayimz.Eger matris i§lemi tanimli

degilse,nedentanimliolmadigimaciklayiniz.

a)

A

+B, b)

A

^-B, c)

B

+C, d)

3A

^e)

B

+

C

^r,

D4A-2B+ 3C

^T, g) AB, h)AC, i)04 + 5)^C, j)

^

^r

C

^r,

m) A

+

X

=

B

olacak sekildeki

X

matrisinibulunuz.

n)

A

+

Y= O

olacak sekildeki

Y

matrisinibulunuz.

-(2

a)

AB

matrisinibulunuz.

b)

Bu

vektorleriniccarpin

AB

=

BA

= Ie§itliginidogrulayimz.

hesaplaymiz.

riveriliyor.

112

'

3^'

/= matrisleri veriliyor.

AX

⁼

XA

=I layacak §ekildebir

X

matrisibulunuz.

5.Birgiyim

magazasmm

ticambannda bulunandortkalemmallannindegerleri, milyonTLolarak,a§agidaki

D

matrisiileveriliyor.Egerbu magaza, mallanna

%20

zamyaparsaambarlanndaki mallanndegerlerinitemsiledenmatrisneolur?

/500 750 900

650 525 830 420 640 835

'340 590 610^/

6.

A

ve

B

boyutlan

aym

olan kare matrislerise, (A + B)²=

A

²+

AB

+

BA

+

B

²

igosteriniz.

a)

A

matrisinibulunuz.

b)

AB

=

BA

= I olacak sekildeki

B

matrisinin

1 \

B

⁼ o 1/V2

-1/5/

oldugunugosteriniz.

8.Bir sjrket satinalmakistegi90 adet televizyon, 110 adet buzdolabi,70 adetca- ma§irmakinasiicindortaynfirmadanfiyat tekliflerialiyor.Firmalarmbumallar if in verdikleribirimfiyatlar,milyonTLolarak,

A

matrisiiletemsiledilmektedir.

TV

Bd Cm

/ 130 180 170 1.firma

150 175 165 2.firma

120 190 150 3.firma

' 140 200 160 4.firma

girketbu

m

allan nhepsini

aym

firmad fiyatihangi firma ve

TERS MATRiS

Tersiolankare matrislerinterslerininbulunmasi.

A

birkare matris olsun.

A

ilesagdanve soldan carpildigmda

aym

birimmatrisi verenbirmatrisvarsa,bumatrise

A

nin tersi denir vebumatris

A

^{1 ile}gos- terilir.

O

halde,

A nm

tersi A-¹ varsa,

AA

^l= A-¹

A

= I

dir.

§imditersmatriseiliskindogrudan tanimdanelde edilebilecek baziuyanlarve sonuclarsiralayalim:

i) Ancakkare matrislerintersleri olabilir.Herkare matrisindetersiyoktur.

ii)

A

matrisinintersivarsa,butersmatrisdekarematristirveboyutu

A nm

bo- yutuileaynidir.

iii)

A

nintersivarsabutersmatristektir.

iv)

A

nintersi

A

¹varsa,

A

da

A

¹in tersidir;yani G4"^{1 )" 1}=

A

dir.

matrisleri veriliyor.

A

¹⁼

B

oldugunu

iliiftU

w

Jn f 3 l1 II

4

".

1 (

AB

^{= =}

l

v

^l

|[

3 1

[

BA

^{4 "} 1 '^f

'

-1 3 4 V 1

oldugundan

A

LLUU.

_matrisinintersinin

olmadigim

gosteriniz.

%

Amatrisininter elim

varliginikabul edelim.

Bu

matris

A

ile

aym

boyuttabirmat- ki

solacaktir;diy

'- J

*21 ^22^I

u V;

AB

⁼BA-_/csrtliklennis:glasm.

/

bu

\ 2bii 2bu \_l 1 U ^\

1

W

^{- = nl2 _}

1 ^ n bi h i

Sift^an dakisonikir isineskligi 1C

V,111=1 2b₁₂=(

5>n= 5fo12=1

le e uda &,,= 1/2

r lenileri el lilir

Aym

zam /e fo-,1= (benzer olarak

<>12= sibu U un

ve b

n

^{= 1/5) o}

amaz.Oyleyse i

amayacagi 4matrisim 1C 1

an,

AB

= Ie§itl tersmatrisiyokt

lginisaglayanbir 7> matri-

ur.

EmMB ^A

^{matrisinintersi tekoldugunu}gosteriniz.

;tersinin varliginikabul edelim. Bunlar

B

ve

C

olsunlar.

AB

⁼I =/

e§itliklerl ardir. indibue'tiklerivecarpimmbiresineizslliginikul u ursak

31=

B(A C

)= (BA) C

B

=i =

IC= C

olur.

LLiMl ^A

^ve

^{B aym}

^{boyutlutersleri}olan matrislerise,

AB qarpim

matrisininde tersininvaroldugunu ve (AB)¹=

B

¹

A

¹ oldugunugosteriniz.

Q

A

ve

B aym

boyutlu^tersleriolan matrislerise,

AB

ve B'¹A'¹ carpimlanda tanimhdir.

AB

⁼

C

diyelim.

CD

⁼

DC

= I olacak sekildebir

D

matrisivarmi?

Eger

D

⁼7?^_1

A

¹ ahrsakaramlan kosullar saglamr. Gercekten,

CD

= (AB)(B^l

A

^l)=

^

(BS-¹)

A

¹=,4(7)

A

¹- 047)

A

¹=

A4

¹= 7 7JC =C73¹

A

¹)(AB) =

B

¹

(A

¹A)

B

⁼7J¹(7)

B

=B"¹(773)=

B

¹

B

= 7 oldugundan C"¹= D- yani UB)"¹=

B

^A

A

¹ dir.

matrisinintersinibulunuz.

numu

/ v i; \

w

A

main ivarsa,

B

= bicimindebirmatrisolacaktirve

igor

AB=

Bj1=_/kos uunusaglayacaktir.Bun

/

2

V

x

v \ 1x->-*•> •>•>-** \ 1 1 o

\B~- (

y ₌

i

* "

'

1 )

f I to

\ 2T t I \2X 2_y / V C

isc;itli3^ulei matt

r 3r 1

3/

2^y 1

erincebasitoklugndancozumii- dogi usade ndenlsistemieldeedilir.

em

yet

nilh

em

-n\a liriz:x=0,

y

⁼1/2,z=_1/3,t- -1/6 bulunat.iindi

B

⁼

1/3 1/6 '

in 4 run yani

5

= 4"1aldugumkolaycadogrulyaDi

AB

^{= 1}

2 3

1

/ 1/2 / 1 \

( 1/3 -1/6 -

-

t 1 1

W

1 3

) 1/2 - ^{1 \}

\ 1/3 1/6

M

2 \ 1 '

oldugunuiiii

,

A

¹"(

(

1,5

1/2

1.6⁾

bullnur

ilkelSatir iflemleri

ve Ters

Matrisin

Hesaplanmasi

Birkare matrisinters aninbircokyontemivardir.25.Ornekte2nci mertebedenbirkare matrisintersinin nasilbu aigorduk.Ancak,bu yolticvedahayukan mertebedenmatrislerinterslerininbulunmasrndauygunbir yoldegildir.Ornegin, uciincumertebedenbirmatrisintersinibulmakicindokuz bilinmeyenlidokuzdenklemdenolusanbirdogrusaldenklemsisteminicozmek durumundakahnz.

Bu

nedenle,tersmatrisihesaplamamn daha uygunyontemle- riniogrenmeliyiz.Bu yontemlerdenbirideGaussYontemidir.Gauss Yonteminin

neoldugunagirmedenoncebirmatrisinsatirlanarasmdatammlananilkel satiris- lemlerinden soz edelim:

Dogrusaldenklemsistemlerinincozumlerini arastinrken(11.Unite)iictiirte- melsatiri§leminden sozetmigtik.

Aym

tiiri§lemlerbirmatrisin satirlannauygu- landigmdabuislemlere ilkel satirislemleri, elde edilen matrisedeverilenmat- risesatiresdeger matrisdenir.§imdiilkel satirislemlerinigorelim:

tic tip ilkel satirisjemivardir:

I. Matrisinikisatinnin yerlerinindegistirilmesi

II. Bir satirinsifirolmayanbirsayiilecarpilmasi

III.Bir satirin bir sayiilecarpilipbaskabir satiriizerindetoplanmasi Satiriskmleridogrusal cebirinen onemli araclanndanbirisidir.Dogrusal denk- lemsistemlerinincozumlerinin belirlenmesindevedahakimikonularda

hem

ku- ramsal

hem

deuygulama acismdanneredeyse kacimlmazdir.Bu nedenlerdendo- layi satiriskmlerininmekanikbirbicimegetirilmesioldukcayararlidir.Oncelikle birmatrisesatirisjemleriuygulamaktanbeklentimizinneoldugunaaciklik getire- lim.

Amac

yapilanisjeregoredegismeklebirliktegenelde verilen matrisi basa-

mak

bk;iminegetirmekcogu problemicin yeterlidir.§imdibasamakmatrisin ne oldugunutanimlayahm. Eger verilenbirmatristehersatirinsifirdan farkli ilkoge- sibirvebubirinoldugu stitunda birden sonra gelen ogelersifiriseboylebir rise

basamak

bi^iminde(yada esolon bi9imde)birmatrisdenir.A§agida or nekolarak gosterilen matris 'licimdedir.

/1 -23 \

/1 1

1-1

/1 1

\

1 1-34

110

.001

^'

1 1 \ 1^'

1-1

' '

' 1

\ o^/

LiiMl.

Yukandakiorneklerden kolayca anlagilacagigibionceliklehersatirin ilkoge- sinebakiyoruz,egerbu ogebir isebirinaltindakiogeninsifirolup olmadigini de- netliyoruz.§imdi verilenbirmatrisinsistematikbirsekildebubicimenasil getiri- leceginigorelim.Basamakbicimintanimindanda anlagilacagigibioncelikle,eger birinci satirin birinciogesisifirdan farkli isebuogeylebirinci satirboliinur.Eger birinci satirin birinciogesisifirise,birinci satir, birinciogesisifirdan farkliolan

herhangibir satiriledegistirilipyukandakiiskmuygulamr.Dahasonrabirinci sa- tiri>2 icin i-yinci satirin ilkogesia nin toplamsaltersi-ailecarpilipi-yinci satiriizerinetoplamp,birinaltindakalan ogelersifiryapilir.Busayedebasamak bicimicinbirinci satiringerceklesmesigerekenko§ulsaglanmisolur.Dahasonra

aym

iglemikincivedahasonrakisatirlarauygulamr.Boylece verileni

samakbicimine getirmi§ oluruz.§imdibirornekleuygulamayigorelin

f13

14

^matrisini

^basamak

^{biqiminegetiriniz.}

1-2 1 1'

w

/1 3 1

1 a

n

^{=1oldugundanikinciveiiciinciisatinnbirinciogelerinisifir}

yapmahyiz.ikincisatinnilkogesisifirdir.Uciinciisatinnilkogesini sifiryapmakicinbirinci satir2ilecarpihpuciincii satira eklenir.

1 4

)

'-21 1

1 3 ^-1 \

13-1

-

2 1.2 1+3.2 1 +(-1).I i

7-1

1

4

1 -

1

(

3

1

)

ikincisatinnikinciogesi 1oldugundan,iiciinciisatinnikinciogesi sifiryapilmahdir.

Bunun

icinikinci satir -7 ilecarpihpiiciincii satiraeklenir.

1 3 ^-1

J

^{1 3 -1}

) 1 4 n 1 4

j i-4.C-'

1 2

Uciinciisatinniiciinciiogesinibiryapmakicinuciinciisatinnher

1 ogesiniiiciinciisatinniiciinciiogesiolan -29 sayisinaboldiik.

1

1 4

'

C 1

Apacikolarakbusoneldeettigimizmatrisbasamakbicimindedir

UiUMU

matrisini

basamak

bigiminegetirelim.

I4 1-2\ ilksatinnilkelemani1olmadigiicinbusatinnherelemanim4 e

I .,„ bolelim.

1 1/4 -2/4\ ikincisatinnbirinciogesinisifiryapmakicinbirincisatinn

, _,

q ^{) -}3katini ikinci satiraekleyelim.

1

( 1 2

1 1/4 -1/2

-7/4 3/2^'

1 1/4 -1/2\ ikincisatinnikinciogesini1yapmakicin ikin -7/4 3/2^' ogesini-4/7ilecarpahm.

1/4 -1/2

LiiMl.

_Sonbirornek

_{daha A}

= matrisini

basamak

biqiminegetirelim.

a

^Birincisifirdan farkli^{satirmbirinci}olanikinci satir^ogesisifirile^olduguyerdegigtirelim.^{icinbusatinnilkoges}

*

-\:

1 ^'

Ilksatinnilkogesini1

yapmak

icinbirincisatin -2yebolelir

'

1 )

ill

Egerbir

A

karematrisi

A nm

satirlannauygulananilkel satiriskmlerisonucun- da birim matrisedonugtiiriilebiliyorsa, birba§ka ifadeyle

A

matrisibirim matris / yasatiresdegerise,

A

matrisinintersivardir.

Bunun

icin,

A

ile/a§agidaoldugu gibiyan yanayazilirveelde edilen

U:

/)

LLiliL

blok matrisineilkel satiri§lemleriuygulanirsa,

A nm

yerinde birim matris olu§tu- ruldugunda,7nin yerinde olusan matris

A

^Aolur.Kisaca(Al)blokmatrisi bir(LB) matrisinedon ginde

B

⁼

A

¹dir.

Bu

yolla

A

^Amatrisininbulunmasina Gauss

Yontemi

denir.

matrisininvarsa, tersinibulunuz.

\

Ga Y

1 (A:I

1 ft 1 Birincisatin^-2ilecarpipikinci satir

\ 2 j I iizerinde toplayalim.

( 1 S 1 1 ikinci satin ilecarpalim.

10

- 1

1 1/5 -1/10

ikinci satin-3ilecarpip

birinci satir iizerinde toplayahm.

I 1 : 2/5 3/10

I 1 : 1/5 1/10 I

olur.^4ninyerinde birim matris olugtuguicin

A

^A vardirve

2/5 3/10

-1/10

1

matrisininv i,tersinibulunuz.

iMiinmn

(j-auss

Y

JntCI ygulayahm:

5 Birinci satirileikincisatin

U:/

⁼ 2 3 : ) 1 yerdegi§tirelim.

) 5 : ) 1 /

1 2 3 : 1 q ^\ Birincisatin 3ilecarpip

- ikinci satir Iizerinde

1 : 1 toplayahm;uciinciisatin

c o 5 ; o o 1 / 1/5ilecarpalim.

1 2 3 : 1

\ tl-iri/-i ^<-af-,n ¹/^ il^

| iKinci satin i/o lie

6 10 : 1 3 carpalim.

1 2 3 : 1

I IKincisatin-Zliecarpip

o 5/3 : 1J 1/2 o birinci satir iizerinde

I toplayahm.

° 1 : ° ,5

1 n -1/3 ^{: -}13 ^\ Ucuncii satin 1/3 ile

uzeiinue;-j/ olieyaipip

1/5 /

ikinci satir uzerinde

1 :

1

; -

1

3 1/15

V

~

1 : 1/6 1/2 1/3

U(I:B)

1 : /5 '

ardirvey!^-1=1 olclu nJ;

1

n.

A

matrisinir 3 dir;yani

/3 1/15\

|

10 I \

J1

'

1/6 1/2 -1/3

r

₅

(

Enann

matrisininvarsa, tersinibulunuz.

\

Gauss kill la

[A: I-1 1

1

2 1 Birinci satirin3 katimitinci satira

1 3 h 1 1

|

1 2 1 \

1 3 1

Birinci blckunk )

itin1 esifiroldugundanartikburadabirim matris

olugtur

II FUN

^I

^~

\ 3 2 / ^ 3 1 ' \ 3 -

veriliyor.

Bu

matrislerden hangileribirbirlerinin tersidir?

oldugunudogrulayimz.

ise,

A

matrisinedir?

A-¹ var mi, varsa hangi

nMatrislerle GosteriIi§i

5.Asagidaki matrislerintersleriniGaussyontemiyle bulunuz.

1

DOGRUSAL DENKLEM SiSTEMLERJNJN MATRiSLERLE GOSTERiLi§i

K^> ^

^{Verilenbirdogrusal}denklem sisteminin matris gosterimiyle yazi-

Ihsinive cdzumiiniinmatrisi§lemleriylenasilyapilabilecegini br-

'neklerlegormek.

n bilinmeyenvs

m

tanedenklemdenolu§an

a

n

^{x1+a12x2+...+a}ln

x

_n=_6j a21x

1+a₂₂x₂+...+a2n

x

n= b2

«ml xl+a mlx₂+...+a mn

x

_n= b

m

AX= B

bi^imindebirrrarris esirligiilegosterilebilir.Br

1flu

an

^... aln\

A

^{= «2l fl22 •• ain}

\flWl Clml ..• Omn1 katsayilar matrisi,

l

Xl

\

X

⁼

\ Xn I

bilinmeyenlermatrisi ve

I

^

\

B

^{= b2}

\ bmI

sabitlermatrisi adinialir.Eger dogrusaldenklemsistemihomojensistemise,ya- nisabitler matrisi

B

sifirmatrisise,verilen dogrusaldenklemsisteminin matris

seklindeolur.Asagidaki ornekleriinceleyiniz.

LiiliU

+

3x

₄

dogrusal

denklem

sistemininmatris gbsteriminiyaziniz.

*

Sistemi n k usayilarmatrisi,bilinmeyenler matrisivesabitlern trisi,sirasiyla,

A~\

,£

( I 4 -1 / 1*4/ ^' 7 '

olmak11'.ere.verilensijtemin

AX

⁼

B

b

/ 1 5 1

x

2

/wj

I 7 /

\ 1

4-1

Dogrusal Denklem

Sistemlerinin

Matris Gosterimiyle

£dzumlerinin Aranmasi

Verilenbirdogrusaldenklemsisteminin matrisgosterimi sistemincozumiinun aranmasmdakolayliksaglar.§6yleki;matrisgosterimi

AX

⁼

B

olanbirdogrusal denklemsistemiicin,katsayilar matrisi

A

ilesabitlermatrisi

B

yiyan yanaya- zipeldeetl

(A:B)

blok matrisine verilen sistemin genisletilmismatrisidenir.Bugenisletilmis,mat- risiizerineuygulananherilkel satirisjemiyleelde edilenyenimatris,ba§langicta verilendogrusaldenklemsisteminee§degerbirdenklemsisteminingeni§letilmi§

matrisdir.Baskabirifadeyle,04:B)genisletilmis,matrisiizerineuygulananilkel satirisjemleriverilensistemincozumiinuetkilemeyecektir.f^unkii (A^-.B) iize- rindekiilkel satiriglemleriaslinda verilendogrusaldenklemsistemii<;insatiris- lemleridir. Istebukuralsistemincozumiinunaranmasmda uygulanan Gauss yok

etme yontemi lar.Ornekler-

rumu

3xj

— x

2+

x

₃=

dogrusal denklemsistetnini qoziiniiz.

w

(A:

B

⁼ -1 1 2 l

3 1 1 /

Genigleilnlis

ma

risi Dasamakbicimindebirdc)grusaldenklemsisteminin geni§-

letilmig c

u

§ ilke1s itirlslemlenuygulayalim

2 1 : 6 Ilksatin ikinci satirtizerindetoplaya-

lim; ilksatin^-3ilecarpipiiciinciisa-

[A:

B)

1 1 2 : -

3 1 1 c

tiriizerindetoplayalim.

J

1

( 2 3

1

1 ]} ikinci satinT- ilecarpipuciincu satiruzenncle toplayalim.

/

L \

) 3 ₁ Ucuncusatin^-2-ilecarpalim.

:

) 3 19 : il

1

] 1

}

(

(

1

()

Sonyazlla

2a n latr

6 5

sbasamakhH

2"*3 x

\

+

3a

x

3

x

₃

1dent ir.Busistemin uciinciidenklemin-

den

x

₃ 1ikinc it k

deminden

x

2⁼2birincidenkleminden x±=1 bulunur.

Bucozij ay la verilendogrusi1cenkle

m

sistemininbircozumudur.

LiUJJJ

-

6xj+

3x

2 =

5

dogrusal denklem sisteminin

cozumunu

arastinmz.

H ^{^B)}

⁼

isiyazip,

2 - 1

fa 3

2 - 1

(i (J

riglemleriuygulayalim:

1 I ilksatin3ilecarpipikinci satiriizerinde

c I toplayalim.

Bu

blok matrishicbirdogrusaldenklemsisteminingenis,letilmi§matrisiolamaz.

(Nedeninisizaciklaymiz.)

O

halde, verilendogrusaldenklemsistemininbircozii- mii yoktur;birbaskaifadeilesistemtutarsizdir.

rana

3xj-x

₃=14

dogrusaldenklemsistemini coziinuz.

q

Katsayilarmatr

-1

^' 2 ^-fin

A

¹

=1

(

' 2

1

-1 ^7\ 3 ^{•. 1}

odugi ndan,si trisgosterilismdenbilinmeyenler

ma

*iVi)/ebilir

A

A

(AX)= ₄A_h

A

^lt>

IX=

A

^lt>

B oylec e

-*(

1

3

.:)(;;K(

-7+ 28 ^\_

|

-21-14 ' '

3

-5

\ x2 ^'

our.

O

halde, ozumiiXj= 3ve x^ =-5 dir.

Busonornekbizesunugostermektedir:n bilinmeyenli n tanedenklemden olusanbirdogrusaldenklemsistemininkatsayilar matrisi

A

nintersi

A

^A varsa, bilinmeyenlermatrisi

Xj+

2x

2+

2x

₃= 3 3xj+

x

2 =

nurnu

dogrusal

denklem

sistemini goziiniiz.

Ki

A

⁼

3 1

H F

V 1 1 1 '

tersi

A

( yontet liyj K\Siplarursa

I-1 2 \

A'¹⁼

3 -U

\-2

ha 1

d b ^'

buk

nur.

O

X

⁼

M

^{-1 2}

^W

^{3 \ /-:+ 4}

W

_{\ \}

y-

^{1 T 3 1 -6 -12}

/( 2 J 1 I

-2 -

1 "3 V- b+ 1U 4

vev

erilen. incozun 1,

x

2=-3,*₃=4

HEQEH SI

1.Asagidaki dogrusaldenklemsistemlerinin m;

a)

x

-2y⁼-3 b) x

1 +2x₃= 4

3x+_{_y}=5 5xj-3x2+

x

₃=2

c)

x

a+

x

2+x₃ +x4= d)3x: -5x₃-

x

4= 3

2.Asagida mat ialdenklemsistemlerini yaziniz.

./ 3 -2

\txA

(-2 \

.J

1

3

12

c) 2 13

V11 1/

:nklemSis'

3.Asagida verilen dogrusaldenklemsistemlerinin Gaussyontemiyle cozumlerini bulunuz.

a)3x

1- 2x2=-2 b) x

Y+x₂=

«i+ 5^2= 56 x2+

sgosterimleriniyazmizve

k3x₃=-8

+ 8x, =1

dogrusaldenklemsister lemsisteminicoziiniiz.

iveriliyor.Once A-¹ matrisinibulunuzsonrada denk-

Cebirintemelteoreminiilkkezkamtlayanma- tematikgidir.Kuramsal veuygulamah mate- matikalanlanndabir50kkonuyaonciiliiket- mi|tir.

"Matematikturnbilimlerin kraligesi,sayilar kuramiisematematiginkraligesidir.

"

CarlFriedrichGAUSS

"Evreninhakimisayidir.

"

"Daha sonrakidevirlerdekisistematik aritme- tigino/usumu vegelismesinin oldugugibijuz- yi/imizdaki (19.)matematiginozgiinbilimsel fikirlersahasindameydanagetirdigihemen hemenher§eyinGauss Hebaglantisi vardir.

"

LeopoldKRONECKER

v y

Kendimizi Sinayahm

1.2xt-3x2+x₅ = 2

dogrusal denklemsistemininkat

lerden hangisidir?

elemamasagidakilerden hangisidir?

a.x b. K C-.V d. 2

3.Asagidakilerdenhangisiiici imertebcdenbirbirim

/ 1\

10

I1 /

V 1>

4.A=

' >

"M

V -3 4 )

asagidakilerden hangisidir?

Asagidakilerden :en matristir?

ill)

6.Asagidakii xislerden hangisibasamak bicimindebir

5 1

51 5

10.

A=

^{2 l -1} ve

U

^{3 4/}

matrislerinin

AS

garpimmatrisiasagidakilerden ha:

a.

fi-i)

b.( o -i

) c.( ^{1 j}

I 32^/ \ -6 32 ' V 32 6 /

riicinaralanndatoplamai§leminin yapil inaU'islc-rasagidakilerden hangisidir?

a.

Ave B

b.

^veC

c.

Ave D

d.

BveC

e. Bve

D

8.7.sorudaverilen matrisleripnajagidakimainscar-

a. &4 b.fiD

c. CA d.

ZM

e.

AD

9.

A

=(147 -3)satirmatrisiile

£=

^° siitun

a.(25)

c. (-2 28 -3)

e.

O

(sifirmatris)

12 Gemsletilmiirr

d( grusaldenklem a.jcj 3x₂

2x

y 3*2+7-

b.Xj 3.x 2

2-3

7 : -1/

a§agidakilerden hangisidir?

:.xl

-3x₂+2x_i-5 =

4x1

- x2+3x_}^-2 =

2xj^-3x2+7.%3+

1=0

I.x1

-3x2 +2xA+5x₅=

4x2 ^-.%

3+3^4+2x5= 2x:-3*2+7x₃ -x₅=

:.X[+ 2x 3

-5 =

-3*i+4x₂-3^3^-2= -x2+7x₃+1=

BirazDahaDG§Gnelim 287

Biraz Daha Du§iinelim

1.Bir ureticiA, B,C,D,E hammaddelerinikullanarakiic cegitmaliiretmektedir.Hermalmbirim uretimi icin ge- reklihammaddemiktarlankgolaraka§agidaki tabloile verilmektedir.

Hammadde;e;itleri

Egerbuuretici70adet birincitur,80adet ikincitiirve 110 adet uciincutiirdenmaluretimi sipari§ialirsa,bu mallannuretimi icin gerekliham maddemiktarlannasil birmatrisletemsil edilebilir?Ayncahammaddelerinfiyat- lanmilyonTL/kgolarak,a§agidaki tabloileverilmi§ise,

sipari§edilenmallar icin gereklitoplamham maddebe- delineolur?