LİSE MATEMATİK KONU ANLATIMLI ÖABT Modüler Set VİDEO DESTEKLİ KPSS. pegemkampüs. Video dersler ücretsiz olarak cebinizde SORU.

(1)

ÖABT

KPSS

2019

Modüler Set

50 soruda

30 SORU

KONU ANLATIMLI

VİDEO DESTEKLİ

pegemkampüs

Video dersler ücretsiz olarak cebinizde

Lütfen detaylı bilgi için ön sözü okuyunuz.

LİSE

MATEMATİK

(2)

ÖABT

KPSS

2019

LİSE MATEMATİK

Analiz

Diferansiyel Denklemler

pegemkampüs

Video dersler ücretsiz olarak cebinizde

Lütfen detaylı bilgi için ön sözü okuyunuz.

50 soruda

30 SORU

KONU ANLATIMLI VİDEO DESTEKLİ

(3)

Komisyon

ÖABT Lise Matematik Analiz Diferansiyel Denklemler Konu Anlatımlı

ISBN 978-605-241-323-4

Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© Pegem Akademi

Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları

Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. AŞ’ye aittir.

Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür ve Turizm Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.

Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları

satın almamasını diliyoruz.

6.Baskı: 2019, Ankara Proje-Yayın: Dilara Araz Dizgi-Grafik Tasarım: Ünal Tuncel

Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı

Baskı: Sonçağ Yayıncılık Matbaacılık Reklam San Tic. Ltd. Şti.

İstanbul Cad. İstanbul Çarşısı 48/48 İskitler - Ankara (0312 341 36 67)

Yayıncı Sertifika No: 36306 Matbaa Sertifika No: 25931

İletişim

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.net

E-ileti: pegem@pegem.net

(4)

ÖN SÖZ

Sevgili Öğretmen Adayları,

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği 1. Kitap" adlı yayınımız Analiz ve Diferansiyel Denklemler bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin sorularınızı pegem@pegem.net adresine e-posta yoluyla ya da 0507 316 60 66 numarasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır.

Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...

Başarılar...

QR kodlar ile ilgili bilgiler bir sonraki sayfada yer almaktadır.

(5)

Üyelik Üyelik ekranını eksiksiz doldurduktan sonra uygulamayı kullanmaya başlayabilirsiniz.

Aktivasyon Üye girişi yaptıktan sonra

açılan pencerede sağ altta bulunan aktivasyon menüsünden kitabınızın aktivasyon işlemini yapabilirsiniz.

Aktif Kitaplar

Aktivasyonunu yapmış olduğunuz kitap veya kitaplarınızı Aktif Kitaplar sekmesinden görüntüleyebilir ve videolarınızı izlemeye başlayabilirsiniz.

QR Kod Okutma QR kodları uygulamamızda bulunan kamera simgesini kullanarak kolaylıkla okutabilirsiniz. Set kapağında bulunan QR kodu okutarak setin içeriğindeki kitaplara, kitap kapağında bulunan QR kodu okutarak kitap içeriğindeki ünitelere, ünite başlarında bulunan QR kodları okutarak ünite ile ilgili videolara ulaşabilirsiniz.

Uygulama İndirme Uygulamanızı

mağazalarından

“Pegem Kampüs”

yazarak indirebilirsiniz.

Aktivasyon Kodu Analiz - Diferansiyel Denklemler kitabınızın ilk sayfasında yer almaktadır.

(6)

v

İÇİNDEKİLER

1. BÖLÜM ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

PARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR ... 1

MUTLAK DEĞER FONKSİYONU ... 2

MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER VE DENKLEMLER ... 4

SİGNUM (İŞARET) FONKSİYONU ... 6

İŞARET FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ ... 7

TAM DEĞER VE TAM DEĞER FONKSİYONU ... 8

TAM DEĞER FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ ... 8

TAM DEĞER FONKSİYONUNUN GRAFİKLERİ ... 11

FONKSİYONLARIN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ ... 12

LİMİT

LİMİT ... 18

SAĞ – SOL LİMİT... 18

GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİ ... 20

LİMİT İLE İLGİLİ TEOREMLER ... 21

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTİ ... 22

MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ ... 23

SİGNUM FONKSİYONUNUN LİMİTİ ... 24

TAM DEĞER FONKSİYONLARININ LİMİTİ ... 25

BELİRSİZ DURUMLAR 0/0 BELİRSİZLİĞİ ... 27

TRİGONOMETRİK 0/0 BELİRSİZLİĞİ ... 28

∞/∞ BELİRSİZLİĞİ ... 29

∞–∞ BELİRSİZLİĞİ ... 31

0 · ∞ BELİRSİZLİĞİ ... 32

ÜSLÜ, ÜSTEL BELİRSİZLİKLERİN ∞/∞ FORMU ... 33

SÜREKLİLİK ... 34

SÜREKLİLİK TEOREMLERİ ... 34

SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ... 35

Kaldırılabilir Süreksizlik ... 35

Sıçrama Süreksizliği ... 35

Sonsuz Süreksizliği ... 35

Balzano Teoremi ... 35

DÜZGÜN SÜREKLİLİK ... 37

TÜREV

TÜREV ... 44

SAĞ–SOL TÜREV... 45

LİMİT – SÜREKLİLİK – TÜREV İLİŞKİSİ ... 45

TÜREV ALMA KURALLARI... 46

YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER ... 60

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ ... 62

Parçalı Fonksiyonların Türevi ... 62

MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ ... 63

SİGNUM FONKSİYONUNUN TÜREVİ ... 64

TAM DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ ... 64

TÜREVİN UYGULAMALARI... 74

L’Hospital Kuralı ... 74

(7)

vi

ÜSTEL BELİRSİZLİKLER... 77

1^∞, 0⁰, ∞⁰ Belirsizlikleri ... 77

TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU ... 79

POLİNOM – TÜREV İLİŞKİSİ... 80

DİFERANSİYEL UYGULAMALARI ... 80

MAKSİMUM – MİNİMUM PROBLEMLERİ ... 81

Maksimum – Minimum Problemlerinde Kullanılabilecek Kısayollar ... 84

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ... 88

Teğet – Eğim – Türev İlişkisi ... 88

ARTAN – AZALAN FONKSİYONLAR ... 93

YEREL EKSTREMUM DEĞERLER ... 96

Mutlak Maksimum ve Mutlak Minimum Noktası ... 97

TÜREV – EKSTREMUM İLİŞKİSİ ... 97

Grafikte Maksimum ve Minimum Nokta Yorumu ... 99

TÜREVLENEBİLİR BİR FONKSİYONUN EĞRİLİK YÖNÜ ... 100

ASİMPTOT KAVRAMI ... 105

Düşey Asimptot ... 105

Yatay Asimptot ... 106

Eğik-Eğri Asimptot ... 107

FONKSİYONUN GRAFİKLERİ ... 109

TÜREVLE İLGİLİ TEOREMLER ... 109

İNTEGRAL

BELİRSİZ İNTEGRAL... 125

TEMEL İNTEGRAL ALMA KURALLARI ... 126

İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ ... 131

A) Değişken Değiştirme Yöntemi ... 131

ÖZEL DÖNÜŞÜMLER ... 134

a²-x² İfadesini İçeren İntegraller ... 134

x²-a² İfadesini İçeren İntegraller ... 135

x² + a² ve x a²+ ² İfadesini İçeren İntegraller ... 135

RASYONEL (KESİRLİ) İFADELERİN İNTEGRALİ ... 136

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ ... 140

İndirgeme Bağıntıları... 142

B) Kısmi İntegrasyon Yöntemi ... 142

BELİRLİ İNTEGRAL ... 148

Riemann İntegrali ... 148

İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMLERİ ... 150

Belirli İntegrallerin Özellikleri ... 150

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ ... 155

İNTEGRALDE ALAN ... 157

İNTEGRALDE HACİM ... 158

Kabuk Yöntemi... 163

Eğri Uzunluğu Hesabı ... 166

Dönel Yüzeyin Alanı... 168

Pappus – Guldin Teoremi... 169

ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR

TANIM VE GÖRÜNTÜ KÜMESİ ... 172

Seviye Eğrileri ... 175

Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Limit ve Süreklilik ... 175

Süreklilik... 178

Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Türev (Kısmi Türev) ... 178

(8)

vii

Çok Değişkenli Fonksiyonların 2. Türevi... 180

Zincir Kuralı ... 181

Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Teğet Düzlem Denklemi... 181

ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA MAKSİMUM–MİNİMUM ... 182

Yerel Maksimum ... 182

Yerel Minimum ... 182

Kritik Nokta – Eyer Nokta ... 183

Kritik Nokta İçin 2. Türev Testi ... 183

Maksimum–Minimum Problemleri ... 185

Kapalı Fonksiyonun Türevi ... 185

ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA İNTEGRAL ... 186

Çift Katlı İntegral ... 186

Sınır Değiştirme ... 188

Bölge Değiştirme... 189

Dönüşüm Jakobiyeni (Fonksiyonel Determinantı) ... 189

Kutupsal Koordinatlara Geçiş ... 189

İki Katlı İntegralin Uygulamaları ... 191

Alan Hesabı ... 191

Hacim Hesabı ... 193

ORTALAMA DEĞER TEOREMİ ... 195

Kütle Hesabı ... 196

AĞIRLIK MERKEZİ ... 196

ÜÇ KATLI İNTEGRALLER ... 196

KUTUPSAL KOORDİNATLAR

KUTUPSAL KOORDİNATLAR ... 202

Kutupsal Koordinatlardaki Denklemi Verilen Eğrinin Çizimi ... 204

KARDİYOİD EĞRİSİ... 204

Gül Eğrilerinin Çizimi... 210

Kutupsal Koordinatlarda Alan ... 215

Kutupsal Koordinatlarda Uzunluk Hesabı ... 216

DİZİLER – SERİLER

DİZİ ... 218

Sonlu Dizi ... 218

Sabit Dizi ... 218

EŞİT DİZİLER ... 219

ALT DİZİ ... 219

DİZİLERDE DÖRT İŞLEM ... 220

DİZİLERDE SINIRLILIK ... 221

DİZİLERDE MONOTONLUK ... 221

ARİTMETİK VE GEOMETRİK DİZİLER ... 222

Aritmetik Dizi ... 222

Geometrik Dizi ... 223

DİZİLERDE LİMİT ... 224

Dizilerde Limit ile İlgili Özellikler ... 226

Dizilerde En Büyük Alt Sınır (Ebas) – En Küçük Üst Sınır (Eküs) Kavramları ... 227

SERİLER ... 228

Geometrik Seri ... 230

Pozitif Terimli Seriler İçin Yakınsaklık Testleri ... 233

Genel Terim Testi ... 233

İntegral Testi... 233

p – Testi... 234

Karşılaştırma Testi ... 234

Karşılaştırma Testinin Limit Formu... 234

Cauchy – Kök Testi ... 235

(9)

viii

D’alambert Oran Testi ... 236

Limit Testi ... 237

Alterne Seriler ... 237

Mutlak Yakınsaklık – Yakınsaklık İlişkisi ... 237

KUVVET SERİLERİ ... 238

Yakınsaklık Yarıçapı ... 238

Yakınsaklık Aralığında Türevlenebilme ve İntegrasyon ... 239

Taylor ve Maclaurin Serileri ... 240

Önemli Maclaurin Seri Açılımları... 241

ÇÖZÜMLÜ TESTLER ... 256

2. BÖLÜM DİFERANSİYEL DENKLEMLER

DİFERANSİYEL DENKLEMLER ... 361

Diferansiyel Denklemlerin Çözümü ... 362

Genel ve Özel Çözümler ... 363

Varlık ve Teklik Teoremi ... 364

Bir Eğri Ailesinin Diferansiyel Denkleminin Oluşturulması ... 365

DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLER

DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLER ... 367

DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR HÂLE GETİRİLEBİLEN DENKLEMLER ... 369

HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ... 370

Homojen Diferansiyel Denklemlerin Çözümü ... 370

HOMOJEN HÂLE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLİR DİFERANSİYEL DENKLEMLER ... 371

TAM DİFERANSİYEL DENKLEMLER ... 373

İNTEGRASYON ÇARPANI YARDIMI İLE DİFERANSİYEL DENKLEM ÇÖZÜMÜ ... 375

İntegrasyon Çarpanını Bulma ... 375

LİNEER DENKLEMLER ... 377

Lineer Diferansiyel Denklemin Çözüm Yöntemi... 377

BERNOULLİ DENKLEMLERİ ... 379

RİCCATİ DENKLEMİ ... 380

BİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER

BİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ... 385

Türeve, x’e veya y’ye Göre Çözülebilen Denklemler ... 385

Türeve Göre Çözülebilen Denklemler ... 385

x’e Göre Çözülebilen Denklemler ... 386

y’ye Göre Çözülebilen Denklemler... 386

CLAİRAUT DENKLEMİ ... 387

LAGRANGE DENKLEMİ ... 388

İNDİRGENEBİLİR 2. MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ... 389

YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER

YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER ... 391

3. Mertebeden Homojen Olmayan Lineer Denklem ... 391

Mertebe İndirgeme ... 392

Sabit Katsayılı Denklemler ... 393

Farklı Reel Kökler ... 393

Katlı Reel Kökler ... 394

Kompleks Kök ... 394

Homojen Olmayan (2. Yanlı) Lineer Diferansiyel Denklemler ... 397

Belirsiz Katsayılar Yöntemi ... 397

PARAMETRELERİN DEĞİŞİM YÖNTEMİ ... 401

CAUCHY – EULER DENKLEMİ ... 403

ÇÖZÜMLÜ TESTLER ... 409

(10)

1

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

1.BÖLÜM

PARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR

Bir fonksiyonun tanım kümesi alt kümelere ayrılarak o kümelerde farklı kuralları olan fonksiyonlara parçalı ta- nımlı fonksiyon denir.

( ) ( ), ( ), ( ), f x

f x x a

f x a x b

f x b x

<

1 2 3

1

#

= Z [

\ ]]]]]]

]]]]]]

şeklinde yazılabilen f(x) parçalı tanımlı fonksiyondur.

b > a olmak üzere; x = a ve x = b değerlerine f’nin kritik noktaları adı verilir. Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken alt aralıklara ait kuralların grafikleri çizilir ve sadece o aralıktaki kısımları alınır.

( ) ,

f x x , x

x x

2 3 1

1

<

2 $

- = - -

* - ise f(x)’in grafiğini çizelim.

Çözüm

f(x - 2) fonksiyonunda x → x + 2 için;

( ) ,

( ) , ;

f x x x

x 1 x 1 olup

2 1

<

2 $

= - -

+ -

*

y

x olur.

4

-1 1 -2 -1

-2

y x 1= - y=_^x 2+ _h²

1

Uyarı !

, ,

y f x= ^ h+k k20 y f x= ^ h in y ekseninde k birim pozitif yönde ötelenmişidir.

, ,

y f x= ^ h-k k20 y f x= ^ h in y ekseninde k birim negatif yönde ötelenmişidir.

,

y f x k= ^ + h k20ise y f x= ^ h in x ekseninde k birim sola ötelen- mişidir.

,

y f x k= ^ + h k10ise y f x= ^ h in x ekseninde k birim sağa ötelenmi- şidir.

,

y= -f x^ h y f x= ^ h x eksenine göre simetriğidir.

,

y f x= -^ h y f x= ^ h in y eksenine göre simetriğidir.

x y

y=f(x) 3

2 -1

y f x= ^ h in grafiği verilmiştir. Buna göre y= -f x 1^ + h fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm

;

y f x= ^ +1h f x^ h in x ekseninde 1 birim sola ötelenmi- şidir.

x

x y

y 2

2 -2 2

-2

-2 -1

-1

y=-f(x+1) y=f(x+1)

elde edilir.

Buradan

(11)

2

1.BÖLÜM

Tek - Çift Fonksiyonlar

f A B| " için x A iken x A! - ! olsun.

• f x^- h=f x^ h eşitliğini sağlayan fonksiyonlara çift fonksiyon adı verilir.

• f x^- h= -f x^ h eşitliğini sağlayan fonksiyonlara tek fonksiyon adı verilir.

Uyarı !

Tek fonksiyonlar orijin noktasına göre simetriktir.

Çift fonksiyonlar y eksenine göre simetriktir.

Hem tek, hem de çift olan sadece

NOT

sıfır fonksiyondur.

İki tek fonksiyonun çarpımı veya bö- lümü çift fonksiyondur.

Bir fonksiyon çift veya tek olmak zo- runda değildir.

f x tan

x

x x

1 ^{2 3}

2$

= -

^ h ^

h fonksiyonu için;

tan tan

f x x

x x

x

x x f x

1 ^{2 3} 1

2

2 3

$ $ 2$

- =

- -

= -

- = -

^ ^

_ ^

^

^ ^

h h

h i h

h h

olduğundan f x^ h tektir.

g x cos

x x x

1 ²

3 $ 4

=

^ h + fonksiyonu için;

cos cos

g x x

x x

x

x x g x

1 ² 1

3 4

2

3 4

$ $

- =

+ -

- -

= +

^ ^ =

^

^ ^

h h

h

h h

olduğundan g x^ h çifttir.

MUTLAK DEĞER FONKSİYONU

;

; f x

f x f x

f x

f x f x

0

0 0

0 2

1

= =

-

^

^ h

h h

h h h Z

[

\ ]]]]]

]]]]]

şekilde tanımlanan fonksiyonlara mutlak değer fonksiyonu adı verilir.

Mutlak değer fonksiyonlarının gra-

NOT

fikleri çizilirken, önce mutlak değer yokmuş gibi fonksiyonun grafiği çizi- lir ve daha sonra x ekseninin altın- da kalan grafiklerin x eksenine göre simetriği alınarak çizim tamamlanır.

f x^ h= 2x-3 fonksiyonunun grafiğini çizelim:

y=2x-3 için x=0&y= -3ve y=0&x= 23 olur.

x y

y

x y=2x-3

-3

3 2 3

2 3

f x_{^ h}= 2x-3 Bu grafikten

grafiği elde edilir.

(12)

3

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR 1.BÖLÜM

-4 1

y=f(x)

y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y= - f x^ h grafiğini çizelim.

Çözüm

,

y f x= ^ h&y= f x^ h f x^ h in mutlak değer fonksiyonu olup y= -f x^ h fonksiyonunun grafiği ise y= f x^ h in x eksenine göre simetriğidir.

-4

1

1 Buradan

y= f x^ h

y= -f x^ h

●

y = x bağıntısının grafiğini çizelim.

Çözüm

. y = x &y x ve y= = -x tir

y=-x y=x y

x

x y$ =24 bağıntısının grafiğinde koordinatları tam sayı olan noktaların sayısını bulunuz.

x y$ =24

şeklinde bir grafiği vardır.

Şekilden de görüleceği gibi I. bölgede kaç farklı tamsayılı koordinat varsa bağıntıyı sağlayan noktalar bunun 4 katı kadardır.

24 ün pozitif bölen sayısı; 24 2 3 4 2 8= ³$ & $ = oldu- ğundan koordinatları tam sayı olan 8 4 32$ = farklı nokta vardır.

,

x + y =c c IR! ⁺ bağıntısının grafiğini çizelim.

Çözüm

; izersek ç ,

, , ,

x y x y c

x y y x c

doğrular n n grafiklerini

0 0

ı ı

&

H H

H G

G G

G H

+ = - = + = - - =

_

`

a bbbbbbb bbbbbbb y

x c

c -c

-c

(13)

4

1.BÖLÜM

( )

f x = x x x$ $ in grafiğini çizelim.

Çözüm

x20& x x x$ $ = x x$ ² =x³

xG0& x x x$ $ = x$ -x² = x x$ ² = -x³ olacağından

y

x

y=−x³ y=x³

MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER VE DENKLEMLER

• |f(x)| = a, a > 0 için f(x) = a ve f(x) = –a dır.

• |f(x)| = g(x) ⇒ f(x) = g(x) ve f(x) = –g(x) tir. Burada eşitliği sağlayan x değerleri çözüm kümesinde, sağ- lamayan değerler çözüm kümesinde olmamalıdır.

• |f(x)| = |g(x)| ⇒ f(x) = g(x) veya f(x) = –g(x) olup x değerleri kontrol edilmelidir.

• |f(x)| = |g(x)| ⇒ f²(x) = g²(x) olup x değerleri kontrol edilmelidir.

• a > 0 ve b > 0 için aG f x^ h Gb& a f xG ^ hGb ve b f xG G a

- ^ h - eşitsizlikleri çözümlenmelidir.

• f x^ h Ga ve a20 için -a f xG ^ hGa d rı .

• f x^ h Ha f x& ^ hHa ve f x^ hG -a d r aı.^ 20h

x x x x x x

3 -1 $ -2 $ -3 =2$ -1 $ +2 $ -3 eşitliğini sağlayan kaç farklı x değeri vardır?

Çözüm

x x x x x x

x x x x

3 1 2 3 2 1 2 3 0

1 3 3 2 2 2 0

&

$ $ $ $

$

- - - + - =

- - ^ - - + h=

x x x

x x x x

x x x

1 0 1 0 1

3 0 3 0 3

3 2 2 2 3 6 2 4

3 6 2 4 10

3 6 2 4

5 2

1 2

3 4

& &

&

& &

- = - = =

- = + - = +

- = + =

- = - - =

olup eşitliği sağlayan 4 farklı değer vardır.

!

x 3- =2016 eşitsizliğini sağlayan x değerleri top- lamı kaçtır?

Çözüm

ı

! !

.

x ve x

x x

x x d r

3 2016 3 2016

6

1 2

&

- = - = -

= + = -

+ =

Uyarı !

,

ax b+ =c c20 eşitliğini sağ- layan x değerleri toplamı;

ı. x_T=2$d-ab d rn

f x^ h= x 3- olmak üzere

x f x$ ^ h= +x f x^ h eşitsizliğini sağlayan x IR! değer- leri toplamını bulalım.

Çözüm

x x

x x x

x x

3 3

3 1

&

$

$ - -

- - =

- =

^ h

.

x x

x dir

x ise

x x

x x x

x olur

3 1

3

3 1 5 3 0

2

5 13

2

1

&

H

- =

-

- =

- - + =

= +

x ise

x xx

3

3 1

1

- + =

- x²-3x+3 0=

0

3 1 olduğundan reel kök yoktur.

Kökler toplamı 5+213 dir.

(14)

5

f x^ h= x 2- -3 fonksiyonunun grafiği ile

g x^ h= x 2+ fonksiyonunun grafiğinin kesim noktala- rının apsisleri toplamı kaçtır?

Çözüm

x 2 3 x 2

& - - = +

Mutlak değer iki durumda incelenir.

I. durum

x x

x

x x

x

x x

x

x x

2 3 2

2 2 3

2 2

2

2 2 3

4 3

2 2

2 2 3

2 3

2

5 2

&

Q Q

1 G G 2

- - = +

- - + =

- -

- + + + =

=

-

- + - - =

- =

= -

- = +

- =

II. durum

. .

x x

x

x x

al nmaz

x

x x

x

x x

al nmaz

2 3 2

2 2 3

2 2

2

2 2 3

2 3

2 3 2

3 2

2 2

2 2 3

4 3

2

2 2 3

2 3

2 3 2

3 2

ı ı

>

Q

1 1 1

1 H - - = - +

- + + =

- -

- + - - =

- =

= -

- -

-

- + + + =

=

- + + =

=

Tablolar incelenirse x 2

= -3 apsisli noktada kesişmişler-

dir. Bu durumda x değerlerinin toplamı 2 -3 dir.

x-3 G x+2 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulu- nuz.

Çözüm

.

x x

x x x x

x x I Yol

3 2

6 9 4 4

5 10

2 1

2 2

&

G G G

G

- +

- + + +

⇒ Ç.K =;21,3h olarak bulunur.

II. Yol

f x^ h G g x^ h eşitsizliklerinde f x ve g x^ h ^ h fonksi- yonlarının kritik noktalarının orta noktası referans nokta olarak seçilir ve reel eksende mutlak değerin tanımı kul- lanılarak çözüm kümesi bulunur. Şöyle ki;

x 3- = “x’in 3 noktasına olan uzaklığı” ve x 2+ = “x’in 2- noktasına olan uzaklığı” olmak üzere x-3 G x+2 yani x’in 3 noktasına olan uzak- lığı, x’in 2- noktasına olan uzaklığından küçük eşit olmalıdır.

Referans noktası dir.

2 2 3

2 1

- + =

IV III

II I

x 3

-2 ¹2

x, I, II, III veya IV numaralı aralıklardan bulunmalıdır.

x 2

H1 olduğu, III ve IV numaralı aralıklarda yukarıdaki

tanımlanmaya uygun düşmektedir.

Ç.K 2,

1 3

=< n olmalıdır.

x-6 G x+2 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulu- nuz.

Çözüm

Referans nokta x=6 ve x= -2nin orta noktası olan x 2= dir.

IV III

II I

2 6

-2

x

& in 6 ya olan uzaklığı x in 2- ye olan uzaklığından kü- çük eşit olmalıdır. Bunu yine III ve IV nolu aralıkta sağlar.

⇒ Ç.K = [2, ∞) dur.

(15)

6

1.BÖLÜM

x-6 G x+2 G x-11 eşitsizliğinin çözüm küme- sini bulunuz.

Çözüm

x-6 G x+2 ve x+2 G x-11

2 6

-2

x x

11

-2 2

9

⇒ Ç.K₁ = [2, ∞) ⇒ Ç.K = c-3, 29E

⇒ Ç.K₁ ∩ Ç.K₂ = Ç.K = ,;2 29E olarak bulunur.

SİGNUM (İŞARET) FONKSİYONU

Pozitif Reel Sayıları 1’e, Negatif Reel Sayıları 1- ’e ve sıfırı 0’a eşleyen parçalı fonksiyondur.

, , , sgnf x

f x f x f x

1 0

0 0

1 0

2

1

= =

-

^

^ h

h h h Z

[

\ ]]]]]

]]]]]

olarak tanımlanır.

f IR IR| "

tan cos sin

f x^ h=sgn^ ^r-xhh+sgn^ ^-xh+ ^-xhh ise f r^ h değeri kaçtır?

Çözüm

( )

.

cos sin

tan f

sgn sgn

olarak bulunur

0 1

0

0 1 1

cos 1 sin 0

r -r + -r

= + -

= +

= - = -

r= - - r=

^ ^

^

^ ^

h h

h

h h

144444 444442 3 1 2 34444 4444

, ,

x y z IR! olmak üzere

sgn x^ +2h1sgn y^ -3h1sgn z^ +1h olduğuna göre x, y, z arasındaki sıralamayı bulunuz.

Çözüm

İşaret fonksiyonunun değeri -1 0 1, , den başka değer olamaz. Bu yüzden

,

sgn x^ +2h= -1 sgn y^ -3h=0 ve sgn z^ +1h=1 olmak zorundadır.

, ,

x y z

2 0 3 0 1 0

2 3 1

&

1 2

+ - = +

- = -

x y z veya x z y

& 1 1 1 1 sıramalarından biri elde edilir.

x tam sayı olmak üzere,

sgn sgn sgn x_ _ ^ ²-4hii= -1 eşitliğini sağlayan x de- ğerlerinin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm

.

. sgn sgn sgn x

sgn sgn x d r

sgn sgn x

sgn x olup sgn x dir

4 1

4 0

4 1

4 0 4 1

ı

2 2 2

2 2

&

1

- = -

-

- -

- - = -

= _

^ _ _

_

^

^ h

h h i i

hii

h

x² 4 0

& - 1 olduğundan x_^ -2_h_^x+2_h10 dır.

-2 2

+ − +

O hâlde çözüm kümesi "-1 0 1, , , dir.

Uyarı !

z kompleks sayı olmak üzere;

, sgn z ,

z

z z

0 0

0

= !

=

^ h Z [

\ ]]]] ]]]]]

şeklinde tanımlanmıştır.

z=3+i olmak üzere sgn z^ h değerlerini bulalım.

Çözüm

z=3+i^0 olduğundan sgn z

z z

i

i sgn i

3

3 3

= =

+

+ = +

^ h ^ h olur.

Yani; sgn3 i i

10 3

+ = + 10

^ h olarak bulunur.

(16)

7 İŞARET FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

, , , sgn f x

f x f x f x

1 0

0 0

1 0

2

1

= =

-

^ ^

^

^ hh

h h h Z

[

\ ]]]]]

]]]]]

olduğundan;

1

-1

sgn(x)

x y

sgn x^ ²- -x 2h fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm

1 1

2

–1 –1

f + – +

sgnf

0 0

dır.

1

-1

2

-1 x

y

elde edilir.

sgn x^ -2h= x²-4 eşitliğini sağlayan x değerleri- nin kümesini bulunuz.

Çözüm

sgn x 2^ - h= -1 olamaz.

Çünkü x²-4 10 olmaz.

Dolayısıyla x 2- 10 yani x12 olamaz.

x 2= için sgn x 2^ - h=0 ve x²-4 =0 olur.

Eşitlik sağlanır.

sgn x 2^ - h=1 için x22 olmalıdır.

x²-4 =1 için x= 3, x= - 3, x= 5 ve x= - 5 dir. x > 2 olacağından x= 5 olur.

Dolayısıyla çözüm kümesi ,$2 5. bulunur.

-4 -1 2 x

y

y=f(x)

y f x= ^ h fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre y sgn f x= ^ ^ hh fonksiyonunun grafiğini çiziniz.

Çözüm

x1-4 ve -11 1x 2 için f x^ h10 olduğundan sgn f x^ ^ hh= -1

x ve x

41 1 1 22

- - için f x^ h20 olduğundan

sgn f x^ ^ hh=1 ve x= -4 ve x= -1 için f x^ h=0 olduğundan sgn f x^ ^ hh=0 olup

-4 -1 2 x

y

sgn f x^ ^ hh grafiği şekildeki gibi olur.

(17)

8

1.BÖLÜM

y

x 4

4 2

-1 2 -1

-3 y f x= ^ h

f IR IR| " olmak üzere y f x= ^ h fonksiyonunun grafiği verilmiştir.

Buna göre y= x sgn f x$ ^ ^ hh in grafiğini çizelim.

• x1 -3 için

.

y x sgn f x d r

x sgn f x x sgn f x x

0 ı

1

$

$ $

= 2

= = -

-

^ ^

^ ^ hh

hh

144444 444442 hh3

• x! -^ 3 0, h- -" 1, için y x sgn f x

0

&

$

$ $

= 1

= - = -

^

^ ^ hh

hh

• x= -1 için x sgn f x

1

&

$

$ $

-

= = -

=

+

^ ^

^ ^ ^ ^

hh

hh 144444 444442 hh3

• x!^0 4, h – {–2} için

• x sgn f x

0

1

&

$

$ $

2

= =

^ ^

^ ^ ^ ^

hh

hh 144444 444442 hh3

• x = 2 için |x · sgn (f(x))| = 0

• x!^4 3, h için, x sgn f x

0 0

1

& &

$

$ $

1

1 = -

-

^ ^

^ ^ ^ ^

hh

hh 144444 444442 hh3 olur.

y

4 x -1 0 2

1 3

-3

y = x

y = –x

TAM DEĞER VE TAM DEĞER FONKSİYONU

Her reel sayı bir tamsayı ile bir kesirli (ondalıklı) sayının toplamı şeklinde yazılabilir. Her x IR! için x p k= + olacak şekilde p Z ve k! !60 1, h sayıları vardır. Bu yazılımdaki p sayısına x in tam değeri adı verilir. x" ,=p ile gösterilir.

, , , ,...

e =2 r =3 2e =5 r- r =0

" , " , " , " " ,, gibi.

TANIM

Reel sayıları tam sayılara dönüştü- ren f IR Z

x f x x

"

|

^ h=" ,

fonksiyonuna tam değer fonksiyonu denir.

TAM DEĞER FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ

x IR ve k Z! ! olmak üzere,

• " ,x =k k x& G 1k 1+

• "x k+ ,="x,+k

• y21 olmak üzere

y x x x ...

y x

y

1 2 y 1

$ = + + + + + + + -

" , " , ( 2 ( 2 ) 3

şeklinde yazılır. Yani; y x y x" $ ,= $" , tir.

• x

x k x k

k x k 1

&

2 H

H H

" +

"

, ,

• " ,x 1k x& 1k

• " ,x Gk x& 1k 1+ dir.

x x ve x x x x x

4 4 4 41

4 2

4

$ 3

= = + + + + + +

$ . $ . $ . $ . ) 3 ) 3 ) 3

tür.

x+ x 5- =13

" " ,, denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

x-5 !Z

" , olduğundan; x" +"x-5,,="x,+"x-5, tir.

x 5-

" , için -5 !Z olduğundan x -5= x-5

" , " , yazılabilir. Bunlara göre,

olup Ç.K = [9, 10) dur.

x x x x

x x

x

5 5 13

2 18

9

9 10

&

$

G 1

+ - = + - =

=

" " "

"

,, ,

, ,

,

(18)

ÖABT

KPSS

2019

LİSE MATEMATİK

Soyut Cebir Lineer Cebir

pegemkampüs

Video dersler ücretsiz olarak cebinizde

Lütfen detaylı bilgi için ön sözü okuyunuz.

50 soruda

30 SORU

KONU ANLATIMLI VİDEO DESTEKLİ

(19)

Komisyon

ÖABT Lise Matematik Soyut Cebir - Lineer Cebir Konu Anlatımlı

ISBN 978-605-241-323-4

Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları

Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. AŞ’ye aittir.

Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür ve Turizm Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.

Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları

satın almamasını diliyoruz.

6.Baskı: 2019, Ankara Proje-Yayın: Dilara Araz Dizgi-Grafik Tasarım: Ünal Tuncel

Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı

Baskı: Sonçağ Yayıncılık Matbaacılık Reklam San Tic. Ltd. Şti.

İstanbul Cad. İstanbul Çarşısı 48/48 İskitler - Ankara (0312 341 36 67)

Yayıncı Sertifika No: 36306 Matbaa Sertifika No: 25931

İletişim

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.net

E-ileti: pegem@pegem.net

(20)

ÖN SÖZ

Sevgili Öğretmen Adayları,

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Soyut Cebir - Lineer Cebir 2. Kitap" adlı yayınımız Soyut Cebir - Lineer Cebir bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlan- mıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanya- zın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek haya- tınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve de- taylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çö- zümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekil- miştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin soru- larınızı pegem@pegem.net adresine e-posta yoluyla ya da 0507 316 60 66 numa- rasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır.

Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...

Başarılar...

QR kodlar ile ilgili bilgiler bir sonraki sayfada yer almaktadır.

(21)

iv

Üyelik Üyelik ekranını eksiksiz doldurduktan sonra uygulamayı kullanmaya başlayabilirsiniz.

Aktivasyon Üye girişi yaptıktan sonra

açılan pencerede sağ altta bulunan aktivasyon menüsünden kitabınızın aktivasyon işlemini yapabilirsiniz.

Aktif Kitaplar

Aktivasyonunu yapmış olduğunuz kitap veya kitaplarınızı Aktif Kitaplar sekmesinden görüntüleyebilir ve videolarınızı izlemeye başlayabilirsiniz.

QR Kod Okutma QR kodları uygulamamızda bulunan kamera simgesini kullanarak kolaylıkla okutabilirsiniz. Set kapağında bulunan QR kodu okutarak setin içeriğindeki kitaplara, kitap kapağında bulunan QR kodu okutarak kitap içeriğindeki ünitelere, ünite başlarında bulunan QR kodları okutarak ünite ile ilgili videolara ulaşabilirsiniz.

Uygulama İndirme Uygulamanızı

mağazalarından

“Pegem Kampüs”

yazarak indirebilirsiniz.

Aktivasyon Kodu Analiz - Diferansiyel Denklemler kitabınızın ilk sayfasında yer almaktadır.

(22)

v SOYUT CEBİR

Sayılar ve Özellikleri ��1 Rakam ��1 Sayma Sayıları ��1 Doğal Sayılar ��1 Tam Sayılar��1 Aralarında Asallık��1 Rasyonel Sayılar ��1 İrrasyonel Sayılar��1 Reel Sayılar ��1 Tek ve Çift Sayılar��1 Ardışık Sayılar ��2 Negatif ve Pozitif Sayılar ile İlgili Özellikler ��2 Tam Sayılarda Bölünebilme ��2 En Büyük Ortak Bölen ��4 En Küçük Ortak Kat ��4 Euler {-Fonksiyonu ��7 {-Fonksiyonunun Bazı Özellikleri ��7 Kongrüanslar ��9 Tam Sayılar ve Modüler Aritmetik ��9 Gruplar ��19 Tek İşlemli Cebirsel Yapı Türleri ��19 Mertebe ��21 Alt Gruplar ��22 Normal Alt Gruplar ��24

Simetrik (Permütasyon) ve Alterne Gruplar ��25 Gruplarda Homomorfizm ve İzomorfizm ��26 Homomorfizma ��26 İzomorfizma ��26 Bölüm Grupları ��29 Devirli Gruplar��30 Devirli Grupların Alt Grupları ��31 Üreteç Sayısı ��32 Çarpım Grupları ��32 İzomorf olmayan Abelyan Gruplar ��33 Halka, Cisim ve Tamlık Bölgesi ��33 Alt Halka ��35 Sıfır Bölenler ve Tamlık Bölgesi ��35 Bölüm Halkası ��36 İdeal ��36 Nilpotent Eleman ��36 Polinom Halkası��36 Cisim ��37 Cebirsel Sayı ��37 Transandant Sayı ��37 Sayılabilir Küme ��37 Çözümlü Test 1 ��43 Çözümlü Test 2 ��47 Çözümlü Test 3 ��51 Çözümlü Test 4 ��55

İÇİNDEKİLER

(23)

vi LİNEER CEBİR

Hatırlatma: İç İşlem��59 Dış İşlem ��59 Grup��59 Alt Grup ��59 Halka ��59 Vektör Uzayları ��60 Alt Vektör Uzayı ��62 Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık �� 66 Taban (Baz) �� 67 İç Çarpım Uzayları ��68 İç Çarpım ��68 Norm ��70 Ortonormal Baz ��75 Direkt Toplam Uzayı ��80 İç Çarpım Uzaylarının Alt Uzayları��81 Lineer Dönüşümler ��83 Matrisler ve Matris Uzayları ��90 Matris Toplamı ��91 Skaler ile Matris Çarpımı ��92 Matris Çarpımı ��92 Bir Matrisin Transpozu ��93 Kare Matrisler ��94 Bir Matrisin Tersi ��94 Elemanter Operasyonlar (Basit İşlemler)�� 104 Determinantlar ��105 Sarrus Kuralı ��106 Minör ve Kofaktör �� 108

Alterne ve Çok Lineer Fonksiyonlar��115 n-Lineer Fonksiyonlar ��115 Bir Lineer Dönüşümün Determinantı ve İzi ��116 Determinantlarda Alan ve Hacim Hesabı ��116 Matrislerin Polinomu ��117

Karakteristik Değerler ve Karakteristik

Vektörler ��118 Karakteristik Uzay ��119

Karakteristik Polinom ve Karakteristik

Denklem ��120 Çözümlü Test 1 ��127 Çözümlü Test 2 ��132 Çözümlü Test 3 ��136 Çözümlü Test 4 ��140 Çözümlü Test 5 ��144

(24)

1

SOYUT CEBİR

SOYUT CEBİR 1. Sayılar ve Özellikleri

Rakam

Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Kullandığımız onluk sistemdeki rakamların kümesi {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dur.

Rakamlarla oluşturulan ifadelere sayı denir.

Sayma Sayıları

{1, 2, 3, 4, ...} kümesi sayma sayılar kümesidir.

Doğal Sayılar

N = {0, 1, 2, 3, ...} kümesidir. N⁺ = {1, 2, 3, ...} pozitif doğal sayılar kümesini ifade eder.

Tam Sayılar

Z = {..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} kümesidir.

Tam sayılar kümesi üç ana bölümden oluşur. Negatif tam sayılar (Z^–), pozitif tam sayılar (Z⁺) ve {0} kümesidir.

Ayrıca Z = Z^– ∪ {0} ∪ Z⁺ dır.

Aralarında Asallık

p ve q sıfırdan farklı iki pozitif tam sayı olsun. p ve q sayı- larını ortak olarak bölen en büyük pozitif tam sayı 1 ise p ve q aralarında asaldır denir.

Rasyonel Sayılar

Q = {

qp : p ve q aralarında asal, q ≠ 0} kümesidir.

İrrasyonel Sayılar

I = Q´ sembolleriyle gösterilir yukarıda tanımlanan q p tipinde yazılamayan sayılardan oluşur. Yani rasyonel olmayan reel sayılara irrasyonel sayı denir.

Reel Sayılar

Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşim kümesidir. R ile gösterilir. R = Q ∪ Q´ dür.

x, y, z ∈ Z olmak üzere, x·y = 12, y . z = 4 ve x·z = 3

eşitliklerini sağlayan x, y, z sayılarının en büyük top- lamı en küçük toplamından kaç fazladır?

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

y zx y

zx x z

124 & 3& 3

$

$ = = = $ bulunur.

Bu ifade x·z = 3 eşitliğinde yerine yazılırsa 3z² = 3 ⇒ z = "1 bulunur.

z = 1 için x = 3 ve y = 4 olup x + y + z = 8

z = –1 için x = –3 ve y = –4 olup x + y + z = –8 bulunur.

8 – (–8) = 16 dır. Doğru seçenek C olarak elde edilir.

a, b, c ∈ N olmak üzere

3a + 6b – c = 24 eşitliğini sağlayan a, b ve c değerle- ri için a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

Katsayısı büyük olana büyük değer verilir.

Sayılar aynı olabileceğinden a = 0 = c seçilirse b = 4 bulunur.

a + b + c = 4 olur.

a ve b doğal sayılardır.

56·a = b³

eşitliğini sağlayan en küçük b değeri kaçtır?

Önce sayı asal çarpanlarına ayrılır.

56 = 2³·7

56·a = 2³·7·a = b³ tür.

Buradan a = 7² seçilirse b = 2·7 = 14 bulunur.

Tek ve Çift Sayılar

2 ile kalansız bölünebilen tam sayılara çift tam sayı, 2 ile tam bölünemeyen tam sayılara tek tam sayı denir. Çift sayılar 2n, tek tam sayılar 2n – 1 ile gösterilir (n ∈ Z).

Tek ve Çift Tam Sayılar İle İlgili Özellikler 1) T " T = Ç 5) Ç·Ç = Ç

2) Ç " Ç = Ç 6) T·T = T

3) T " Ç = T 7) n ∈ N olmak üzere Tⁿ = T 4) T·Ç = Ç 8) n ∈ N⁺ olmak üzere Çⁿ = Ç dir.

Tek ve çift sayılarda bölme işlemine ait

NOT

kural tanımlanamaz. Örneğin 60, 40 ve 2 sayıları çift sayıdır.

Ç, T,

2 40

40 40

60

= = 40 sayısı ne tek ne de

çifttir.

(25)

2

SOYUT CEBİR

Ardışık Sayılar

n ∈ Z olmak üzere n, n + 1, n + 2, ... sayılarına ardışık tam sayılar denir.

Kural:

n ∈ Z⁺için ... n n n

1 2 2

1

$

+ + + = ` + j

dir.

n ∈ Z olmak üzere 2n – 1, 2n + 1, 2n + 3, ... sayılarına ardışık tek sayılar denir.

Kural:

n ∈ Z⁺için

1 + 3 + 5 + ... + 2n – 1 = n² dir.

n ∈ Z olmak üzere 2n, 2n + 2, 2n + 4, ... sayılarına ardışık çift sayılar denir.

Kural:

n ∈ Z⁺için

2 + 4 + ... + 2n = n(n + 1) dir.

Kural:

Ardışık terimleri arasındaki artış miktarı eşit olan dizide

Terim Sayısı = Son Terim – İlk Terim + 1 Artış miktarı

ve

Terim Toplamı = Terim Sayısı·(Son terim + İlk terim) dir. 2

Negatif ve Pozitif Sayılar İle İlgili Özellikler

1) (–)·(–) = (+) 5) (–) / (–) = (+) 2) (–)·(+) = (–) 6) (–) / (+) = (–) 3) (+)·(+) = (+) 7) (+) / (+) = (+) 4) (+)·(–) = (–) 8) (+) / (–) = (–) 9) n ∈ N olmak üzere (–)²ⁿ = (+) dır.

10) n ∈ N olmak üzere (–)^2n–1 = (–) dir.

11) n ∈ N olmak üzere (+)ⁿ = (+) dır.

Tam Sayılarda Bölünebilme

m, n, r ∈ Z olmak üzere m·n = r olsun. Bu durumda m ve n ye r nin bölenleri (çarpanları) r ye de m ve n nin bir katı denir. m, r nin bir böleni ise bu durum ^m| _r ile, aksi takdirde

m

)

_r ile gösterilir.

2 ile bölünebilme: Çift tam sayılar 2 ile tam bölünür.

3 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları toplamı 3 veya 3 ün katı ise sayı 3 ile tam bölünür.

4 ile bölünebilme: Verilen sayının son iki basamağı (bir- ler ve onlar basamağı) 4 ile tam bölünebiliyor ise verilen sayı 4 ile tam bölünür.

5 ile bölünebilme: Verilen sayının birler basamağı 0 veya 5 ise sayı 5 ile tam bölünür.

7 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları altına sağ- dan sola doğru sırasıyla 3, 2, 1 sayıları yazılır. Bu rakamlar altlarına yazdığımız sayılar ile çarpılır. Daha sonra sağdan sola üçerli gruplar hâlinde alınıp bu gruplar (+), (–) ile çarpılıp toplanır. Sonuç 7 veya 7'nin katı ise verilen sayı 7 ile tam bölünür.

8 ile bölünebilme: Verilen sayının son üç basamağı (bir- ler, onlar ve yüzler basamağı) 8 ile bölünebiliyor ise sayı 8'e tam bölünür.

9 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları toplamı 9 veya 9 un katı ise sayı 9 ile tam bölünür.

10 ile bölünebilme: Verilen sayının birler basamağı 0 ise verilen sayı 10 ile tam bölünür.

11 ile bölünebilme: Verilen sayı sağdan sola doğru sıra- sı ile (+), (–) ile çarpılıp toplanır. Sonuç 11 veya 11 in katı ise verilen sayı 11 ile tam bölünür.

Hangi n doğal sayıları için ^{(n + 1)}u_(n²_{+ 1)} dir.

n² – 1 = (n – 1)(n + 1) olduğundan ∀ n ∈ N için

(n + 1)u_(n²_{– 1)} dir.

(n + 1)u _(n²_{+ 1)} ve ^{(n + 1)}u_(n²_{– 1)} olduğundan

n + 1 u_[(n²_{+ 1) – (n}²_{– 1)]} ⇒ ^{n + 1}u₂ olur.

n ∈ N olduğundan ve n + 1 ≤ 2 olması gerektiğinden n = 0, 1 elde edilir.

Kural:

[1, x] aralığında n ile bölünebilen doğal sayıların sayısı nx

& 0 dir.

Kural:

a ∈ Z ve m, n ∈ N olsun.

n < m için ^a

a 2 1

2 1

n m +

− dir.

Kural:

n ≥ 2 olmak üzere n ve k iki doğal sayı olsun.

n – 1u_n^k_{– 1} dir.

(26)

3

SOYUT CEBİR

Kural:

n bir doğal sayı ve k bir tek sayı olsun.

(1 + 2 + ... + n)u₍₁^k_{+ 2}^k_{+ ... + n}^k₎ dır.

Kural:

a, b ∈ Z olsun. a sayısı b ile bölündüğünde kalan r ise 2^a – 1 sayısı 2^b – 1 ile bölündüğünde kalan 2^r – 1 dir.

{1, 2, ..., 600} dizisinde 13 ile bölünebilen kaç tane doğal sayı vardır?

60013 =46 ' 1 adettir.

1000 den küçük kaç doğal sayı 17 ile bölünür?

[1, 1000] kümesinde

17 1000 =58

) 3 ve 0 ∈ N için ¹⁷u₀ olup toplam 58 + 1 = 59 adet sayı 17 ile tam bölünür.

N = 1·2 + 2·3 + ... + n(n + 1) sayısının 41 ile bölünebil- mesi için n en az kaç olmalıdır?

N = 1·2 + 2·3 + ... + n(n + 1) = (1² + 1) + (2² + 2) + ... + (n² + n) = (1² + 2² + ... + n²) + (1 + 2 + ... + n)

n n n n n

n n n

6

1 2 1

2 1

3

1 2

= + + $

+ +

= + +

`

` j

j j

sayısının 41 ile bölünebilmesi için n(n + 1) (n + 2) çar- panlarından en az biri 41 e bölünmelidir.

n + 2 = 41 ⇒ n = 39 olmalıdır.

Teorem:

m, n ve r tam sayı olmak üzere, i) ∀m ∈ Z iken ^au₀ dır.

ii) ∀m ∈ Z için ^±1u_m ve ^±mu_m dir.

iii) ^mu_±1 ⇔ m = "1 dir.

iv) ^mu_n ise ^±mu_±n dir.

v) ^mu_n ve ⁿu_r ise ^mu_r dir.

vi) ^mu_n ve ⁿu_m ise m = ±n dir.

vii) c ≠ 0 olmak üzere ^cmu_cn ise ^mu_n dir.

viii) ^m n vem ise

n m m

1 n n

1 2

2 1 2

1 2

$

$ dir.

ix) ^mu_n ve ^mu_r ise ^mu_n+r dir.

Çıkmış Sorular

ku_m gösterimi k sayısının m sayısını tam bölündüğünü ifade eder.

Buna göre a, b ve c tam sayıları için, I. c a b$ ise c a ve c b dir.

II. a b c$ ise a c ve b c dir.

III. a b ve b c ise a c dir.

yargılarından hangileri daima doğrudur?

A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) Yalnız III

c sayısı a⋅b yi bölüyor ise _{c a} ve _{c b} doğru olmayabilir,

6 2 3$ tür ama _{6 2} ve _{6 3} yanlıştır. II ve III. öncül doğru- dur.

Cevap D

Tanım:

(Asal Sayı) : n > 1 tam sayısının kendisinden ve birden başka pozitif böleni yoksa n'ye asal (= prime) sayı denir.

Tanım:

(Bileşik Sayı): Asal olmayan sayılara bileşik (= combi- ned) sayı denir.

Tanım:

Aralarındaki fark iki olan asal sayılara ikiz asallar denir.

Teorem:

Her bileşik sayının en az bir asal çarpanı vardır.

Teorem (Euclid):

Asal sayıların sayısı sonsuzdur.