kpss Önce biz sorduk 50 Soruda SORU Güncellenmiş Yeni Baskı ÖABT LİSE MATEMATİK ANALİZ DİFERANSİYEL DENKLEMLER

2 0 1 8

kpss

ÖABT

Önce biz sorduk

50 Soruda

30 SORU

Güncellenmiş Yeni Baskı

MATEMATİK LİSE

ANALİZ

DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Fikret Hemek ÖABT Lise Matematik Analiz-Diferansiyel Denklemler

ISBN 978-605-318-911-4 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.

Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.

Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz.

5.Baskı: 2018, Ankara Proje-Yayın: Çağla Bardakçıoğlu Dizgi-Grafik Tasarım: Ünal Tuncel Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş.

İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105 Yenimahalle/ANKARA (0312 394 55 91) Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 26687

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA

Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60

Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38

Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.net

E-ileti: pegem@pegem.net

ÖN SÖZ

Sevgili Öğretmen Adayları,

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği 1. Kitap" adlı yayınımız Analiz ve Diferansiyel Denklemler bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin sorularınızı pegem@pegem.net adresine e-posta yoluyla ya da 0507 316 60 66 numarasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır.

Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...

Başarılar...

MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER

MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.

Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.

Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası

Alan Bilgisi Testi % 80 1 - 40

a. Analiz b. Cebir c. Geometri

d. Uygulamalı Matematik

% 24

% 16

% 16

% 24

Alan Eğitimi Testi % 20 41 - 50

Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 2014-2015–2016-2017 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

İÇİNDEKİLER

ÖN SÖZ ... III

1. KISIM ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR

PARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR ... 5

MUTLAK DEĞER FONKSİYONU ... 6

MUTLAK DEĞERLİ EŞİTSİZLİKLER VE DENKLEMLER ... 8

SİGNUM (İŞARET) FONKSİYONU ... 10

İŞARET FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ ... 12

TAM DEĞER VE TAM DEĞER FONKSİYONU ... 13

TAM DEĞER FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ ... 13

TAM DEĞER FONKSİYONUNUN GRAFİKLERİ ... 16

FONKSİYONLARIN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ ... 18

LİMİT

LİMİT ... 27

SAĞ – SOL LİMİT... 27

GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİ ... 29

LİMİT İLE İLGİLİ TEOREMLER ... 30

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN LİMİTİ ... 32

MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN LİMİTİ ... 33

SİGNUM FONKSİYONUNUN LİMİTİ ... 35

TAM DEĞER FONKSİYONLARININ LİMİTİ ... 36

BELİRSİZ DURUMLAR 0/0 BELİRSİZLİĞİ ... 37

TRİGONOMETRİK 0/0 BELİRSİZLİĞİ ... 38

∞/∞ BELİRSİZLİĞİ ... 41

∞–∞ BELİRSİZLİĞİ ... 42

0 · ∞ BELİRSİZLİĞİ ... 44

ÜSLÜ, ÜSTEL BELİRSİZLİKLERİN ∞/∞ FORMU ... 45

SÜREKLİLİK ... 46

SÜREKLİLİK TEOREMLERİ ... 47

SÜREKSİZLİK ÇEŞİTLERİ... 47

Kaldırılabilir Süreksizlik ... 47

Sıçrama Süreksizliği ... 47

Sonsuz Süreksizliği ... 48

Balzano Teoremi ... 48

DÜZGÜN SÜREKLİLİK ... 49

TÜREV

TÜREV ... 59

SAĞ–SOL TÜREV... 60

LİMİT – SÜREKLİLİK – TÜREV İLİŞKİSİ ... 60

TÜREV ALMA KURALLARI... 61

YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER ... 76

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN TÜREVİ ... 79

Parçalı Fonksiyonların Türevi ... 79

MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ ... 80

SİGNUM FONKSİYONUNUN TÜREVİ ... 81

TAM DEĞER FONKSİYONUNUN TÜREVİ ... 81

vi

TÜREVİN UYGULAMALARI... 91

L'Hospital Kuralı ... 91

ÜSTEL BELİRSİZLİKLER... 94

1^∞, 0⁰, ∞⁰ Belirsizlikleri ... 94

TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU ... 96

POLİNOM – TÜREV İLİŞKİSİ... 97

DİFERANSİYEL UYGULAMALARI ... 97

MAKSİMUM – MİNİMUM PROBLEMLERİ ... 98

Maksimum – Minimum Problemlerinde Kullanılabilecek Kısayollar ... 101

TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ... 105

Teğet – Eğim – Türev İlişkisi ... 105

ARTAN – AZALAN FONKSİYONLAR ... 110

YEREL EKSTREMUM DEĞERLER ... 113

Mutlak Maksimum ve Mutlak Minimum Noktası ... 114

TÜREV – EKSTREMUM İLİŞKİSİ ... 114

Grafikte Maksimum ve Minimum Nokta Yorumu ... 116

TÜREVLENEBİLİR BİR FONKSİYONUN EĞRİLİK YÖNÜ ... 119

ASİMPTOT KAVRAMI ... 124

Düşey Asimptot ... 124

FONKSİYONUN GRAFİKLERİ ... 127

TÜREVLE İLGİLİ TEOREMLER ... 128

İNTEGRAL

BELİRSİZ İNTEGRAL... 147

TEMEL İNTEGRAL ALMA KURALLARI ... 148

İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ ... 153

Değişken Değiştirme Yöntemi... 153

ÖZEL DÖNÜŞÜMLER ... 156

a²-x² İfadesini İçeren İntegraller ... 156

RASYONEL (KESİRLİ) İFADELERİN İNTEGRALİ ... 159

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ ... 163

İndirgeme Bağıntıları... 165

KISMİ İNTEGRASYON ... 166

BELİRLİ İNTEGRAL ... 172

Reimann Kavramları ... 172

İNTEGRAL HESABIN TEMEL TEOREMLERİ ... 174

Belirli İntegralin Özellikleri ... 174

ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLARIN İNTEGRALİ ... 179

İNTEGRALDE ALAN ... 181

İNTEGRALDE HACİM ... 182

Kabuk Yöntemi... 188

Dönel Yüzeyin Alanı... 193

Pappus – Guldin Teoremi... 196

ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR

TANIM VE GÖRÜNTÜ KÜMESİ ... 201

Seviye Eğrileri ... 204

Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Limit ve Süreklilik ... 204

Süreklilik... 207

Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Türev (Kısmi Türev) ... 207

Çok Değişkenli Fonksiyonların 2. Türevi... 209

vii

Zincir Kuralı ... 210

Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Teğet Düzlem Denklemi... 211

ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA MAKSİMUM–MİNİMUM ... 212

Yerel Maksimum ... 212

Yerel Minimum ... 212

Kritik Nokta – Eyer Nokta ... 212

Kritik Nokta İçin 2. Türev Testi ... 213

Maksimum–Minumum Problemleri... 214

ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA İNTEGRAL ... 216

Çift Katlı İntegral ... 216

Sınır Değiştirme ... 218

Bölge Değiştirme... 219

Dönüşüm Jakobiyeni (Fonksiyonel Determinantı) ... 220

İki Katlı İntegralin Uygulamaları ... 221

Hacim Hesabı ... 224

ORTALAMA DEĞER TEOREMİ ... 226

Kütle Hesabı ... 226

AĞIRLIK MERKEZİ ... 227

ÜÇ KATLI İNTEGRALLER ... 227

KUTUPSAL KOORDİNATLAR

KUTUPSAL KOORDİNATLAR ... 235

KARDİYOİD EĞRİSİ... 237

Gül Eğrilerinin Çizimi... 243

DİZİLER – SERİLER

DİZİ ... 253

Sonlu Dizi ... 253

Sabit Dizi ... 253

EŞİT DİZİLER ... 254

ALT DİZİ ... 254

DİZİLERDE DÖRT İŞLEM ... 255

DİZİLERDE SINIRLILIK ... 256

DİZİLERDE MONOTONLUK ... 256

ARİTMETİK VE GEOMETRİK DİZİLER ... 257

Aritmetik Dizi ... 257

Geometrik Dizi ... 258

DİZİLERDE LİMİT ... 259

Dizilerde Limit ile İlgili Özellikler ... 261

Dizilerde En Büyük Alt Sınır (Ebas) – En Küçük Üst Sınır (Eküs) Kavramları ... 262

SERİLER ... 263

Geometrik Seri ... 265

Pozitif Terimli Seriler İçin Yakınsaklık Testleri ... 268

Genel Terim Testi ... 268

İntegral Testi... 268

p – Testi... 269

Karşılaştırma Testi ... 269

Karşılaştırma Testinin Limit Formu... 269

Cauchy – Kök Testi ... 270

D'alambert Oran Testi ... 271

Alterne Seriler ... 272

viii

Mutlak Yakınsaklık – Yakınsaklık İlişkisi ... 272

KUVVET SERİLERİ ... 273

Yakınsaklık Yarıçapı ... 273

Yakınsaklık Aralığında Türevlenebilme ve İntegrasyon ... 274

Taylor ve Maclaurin Serileri ... 275

Önemli Maclaurin Seri Açılımları... 276

ÇÖZÜMLÜ TESTLER ... 291

2. KISIM DİFERANSİYEL DENKLEMLER

DİFERANSİYEL DENKLEMLER ... 403

Giriş ... 403

Diferansiyel Denklemlerin Çözümü ... 404

Genel ve Özel Çözümler ... 405

Bir Eğri Ailesinin Diferansiyel Denkleminin Oluşturulması ... 407

DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLER

DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR DENKLEMLER ... 411

DEĞİŞKENLERİNE AYRILABİLİR HÂLE GETİRİLEBİLEN DENKLEMLER ... 413

HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ... 414

Homojen Diferansiyel Denklemlerin Çözümü ... 414

HOMOJEN HÂLE DÖNÜŞTÜRÜLEBİLİR DİFERANSİYEL DENKLEMLER ... 415

TAM DİFERANSİYEL DENKLEMLER ... 417

İNTEGRASYON ÇARPANI YARDIMI İLE DİFERANSİYEL DENKLEM ÇÖZÜMÜ ... 419

LİNEER DENKLEMLER ... 421

Lineer Diferansiyel Denklemin Çözüm Yöntemi... 421

BERNOULLİ DENKLEMLERİ ... 423

RİCCATİ DENKLEMİ ... 424

BİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER

BİRİNCİ MERTEBEDEN n. DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ... 431

Türeve, x'e veya y'ye Göre Çözülebilen Denklemler ... 431

Türeve Göre Çözülebilen Denklemler ... 431

x'e Göre Çözülebilen Denklemler ... 432

y'ye Göre Çözülebilen Denklemler ... 432

CLAİRAUT DENKLEMİ ... 433

LAGRANGE DENKLEMİ ... 434

İNDİRGENEBİLİR İKİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER ... 435

YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER

YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER ... 439

Mertebe İndirgeme ... 440

Sabit Katsayılı Denklemler ... 441

Farklı Reel Kökler ... 441

Katlı Reel Kökler ... 442

Kompleks Kök ... 442

Homojen Olmayan (2. Yanlı) Lineer Diferansiyel Denklemler ... 445

Belirsiz Katsayılar Yöntemi ... 445

PARAMETRELERİN DEĞİŞİM YÖNTEMİ ... 449

CAUCHY – EULER DENKLEMİ ... 451

ÇÖZÜMLÜ TESTLER ... 457

1. KISIM

ÖZEL TANIMLI

FONKSİYONLAR

5

PARÇALI TANIMLI FONKSİYONLAR

Bir fonksiyonun tanım kümesi alt kümelere ayrılarak o kümelerde farklı kuralları olan fonksiyonlara parçalı ta- nımlı fonksiyon denir.

( ) ( ), ( ), ( ), f x

f x x a

f x a x b

f x b x

<

1 2 3

1

#

#

= Z [

\ ]]]]]]

]]]]]]

şeklinde yazılabilen f(x) parçalı tanımlı fonksiyondur.

b > a olmak üzere; x = a ve x = b değerlerine f’nin kritik noktaları adı verilir. Parçalı fonksiyonların grafikleri çizilirken alt aralıklara ait kuralların grafikleri çizilir ve sadece o aralıktaki kısımları alınır.

( ) ,

f x x , x

x x

2 3 1

1

<

2 $

- = - -

* - ise f(x)’in grafiğini çizelim.

Çözüm

f(x - 2) fonksiyonunda x → x + 2 için;

( ) ,

( ) , ;

f x x x

x 1 x 1 olup

2 1

<

2 $

= - -

+ -

*

y

x olur.

4

-1 -2 -1

-2

y x 1= - y=_^x 2+ _h²

1

Uyarı !

, ,

y f x= ^ h+k k20 y f x= ^ hin y

ekseninde k birim pozitif yönde öte- lenmişidir.

, ,

y f x= ^ h-k k20 y f x= ^ hin y

ekseninde k birim negatif yönde öte- lenmişidir.

,

y f x k= ^ + h k20ise y f x= ^ h in x ekseninde k birim sola ötelenmi- şidir.

,

y f x k= ^ + h k10ise y f x= ^ h in x ekseninde k birim sağa ötelenmi- şidir.

,

y= -f x^ h y f x= ^ h x eksenine göre simetriğidir.

,

y f x= -^ h y f x= ^ hin y eksenine göre simetriğidir.

x y

y=f(x) 3

2 -1

y f x= ^ hin grafiği verilmiştir. Buna göre y= -f x 1^ + h fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Çözüm

;

y f x= ^ +1h f x^ hin x ekseninde 1 birim sola ötelenmi-

şidir.

x

x y

y 2

2 -2 2

-2

-2 -1

-1

y=-f(x+1) y=f(x+1)

elde edilir.

Buradan

6

Tek - Çift Fonksiyonlar

f A B| " için x A iken x A! - ! olsun.

• f x^- h=f x^ h eşitliğini sağlayan fonksiyonlara çift fonksiyon adı verilir.

• f x^- h= -f x^ h eşitliğini sağlayan fonksiyonlara tek fonksiyon adı verilir.

Uyarı !

Tek fonksiyonlar orijin noktasına göre simetriktir.

Çift fonksiyonlar y eksenine göre simetriktir.

Hem tek, hem de çift olan sadece

NOT

sıfır fonksiyondur.

İki tek fonksiyonun çarpımı veya bö- lümü çift fonksiyondur.

Bir fonksiyon çift veya tek olmak zo- runda değildir.

f x tan

x

x x

1 ^{2 3}

2$

= -

^

^ h

h fonksiyonu için;

tan tan

f x x

x x

x

x x f x

1 ^{2 3} 1

2

2 3

$ $ 2$

- =

- -

- -

= -

- = -

^ ^

_ ^

^

^

^

h h

h i h

h

h oldu-

ğundan f x^ h tektir.

g x cos

x x x

1 ²

3 4

= $ +

^ h fonksiyonu için;

cos cos

g x x

x x

x

x x g x

1 ² 1

3 4

2

3 4

$ $

- =

+ -

- -

= +

=

^ ^

^

^ ^

h h

h

h h oldu-

ğundan g x^ h çifttir.

MUTLAK DEĞER FONKSİYONU

;

;

; f x

f x f x

f x

f x f x

0

0 0

0 2

1

= =

-

^

^

^

^

^

^ h

h

h h

h

h Z

[

\ ]]]]]

]]]]]

şekilde tanımlanan fonksiyonlara mutlak değer fonksiyo- nu adı verilir.

Mutlak değer fonksiyonlarının gra-

NOT

fikleri çizilirken, önce mutlak değer yokmuş gibi fonksiyonun grafiği çizi- lir ve daha sonra x ekseninin altın- da kalan grafiklerin x eksenine göre simetriği alınarak çizim tamamlanır.

f x^ h= 2x-3 fonksiyonunun grafiğini çizelim:

ç .

y 2x 3i in x 0 y 3ve y 0 x olur

2

& & 3

= - = = - = =

x y

y

x y=2x-3

-3

3 2 3

2 3

f x_{^ h}= 2x-3 Bu grafikten

grafiği elde edilir.

7

-4 1

y=f(x)

y=f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, y= - ^ hf x grafiğini çizelim.

Çözüm

,

y f x= ^ h&y= f x^ h f x^ hin mutlak değer fonksiyonu olup y= - ^ hf x fonksiyonunun grafiği ise y= ^ hf x in x eksenine göre simetriğidir.

-4

-4

1

1 Buradan

grafiği elde edilir.

y= f x_{^ h}

y= -f x_{^ h}

●

●

●

●

y = x bağıntısının grafiğini çizelim.

Çözüm

.

y = x &y x ve y= = -x tir

y=-x y=x y

x

x y$ =24 bağıntısının grafiğinde koordinatları tam

sayı olan noktaların sayısını bulunuz.

x y$ =24

şeklinde bir grafiği vardır.

Şekilden de görüleceği gibi I. bölgede kaç farklı tamsayılı koordinat varsa bağıntıyı sağlayan noktalar bunun 4 katı kadardır.

24 ün pozitif bölen sayısı; 24 2 3 4 2 8= ³$ & $ = oldu-

ğundan koordinatları tam sayı olan 8 4 32$ = farklı nok-

ta vardır.

2 0 1 8

kpss

ÖABT

Önce biz sorduk

50 Soruda

30 SORU

Güncellenmiş Yeni Baskı

LİSE MATEMATİK

SOYUT CEBİR

LİNEER CEBİR

Komisyon ÖABT Lise Matematik Soyut Cebir - Lineer Cebir Konu Anlatımlı

ISBN: 978-605-318-911-4 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.

Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.

Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz.

5. Baskı: 2018, Ankara Proje-Yayın: Çağla Bardakcıoğlu Dizgi-Grafik Tasarım: Ünal Tuncel Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş.

İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105 Yenimahalle/ANKARA (0312 394 55 91) Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 26687

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA

Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60

Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38

Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.net

E-ileti: pegem@pegem.net

ÖN SÖZ

Sevgili Öğretmen Adayları,

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Soyut Cebir - Lineer Cebir 2. Kitap" adlı yayınımız Soyut Cebir - Lineer Cebir bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlan- mıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanya- zın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek haya- tınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve de- taylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çö- zümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekil- miştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin soru- larınızı pegem@pegem.net adresine e-posta yoluyla ya da 0507 316 60 66 numa- rasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır.

Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...

Başarılar...

MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER

MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.

Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.

Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası

Alan Bilgisi Testi % 80 1 - 40

a. Analiz b. Cebir c. Geometri

d. Uygulamalı Matematik

% 28

% 18

% 18

% 16

Alan Eğitimi Testi % 20 41 - 50

Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 2014-2015-2016-2017 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklik- leri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

İÇİNDEKİLER

SOYUT CEBİR

1. Sayılar ve Özellikleri ...3

1.1. Rakam ...3

1.2. Sayma Sayıları ...3

1.3. Doğal Sayılar ...3

1.4. Tam Sayılar ... ...3

1.5. Aralarında Asallık ...3

1.6. Rasyonel Sayılar ...3

1.7. İrrasyonel Sayılar ...3

1.8. Reel Sayılar ...3

1.9. Tek ve Çift Sayılar ...3

1.10. Ardışık Sayılar ...4

1.11. Negatif ve Pozitif Sayılar ile İlgili Özellikler ...4

1.12. Tam Sayılarda Bölünebilme ...4

1.13. En Büyük Ortak Bölen ...6

1.14. En Küçük Ortak Kat ...7

2. Lineer Diophant Denklemleri ve Pozitif Bölenler ...8

3. Euler {-Fonksiyonu ...11

{-Fonksiyonunun Bazı Özellikleri ...11

4. Kongrüanslar ...13

Tam Sayılar ve Modüler Aritmetik ...13

5. Lineer Kongrüanslar ve Lineer Diophant Denklemleri ...17

İki veya Daha Fazla Değişkenli Lineer Kongrüanslar ...18

6. İkinci Dereceden Kalanlar...19

İkinci Dereceden Kongüranslar ...19

7. Gruplar ...28

7.1. Tek İşlemli Cebirsel Yapı Türleri ...28

7.2. Mertebe ...30

8. Alt Gruplar ...31

8.1. Normal Alt Gruplar ...33

9. Simetrik (Permütasyon) ve Alterne Gruplar ...34

10. Gruplarda Homomorfizm ve İzomorfizm ...35

10.1. Homomorfizma ...35

10.2. İzomorfizma...35

11. Bölüm Grupları ...38

12. Devirli Gruplar ...39

12.1. Devirli Grupların Alt Grupları ...40

12.2. Üreteç Sayısı ...41

13. Çarpım Grupları ...41

İzomorf olmayan Abelyan Gruplar ...42

vi

14. Halka, Cisim ve Tamlık Bölgesi ...42

14.1. Alt Halka ...44

14.2. Sıfır Bölenler ve Tamlık Bölgesi ...44

14.3. Bölüm Halkası ...45

14.4. İdeal ...45

14.5. Nilpotent Eleman ...45

15. Polinom Halkası ...45

16. Cisim ...46

16.1. Cebirsel Sayı ...46

16.2. Transandant Sayı ...46

16.3. Sayılabilir Küme ...46

Çözümlü Test 1 ...47

Çözümler ...49

Çözümlü Test 2 ...51

Çözümler ...53

Çözümlü Test 3 ...55

Çözümler ...57

Çözümlü Test 4 ...59

Çözümler ...61

LİNEER CEBİR 1. Vektör Uzayları ...66

1.1. Tanım ve Aksiyomlar ...66

2. Alt Vektör Uzayı ...68

2.1 Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık ...72

3. İç Çarpım Uzayları ...74

3.1. İç Çarpım ...74

3.2. Norm ...76

4. Ortonormal Baz ...82

5. Direkt Toplam Uzayı...86

6. İç Çarpım Uzaylarının Alt Uzayları ...87

7. Lineer Dönüşümler ...89

8. Matrisler ve Matris Uzayları ...96

8.1. Matris Toplamı ...97

8.2. Skaler ile Matris Çarpımı ...97

8.3. Matris Çarpımı ...97

8.4. Bir Matrisin Transpozu ...99

8.5. Kare Matrisler ...100

8.6. Bir Matrisin Tersi ...100

9. Elemanter Operasyonlar (Basit İşlemler) ...110

10. Determinantlar ...111

10.1 Sarrus Kuralı ...112

10.2 Minör ve Kofaktör ...114

vii

11. Alterne ve Çok Lineer Fonksiyonlar ...121 11.1 n-Lineer Fonksiyonlar ...121 12. Bir Lineer Dönüşümün Determinantı ve İzi ...121 Determinantlarda Alan ve Hacim Hesabı...122 13. Matrislerin Polinomu ...123 13.1. Karakteristik Değerler ve Karakteristik Vektörler ...123 13.2. Karakteristik Uzay ...125 13.3. Karakteristik Polinom ve Karakteristik Denklem ...125 Çözümlü Test 1 ...128 Çözümler ...131 Çözümlü Test 2 ...133 Çözümler ...135 Çözümlü Test 3 ...137 Çözümler ...140 Çözümlü Test 4 ...142 Çözümler ...144 Çözümlü Test 5 ...146 Çözümler ...148

SOYUT CEBİR

3

SOYUT CEBİR 1. Sayılar ve Özellikleri

1.1 Rakam

Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Kullandığımız onluk sistemdeki rakamların kümesi {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dur.

Rakamlarla oluşturulan ifadelere sayı denir.

1.2 Sayma Sayıları

{1, 2, 3, 4, ...} kümesi sayma sayıları kümesidir.

1.3 Doğal Sayılar

N = {0, 1, 2, 3, ...} kümesidir. N⁺ pozitif doğal sayılar kü- mesini ifade eder.

1.4 Tam Sayılar

Z = {..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} kümesidir.

Tam sayılar kümesi üç ana bölümden oluşur. Negatif tam sayılar (Z^–), pozitif tam sayılar (Z⁺) ve {0} kümesidir.

Ayrıca Z = Z^– ∪ {0} ∪ Z⁺ dır.

1.5 Aralarında Asallık

p ve q sıfırdan farklı iki pozitif tam sayı olsun. p ve q sayı- larını ortak olarak bölen en büyük pozitif tam sayı 1 ise p ve q aralarında asaldır denir.

1.6 Rasyonel Sayılar

Q = {p/q: p ve q aralarında asal, q ≠ 0} kümesidir.

1.7 İrrasyonel Sayılar

I = Q´ sembolleriyle gösterilir yukarıda tanımlanan p/q tipinde yazılamayan sayılardan oluşur. Yani rasyonel ol- mayan reel sayılara irrasyonel sayı denir.

1.8 Reel Sayılar

Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşim kümesidir. R ile gösterilir. R = Q ∪ Q´ dür.

x, y, z ∈ Z olmak üzere, x . y = 12, y . z = 4 ve x . z = 3

eşitliklerini sağlayan x, y, z sayılarının en büyük top- lamı en küçük toplamından kaç fazladır?

A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20

.

. . .

y z x y

zx x z bulunur

124 & 3& 3

= = =

Bu ifade x . z = 3 eşitliğinde yerine yazılırsa 3z² = 3 ⇒ z = "1 bulunur.

z = 1 için x = 3 ve y = 4 olup x + y + z = 8

z = –1 için x = –3 ve y = –4 olup x + y + z = –8 bulunur.

8 – (–8) = 16'dır. Doğru seçenek C olarak elde edilir.

a, b, c ∈ N olmak üzere

3a + 6b – c = 24 eşitliğini sağlayan a, b ve c değerle- ri için a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır?

A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10

Katsayısı büyük olana büyük değer verilir.

Sayılar aynı olabileceğinden a = 0 = c seçilirse b = 4 bulunur.

a + b + c = 4 olur.

a ve b doğal sayılardır.

56 . a = b³

eşitliğini sağlayan en küçük b değeri kaçtır?

Önce sayı asal çarpanlarına ayrılır.

56 = 2³.7

56.a = 2³.7.a = b³ tür.

Buradan a = 7² seçilirse b = 2.7 = 14 bulunur.

1.9 Tek ve Çift Sayılar

2 ile kalansız bölünebilen tam sayılara çift tam sayı, 2 ile tam bölünemeyen tam sayılara tek tam sayı denir. Çift sayılar 2n, tek tam sayılar 2n – 1 ile gösterilir (n ∈ Z).

1.9.1 Tek ve Çift Tam Sayılar İle İlgili Özellikler

1) T " T = Ç 5) Ç . Ç = Ç

2) Ç " Ç = Ç 6) T . T = T

3) T " Ç = T 7) n ∈ N olmak üzere Tⁿ = T

4) T . Ç = Ç 8) n ∈ N⁺ olmak üzere Çⁿ = Ç'dir.

Tek ve çift sayılarda bölme işlemine ait kural tanımlana- maz. Örneğin 40 çift sayıdır.

, T,

402 4040

6040

=Ç = sayısı ne tek ne de çifttir.

4

1.10 Ardışık Sayılar

n ∈ Z olmak üzere n, n + 1, n + 2, ... sayılarına ardışık tam sayılar denir.

Kural:

n ∈ Z⁺ için

... .

n n n

1 2 2

+ + + = ` +1j

dir.

n ∈ Z olmak üzere 2n – 1, 2n + 1, 2n + 3, ... sayılarına ardışık tek sayılar denir.

Kural:

n ∈ Z⁺ için

1 + 3 + 5 + ... + 2n – 1 = n² dir.

n ∈ Z olmak üzere 2n, 2n + 2, 2n + 4, ... sayılarına ardışık çift sayılar denir.

Kural:

n ∈ Z⁺ için

2 + 4 + ... + 2n = n(n + 1) dir.

Kural:

Ardışık terimleri arasındaki artış miktarı eşit olan dizide

Terim Sayısı = Son Terim – İlk Terim + 1

Artış miktarı ve

Terim Toplamı = Terim Sayısı . (Son terim + İlk terim)

2 dir.

1.11 Negatif ve Pozitif Sayılar İle İlgili Özellikler

1) (–) . (–) = (+) 5) (–) / (–) = (+)

2) (–) . (+) = (–) 6) (–) / (+) = (–)

3) (+) . (+) = (+) 7) (+) / (+) = (+)

4) (+) . (–) = (–) 8) (+) / (–) = (–)

9) n ∈ N olmak üzere (–)²ⁿ = (+) dır.

10) n ∈ N olmak üzere (–)^2n–1 = (–) dir.

11) n ∈ N olmak üzere (+)ⁿ = (+) dır.

1.12 Tam Sayılarda Bölünebilme

m, n, r ∈ Z olmak üzere m . n = r olsun. Bu durumda m ve n'ye r'nin bölenleri (çarpanları) r'ye de m ve n'nin bir katı denir. m, r'nin bir böleni ise bu durum ^m | _r ile, aksi takdirde

m

)

_r ile gösterilir.

1.12.1 2 ile bölünebilme: Çift tam sayılar 2 ile tam bö- lünür.

1.12.2 3 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları top- lamı 3 veya 3'ün katı ise sayı 3 ile tam bölünür.

1.12.3 4 ile bölünebilme: Verilen sayının son iki basa- mağı (birler ve onlar basamağı) 4 ile tam bölünebiliyor ise verilen sayı 4 ile tam bölünür.

1.12.4 5 ile bölünebilme: Verilen sayının birler basama- ğı 0 veya 5 ise sayı 5 ile tam bölünür.

1.12.5 7 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları al- tına sağdan sola doğru sırasıyla 3, 2, 1 sayıları yazılır.

Bu rakamlar altlarına yazdığımız sayılar ile çarpılır. Daha sonra sağdan sola üçerli gruplar hâlinde alınıp bu gruplar (+), (–) ile çarpılıp toplanır. Sonuç 7 veya 7'nin katı ise verilen sayı 7 ile tam bölünür.

1.12.6 8 ile bölünebilme: Verilen sayının son üç basa- mağı (birler, onlar ve yüzler basamağı) 8 ile bölünebiliyor ise sayı 8'e tam bölünür.

1.12.7 9 ile bölünebilme: Verilen sayının rakamları top- lamı 9 veya 9'un katı ise sayı 9 ile tam bölünür.

1.12.8 10 ile bölünebilme: Verilen sayının birler basa- mağı 0 ise verilen sayı 10 ile tam bölünür.

1.12.9 11 ile bölünebilme: Verilen sayı sağdan sola doğru sırası ile (+), (–) ile çarpılıp toplanır. Sonuç 11 veya 11'in katı ise verilen sayı 11 ile tam bölünür.

Verilen bağıntılarda sayı istenilen sayıya

NOT

tam bölünmüyorsa kalan kolaylıkla bulunur. Örneğin 256 sayısının 5 ile bölümünden kalan 6'nın 5 ile bölümünden kalana eşit ve 1'dir.

Hangi n doğal sayıları için ^{(n + 1)}|_(n² _{+ 1)} dir.

n² – 1 = (n – 1)(n + 1) olduğundan ∀ n ∈ N için

(n + 1)|_(n² _{– 1)} dir.

(n + 1)|_(n² _{+ 1)} ve ^{(n + 1)}|_(n² _{– 1)} olduğundan

n + 1|_[(n² _{+ 1) – (n}² _{– 1)]} ⇒ ^{n + 1}|₂ olur.

n ∈ N olduğundan ve n + 1 ≤ 2 olması gerektiğinden n = 0, 1 elde edilir.

Kural:

[1, x] aralığında n ile bölünebilen doğal sayıların sayısı nx

& 0 dir.

Kural:

a ∈ Z ve m, n ∈ N olsun.

n < m için ^a

a 2 1

2 1 n

m +

−

dir.

Kural:

n ≥ 2 olmak üzere n ve k iki doğal sayı olsun.

n – 1|_n^k _{– 1} dir.

5

Kural:

n bir doğal sayı ve k bir tek sayı olsun.

(1 + 2 + ... + n)|₍₁^k _{+ 2}^k _{+ ... + n}^k₎ dır.

Kural:

a, b ∈ Z olsun. a sayısı b ile bölündüğünde kalan r ise 2^a – 1 sayısı 2^b – 1 ile bölündüğünde kalan 2^r – 1'dir.

{1, 2, ..., 600} dizisinde 13 ile bölünebilen kaç tane doğal sayı vardır?

60013 =46

' 1 adettir.

1000'den küçük kaç doğal sayı 17 ile bölünür?

[1, 1000] kümesinde

100017 =58

) 3 ve 0 ∈ N için ¹⁷|₀ olup toplam 58 + 1 = 59

adet sayı 17 ile tam bölünür.

N = 1 . 2 + 2 . 3 + ... + n(n + 1) sayısının 41 ile bölüne- bilmesi için n en az kaç olmalıdır?

N = 1 . 2 + 2 . 3 + ... + n(n + 1) = (1² + 1) + (2² + 2) + ... + (n² + n) = (1² + 2² + ... + n²) + (1 + 2 + ... + n)

.

n n n n n

n n 6n

1 2 1

2 1

3

1 2

= + +

+ +

= + +

` ` `

` `

j j j

j j

sayısının 41 ile bölünebilmesi için n(n + 1) (n + 2) çar- panlarından en az biri 41'e bölünmelidir.

n + 2 = 41 ⇒ n = 39 olmalıdır.

Teorem:

m, n ve r tam sayı olmak üzere, i) ∀m ∈ Z iken ^al₀ dır.

ii) ∀m ∈ Z için ^±1l_m ve ^±ml_m dir.

iii) ^ml_±1 ⇔ m = "1 dir.

iv) ^ml_n ise ^±ml_±n dir.

v) ^ml_n ve ⁿl_r ise ^ml_r dir.

vi) ^ml_n ve ⁿl_m ise m = ±n dir.

vii) c ≠ 0 olmak üzere ^cml_cn ise ^ml_n dir.

viii) ^m1 _n1ve^m2 _n2ise^{m m1. 2} _{n n1 2.} dir.

ix) ^ml_n ve ^ml_r ise ^ml_n+r dir.

Çıkmış Sorular

k m gösterimi k sayısının m sayısını tam bölündüğü- nü ifade eder.

Buna göre a, b ve c tam sayıları için, I. c a b$ ise c a ve c b 'dir.

II. a b c$ ise a c ve b c 'dir.

III. a b ve b c ise a c 'dir.

yargılarından hangileri daima doğrudur?

A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III

D) II ve III E) Yalnız III

c sayısı a⋅b yi bölüyor ise c a ve c b doğru olmayabilir,

6 2 3$ tür ama 6 2 ve 6 3 yanlıştır. II ve III. öncül doğrudur.

Cevap D

Tanım:

(Asal Sayı) : n > 1 tam sayısının kendisinden ve birden başka pozitif böleni yoksa n'ye asal (= prime) sayı denir.

Tanım:

(Bileşik Sayı): Asal olmayan sayılara bileşik (= combi- ned) sayı denir.

Tanım:

Aralarındaki fark iki olan asal sayılara ikiz asallar denir.

Teorem:

Her bileşik sayının en az bir asal çarpanı vardır.

Teorem (Euclid):

Asal sayıların sayısı sonsuzdur.

2 0 1 8

kpss

ÖABT

Önce biz sorduk

50 Soruda

30 SORU

Güncellenmiş Yeni Baskı

LİSE MATEMATİK

GEOMETRİ

İSTATİSTİK ve OLASILIK

Komisyon ÖABT Lise Matematik Geometri - İstatistik ve Olasılık Konu Anlatımlı

ISBN: 978-605-318-911-4 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.

Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.

Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz.

5. Baskı: 2018, Ankara Proje-Yayın: Çağla Bardakcıoğlu Dizgi-Grafik Tasarım: Kezban Yanık Kapak Tasarımı: Pegem Akademi Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş.

İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105 Yenimahalle/ANKARA (0312 394 55 91) Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 26687

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA

Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60

Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38

Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.net

E-ileti: pegem@pegem.net

ÖN SÖZ

Sevgili Öğretmen Adayları,

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Geometri-İstatistik ve Ola- sılık 3. Kitap" adlı yayınımız Geometri - İstatistik ve Olasılık bölümünü kapsamak- tadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanya- zın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek haya- tınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve de- taylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çö- zümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekil- miştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitaba ilişkin soru- larınızı pegem@pegem.net adresine e-posta yoluyla ya da 0507 316 60 66 numa- rasına WhatsApp üzerinden iletmeniz yeterli olacaktır. Sorunuz en kısa sürede yazarlarımız tarafından cevaplandırılacaktır.

Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...

Başarılar...

MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER

MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.

Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.

Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası

Alan Bilgisi Testi % 80 1 - 40

a. Analiz b. Cebir c. Geometri

d. Uygulamalı Matematik

% 28

% 18

% 18

% 16

Alan Eğitimi Testi % 20 41 - 50

Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 2014-2015-2016-2017 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklik- leri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

İÇİNDEKİLER

1. BÖLÜM

UZAYDA VEKTÖRLER

UZAYDA VEKTÖRLER ...5 İki Vektörün Paralelliği...6 Vektörlerin Lineer Bileşimi ...6 Lineer Bağımlılık – Lineer Bağımsızlık ...6 Standart Birim Vektörleri ...6 Vektörlerin İç (Skaler) Çarpımı ...6 İki Vektör Arasındaki Açı...7 Dik İzdüşüm Vektörü ...7 Vektörel (Çapraz) Çarpım ...8 Paralelkenarın Alanı ...9 Paralelyüzün Hacmi ...10 Çözümlü Test ...13 Çözümler ...15

UZAYDA DOĞRU ve DÜZLEM DENKLEMİ

UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM DENKLEMİ ...17 İki Noktası Belli Olan Doğru Denklemi ...19 Düzlem ...20 Çözümlü Sorular - I ...22 Bir Noktanın Düzleme Uzaklığı ...25 Çözümlü Sorular - II ...25 Uzayda İki Doğrunun Birbirlerine Göre Durumları ve Kesişme Noktasının Bulunması ...28 Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı ...29 Çözümlü Sorular ...30 İki Düzlemin Birbirlerine Göre Konumu ve İki Düzlem Arasındaki Açı ...34 Bir Düzlem ile Bir Doğru Arasındaki Açı ...34 İki Düzlemin Açıortay Düzlemi ...34 Çözümlü Sorular ...34 Bir Doğrudan Geçen Düzlem Demeti ...36 Uzayda Simetri ...37 Çözümlü Sorular ...38 Çözümlü Test - 1 ...43 Çözümler ...45 Çözümlü Test - 2 ...47 Çözümler ...49

vi

YÜZEYLER

E³ DE YÜZEY ...55 KÜRE ...55 Küre Olma Koşulları ...56 Kürenin Parametrik Denklemi ...57 Kürenin Teğet Düzlemi ...57 SİLİNDİR ...57 KONİ ...59 Bazı Kuadratik Yüzeyler ...63 Çözümlü Sorular ...63 Silindirin İsimlendirilmesi ...64 Dönel Yüzeyler ...66 SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR ...68 KÜRESEL KOORDİNATLAR ...68 Çözümlü Test ...69 Çözümler ...71

KONİKLER

TANIM ...75 Genel Konik Denkleminde x.y– li Terimi Yok Etme ...75

ELİPS - HİPERBOL - PARABOL

ELİPS ...79 Elipsin Denklemi ...79 Elipsin Teğet ve Normal Denklemleri...80 Elipsin Parametrik Denklemi...81 HİPERBOL ...83 Hiperbolün Denklemi ...83 PARABOL ...86 Parabolün Denklemi ...86 Çözümlü Test ...89 Çözümler ...91

Karma Test - 1 ...93 Çözümler ...95 Karma Test - 2 ...97 Çözümler ...99

vii 2. BÖLÜM

İSTATİSTİK VE OLASILIK

TEMEL KAVRAMLAR ...105 Sayısal Bilgi, Veri, Ölçüm ...105 Değişken ve Türleri ...105 Fonksiyon ...105 Evren ve Örneklem...107 İstatistik ve Parametre...107 Çözümlü Test ...108 Çözümler ...110

VERİNİN DÜZENLENMESİ VE MERKEZE EĞİLME ÖLÇÜLERİ

VERİNİN DÜZENLENMESİ ...113 Grafik Çizme ...113 Merkeze Eğilme (Yığılma) Ölçüleri ...114 Mod (Tepedeğer) ...114 Medyan (Ortanca) ...114 Aritmetik Ortalama ...115 Mod, Medyan ve Ortalamanın Karşılaştırılması ...116 Ağırlıklı Ortalama ...117 DEĞİŞME (DAĞILMA) ÖLÇÜLERİ ...118 Ranj (Açıklık) ...118 Mutlak Kayma ...118 Varyans ve Standart Kayma ...118 Bağıl Değişkenlik Katsayısı ...120 STANDARTLAŞTIRMA (z ve T PUANLARI) ...120 z Puanı ...120 T Puanı ...120 Çözümlü Test ...122 Çözümler ...125

viii

OLASILIK

TEMEL KAVRAMLAR ...129 Olasılık ...130 Birleşik Olayların Olasılığı ...131 Ayrık İki Olayın Birleşiminin Olasılığı ...131 Olaylar Arasındaki Bağıntılar ...132 Bağımsız Olaylar ...133 TESADÜFÎ DEĞİŞKEN, OLASILIK FONKSİYONU VE BEKLENEN DEĞER ...136 Tesadüfî Değişkenin Beklenen Değeri ...142 Varyansın Hesabı ...145 Momentler ...148 Çözümlü Test ...157 Çözümler ...160

OLASILIK DAĞILIMLARI

OLASILIK ...165 Binom Olasılık Dağılımı ...165 Poisson Olasılık Dağılımı...167 Hipergometrik Olasılık Dağılımı ...168 Normal Olasılık Dağılımı ...175 Standart Normal Olasılık Dağılımı ...176 Çözümlü Test ...178 Çözümler ...181 Çözümlü Deneme - 1 ...184 Çözümler ...187 Çözümlü Deneme - 2 ...190 Çözümler ...193

1. BÖLÜM

UZAYDA VEKTÖRLER

5

UZAYDA VEKTÖRLER

R³ = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R} kümesine 3 boyutlu vektör uza- yı denir. Vektörlerin başlangıç noktası orijin olmak üzere, R³ ün her noktasına bir vektör karşılık gelir.

z

y P(a, b, c) 0

x

, , a b c

OP = ` j ise a, b, c sayılarına OP yer vektörünün

bileşenleri denir. P noktasının orijine olan uzaklığına, OP vektörünün normu (uzunluğu) denir ve OP ile gös- terilir.

, , .

a b c a b c dir

OP=` j& OP = P = ²+ ²+ ²

AB vektörüne eş, başlangıç noktası orijin olan OP vek- törüne, AB vektörünün yer vektörü denir.

A(x₁, y₁, z₁) ve B(x₂, y₂, z₂) ise;

, ,

x x y y z z

x x y y z z

OP AB

AB

2 1 2 1 2 1

2 1 2

2 1 2

2 1 2

= − − −

= = − + − + −

`

` ` `

j

j j j

Normu 1 olan vektöre birim vektör denir.

z

0 y

x

A(x₁, y₁,z₁) B(x₂, y₂,z₂)

P(x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁)

Çıkmış Sorular

Uzayda A(1, 2, 3), B(2, -1, -4) ve C(m, 2, -1) noktaları veriliyor.

AB AC= olduğuna göre m kaçtır?

A) -27 B) -29 C) 14 D) 29 E) 27

, , m , ,

AB=`1 3 7− − j AC=` −1 0 4− j

.

.

d r m

m

m olur

AB AC AB AC 0

1 1 3 0 7 4 0

27 0 27

ı

& $

$

= =

− + − + − − =

+ =

= −

` j ` j ` j` j

Cevap A

Örnek

A(1, –1, 1) ve B(2, a, –3) noktaları veriliyor.

AB = 26 br olduğuna göre a sayısının alabileceği

değerleri bulunuz.

,a ,

a a a

a a veya a

AB

AB

1 1 4

26 1 1 4 26

1 17 26

1 9

1 3 2 4

2 2 2

2 2

&

&

&

& &

= + −

= + + + − =

+ + =

+ =

+ = = =−

`

`

`

` `

j

j j

j j

Çıkmış Sorular

Dik koordinat düzleminde verilen u ve v vektör- leri için u v 8$ = , u v+ + −u v =16 olduğuna göre

u v+ değeri kaçtır?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13

.

u v u v u v

u v u v u v

u v u v u v olur

2 2 4

2 2

2 2

2 2

2

& 2

$ $

$ $

$ $

+ = + +

− = + +

=

+ − −

Buna göre;

u v u v u v u v 4 8

16

$ $

+ + − + − − =

` j` j

1444444444 4444444442 3

u v u v

u v u v

u v

2 16

+ − − =

+ + + + = +

+ =9olur.

Cevap B

6

İki Vektörün Paralelliği

, , 0, ,

a bdR k³ ! a!0 b!0 olmak üzere,

. //

a=k b+a b dir.

, , , ,

a=`x y z ve b1 1 1j =`x y z olmak zere2 2 2j ü //

a b x

x y y

z z

2 1

2 1

2

+ = = 1 dir.

Örnek

A(2, 4, 2) ve B(6, 2, 4) noktaları ile

, ,

v=`x y x− +2 1y j vektörü veriliyor.

// v

AB olduğuna göre, (x, y) ikilisini bulunuz.

Çözüm

2

, ,

, ,

//

, , .

v

v

x y

x y

x y x y

x y x y

x y olur

AB

AB

2 1

4 2 2

2 1

4 2

2 21

1 1

&

&

− =

+ = −

= −

= − +

− =

−

+ =

= −

`

`

` `

j

j

j j

4

Vektörlerin Lineer Bileşimi , , ,...,

, , ,..., R ve k k k k R

V V V_{1 2 3} V_nd ³ _{1 2 3 n}d

olmak üzere,

. . .

. ...

u=k₁V₁+k_{2 2}V +k_{3 3}V + +k_{n n}V vektörüne, , , ,...,

V V V_{1 2 3} V_n vektörlerinin lineer bileşimi denir.

Lineer Bağımlılık – Lineer Bağımsızlık

, , ,...

IR de V V V³ _{1 2 3} V_n vektörleri verilsin.

. . .

. c c ... c

c V_{1 1}+ _{2 2}V + _{3 3}V + + _{n n}V =0 denklemi yalnız

c₁ = c₂ = c₃ ... = c_n = 0 için sağlanırsa bu vektörlere lineer bağımsız; c₁ = c₂ = c₃ ... = c_n = 0 değerlerinden en az biri sıfırdan farklı olacak şekilde sağlanırsa bu vektörlere lineer bağımlıdır denir.

Uyarı

, ,...

V=&V V_{1 2} V_n0_{, IR}³ uzayının bir alt kü- mesi olmak üzere detbV V₁, ,...₂ V_nl=A olsun.

I. A = 0 ⇔ V kümesi lineer bağımlı, II. A ≠ 0 ⇔ V kümesi lineer bağımsızdır denir.

Standart Birim Vektörleri z

0 y

x

e3=`0,0,1j

e₁=`1,0,0j

e₂=`0,1,0j

R³ vektör uzayında üzerinde bulunduğu eksen ile pozitif

yönlü birim vektörlere, standart birim vektörler denir.

, ,

, ,

, ,

e i

e j

e k

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 2 3

=

= =

= =

= `

`

` j

j

j

Vektörlerin İç (Skaler) Çarpımı

Her ,A B!R³ için;

, , , ,

x y z ve x y z

A=` <sub>1 1 1</sub>j B=` _{2 2 2}j olmak üzere,

, x x y y z z

A B$ =<A B>= 1$ 2+ 1$ 2+ 1$ 2

şeklinde tanımlanan işleme, "R³ de Öklid iç çarpım işle- mi" denir.

Özellikleri

1. A = A A A$ , ²=A A$

2. A B B A$ = $ (değişme özelliği)

3. A B C$` + j=A B A C$ + $ (çarpmanın toplama üzeri-

ne dağılma özelliği)

7

Örnek

, ,a ve a, ,

A=`3 −2j B=` 2 10j vektörleri veriliyor.

A B 5$ = olduğuna göre a sayısının kaç olacağını bu-

lunuz.

Çözüm .

.

a a

a a A B 5

3 2 2 10 5

5 25

5

=

+ − =

=

=

İki Vektör Arasındaki Açı

, R

A B! ³ verilsin. veA B vektörleri arasındaki açının

ölçüsü a olmak üzere, cos

A B A B$ = $ $ a olur.

A=B ise a = 90° için cosa = 0 olduğundan

.

A=B+A B 0= olur.

Örnek

, , ve , ,

A= −` 1 2 3j B=`1 1 2− j vektörleri arasındaki

açının cosinüsünü bulunuz.

Çözüm

. . .

. .

. cos

cos cos

A B A B

1 2 6 1 2 3 1 1 2

14 63

2 213

2 2 2 2 2 2

i

i i

=

− − + = − + + + − +

= =

` j ` j

Örnek

, , ve , ,

A=`1 1 2j B=` 3 1− − 3 1 4− j vektörleri ara-

sındaki açının cosinüsünü bulunuz.

Çözüm . .

.

( ) ( ) ( )

. .

cos

cos

cos

olur A B

A B

A B A B

3 1 3 1 8 6

1 1 2 16

3 1 3 1 4

4 2 3 4 2 3 16 24 2 6

6 2 66

21

2 2 2

2 2 2

i

i

i

=

= − − − + =

= + + =

= − + − − +

= − + + +

= =

=

=

` j ` j

Örnek

ile

A B vektörleri arasındaki açının ölçüsü 45°,

ve

A =2 2 B =3 olduğuna göre,

. 3 2

A B+ A− B

` j` j iç çarpımının sonucunu bulunuz.

Çözüm

. . . .

. . .

. . . .

. cos

olur

A B A B A A A B A B B B

A A B B

3 2 3 3 2 2

3 2

3 8 2 2 3 45 2 9

24 6 18 12

°

2 2

+ − = + − −

= + −

= + −

= + −

=

` j` j

Dik İzdüşüm Vektörü

0 u H

A

B

, , , , ,

x y z x y z

A=` <sub>1 1 1</sub>j B=` _{2 2 2}j vektörleri verilsin.

A vektörünün B vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü u

OH = olsun. ileA B arasındaki açı a olmak üzere;

. .

cos . dir cos u

A B

A

A

a= B a= yazılırsa

.

. .

u u

A A B

A

B A B

B &

= = dik izdüşüm vektörünün

uzunluğudur.

.

u u

B

= B olacağından

. .

u= A B BB₂ dik izdüşüm vektörünü verir.

2 0 1 8

kpss

ÖABT

Önce biz sorduk

50 Soruda

30 SORU

Güncellenmiş Yeni Baskı

LİSE MATEMATİK

ALAN EĞİTİMİ

Komisyon ÖABT Lise Matematik Alan Eğitimi Konu Anlatımlı

ISBN 978-605-318-911-4 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.

Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.

Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz.

5. Baskı: 2018, Ankara Proje-Yayın: Çağla Bardakcıoğlu Dizgi-Grafik Tasarım: Ünal Tuncel Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş.

İvedik Organize Sanayi 28. Cadde Yenimahalle/ANKARA Tel : 0312 394 55 91 Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 26687

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA

Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60

Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38

Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.net

E-ileti: pegem@pegem.net

ÖN SÖZ

Sevgili Öğretmen Adayları,

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi 4. Kitap" adlı yayınımız Alan Eğitimi bölümünü kapsamaktadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Eğitimi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanyazın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek hayatınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve detaylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çözümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekilmiştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitapla ilgili görüş ve önerilerinizi pegem@pegem.net adresini kullanarak bizimle paylaşabilirsiniz.

Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...

Başarılar...

MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER

MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.

Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenliği Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.

Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası

1) Alan Bilgisi Testi % 80 1 - 40

a) Analiz b) Cebir c) Geometri

d) Uygulamalı Matematik

% 24

% 16

% 16

% 24

2) Alan Eğitimi Testi % 20 41 - 50

Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili verilen bu bilgiler 2013-2014-2015-2016-2017 ÖABT MATEMATİK ÖABT Sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

İÇİNDEKİLER

1. BÖLÜM: MATEMATİK NEDİR?

Matematik Nedir?...3

Mutlakçılar ...3

Yarı Deneyselciler ...4

Teorik-Uygulamalı Matematik ...4

Klasik-Modern Matematik ...4

Akademik-Okul Matematiği...4

Çözümlü Test ...7

Çözümler ...9

2. BÖLÜM: MATEMATİĞİ ÖĞRENME VE ÖĞRETME

Matematiği Öğrenme ve Öğretme ...13

Bilişsel Öğrenme Alanı ...13

Duyuşsal Öğrenme Alanı...13

Devinişsel Öğrenme Alanı ...13

Davranışçı Yaklaşım ...13

Klasik Koşullanma ...13

Edimsel Koşullanma ...14

Bütünlükçü (Gestaltçı) Yaklaşım ...14

Fonksiyonalist Yaklaşım ...14

Bilişsel Gelişmeci Yaklaşım ...14

Yapılandırmacı Yaklaşım ...14

Buluş Yoluyla Öğrenme ...15

Okulda Öğrenme (Tam Öğrenme) ...16

Bilgi-İşlem Yaklaşımı ...16

Anlamlı Öğrenme (Sunuş Yoluyla Öğretim) ...16

Gerçekçi Matematik Eğitimi ...16

Çoklu Zekâ Kuramı ...17

Öğrenme Stilleri ...17

Matematik Öğretimi Yöntemleri ...17

Düz Anlatım Yöntemi ...17

Tanımlar Yardımıyla Öğretim ...17

Buluş Yoluyla Öğretim ...17

Analizle Öğretim ...18

Senaryo ile Öğretim ...18

Gösterip Yaptırma Yöntemiyle Öğretim ...18

Kurallar Yardımıyla Öğretim ...18

Deneysel Etkinliklerle Öğretim...18

Oyunlarla Öğretim ...18

Çözümlü Test ...19

Çözümler ...21

3. BÖLÜM: MATEMATİK DERSİ ÖĞRETİM PROGRAMI

Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı ...25

2006 Programın Özellikleri ...25

4+4+4 Eğitim Sistemi...25

Öğretim Programının Genel Amaçları ...26

Öğretim Programının Öğrenme-Öğretme Yaklaşımı ...27

Öğretim Programının Ölçme ve Değerlendirme Yaklaşımı ...27

vi

Öğretim Programında Yeterlilik ve Beceriler ...28

Öğretim Programında Değerler Eğitimi ...29

Öğretim Programının Uygulanmasında Dikkat Edilecek Hususlar ...29

Öğretim Programının Yapısı ...29

Çözümlü Test ...35

Çözümler ...37

4. BÖLÜM: PROBLEM ÇÖZME

Problem Çözme ...41

Problem Nedir?...41

Problem Çözme ...41

Problemi Anlama ...41

Çözüm İçin Plan Yapma ...41

Planın Uygulanması ...41

Değerlendirme ...41

Problem Çözme Öğretimi ...43

Sistematik Liste Yapma ...43

Tahmin ve Kontrol ...43

Diyagram Çizme ...43

Bağıntı Bulma ...44

Değişken Kullanma...44

Benzer Problemlerin Çözümünden Yararlanma ...44

Geriye Doğru Çalışma ...44

Eleme ...44

Tablo Yapma ...44

Muhakeme etme ...44

Problem Kurma...45

Matematiksel İfadeye Uygun Problem Kurma ...45

Şekil veya Tabloya Uygun Problem Kurma ...45

Cevabı Zihinde Tutarak Problem Kurma ...46

Matematik Eğitiminde Problem Çözme ...46

Problem Çözme İçin Öğretim ...46

Problem Çözmeye İlişkin Öğretim ...46

Problem Çözme ile Öğretim ...46

Çözümlü Test ...47

Çözümler ...49

5. BÖLÜM: MANTIK ÖĞRETİMİ

Mantık Öğretimi ...53

Temel Kavramların Öğretimi ...53

Önerme Kavramı ...53

Önermenin Olumsuzu (Değili) ...54

Bileşik Önermeler ...54

Veya Bağlacı (∨) (Dahili Birleşim) ...55

Ve Bağlacı (∧) ...55

Koşullu Önerme (⇒) ...55

İki Yönlü Koşullu Önerme (⇔) ...55

Bileşik Önermelerin Özellikleri ...56

Tek Kuvvet Özelliği ...56

Değişme Özelliği...56

Birleşme Özelliği ...56