ÖABT LİSE MATEMATİK KPSS 2016 GEOMETRİ İSTATİSTİK VE OLASILIK. Eğitimde

KPSS

ÖABT 2016

LİSE MATEMATİK

29. ^{Eğitimde yıl}

Pegem Akademi Sınav Komisyonu;

2015 KPSS’ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların,

40'ın üzerinde soruyu kolaylıkla çözebildiğini

açıkladı.

GEOMETRİ

İSTATİSTİK VE OLASILIK

Komisyon ÖABT Lise Matematik Öğretmenliği Geometri - İstatistik ve Olasılık Konu Anlatımlı

ISBN: 978-605-318-185-9 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.

© Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir.

Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.

Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz.

2. Baskı: 2015, Ankara Proje-Yayın: Neslihan Gürsoy Türkçe Redaksiyon: Seda Gökay Dizgi-Grafik Tasarım: Kezban Öztürk Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Korza Yay. Basım San. Tic. A.Ş.

Yenice Mah. No: 3 Esenboğa-Ankara 0312 342 22 08 Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 30233

İletişim

Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA

Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51

Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60

Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08

Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38

Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60

İnternet: www.pegem.net

E-ileti: pegem@pegem.net

ÖN SÖZ

Sevgili Öğretmen Adayları,

ÖABT LİSE MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ konu anlatımlı setimiz dört kitap hâlinde düzenlenmiştir. "Lise Matematik Öğretmenliği Geometri-İstatistik ve Ola- sılık 3. Kitap" adlı yayınımız Geometri - İstatistik ve Olasılık bölümünü kapsamak- tadır ve Kamu Personel Seçme Sınavı (KPSS) Lise Matematik Öğretmenliği Alan Bilgisi Testi kapsamındaki soruları çözmek için gerekli bilgi, beceri ve teknikleri edinme ve geliştirme sürecinde siz değerli öğretmen adaylarımıza kılavuz olarak hazırlanmıştır.

Kitabın hazırlanış sürecinde, sınav kapsamındaki temel alanlarda kapsamlı alanya- zın taraması yapılmış, bu kitabın gerek ÖABT'de gerekse gelecekteki meslek haya- tınızda ihtiyacınızı maksimum derecede karşılayacak bir başucu kitabı niteliğinde olması hedeflenmiştir.

Detaylı, güncel ve anlaşılır bir dilde yazılan konu anlatımları, çıkmış sorular ve de- taylı açıklamalarıyla desteklenmiş, her ünite içeriği ÖSYM formatına uygun, çö- zümlü test sorularıyla pekiştirilmiştir. Ayrıca konu anlatımlarında verilen bilgi ve çözüm tekniklerine ek olarak uyarı kutucuklarıyla da önemli konulara dikkat çekil- miştir.

Yoğun bir araştırma ve çalışma sürecinde hazırlanmış olan bu kitapla ilgili görüş ve önerilerinizi pegem@pegem.net adresini kullanarak bizimle paylaşabilirsiniz. Kita- bımızın hazırlanmasında emeği geçen Sayın Kerem Köker, Fikret Hemek, Ayşegül Eroğlu, Dizgicimiz Selda Tunç ve Kezban Öztürk'e teşekkürü bir borç biliriz.

Geleceğimizi güvenle emanet ettiğimiz siz değerli öğretmenlerimizin hizmet öncesi ve hizmet içi eğitimlerine katkıda bulunabilmek ümidiyle...

Başarılar...

MATEMATİK ÖABT İLE İLGİLİ ÖNEMLİ BİLGİLER

MATEMATİK ÖABT, 50 sorudan oluşmakta ve Matematik Öğretmeni Adaylarının Alan Bilgisi (Analiz, Cebir, Geometri, Uygulamalı Matematik) ile Alan Eğitimi alanlarındaki bilgi ve becerilerini ölçmeyi hedeflemektedir.

Öğretmenlik Alan Bilgisi Testinde çıkan sorular, Matematik Öğretmenlik Lisans Programlarında verilen akademik disiplinlere paralel olarak hazırlanmaktadır. Sınavdaki Alan-Soru dağılımı aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.

Genel Yüzde Yaklaşık Yüzde Soru Numarası

Alan Bilgisi Testi % 80 1 - 40

a. Analiz b. Cebir c. Geometri

d. Uygulamalı Matematik

% 24

% 16

% 16

% 24

Alan Eğitimi Testi % 20 41 - 50

Genel Kültür, Genel Yetenek ve Eğitim Bilimleri Sınavlarınıza ek olarak gireceğiniz Öğretmenlik Alan Bilgisi Testi ile ilgili veri- len bu bilgiler 2014-2015 MATEMATİK ÖABT sınavı çerçevesinde hazırlanmıştır. Sınav içeriğinde yapılabilecek olası değişiklikleri ÖSYM'nin web sitesinden takip edebilirsiniz.

İÇİNDEKİLER

1. BÖLÜM

UZAYDA VEKTÖRLER

UZAYDA VEKTÖRLER ...5

İki Vektörün Paralelliği...6

Vektörlerin Lineer Bileşimi ...6

Lineer Bağımlılık – Lineer Bağımsızlık ...6

Standart Birim Vektörleri ...6

Vektörlerin İç (Skaler) Çarpımı ...6

İki Vektör Arasındaki Açı...7

Dik İzdüşüm Vektörü ...7

Vektörel (Çapraz) Çarpım ...8

Paralelkenarın Alanı ...9

Paralelyüzün Hacmi ...10

Çözümlü Test ...11

Çözümler ...13

UZAYDA DOĞRU ve DÜZLEM DENKLEMİ

İki Noktası Belli Olan Doğru Denklemi ...17

Düzlem ...18

Çözümlü Sorular - I ...20

Bir Noktanın Düzleme Uzaklığı ...23

Çözümlü Sorular - II ...23

Uzayda İki Doğrunun Birbirlerine Göre Durumları ve Kesişme Noktasının Bulunması ...26

Bir Noktanın Bir Doğruya Olan Uzaklığı ...27

Çözümlü Sorular ...28

İki Düzlemin Birbirlerine Göre Konumu ve İki Düzlem Arasındaki Açı ...32

Bir Düzlem ile Bir Doğru Arasındaki Açı ...32

İki Düzlemin Açıortay Düzlemi ...32

Çözümlü Sorular ...32

Bir Doğrudan Geçen Düzlem Demeti ...34

Uzayda Simetri ...35

Çözümlü Sorular ...36

Çözümlü Test - 1 ...39

Çözümler ...41

Çözümlü Test - 2 ...43

Çözümler ...45

vi

YÜZEYLER

E³ DE YÜZEY ...51

KÜRE ...51

Küre Olma Koşulları ...52

Kürenin Parametrik Denklemi ...53

Kürenin Teğet Düzlemi ...53

SİLİNDİR ...53

KONİ ...55

Bazı Kuadratik Yüzeyler ...59

Çözümlü Sorular ...59

Silindirin İsimlendirilmesi ...60

Dönel Yüzeyler ...62

SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR ...64

KÜRESEL KOORDİNATLAR ...64

Çözümlü Test ...65

Çözümler ...67

KONİKLER

Genel Konik Denkleminde x.y– li Terimi Yok Etme ...72

ELİPS - HİPERBOL - PARABOL

Elipsin Denklemi ...75

Elipsin Teğet ve Normal Denklemleri...76

Elipsin Parametrik Denklemi...77

HİPERBOL ...79

Hiperbolün Denklemi ...79

PARABOL ...82

Parabolün Denklemi ...82

Çözümlü Test ...85

Çözümler ...87

Karma Test - 1 ...89

Çözümler ...91

Karma Test - 2 ...93

Çözümler ...95

vii 2. BÖLÜM

İSTATİSTİK VE OLASILIK

TEMEL KAVRAMLAR ...101

Sayısal Bilgi, Veri, Ölçüm ...101

Değişken ve Türleri ...101

Fonksiyon ...101

Evren ve Örneklem...103

İstatistik ve Parametre...103

Çözümlü Test ...104

Çözümler ...106

VERİNİN DÜZENLENMESİ VE MERKEZE EĞİLME ÖLÇÜLERİ

Grafik Çizme ...109

Merkeze Eğilme (Yığılma) Ölçüleri ...110

Mod (Tepedeğer) ...110

Medyan (Ortanca) ...110

Aritmetik Ortalama ...111

Mod, Medyan ve Ortalamanın Karşılaştırılması ...112

Ağırlıklı Ortalama ...113

DEĞİŞME (DAĞILMA) ÖLÇÜLERİ ...114

Ranj (Açıklık) ...114

Mutlak Kayma ...114

Varyans ve Standart Kayma ...114

Bağıl Değişkenlik Katsayısı ...116

STANDARTLAŞTIRMA (z ve T PUANLARI) ...116

z Puanı ...116

T Puanı ...117

Çözümlü Test ...118

Çözümler ...120

viii

OLASILIK

TEMEL KAVRAMLAR ...125

Olasılık ...126

Birleşik Olayların Olasılığı ...127

Ayrık İki Olayın Birleşiminin Olasılığı ...127

Olaylar Arasındaki Bağıntılar ...128

Bağımsız Olaylar ...128

TESADÜFÎ DEĞİŞKEN, OLASILIK FONKSİYONU VE BEKLENEN DEĞER ...132

Tesadüfî Değişkenin Beklenen Değeri ...138

Varyansın Hesabı ...141

Momentler ...144

Çözümlü Test ...151

Çözümler ...154

OLASILIK DAĞILIMLARI

Binom Olasılık Dağılımı ...159

Poisson Olasılık Dağılımı...161

Hipergometrik Olasılık Dağılımı ...162

Normal Olasılık Dağılımı ...169

Standart Normal Olasılık Dağılımı ...170

Çözümlü Test ...172

Çözümler ...175

Çözümlü Deneme - 1 ...178

Çözümler ...181

Çözümlü Deneme - 2 ...184

Çözümler ...187

1. BÖLÜM

UZAYDA VEKTÖRLER

5

UZAYDA VEKTÖRLER

R³ = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R} kümesine 3 boyutlu vektör uza-

yı denir. Vektörlerin başlangıç noktası orijin olmak üzere,

R³ ün her noktasına bir vektör karşılık gelir.

z

y P(a, b, c)

0

x

, , a b c

OP = ` j ise a, b, c sayılarına OP yer vektörünün

bileşenleri denir. P noktasının orijine olan uzaklığına,

OP vektörünün normu (uzunluğu) denir ve OP ile gös-

terilir.

, , .

a b c a b c dir

OP=` j& OP = P = ²+ ²+ ²

AB vektörüne eş, başlangıç noktası orijin olan OP vek-

törüne, AB vektörünün yer vektörü denir.

A(x1, y

1, z

1) ve B(x

2, y

2, z

2) ise;

, ,

x x y y z z

x x y y z z

OP AB

AB

2 1 2 1 2 1

2 1 2

2 1 2

2 1 2

= − − −

= = − + − + −

`

` ` `

j

j j j

Normu 1 olan vektöre birim vektör denir.

z

0 y

x

A(x₁, y₁,z₁) B(x₂, y₂,z₂)

P(x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁)

dÕNPÕù6RUXODU

Uzayda A(1, 2, 3), B(2, −1, −4) ve C(m, 2, −1) noktaları veriliyor.

AB=AC olduğuna göre m kaçtır?

A) −27 B) −29 C) 14 D) 29 E) 27

, , m , ,

AB=`1−3−7j AC=` −1 0 −4j .

.

d r m

m

m olur

AB AC AB AC 0

1 1 3 0 7 4 0

27 0 27

ı

& $

$

= =

− + − + − − = + =

= −

` j ` j ` j` j

Cevap A

Örnek

A(1, –1, 1) ve B(2, a, –3) noktaları veriliyor.

AB = 26 br olduğuna göre a sayısının alabileceği

değerleri bulunuz.

,a ,

a a a

a a veya a

AB

AB

1 1 4

26 1 1 4 26

1 17 26

1 9

1 3 2 4

2 2 2

2

2

&

&

&

& &

= + −

= + + + − =

+ + =

+ =

+ = = =−

`

`

`

` `

j

j j

j j

dÕNPÕù6RUXODU

Dik koordinat düzleminde verilen u ve v vektör- leri için u v 8$ = , u v+ + −u v =16 olduğuna göre

u v+ değeri kaçtır?

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 13

.

u v u v u v

u v u v u v

u v u v u v olur 2 2 4

2 2

2 2

2 2

2 2

&

$ $

$ $

$ $

+ = + +

− = + +

=

+ − −

Buna göre;

u v u v u v u v 4 8

16

$ $

+ + − + − − =

` j` j

1444444444 4444444442 3 u v u v u v u v

u v

2 16

+ − − =

+ + + + = + + =9olur. Cevap B

6

İki Vektörün Paralelliği

, , 0, ,

a bdR³ k! a!0 b!0 olmak üzere,

. //

a=k b+a b dir.

, , , ,

a=`x y z1 1 1jve b=`x y z2 2 2jolmak zereü //

a b x x

y y

z z

2 1

2 1

2

+ = = 1 dir.

Örnek

A(2, 4, 2) ve B(6, 2, 4) noktaları ile

, ,

v=`x y x− +2 1y j vektörü veriliyor.

// v

AB olduğuna göre, (x, y) ikilisini bulunuz.

Çözüm

2 , ,

, ,

//

, , .

v

v

x y x y

x y x y

x y x y

x y olur

AB

AB

2 1

4 2 2

2 1

4 2

2 2 1

1 1

&

&

− = + = −

= −

= − +

− =

−

+ =

= −

`

`

` `

j

j

j j

4

Vektörlerin Lineer Bileşimi , , ,..., , , ,..., R ve k k k k R V V V_{1 2 3} V_nd ³ _{1 2 3 n}d olmak üzere,

. . .

. ...

u=k₁V₁+k₂V₂+k₃V₃+ +k_nV_n vektörüne,

, , ,...,

V V V_{1 2 3} V_n vektörlerinin lineer bileşimi denir.

Lineer Bağımlılık – Lineer Bağımsızlık

, , ,...

IR de V V V³ _{1 2 3} V_n vektörleri verilsin.

. . .

. c c ... c

c V_{1 1}+ ₂V₂+ ₃V₃+ + _nV_n=0 denklemi yalnız

c1 = c

2 = c

3 ... = c

n = 0 için sağlanırsa bu vektörlere lineer

bağımsız; c₁ = c

2 = c

3 ... = c

n = 0 değerlerinden en az

biri sıfırdan farklı olacak şekilde sağlanırsa bu vektörlere lineer bağımlıdır denir.

Uyarı

, ,...

V=&V V_{1 2} V_n0, IR³ uzayının bir alt kü- mesi olmak üzere detbV V₁, ₂,...V_nl=A olsun.

I. A = 0 ⇔ V kümesi lineer bağımlı, II. A ≠ 0 ⇔ V kümesi lineer bağımsızdır denir.

Standart Birim Vektörleri

z

0 y

x

e3 0, 0, 1` j

e₁ 1, 0, 0` j

e2 0, 1, 0` j

R³ vektör uzayında üzerinde bulunduğu eksen ile pozitif

yönlü birim vektörlere, standart birim vektörler denir.

, ,

, ,

, ,

e i

e j

e k

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1

2

3

=

= =

= =

= `

`

` j

j

j

Vektörlerin İç (Skaler) Çarpımı

Her A B, !R³ için;

, , , ,

x y z ve x y z

A=` <sub>1 1 1</sub>j B=` _{2 2 2}j olmak üzere,

, x x y y z z

A B$ =<A B>= 1$ 2+ 1$ 2+ 1$ 2

şeklinde tanımlanan işleme, "R³ de Öklid iç çarpım işle-

mi" denir.

Özellikleri

1. A = A A$ , A²=A A$

2. A B$ =B A$ (değişme özelliği)

3. A B C$` + j=A B A C$ + $ (çarpmanın toplama üzeri- ne dağılma özelliği)

7

Örnek

, ,a ve a, ,

A=`3 −2j B=` 2 10j vektörleri veriliyor.

A B 5$ = olduğuna göre a sayısının kaç olacağını bu- lunuz.

Çözüm .

. a a

a a A B 5 3 2 2 10 5

5 25 5

=

+ − =

=

=

İki Vektör Arasındaki Açı

, R

A B! ³ verilsin. AveB vektörleri arasındaki açının

ölçüsü α olmak üzere, cos

A B$ =A B$ $ a olur.

A=B ise α = 90° için cosα = 0 olduğundan

.

A=B+A B 0= olur.

Örnek

, , ve , ,

A= −` 1 2 3j B=`1 −1 2j vektörleri arasındaki açının cosinüsünü bulunuz.

Çözüm

. . .

. .

. cos

cos cos

A B A B

1 2 6 1 2 3 1 1 2

14 6 3

2 21 3

2 2 2 2 2 2

i

i i

=

− − + = − + + + − +

= =

` j ` j

Örnek

, , ve , ,

A=`1 1 2j B=` 3 1− − 3 1 4− j vektörleri ara- sındaki açının cosinüsünü bulunuz.

Çözüm

. .

.

( ) ( ) ( )

. .

cos

cos

cos

olur A B

A B

A B A B

3 1 3 1 8 6

1 1 2 16

3 1 3 1 4

4 2 3 4 2 3 16 24 2 6

6 2 6 6

21

2 2 2

2 2 2

i

i

i

=

= − − − + =

= + + =

= − + − − +

= − + + +

= =

=

=

` j ` j

Örnek

ile

A B vektörleri arasındaki açının ölçüsü 45°,

ve

A =2 2 B =3 olduğuna göre,

. 3 2 A B+ A− B

` j` j iç çarpımının sonucunu bulunuz.

Çözüm

. . . .

. . .

. . . .

. cos

olur

A B A B A A A B A B B B

A A B B

3 2 3 3 2 2

3 2

3 8 2 2 3 45 2 9

24 6 18 12

°

2 2

+ − = + − −

= + −

= + −

= + −

=

` j` j

Dik İzdüşüm Vektörü

0 u H

A

B

, , , , ,

x y z x y z

A=` <sub>1 1 1</sub>j B=` _{2 2 2}j vektörleri verilsin.

A vektörünün B vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü

OH =u olsun. AileB arasındaki açı α olmak üzere;

. .

cos . dir cos u

A B

A

A

a= B a= yazılırsa

.

. .

u u

A A B

A

B A B B &

= = dik izdüşüm vektörünün

uzunluğudur.

.

u u

B

= B olacağından

. . u

A B BB₂

= dik izdüşüm vektörünü verir.

8

dÕNPÕù6RUXODU

Düzlemde A(5, 0) vektörünün B(3, −4) vektörü üzeri- ne dik izdüşüm vektörünün uzunluğu kaç birimdir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

O H

A(5,0)

B(3,-4)

,

. OH

OH

OH br bulunur B A B

3 4

5 3 0 4

3

2 2

$ $

=

= + −

+ −

=

`

` j

j

Cevap C

Örnek

, , ve , ,

A=`1 4 2j B= −` 2 1 3j vektörleri veriliyor.

n n

A ı B üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğunun ve

dik izdüşüm vektörünü bulunuz.

Çözüm u .

B A B

2 1 3

2 4 6

14 8

2 2 2

= =

− + +

− + + =

` j

Dik izdüşüm vektörü;

. . u

B A B B

= 2 . , , , ,

14

8 2 1 3 7 4 2 1 3

= `− j= `− j olur.

Vektörel (Çapraz) Çarpım

R³ te A=`x y z<sub>1</sub>, ,<sub>1 1</sub>jveB=`x y z₂, ,_{2 2}j vektörleri verilsin.

ve

A B vektörlerinin vektörel çarpımı bir C vektörünü

verir.

x

C=A B şeklinde gösterilir.

a: A vektörü ile B vektörü arasındaki açı

;

P A vektörü ile B vektörünün yönünü gösteren birim vektör olmak üzere;

ile

A B nin vektörel çarpımı :

. . . sin x

C=A B=P A B a dır.

Elde edilen C vektörü, AveB vektörlerinin ait olduğu

düzleme dik olan bir vektördür.

x e x x

e y y

e z z C A B ¹₁

2 2 1 2

3 1 2

= =

determinantının değeri, vektörel çarpımı verir.

Örnek

, , ve , ,

A=`3 1 0j B=`0 1 2j olduğuna göre

x

A B kaçtır?

Çözüm

, ,

. x

i j k

i j k

x

olur A B

A B 3 0

1 1

0 2

2 6 3

2 6 3

2 6 3

4 36 9

7

2 2 2

= = − +

= −

= + − +

= + +

=

`

` j

j

Özellikleri:

, , A B C

6 ∈ R³ ve k ∈ R olmak üzere;

I. AxA 0=

II. A Bx = −B Ax

III. Ax`B+Cj=`AxBj+`AxCj

IV. `k.AjxB A= x k` .Bj=k.`A Bx j,k!R

V. AxB = A . B .sini i, : A ve B vektörleri ara-

sındaki açıdır.

VI. ,

, .

x

x x ve x d r

A B A

A B B 0 A A B B A B

0 & = = ı

=

=

4