OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN TÜMLEME PRENSĐBĐ & DE MORGAN KURALLARI. PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

(1)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN

TÜMLEME PRENSĐBĐ & DE MORGAN KURALLARI PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

Kombinatoriğin en önemli ve temel prensiplerinden birisi olan Tümleme Prensibi ile ilgili bir çalışma kağıdı hazırladık. Ayrıca iki kümenin kesişiminin ya da birleşiminin tümleyeni için De Morgan Kuralları olarak bilinen eşitlikleri kullanacağız. Bu yöntemlerden faydalanarak zor gibi görülen bir çok problemi kolayca çözebilir, bazı kombinatorik özdeşlik ispatlarını yapabiliriz. Đyi çalışmalar dileriz …

Đlk olarak birkaç tanımlama yaparak başlayalım:

Sonlu sayıda elemandan oluşan bir X kümesinin eleman sayısını ( )s X ile göstereceğiz.

E evrensel kümesi sonlu sayıda elemandan oluşsun ve A⊂E olsun.

{

^{x x}^: ^∈^E^ve^x^∉^A

}

kümesine A kümesinin tümleyeni denir ve A sembolü ile gösterilir. Bu tanıma göre

( ) ( ) ( )

s E =s A +s A olduğu açıktır. Şimdi ünlü tümleme prensibini ifade edebiliriz.

Tümleme Prensibi: ^{s A}

( ) ( )

⁼^{s E} ⁻^{s A}

( )

Problem 1: 6 doktor ve 4 hemşire arasından 7 kişilik bir sağlık ekibi kurulacaktır. Ekipte en az bir tane hemşire olacak biçimde kaç farklı sağlık ekibi oluşturulabilir?

Çözüm 1: Đlk olarak alt durum analizi yapalım. Şu durumlar mümkündür:

4 hemşire, 3 doktor seçilirse 4 6

4 3

   

   

    farklı ekip oluşturulabilir.

3 4

   

   

2 5

   

   

(2)

1 6

   

   

Toplama prensibi ile 4 6 4 6 4 6 4 6

4 3 3 4 2 5 1 6

             

+ + +

             

              farklı ekip oluşturulabilir.

Çözüm 2: Evrensel kümeyi ve aradığımız kümeyi sırasıyla

{

7 kişilik ekipler

}

E= ^,A=

{

Đçinde en az 1 hemşire olan 7 kişilik ekipler

}

olarak tanımlarsak A=

{

Đçinde hiç hemşire olmayan 7 kişilik ekipler

}

olur. Açıkça ^{s A}

( )

⁼⁰

olur. Toplam 10 kişi olduğu için

( )

¹⁰

s E  7

= 

  dir. O halde Tümleme prensibinden

( ) ( ) ( )

¹⁰₇ ⁰

s A s E s A  

= − = −

  olup

( )

¹⁰

s A  7 

= 

  elde edilir.

SONUÇ: 4 6 4 6 4 6 4 6 10

4 3 3 4 2 5 1 6 7

                

+ + + =

                

                 eşitliği vardır.

Şimdi bu sonucun genel halini ifade edebilecek bir problem yazalım:

Problem 2: m tane doktor ve n tane hemşirenin olduğu bir hastaneden m k+ kişilik bir sağlık ekibi kurulacaktır. (m≥ +n k ve n≥k) Đçinde en az k tane hemşire bulunacak biçimde kaç farklı ekip oluşturulabilir?

Çözüm 1: Toplama ilkesi ile çözersek,

1 1

n m n m n m

k m k m n m n k

         

+ + +

         

+ − − +

      ⋯     olur.

Çözüm 2: Tümleme ilkesi ile çözersek, rastgele seçilen m k+ kişiden en az k tanesinin hemşi- re olacağı garanti edilmiş olduğundan ^{s A}

( )

⁼⁰^olup^{s A}

^{( ) ( )}

⁼^{s E} ⁼^^_^m_m⁺₊ⁿ_k^^_^bulunur.

Şimdi tümleme prensibi yardımıyla güçlü bir kombinatoryal özdeşliğe ulaşacağız.

(3)

SONUÇ: m, n, k pozitif tamsayılar olmak üzere m≥ +n k^ven≥k^ise

1 1

n m n m n m m n

k m k m n m n k m k

+

             

+ + + =

             

+ − − + +

        ⋯      

özdeşliği vardır.

Problem 3: a, b, c, d, e harfleri kullanılarak 7 harfli kelimeler yazılacaktır. a veya b nin en az bir kez kullanıldığı kaç kelime yazılabilir?

Çözüm: Alt durum analizi ile bu problemi çözmek oldukça zordur. a nın bir defa kullanıldığı ve b nin hiç kullanılmadığı durumlar, a ve b nin birer defa kullanıldığı durumlar, a nın bir defa kullanıldığı ve b nin iki defa durumlar, … şeklinde uzayıp gidecektir.

Bunun yerine tümleme prensibini kullanalım. Tüm 7 harfli kelimelerin kümesi E evrensel kümesi olmak üzere ^{s E}

( )

⁼⁵⁷ ⁼⁷⁸¹²⁵ dir. Đstenen durumların kümesi A olsun. a ile b nin hiç kullanılmadığı durumların kümesi A olur. Elimizde sadece c, d, e harfleri kaldığı için bu 3 harfi kullanarak 7 harfli ^{s A}

( )

⁼³⁷ ⁼²¹⁸⁷ tane kelime yazabiliriz. Tümleme prensibinden

( )

^{78125 2187} ⁷⁵⁹³⁸

s A = − = ^bulunur.

Problem 4: 5 basamaklı ve rakamlarının çarpımı 3 ün katı olan kaç doğal sayı vardır?

Cevap:9 10⋅ ⁴−6⁵ =82224. Çözümün detaylarını okuyucuya bırakıyoruz.

Teorem (De Morgan Kuralları): A ve B aynı evrensel kümeye ait iki altküme olsun. Bu du- rumda

(

^A^∩^B

)

⁼^A^∪^B^ve

(

^A^∪^B

)

⁼^A^∩^B eşitlikleri geçerlidir.

Venn şeması çizilerek bu eşitliklerin doğruluğu kolayca görülebilir.

Aslında Problem 3 ün çözümünde De Morgan Kuralı nı uyguladık. Bu aşamayı bulmaya ça- lışmanız faydalı olacaktır.

Problem 5: aabbbbc kelimesindeki harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturulan kelimelerden kaç tanesi a ile başlamaz ve b ile bitmez?

(4)

Çözüm: Evrensel kümeyi E=

{

7 harfli tüm permütasyonlar

}

şeklinde tanımlayalım. Ayrıca

{

ile başlayanlar

}

A= a ^, B=

{

b ile başlayanlar

}

dersek aradığımız sonuç ^{s A}

(

^∩^B

)

^değeri

olacaktır.

( ) ( )

s A∩B =s A∪B (De Morgan Kuralı)

⁼^{s E}^{( )}⁻^{s A}

(

^∪^B

)

(Tümleme Prensibi)

⁼^{s E}^{( )}⁻^{s A}

( ) ( ) (

⁻^{s B} ⁺^{s A}^∩^B

)

(Đçerme – Dışarma Prensibi)

( ) 7! 105

4! 2!

s E = =

⋅ , 6!

( ) 30

s A =4!= , 6!

( ) 60

3! 2!

s B = =

⋅ ,

( )

^5! ⁶⁰

s A∩B = 2!= olduğundan

( )

105 30 60 60 75

s A∩B = − − + = şeklinde bulunur.

Problem 6: aabbbbc kelimesindeki harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturulan kelimelerden kaç tanesi a ile başlamaz veya b ile bitmez?

Çözüm: Bu sefer işimiz daha kolay. Problem 5 in çözümündeki gösterimleri kullanırsak

( )

s A∪B değerini hesaplamalıyız.

( ) ( )

s A∪B =s A∩B (De Morgan Kuralı)

⁼^{s E}

( ) (

⁻^{s A}^∩^B

)

(Tümleme Prensibi) 105 60= − =45 olarak bulunur.

Problem 7: aabbbbc kelimesindeki harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturulan kelimelerden kaç tanesinde a başta değildir veya b sonda değildir veya c ortada değildir?

Çözüm: Problem 5 in çözümündeki gösterimleri kullanalım. C=

{

c harfi ortada bulunanlar

}

olsun. Bu durumda ^{s A}

(

^∪^B^∪^C

)

değerini bulmalıyız. Birazdan

( )

^4! ¹²

s A∩B∩C =2!= değe- rine ihtiyacımız olacak.

(5)

( ) ( )

s A∪B∪C =s A∩B∩C (De Morgan Kuralı)

⁼^{s E}

( ) (

⁻^{s A}^∩^B^∩^C

)

(Tümleme Prensibi) 105 12= − =93 elde edilir.

Problem 8: aabbbbc kelimesindeki harflerinin yerleri değiştirilerek oluşturulan kelimelerden kaç tanesinde a başta değildir, b sonda değildir ve c ortada değildir?

Yol Gösterme: Evrensel küme E=

{

7 harfli tüm permütasyonlar

}

^, A=

{

a ile başlayanlar

}

^,

{

ile başlayanlar

}

B= b ^, C=

{

c harfi ortada bulunanlar

}

olarak tanımlansın. Bu durumda

( )

s A∩B∩C değeri hesaplanmalıdır.

( ) ( )

s A∩B∩C =s A∪B∪C (De Morgan Kuralı)

⁼^{s E}

( ) (

⁻^{s A}^∪^B^∪^C

)

(Tümleme Prensibi)

⁼^{s E}

( ) ( ) ( ) ( ) (

⁻^{s A} ⁻^{s B} ⁻^{s C} ⁺^{s A}^∩^B

) (

⁺^{s B}^∩^C

) (

⁺^{s C}^∩^A

) (

⁻^{s A}^∩^B^∩^C

)

eşitliklerini yazabiliriz. Son adımda içerme – dışarma prensibi kullanılmıştır.

Problem 9:

{

^{1, 2,3,}^…^{, 20}

}

kümesinin elemanlarının çarpımı 4 ile tam bölünebilen a) üç elemanlı kaç farklı altkümesi vardır?

b) keyfi sayıda elemanlı kaç farklı altkümesi vardır?

a için Çözüm 1: A=

{

1,3,5, 7,9,11,13,15,17,19

}

^, B=

{

2, 6,10,14,18

}

^, C=

{

4,8,12,16, 20

}

şeklinde tanımlayalım. Ayrıca D=B∪C olsun. a a₁, ₂∈A, c₁∈C, d d d₁, ₂, ₃∈D olmak üze- re elemanlarının çarpımı 4 ile tam bölünebilen kümeler

{

a a c1, 2, 1

}

,

{

a d d1, 1, 2

}

,

{

d d d1, 2, 3

}

şekillerinden birisi gibi olmalıdır.

{

a a c1, 2, 1

}

şeklindeki kümelerin sayısı 10 5 2 1 225

   

   =

   

(6)

{

a d d1, 1, 2

}

şeklindeki kümelerin sayısı 10 10 1 2 450

   

   =

   

{

d d d1, 2, 3

}

şeklindeki kümelerin sayısı 10 3 120

 

 =

 

olur. Toplama prensibinden 225 450 120+ + =795 bulunur.

a için Çözüm 2: Tüm üç elemanlı altkümeleri E evrensel kümesi olarak tanımlayalım. Bu halde

( )

²⁰

s E  3 

= 

  olur. Elemanlarının çarpımı 4 ün katı olan üç elemanlı alt kümelerin kü- mesine F dersek, elemanlarının çarpımı 4 ün katı olmayan üç elemanlı altkümelerin kümesi de F olur. b₁∈B olmak üzere

{

a a a1, 2, 3

}

veya

{

a a b1, 2, 1

}

formatındaki altkümelerin ele- manları çarpımı 4 ile bölünemeyen bir sayı olduğundan Tümleme prensibinden

( ) ( ) ( )

²⁰ ¹⁰ ⁵ ¹⁰ 1140 120 225 795

3 3 2

s F s E s F      

= − =  − − ⋅ = − − =

      bulunur.

b için Çözüm:

{

^{1, 2,3,}^…^{, 20}

}

kümesinin tüm alt kümelerinin kümesini E evrensel kümesi olarak tanımlarsak ^{s E}

( )

⁼²²⁰ olur. Elemanlarının çarpımı 4 ün katı olan keyfi elemanlı alt kümelerin kümesine F dersek, elemanlarının çarpımı 4 ün katı olmayan keyfi elemanlı altkü- melerin kümesi de F olur. F kümesinin elemanları ya tamamıyla A kümesinden seçilmelidir ya da bir tane eleman B kümesinden, diğerleri A kümesinden seçilmelidir. O halde

1. Durum: F kümesinin elemanları ya tamamıyla A kümesinden seçilirse 2 tane alt küme ¹⁰ yazılabilir.

2. Durum: F kümesinin elemanlarından birisi B kümesinden seçilip, geriye kalan tüm ele-

manları da A kümesinden seçilirse 5 ¹⁰ 1 2

  

  tane altküme yazılabilir.

Toplama Prensibinden ^{s F}

( )

⁼²¹⁰^{+ ⋅}^{5 2}¹⁰ ^{= ⋅}^{6 2}¹⁰ olur. Son olarak Tümleme Prensibinden

( ) ( ) ( )

²²⁰ ^{6 2}¹⁰

s F =s E −s F = − ⋅ olarak bulunur.

Problem 10 (L. Gökçe):

{

1, 2,3, 4,5, 6, 7,8, 9

}

kümesinin iki altkümesi A, B olsun.

a) ^{s A}

(

^∩^B

)

^≥¹ olacak şekilde kaç farklı

(

^{A B}^,

)

sıralı ikilisi vardır?

(7)

b) ^{s A}

(

^∩^B

)

^≥² olacak şekilde kaç farklı

(

^{A B}^,

)

a için Çözüm: Tüm

(

^{A B}^,

)

sıralı ikililerinin kümesini E evrensel kümesi olarak tanımlaya- lım. A yerine 2 tane ve B yerine de ⁹ 2 tane küme seçebileceğimiz için Çarpma Prensibine ⁹ göre ^{s E}

( )

^{= ⋅ =}²⁹ ²⁹ ²¹⁸ olur. Şimdi istenen durumların kümesini ^C⁼

{ (

^{A B}^,

) (

^:^{s A}^∩^B

)

^≥¹

}

şeklinde ifade edersek ^C⁼

{ (

^{A B}^,

) (

^:^{s A}^∩^B

)

⁼⁰

}

olur. Yani A∩B= ∅ olacak şekilde kaç farklı

(

^{A B}^,

)

sıralı ikilisi bulabileceğimizi hesaplamalıyız. Aşağıdaki şemayı inceleyelim.

{

1, 2,3, 4,5, 6, 7,8, 9

}

kümesinden seçtiğimiz 1 elemanını yerleştirebileceğimiz 3 bölge vardır.

Benzer şekilde, 2 yi yerleştirebileceğimiz üç bölge vardır. Bu şekilde devam edilirse Çarpma Prensibinden ^{s C}

( )

⁼³⁹ bulunur. Tümleme Prensibinden ^{s C}

( ) ( )

⁼^{s E} ⁻^{s C}

( )

⁼²¹⁸⁻³⁹^olur.

b için Çözüm: Tüm

(

^{A B}^,

)

sıralı ikililerinin kümesini E evrensel kümesi olarak tanımlaya- lım. ^{s E}

( )

⁼²¹⁸ olur. Đstenen durumların kümesini ^C⁼

{ (

^{A B}^,

) (

^:^{s A}^∩^B

)

^≥²

}

biçiminde tanımlarsak ^C⁼

{ (

^{A B}^,

) (

^:^{s A}^∩^B

)

⁼^{0 veya}^{s A}

(

^∩^B

)

⁼¹

}

olur. Problemin a kısmından do- layı

{ (

^{A B}^,

) (

^:^{s A}^∩^B

)

⁼⁰

}

kümesinin eleman sayısının 3⁹ olduğunu biliyoruz. Şimdi de

( ) ( )

{

^{A B}^, ^:^{s A}^∩^B ⁼¹

}

kümesinin eleman sayısını bulalım. Üstteki şemada x yerine gelebile- cek 9

1 9

 =

   farklı seçim yapılabilir. Geriye kalan 8 elemanı A∩B dışındaki üç bölgeye da- ğıtmalıyız. Bu ise 3 yolla yapılabilir. ⁸ Çarpma Prensibine göre

{ (

^{A B}^,

) (

^:^{s A}^∩^B

)

⁼¹

}

^kü-

mesinin eleman sayısı 9 3⋅ ⁸ olur. Toplama Prensibinden ^{s C}

( )

^{= + ⋅ = ⋅}³⁹ ^{9 3}⁸ ^{12 3}⁸ bulunur.

Son olarak Tümleme Prensibi uygulanırsa ^{s C}

( ) ( )

⁼^{s E} ⁻^{s C}

( )

⁼²¹⁸^{− ⋅}^{12 3}⁹ elde edilir.

A B

x

(8)

Problem 11 (L. Gökçe):

{

1, 2,3, 4,5, 6, 7,8, 9

}

kümesinin üç altkümesi A, B, C olsun.

a) ^{s A}

(

^∩^B^∩^C

)

(

^{A B C}^{, ,}

)

sıralı üçlüsü vardır?

b) ^{s A}

(

^∩^B^∩^C

)

(

^{A B C}^{, ,}

)

a için Çözüm: Tüm

(

^{A B C}^{, ,}

)

sıralı üçlülerinin kümesini E evrensel kümesi olarak tanımlaya- lım. A yerine 2 tane, B yerine ⁹ 2 , C yerine ⁹ 2 tane küme seçebileceğimiz için ⁹ Çarpma Prensibine göre ^{s E}

( )

^{= ⋅ ⋅ =}²⁹ ²⁹ ²⁹ ²²⁷ olarak hesaplanır. Đstenen durumların kümesini

( ) ( )

{

^{, ,} ^: ¹

}

D= A B C s A∩B∩C ≥ şeklinde tanımlarsak ^D⁼

{ (

^{A B C}^{, ,}

) (

^:^{s A}^∩^B^∩^C

)

⁼⁰

}

olur. Aşağıdaki şekilde A∩B∩C kümesini ifade eden bölge x ile gösterilmiştir. Bu bölgeye hiçbir eleman gelmeyeceği için

{

1, 2,3, 4,5, 6, 7,8, 9

}

kümesinin her bir elemanını şemadaki 7 bölgeye 7⁹ yolla dağıtabiliriz. ^{s D}

( )

⁼⁷⁹ olur. Tümleme Prensibinden

( ) ( ) ( )

²²⁷ ⁷⁹

s D =s E −s D = − olarak bulunur.

b için Çözüm: Đstenen durumların kümesini ^D⁼

{ (

^{A B C}^{, ,}

) (

^:^{s A}^∩^B^∩^C

)

^≥²

}

şeklinde ta- nımlarsak ^D⁼

{ (

^{A B C}^{, ,}

) (

^:^{s A}^∩^B^∩^C

)

⁼^{0 veya}^{s A}

(

^∩^B^∩^C

)

⁼¹

}

^olur. ^{s A}

⁽

^∩^B^∩^C

⁾

⁼⁰

eşitliğini sağlayan

(

^{A B C}^{, ,}

)

üçlülerinin sayısının 7 olduğunu problemin a kısmında bulmuş-⁹ tuk. Şimdi de ^{s A}

(

^∩^B^∩^C

)

⁼¹ eşitliğini sağlayan

(

^{A B C}^{, ,}

)

üçlülerinin sayısını belirleyelim.

Bunun için üstteki şemada x yerine

{

1, 2,3, 4,5, 6, 7,8, 9

}

kümesinin elemanlarından bir tanesi- ni seçelim. 9

1 9

 =

   farklı seçim yapılabilir. Geriye kalan 8 elemanı 7 bölgeye 7 yolla dağı-⁸ tabiliriz. Çarpma Prensibine göre 9 7⋅ ⁸ tane sıralı üçlü yazabiliriz. Toplama Prensibinden

( )

⁷⁹ ^{9 7}⁸ ^{16 7}⁸

s D = + ⋅ = ⋅ olur. . Tümleme Prensibinden ^{s D}

( ) ( )

⁼^{s E} ⁻^{s D}

( )

⁼²²⁷^{− ⋅}^{16 7}⁸

elde edilir.

C A B

x

(9)

Problem 12: k ve n birer pozitif tamsayı olmak üzere

{

^{1, 2,3,}^…^{, n}

}

kümesinin A A₁, ₂,…,A_k alt kümelerini göz önüne alalım.

{ }

1

1, 2,3, ,

k i i

A n

=

= …

∪

olacak şekilde kaç tane

(

A A1, 2,…,A_k

)

sıralı k – lısı yazılabilir?

Çözüm: 1 elemanını alalım. Bu elemanın A de olup olmaması yönüyle 2 durum vardır. Ben-₁ zer şekilde 1 in A de olup olmaması yönüyle 2 durum vardır. Bu şekilde devam edilirse 1 in ₂

1, 2, , _k

A A … A kümelerinde olup olmaması yönüyle 2^k durum vardır. 1 bu kümelerden bir kısmında bulunup, bir kısmında görülmeyebilir. Fakat 1 bu kümelerden hiçbirinde bulunmaz- sa bu istenmeyen bir durumdur. Tümleme prensibi gereği 1 in A A₁, ₂,…,A_k kümelerine dağı- lımı 2^k −1 yolla gerçekleşir. Aynı işlemler 2, 3, … , n için de yapılırsa Çarpma Prensibi ile

(

²^k ⁻¹

)

ⁿ^tane

⁽

^{A A}¹^, ²^,^…^,^A^k

⁾

sıralı k – lısı yazılabilir.

Problem 13: Kenar uzunluğu 1 cm olan bir kare içine, alanları toplamı 1997,5 cm² olan ve konveks olmaları gerekmeyen 1998 tane çokgen, karenin dışına taşmayacak biçimde rastgele yerleştiriliyor. Karenin en az bir noktasının söz konusu çokgenlerin hepsi tarafından örtüldü- ğünü gösteriniz. (Akdeniz M.O 2. Aşama – 1998)

Çözüm: Karesel bölgeye E, çokgensel bölgelere A , tümleyenlerine _i A_i , alanlarına A A ( _i) diyelim.

1998 1

i i

A

= ≠ ∅

∩

olduğunu göstermek istiyoruz. Bunun için

1998 1

i 0

i

A A

=

 

 >



∩

 olduğunu gös- termek yeterlidir.

1998 1998

1 1

i i

A A A A

= =

   

=

   

   



∩



∪

(De Morgan Kuralı)

¹⁹⁹⁸

( )

¹⁹⁹⁸

⁽ ^{( )} ⁾

1 1

i 1 i

i i

A A A A

= =

≤

∑

=

∑

− (Tümleme Prensibi)

¹⁹⁹⁸

( )

1

1998 _i

i

A A

=

= −

∑

1998 1997, 5= − =0, 5

(10)

olup

1998

1

i 2

i

A A

=

 

≤

 



∩

 elde edilir. Tekrar Tümleme Prensibi uygulanırsa

1998 1998

1 1

i i 1

i i

A A A A

= =

   

+ =

   

   



∩



∩

^olup ¹⁹⁹⁸

1

i 2

i

A A

=

 

 ≥



∩

 elde edilir.

Alıştırma Soruları:

1) 6 erkek, 5 kız arasından 3 kişilik bir grup kurulacaktır. Grupta en az 1 erkek olması koşu- luyla kaç farklı grup oluşturulabilir? (C: 155)

2) 4 basamaklı ve rakamlarının çarpımı çift sayı olan kaç doğal sayı vardır? (C: 8375)

3) 122333 ün tüm 6 lı permütasyonlarından kaç tanesi a) 1 ile başlamaz veya 3 ile bitmez?

b) 1 ile başlamaz ve 3 ile bitmez?

c) 1 ile başlamaz veya 3 ile bitmez veya baştan ikinci sıraya 2 gelmez?

d) 1 ile başlamaz, 3 ile bitmez ve baştan ikinci sıraya 2 gelmez?

4)

{

^{1, 2,3,}^…^{, 20}

}

kümesinin elemanlarının çarpımı a) 9 ile tam bölünebilen kaç farklı altkümesi vardır?

b) 8 ile tam bölünebilen kaç farklı altkümesi vardır?

5) (L. Gökçe)

{

^{1, 2,3,}^…^{, n}

}

kümesinin iki altkümesi A, B olsun.

a) ^{s A}

(

^∩^B

)

(

^{A B}^,

)

sıralı ikilisi vardır? (C: 4ⁿ−3ⁿ)

b) ^{s A}

(

^∩^B

)

(

^{A B}^,

)

sıralı ikilisi vardır? (C: ⁴ⁿ^{− + ⋅}

(

ⁿ ^{1 3}

)

ⁿ⁾

c) 0≤ ≤k n olmak üzere ^{s A}

(

^∩^B

)

^>^k olacak şekilde kaç farklı

(

^{A B}^,

)

(C: 3 ¹ 3 ² 3⁰

1 2

n k n k

n n n

k k n

− − − −

     

⋅ + ⋅ + + ⋅

     

+ +

    ⋯   )

(11)

6) (L. Gökçe)

{

^{1, 2,3,}^…^{, n}

}

kümesinin üç altkümesi A, B, C olsun.

a) ^{s A}

(

^∩^B^∩^C

)

(

^{A B C}^{, ,}

)

b) ^{s A}

(

^∩^B^∩^C

)

(

^{A B C}^{, ,}

)

c) 0≤ ≤k n olmak üzere ^{s A}

(

^∩^B^∩^C

)

^>^k olacak şekilde kaç farklı

(

^{A B C}^{, ,}

)

Kaynakça:

[1] Gökçe, L. Sonlu Matematik Ders Notları [2] Şahin, M., 10. Sınıf Matematik Soru Kitabı

[3] Van Lint, J. H., Wilson, R. M., A Course In Combinatorics

[4] Đ. Aliyev, M. Özdemir, D. Şıhaveya, Ulusal Antalya Matematik Olimpiyatları